七年級學生比與比例式概念探究-植基於S-P表和概念詮釋結構模式之整合分析

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國立臺中教育大學數學教育學系碩士班碩士論文

指導教授：林原宏教授

七年級學生比與比例式概念探究—

植基於 S-P 表和概念詮釋結構模式之整合分析

研究生：賴盈州撰

中華民國一 ○ ○ 年六月

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中文摘要

本研究旨在進行國中七年級學生在比與比例式的概念結構探討。研究者以 28 名國民中學七年級學生為研究對象，研究工具為研究者根據課程綱要之分年細目歸納出 11 個比與比例式的概念屬性，並據以編製測驗工具，並以 Excel、SPSS 和 CAISM 等軟體進行資料彙整與分析。根據受試者的測驗資料，利用認知診斷之測驗分析即時服務系統的 S-P 表分析，以及概念詮釋結構模式，探討個別受試者的概念結構圖。根據 S-P 表的分群，比較群組間與群組內的概念結構差異，研究者亦在各群選取一位受試者進行個別晤談，進一步瞭解各別受試者的概念認知進行驗證。經由研究分析後，茲將研究結果摘述如下：一、運用概念結構圖可進行個別化的概念診斷。二、各群組受試學生在比與比例式的概念各有其特徵。三、總分相同但反應組型不同的受試學生，其概念結構有所不同。四、個別晤談有助於更深層的瞭解學生比與比例式的概念特徵，並與概念結構圖獲得驗證比較。本研究之結果，可提供國中七年級學生有關比與比例式概念的認知相關訊息，有助於教學者瞭解學生在此單元的概念結構，對於認知診斷和補救教學具有參考價值，研究者亦對未來研究和教學實務提出相關建議。關鍵字：比與比例式、知識結構、概念詮釋結構模式、S-P 表

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Abstract

The purpose of this study is to analyze the individualized concept hierarchy stucture of ratio and proportion concepts for the seventh graders in Taiwan by using the method of concept advanced interpretive structure modeling (CAISM). Besides, in order to explore the the characteristics of individualized concept hierarchy stucture of ratio and proportion, the researcher classifies pupils by adopting the S-P chart. Lastly, the researcher select pupils from each group as a sample to explore individualized interview. And further, this research reveal actual ideas of pupils and gives the immediate feedback.

The sample includes 28 seventh graders in Miaoli County area. The tool used in this study is “ratio and proportion concepts test”. The conclusions are as follows:

1. The researcher can diagnose personalized teaching guidance by using the CAISM graph.

2. The pupils’ CAISM graphs have their own characteristics for each group. 3. The pupils of the same total score exhibit different hierarchy stucture due to

distinct response patterns.

4. The individual interviews will conduce to understand the concept of ratio and proportional deeply.

The findings of this study should be helpful for understanding the individualized concept hierarchy structure of ratio and proportion concepts and as matters for teaching and as reference for remedial instruction. Some recommendations and suggestions for further research were also provided.

Key words: ratio and proportion, concept structure, concept advanced

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附錄一 A 群受試學生概念結構圖……….106 A 群受試學生概念結構圖(續)…..………107 附錄二 B 群受試學生概念結構圖……….…108 A 群受試學生概念結構圖(續)…..………109 附錄三預試施測施題……….110 附錄四正式施測試題……….112

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表目錄

表 2-2-1 Quintero 比的概念層次……....………..……19 表 2-3-1 模糊理論和機率理論之比較..………..…21 表 2-4-1 R(A_k)、M(A_k)和R(A_k)M(A_k)矩陣表示……….……..27 表 2-5-1 學生原始得分表…….………...35 表 2-5-2 學生總分高到低排序表………….………...…36 表 2-5-3 試題答對人次高到低排序表……..………...……….…37 表 2-5-4 完成 S 曲線和 P 曲線的 S-P 表………..…..…...38 表 3-2-1 班級代號和預試樣本人數…….………..……..…...….46 表 3-3-1 11 個概念屬性代號及內容對照表………..…..…47 表 3-3-2 施測試題與其 11 個概念屬性代號對照表………..48 表 3-3-3 預試 Cronbach 信度分析表…………...………….……49 表 3-3-4 專家諮詢名單……….………..……..……...50 表 3-3-5 預試試題鑑別度分析…….………..…..…...51 表 3-3-6 正式施測試題與概念屬性對照表…………..……...…52 表 3-3-7 學生學習類型晤談人數表一覽表…………..…..………53 表 3-3-8 半結構性晤談大綱表………..………….……...…..54 表 4-1-1 比與比例式測驗各題之答對率………..……..……58 表 4-1-2 答對率在.50 以下的試題與概念屬性…….………...59 表 4-1-3 S-P 表分析各組人數比例……….…...…...61 表 4-1-4 學生總分排序表………..……...62 表 4-1-5 S-P 表分析各類型題目和比例………....………...63 表 4-1-6 試題品質分析表……...………....……..………...…63 表 4-1-7 各群概念屬性精熟度……….….…………...……..….…64

