本研究應用概念詮釋結構模式(concept advanced interpretive structural modeling, CAISM)分析七年級學生的比與比例式測驗資料，並以數值和圖形 結構呈現個別化的概念階層結構訊息。此外，將受試者測驗表現以 S-P 表 (student-problem chart)分群並觀察其各群組的資料差異情形。最後，對各組 挑選受測者進行個別晤談，以瞭解受試者在比與比例式認知情形。本章主要 說明本研究的研究動機、研究目的，並針對本研究所提及知相關名詞加以定 義、解釋。
第一節 研究動機
我國著名的數學經典「九章算術」之中，第二章栗米中的今有術，具備 完 整 的 比 例 算 法 。 美 國 數 學 教 師 學 會 (National Council of Teachers of Mathematics, NCTM)在 1989 年「學校數學課程與評鑑標準」中關於數量的 說明，清楚地提到「比」的概念需要經由日常生活中漸進式討論而得。而日 常生活中，也可從新聞媒體中發現許多比例相關的數學用語，例如「公私立 高中學費比為 1：4.4」、「中學生上網成癮的比例高於成年人」、「去年外籍新 娘不到過去比例的三分之ㄧ」等。孫霞繡、許桂敏(1990)調查國民的數學基 本素養，從國內的報章雜誌中出現的數學知識做調查，發現比例出現次數排 名第七名。綜上所述，比例概念和日常生活息息相關，更可見學習的重要性，
這也是九年一貫數學領域課程，其強調能將數學和學生生活經驗相結合的部 份，學習帶著走的能力。
「比與比例式」這個單元在小學六年級已學過，但是我們發現由於學生 在小學所學的觀念仍不完整，因此在國中階段必須再作銜接加強及補救。而 這個單元，不管是在九年一貫課程暫行綱要或正式綱要中，都是屬於七年級 的教材，更能顯示出該單元是國中課程中，必備且重要的知識之一。在中學
數學課程裡，比及比例是重要的單元，對於往後數學的學習有關鍵性的影 響。事實上許多學者(Lamon, 1994；Lesh, Post, ＆ Behr, 1988)也指出比例概 念的建立是學習高等數學的重要基石。缺乏對於比例概念的理解，不僅造成 數學概念基礎的不穩固，也關係到高等數學的學習。
從不少報章媒體中得知，「學數學」本來就是很多現代人共同的惡夢，
現今政策變動帶來的不確定感，以及透過媒體放大人們內心的升學焦慮，更 讓許多家長和學童對現在的數學教育感到茫然，身為教育現場的第一線工作 者，當然想進一步了解其中的問題，而眾多問題之中，第一步，就是主動了 解學生學習知識後的概念結構。
概念結構的分析不但能評量出學生學習概念的認知情況，也能提供教師 後續補救教學相關訊息，因此，學生的概念結構分析也慢慢受到後人重視。
概念結構分析的方法很多，且各有其特色和限制(林原宏，1996)。常見的有 概念構圖(concept mapping)、試題關聯結構(item relational structure, IRS)、次 序理論(ordering theory, OT)、詮釋結構模式(interpretive structural model, ISM)、概念詮釋結構模式(concept advanced interpretive structural modeling, CAISM)和徑路搜尋(pathfinder)等。其中概念詮釋結構模式(concept advanced interpretive structural modeling, CAISM)是一個有效的分析法(Lin, Hung ＆ Huang, 2006)，其不同於 ISM 分析法中的元素只限於二元關係，而且受限於 只能分析全體樣本的結構圖，讓運用上受到限制。CAISM 擴展自原有的詮 釋結構模式(interpretive structural modeling, ISM)，又根據模糊理論(fuzzy theory)，擴展 ISM 模式並用以數值和圖形結構呈現個人化概念階層結構 (individualized concept hierarchy structure)關係，而且元素之間不受到二元關 係所限制。而本研究利用 CAISM 分析方法，去探究受測學生的概念結構圖 形，以便於後續的補救教學等措施。
