第二章 文獻探討
第二節 比例問題的解題類型探討
壹、比例問題的類型
在研究學生解比例問題時，發現比例問題特性大致上可分為兩類，第一 類語意類型，第二類是數字結構，茲分別敘述如下：
一、語意類型
陳竹村、林淑君、陳俊瑜(2002)依語意的不同，將比例問題分成交換問 題、組合問題、母子問題及密度問題。而 Lamon(1993)也曾將比例問題的語 意 類 型 分 為 內 涵 量 的 量 數 (well-chunked measures) 、 部 份 - 部 份 - 全 體 (part-part-whole) 、 聯想 的 集合(associated sets)及 放 大和 縮 小(stretcher and shrinker)四類型，而兩分類方式中有重疊之處，因此，綜合兩者，將比例問 依語意類型可分成以下幾種：
(一)內涵量的量數(密度問題)
外延量(extensive quantity)是指可以直接測量或計算的量，例如長度、時 間、體積、重量等單一特性的量，而由兩個外延量所組成的比例關係，產生
比例概念
比和比值 分數概念
比例尺
放大 (連)比
例式 正比
擴分 通分
約分
縮小 反比
一個新的內涵量，像這類的語意類型，稱為內涵量量數(Lamon, 1993)。例如 密度問題中，密度就是一個內涵量，它是由質量和體積兩個外延量所產生的 比所衍生的出來的比例關係，此外，速率也是一種常見內涵量。對學生而言，
內涵量問題因牽涉到外延量比例關係，一般認定為較困難的。
(二)部份-部份-全體(母子問題)
一個集合是由兩個以上的集合所組成，而部份集合之間有比例關係，這 類的問題稱為部份-部份-全體(Lamon, 1993)。這類型有關全體量和部份量之 間有比例關係，就是母子問題。例如：「1 包饅頭有 8 個，其中有 5 個是芋 頭口味，購買相同的 4 包饅頭，有幾個是芋頭口味的？」這就是母子問題。
(三)聯想的集合(組合問題)
兩個量數並沒有明顯的關聯，透過題目的說明後，才產生的比例關係，
這類型的題目屬於聯想的集合(Lamon, 1993)。例如：「趣味競賽中，每 3 位 男生就需搭配 5 位女生，現在有 9 位男生則需加入多少女生才能參加競賽？」
問題中，3 位男生和 5 位女生原本沒有關聯，但經由題目說明後，兩個量數 才產生比例關係。
(四)放大和縮小
在比例問題中，兩個量數間有固定的比例，當一量數增加，另一個量數 也一比例增加；反之，當一量數減少，另一量數也一比例減少，這類問題稱 為放大和縮小問題(Lamon, 1993)。例如：「甲、乙兩個相似的梯形，甲梯形 的上底是 3 公分，高是 8 公分，則若乙梯形的上底是 9 公分，則其高為多少 公分？」，這類問題就是屬於放大和縮小的問題。
(五)交換問題
兩類物件因某種關係，而具有相同的價值，這類問題就是交換問題(陳 竹村、林淑君、陳俊瑜，2002)。例如：「便利商店中，30 張貼紙可換 1 隻公 仔」，30 張貼紙和 1 隻公仔因題目內說明關係，使得它們具有相同的價值；
另外，像「3 個包子賣 20 元」的陳述，也是屬於包子和錢幣間的交換關係，
一般而言，以物易物的關係都屬於比例問題中的交換問題。
Tourniaire (1987)曾指出，受試者於熟悉的問題情境下解決比例問題，對 於受試者是較有利的，受試者在熟悉的問題情境下，因為較能想像相關的情 境和聯想具備的解題經驗，因此較容易解題成功；Lo and Watanabe (1995)也 指出學生在熟悉的日常生活情境較能發展複雜的比例策略。因此，教師於教 學比例問題的舉例時，能盡量的貼近學生日常的例子，相信對於學生的基本 比例概念的建立會有一定的助益。
二、數字結構
大多數研究比例問題時，其比例問題的數字結構會影響受試者的解題表 現，而 Tourmiaire and Pulous (1985)認為影響比例問題難易度的數字結構有 三個因素：
(一)數字的複雜度