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表 4-2-1 各群組選取受試者之答題情況………...…....66 表 4-3-1 高分組、中分組及低分組受試學生……….…..76 表 4-3-2 答對題數相同但反應組型不同的受試學生答題情況…77 表 4-4-1 S18 概念結構圖與晤談分析表………...84 表 4-4-1 S18 概念結構圖與晤談分析表(續)..………...85 表 4-4-2 S14 概念結構圖與晤談分析表……….……...86 表 4-4-2 S14 概念結構圖與晤談分析表(續)..………...87 表 4-4-3 S7 概念結構圖與晤談分析表……….….…...87 表 4-4-3 S7 概念結構圖與晤談分析表(續 1)..………..….88 表 4-4-3 S7 概念結構圖與晤談分析表(續 2)..………...89 表 4-4-4 S25 概念結構圖與晤談分析表……….….…...90 表 4-4-4 S25 概念結構圖與晤談分析表(續)..……….…...91 表 4-4-5 S5 晤談分析表………..…….……...92

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圖目錄

圖 2-1-1 比例推理的概念發展結構圖………..9 圖 2-1-2 比例概念結構圖………..…………..10 圖 2-4-1 ISM 繪製圖……..………...28 圖 2-4-2 ISM 圖簡化舉例………..….………..32 圖 2-5-1 學生類型診斷分析圖…………...……….…………41 圖 2-5-2 試題類型診斷分析圖………...………….…………42 圖 3-1-1 研究架構圖………...………..………...45 圖 4-1-1 S-P 曲線圖………..60 圖 4-2-1 受試學生 S20、S10 之概念結構圖(A 群)…………...…67 圖 4-2-2 受試學生 S9 之概念結構圖(A’群)……...………...…….69 圖 4-2-3 受試學生 S1、S17 之概念結構圖(B 群)...…………...71 圖 4-2-4 受試學生 S25 之概念結構圖(B’群)…………...………..72 圖 4-2-5 受試學生 S5 之概念結構圖(C’組)….…..…...………….73 圖 4-3-1 受試學生 S12、S14 概念結構圖(高分組)………...78 圖 4-3-2 受試學生 S18、S27 概念結構圖(中分組)……….……..80 圖 4-3-3 受試學生 S1、S11 概念結構圖(低分組)……….82

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第一章緒論

本研究應用概念詮釋結構模式(concept advanced interpretive structural modeling, CAISM)分析七年級學生的比與比例式測驗資料，並以數值和圖形結構呈現個別化的概念階層結構訊息。此外，將受試者測驗表現以 S-P 表 (student-problem chart)分群並觀察其各群組的資料差異情形。最後，對各組挑選受測者進行個別晤談，以瞭解受試者在比與比例式認知情形。本章主要說明本研究的研究動機、研究目的，並針對本研究所提及知相關名詞加以定義、解釋。