在教學的過程中，教師若能利用學生的學習結果予以分群，將有利於 教師進行補救教學或個別晤談等相關措施。此外，分群過程中，除了對學生
分群外，如果還能進一步對測驗試題也能有優劣的判斷，這樣對於一般教師 的命題修正上，更是提供有效的資料。而分群的模式也不少，其中 S-P 表的 分群對一般教師運用最為普遍，此方法可藉由簡單的係數判讀出試題的良莠 情形與每位學生的學習狀況，對於教師和家長無論在診斷上的應用或結果上 的解釋，都能很清楚地運用並瞭解其結果，對於認知能力診斷上更是產生重 大的意義。S-P 表在國內外也有不少研究加以應用(游森期、余明寧，2006；
胡明森、陳美智，2002；Dinero & Blixt, 1988)，也發現 S-P 表具有學習診斷 的功能，可作為補救教學之依據，亦可知道此為一有效的分群方法。
基於上述，本研究應用林原宏(2005)所發展的概念詮釋結構模式，進行 國中七年級學生比與比例式的概念階層的探討，並根據受試者的概念結構 圖，結合 S-P 表分群結果比較不同群受試者概念結構圖之差異，並進一步進 行晤談，以期做為日後教學診斷和補救教學之參考。
第二節 研究目的
本研究採用自編的「比與比例式測驗」來探討國中七年級學生概念表 現，利用 CAISM 分析個人化的概念結構關係圖，並採用 S-P 表將全體受試 者分群，並分析各群間受試者的概念結構特色，最後進行個別晤談去探究其 概念結構的差異。本研究的之研究目的如下所列：
一、根據「比與比例式測驗資料」對學生進行描述性分析。
二、利用 S-P 表分群與 CAISM，探討各群組在比與比例式之概念結構圖的 特徵和關聯性。
三、探討總分相同，但反應組型不同的學生，觀察其概念結構圖上的異同。
四、透過個別晤談瞭解學生在比與比例式發展的概況。
第三節 名詞解釋
此節針對本研究所涉及的特定名詞說明及定義如下：
壹、七年級學生
本研究之國中七年級學生，係指接受九年一貫正式課程綱要，於九十九 學年度就讀國中七年級學生。
貳、比與比例式
本研究指的比具有兩種含意，一是指兩數之間的ㄧ種相對關係(Quintero, 1987)；另一種是隱含相對大小的對比性指標(Lamon, 1995)。而具有對等關 係的比或比值所構成的關係式，(劉祥通、周立勳，1999)稱之為「比例關係」。 82 年版數學課本把「8：100＝2﹕25」稱做比例算式，簡稱為「比例式」 (教 育部，1993)。
参、概念詮釋結構模式(CAISM)
概念詮釋結構模式(concept advanced interpretive structural modeling, CAISM)是由 Lin, Hung and Huang (2006)所提出，其分析目的，係就受試者 的測驗資料，提供個人化的概念階層結構訊息。此模式根據概念向量比對 (concept vector matching)和模糊理論(fuzzy theory)等計算方法，並利用 ISM 的階層結構運算法則，以精熟度數值和圖形結構呈現個人化概念階層結構。
肆、S-P 表分析
S-P 表是 Sato 於 1975 年提出。用於分析學生及試題的的作答反應組型 的注意係數，包含學生注意係數 CS(caution index for students)與試題注意係 數 CP(caution index for items)，以及整份測驗的差異係數。這些指標都是用
來協助教師診斷學生表現、測驗品質的有效工具，以作為改進教學、命題與 輔導學生之參考(游森期、余民寧，2006)。
伍、個別晤談
本研究是利用「半結構式晤談」的方式進行個別晤談，根據受測者比與 比例式測驗的作答情況，進一步進行晤談，並透過類似教學晤談法特性的對 話過程，以洞悉受測學生的思考歷程，來釐清受測學生的解題歷程，更能瞭 解學生在比與比例式的概念情況。