Hart (1988)的研究曾提發現國中小學生在判斷比1:1、2:1和3:1時比其 他比容易，代表數字的大小和複雜程度會影響學生在比例問題上的表現。數 字越大或越複雜，對於學生而言是越困難的。
(二)數字的次序
在比例式的運算中，未知數出現的位置和其他三個數字的關係，會影響 解題的表現，由概念的發展可知道，未知數在後比例項的能力發展於未知數 在前比例項之前，經由驗證更能發現，學生覺得未知數在第三比例項比未知 數在第四比例項的問題要來的困難(楊錦連，1999)。
(三)整數比的呈現
Hart (1981)及 Lo and Watanabe (1997)發現學生較擅長解決整數比的問 題，對於非整數比的問題，則認為較為困難。因此，整數比的呈現會影響學 生解決比例問題的正確率。
貳、比例問題正確的解題策略
學生解題策略的正確與否關係著最終答案的對錯結果，使用正確的策略 解題，則可成功解題；若使用錯誤的策略，則往往導致解題失敗。而本研究 旨在探討國中七年級學生在比與比例式的概念為例，運用 S-P 表與概念詮釋 結構模式進行比與比例式之整合分析，因此對於比例的相關問題之解題策 略，更需進一步分析，綜合國內外研究，比例問題的正確解題策略有五種，
茲分述如下：
一、單價法
先求出「一單位的量」，在依需要加以計算求解，稱為單價法(林福來、
郭汾派、林光賢，1986)。例如：「3 枝鉛筆賣 24 元，請問 9 枝賣多少錢？」
問題中，可以先算出 1 枝鉛筆賣 8 元，再用9(單位數)× 8(單位量)= 72，求出 9 枝鉛筆賣 72 元。上述的解題過程可知，能利用先求出一個單位量來解題，
使得解題的過程變成簡單的乘除運算，而這也是解比例問題的關鍵。
單價法是學生經常使用的策略，如果能教學生利用單價法去解比例問 題，那麼學生在解比和比例相關問題的答對率會相對提升(林福來，1987)。
而楊錦連(1999)的研究結果顯示，單價法為國小高年級學童解比例問題時使 用率最高的策略。
二、倍數法
當學生利用兩個比例式中的前項(後項)之間所具有倍數關係，再將此倍 數擴充到後項(前項)的方式求解，我們稱之為倍數法(莊玉如，2005)。例如：
「出遊旅行時，4 位學生需要發 5 包餅乾，那麼 8 位學生需要發幾包餅乾？」
解法為 8 ÷ 4 = 2(倍)，5(包)× 2(倍)=10(包)。若用比例式來看，4：5 = 8：( )，
因為前項 8 是 4 的 2 倍，可知道( )是 5 的 2 倍為 10。像上述方式的就是運用 倍數法來解題。Lamon (1994)將這種方法稱為內策略(within strategy)，而這 也是學生經常來使用解決比例問題方式之ㄧ(Lamon, 1993, 1994; Lo ＆ Watanbe, 1997)。
三、累加法(repeated addition) (counting up)。而也有研究指出，當題目中出現非整數倍的情況時，就只有 少數學生能使用累加法解整數比的問題(Hart, 1981)，如果學生堅持使用累加 法，則會產生的問題有：(1)逃避乘法； (2)不會求比值；(3)不會做分數的乘 法(林福來，1984)。
四、公式法(formula strategy)
利用比例關係式、比值相等和交叉相乘法解題，稱為公式法，即在比例
師經常教與學生最有效率的方法(楊錦連，1999)，但是 Lamon (1995)提到，
只單純透過交叉相乘的方式去教學生解
實對其意義都不瞭解。Freudenthal (1983)指出學習比和比例的過程必須是探 究式的引導，而非不斷給予運算和自動化的過程。或許也是因為交叉相乘過 於抽象，對於比例初期概念的瞭解並無太大的幫助，教育部在 1993 課程標 準所編訂的教材分析，並不建議將其放入國小內容，而應該延至國中課程中 (陳竹村、林淑君、陳俊瑜，2002)。
五、公因數法、公倍數法