第一節研究動機

我國著名的數學經典「九章算術」之中，第二章栗米中的今有術，具備完整的比例算法。美國數學教師學會 (National Council of Teachers of

Mathematics, NCTM)在 1989 年「學校數學課程與評鑑標準」中關於數量的說明，清楚地提到「比」的概念需要經由日常生活中漸進式討論而得。而日常生活中，也可從新聞媒體中發現許多比例相關的數學用語，例如「公私立高中學費比為 1：4.4」、「中學生上網成癮的比例高於成年人」、「去年外籍新娘不到過去比例的三分之ㄧ」等。孫霞繡、許桂敏(1990)調查國民的數學基本素養，從國內的報章雜誌中出現的數學知識做調查，發現比例出現次數排名第七名。綜上所述，比例概念和日常生活息息相關，更可見學習的重要性，這也是九年一貫數學領域課程，其強調能將數學和學生生活經驗相結合的部份，學習帶著走的能力。「比與比例式」這個單元在小學六年級已學過，但是我們發現由於學生在小學所學的觀念仍不完整，因此在國中階段必須再作銜接加強及補救。而這個單元，不管是在九年一貫課程暫行綱要或正式綱要中，都是屬於七年級的教材，更能顯示出該單元是國中課程中，必備且重要的知識之一。在中學

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數學課程裡，比及比例是重要的單元，對於往後數學的學習有關鍵性的影響。事實上許多學者(Lamon, 1994；Lesh, Post, ＆ Behr, 1988)也指出比例概念的建立是學習高等數學的重要基石。缺乏對於比例概念的理解，不僅造成數學概念基礎的不穩固，也關係到高等數學的學習。從不少報章媒體中得知，「學數學」本來就是很多現代人共同的惡夢，現今政策變動帶來的不確定感，以及透過媒體放大人們內心的升學焦慮，更讓許多家長和學童對現在的數學教育感到茫然，身為教育現場的第一線工作者，當然想進一步了解其中的問題，而眾多問題之中，第一步，就是主動了解學生學習知識後的概念結構。概念結構的分析不但能評量出學生學習概念的認知情況，也能提供教師後續補救教學相關訊息，因此，學生的概念結構分析也慢慢受到後人重視。概念結構分析的方法很多，且各有其特色和限制(林原宏，1996)。常見的有概念構圖(concept mapping)、試題關聯結構(item relational structure, IRS)、次序理論(ordering theory, OT)、詮釋結構模式(interpretive structural model, ISM)、概念詮釋結構模式(concept advanced interpretive structural modeling, CAISM)和徑路搜尋(pathfinder)等。其中概念詮釋結構模式(concept advanced interpretive structural modeling, CAISM)是一個有效的分析法(Lin, Hung ＆ Huang, 2006)，其不同於 ISM 分析法中的元素只限於二元關係，而且受限於只能分析全體樣本的結構圖，讓運用上受到限制。CAISM 擴展自原有的詮釋結構模式(interpretive structural modeling, ISM)，又根據模糊理論(fuzzy theory)，擴展 ISM 模式並用以數值和圖形結構呈現個人化概念階層結構 (individualized concept hierarchy structure)關係，而且元素之間不受到二元關係所限制。而本研究利用 CAISM 分析方法，去探究受測學生的概念結構圖形，以便於後續的補救教學等措施。

在教學的過程中，教師若能利用學生的學習結果予以分群，將有利於教師進行補救教學或個別晤談等相關措施。此外，分群過程中，除了對學生

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分群外，如果還能進一步對測驗試題也能有優劣的判斷，這樣對於一般教師的命題修正上，更是提供有效的資料。而分群的模式也不少，其中 S-P 表的分群對一般教師運用最為普遍，此方法可藉由簡單的係數判讀出試題的良莠情形與每位學生的學習狀況，對於教師和家長無論在診斷上的應用或結果上的解釋，都能很清楚地運用並瞭解其結果，對於認知能力診斷上更是產生重大的意義。S-P 表在國內外也有不少研究加以應用(游森期、余明寧，2006；胡明森、陳美智，2002；Dinero & Blixt, 1988)，也發現 S-P 表具有學習診斷的功能，可作為補救教學之依據，亦可知道此為一有效的分群方法。基於上述，本研究應用林原宏(2005)所發展的概念詮釋結構模式，進行國中七年級學生比與比例式的概念階層的探討，並根據受試者的概念結構圖，結合 S-P 表分群結果比較不同群受試者概念結構圖之差異，並進一步進行晤談，以期做為日後教學診斷和補救教學之參考。