當比例問題中的數字關係非整數倍，且數值間具有公因數，可利用兩數 縮小共同的因數來求解，此為公因數法。例如：「商店中，15 元可以買 40 顆糖，21 元可以買幾顆糖？」中，先找出 15 和 40 的公因數為 5，然後將 15 元分成 5 份，每份為 3 元，接著將 40 顆糖分 5 份，每份 8 顆糖，可知道 3 元可以買 8 顆糖，接著用累加法可求出 21 元可買 56 顆糖。Lo and Watanabe (1997)提到這種解題策略有兩項優點：(1)可避免分數和小數的運算；(2)在解 決比例式中有未知項的問題時，此策略為有效的解題方法。
此外，若在比例問題中，先找出兩個比的前項(或後項)的共同倍數並將 前項(或後項)放大至共同倍數，接著，比較後放大兩個比的後項(或前項)，
進而求解，此為公倍數法(Hoffer, 1992)。例如：「甲、乙商店中，甲商店 25 顆巧克力賣 18 元，乙商店 20 顆巧克力賣 15 元，試問，哪一家比較便宜？」
問題中，先找出 25 和 20 的公倍數 100，接著將 25 和 20 放大至 100，甲商 店 100 顆巧克力賣 72 元，乙商店 100 顆巧克力賣 75 元，可比較出甲商店較 便宜。莊玉如(2005)提到，學生在解非整數倍的比例問題時，如果能利用公 倍數策略求解，則可避免分數或小數的計算。
六、數量分解法(decomposing methed)
解比例問題時，將問題的量數在計算過程中，分解成兩個以上的量數，
在予以組何去求解，稱為數量分解法(劉祥通，2004；Vergnaud, 1983)。例如：
「10 元可以買到 4 顆糖果，15 元能買幾顆糖果？」問題中，先將 15 元分解 成 10 元和 5 元，而 5 元是 10 元的一半，因此 5 元能買到 4 顆糖果的一半 2
顆糖果，所以 15 元分解成 10 元和 5 元，而分別可以買到 4 顆和 2 顆糖果，
所以 15 元可以買到 6 顆糖果。Vergnaud (1983)提及，當學生無法用單價法 解題時，通常會使用數量分解法去解題。
参、比例問題錯誤的解題策略
Tourmiaire and Pulos (1985)提到：比例問題犯錯的原因包括忽略重要的 資訊、加法策略或常數差。其他文獻也提及誤解題意、比例項錯置、加減法 和任意運算也是比例問題中的常見錯誤策略，茲將各情形分述如下：
一、加法策略(常數差策略)
加法策略又稱為常數差策略，就是以加、減代替乘、除求比與比例問題 的ㄧ種解題方法(林福來、郭汾派、林光賢，1986)，在a:bc:x的問題中，
若以xc(ba)的方法求x，這種解法就是加法策略。例如：「4 枝原子筆 和 6 枝尺價錢相同，那麼 6 枝原子筆和幾枝尺價錢相同？」問題中，學生的 錯誤解法會用觀察發現 6-4=2，所以 6+2=8，會回答 8 枝尺。很多研究也一 致發現學生會使用加法策略解決比例問題(林福來、郭汾派、林光賢，1986；
Hart, 1981)。由林福來等(1986)的研究顯示我國約有 16％的國中生一再的使 用加法策略來處理比例問題，而且學生使用加法策略的解題特性為(1)可處理 一半、2 倍、3 倍等簡單倍數的比例問題；(2)不會求比值；(3)不會分數運算；
(4)逃避乘法。Hart (1988)認為學生在解決比例問題時所犯的錯誤不會因為成 熟而消失，他們會使用不正確的加法策略，但是如果老師教導學生解題策略 可能會將學生的錯誤推理修正成正確的想法。
二、忽略重要資訊
忽略重要訊息指的是學生在解題時，將問題中重要的資訊或數據忽視不 顧，以至於解題錯誤(林福來、郭汾派、林光賢，1986)。例如：「買 2 塊麵包 15 元，則買 3 塊麵包要花多少錢？」問題中，學生時常將 15 元當成 1 塊麵 包的錢，所以直接乘以 3，明顯忘記當初 2 塊麵包 15 元的條件。另一種常
見的錯誤類型為只比較兩個比的分子部份而忽略分母部份的資料(Hart, 1981;
見的錯誤類型為只比較兩個比的分子部份而忽略分母部份的資料(Hart, 1981;