第二節研究目的

本研究採用自編的「比與比例式測驗」來探討國中七年級學生概念表現，利用 CAISM 分析個人化的概念結構關係圖，並採用 S-P 表將全體受試者分群，並分析各群間受試者的概念結構特色，最後進行個別晤談去探究其概念結構的差異。本研究的之研究目的如下所列：一、根據「比與比例式測驗資料」對學生進行描述性分析。二、利用 S-P 表分群與 CAISM，探討各群組在比與比例式之概念結構圖的特徵和關聯性。三、探討總分相同，但反應組型不同的學生，觀察其概念結構圖上的異同。四、透過個別晤談瞭解學生在比與比例式發展的概況。

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第三節名詞解釋

此節針對本研究所涉及的特定名詞說明及定義如下：

壹、七年級學生

本研究之國中七年級學生，係指接受九年一貫正式課程綱要，於九十九學年度就讀國中七年級學生。

貳、比與比例式

本研究指的比具有兩種含意，一是指兩數之間的ㄧ種相對關係(Quintero, 1987)；另一種是隱含相對大小的對比性指標(Lamon, 1995)。而具有對等關係的比或比值所構成的關係式，(劉祥通、周立勳，1999)稱之為「比例關係」。 82 年版數學課本把「8：100＝2﹕25」稱做比例算式，簡稱為「比例式」 (教育部，1993)。

参、概念詮釋結構模式(CAISM)

概念詮釋結構模式(concept advanced interpretive structural modeling, CAISM)是由 Lin, Hung and Huang (2006)所提出，其分析目的，係就受試者的測驗資料，提供個人化的概念階層結構訊息。此模式根據概念向量比對 (concept vector matching)和模糊理論(fuzzy theory)等計算方法，並利用 ISM 的階層結構運算法則，以精熟度數值和圖形結構呈現個人化概念階層結構。

肆、S-P 表分析

S-P 表是 Sato 於 1975 年提出。用於分析學生及試題的的作答反應組型 的注意係數，包含學生注意係數 CS(caution index for students)與試題注意係 數 CP(caution index for items)，以及整份測驗的差異係數。這些指標都是用

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來協助教師診斷學生表現、測驗品質的有效工具，以作為改進教學、命題與輔導學生之參考(游森期、余民寧，2006)。

伍、個別晤談

本研究是利用「半結構式晤談」的方式進行個別晤談，根據受測者比與比例式測驗的作答情況，進一步進行晤談，並透過類似教學晤談法特性的對話過程，以洞悉受測學生的思考歷程，來釐清受測學生的解題歷程，更能瞭解學生在比與比例式的概念情況。

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第二章文獻探討

本章係依據本研究所涉及之相關理論進行探討，共分為五節。第一節為比與比例式的意義；第二節為比例問題的解題探討；第三節為模糊理論；第四節為概念詮釋結構模式；第五節為 S-P 表分析理論與相關研究。有關各節之內容分述如下：

第一節比與比例式的意義

壹、比、比值與比例式的意義

比(ratio)是存在於日常生活現象中的數學概念，是用於描述並置的兩對應關係量，例如「小明拿了 3 部玩具車，去跳蚤市場換了 5 個布偶」可以記為「3：5」(教育部，1993)。進一步說，比具有兩種含意，一是指兩個數量之間的一種相對的關係 (Quintero, 1987)，是一種建立在兩個變項之間的關係；其次，比也是隱含相對大小(relative magnitude)的一種對比性指標 (comparative index) (Lamon, 1995)，當我們用倍數、相當於、相對變化的語言描述兩個量之間的相對關係時，便是隱含了比的相對性概念(鄭英豪， 1990)，例如，「姐姐的零用錢是妹妹的 2 倍，則姐姐和妹妹的零用錢比是 2： 1」、「一顆蘋果的價格相當於一個水梨的三分之ㄧ，則一顆蘋果和一個水梨的價錢比是 1：3」。Lamon (1995)和鄭英豪(1990)皆認為「相對」是比概念中最重要的成份，因此相對的概念對於學習比有密切的關聯性。而a：b中將前項a除以不為 0 的b，所得的值稱為「比值」。而「比例」(proportion)的定義，文獻上傾向於「兩個比(或比值)成等價關係」(周筱亭、黃敏晃，2002)，此等價關係有兩種意義，一種是表示兩個比之間的等值，例如 9 3 3 1  ，或如 ΔABC、ΔCDE 兩個相似三角形之間高的比等於底邊的比，在這種情況下，我們可以說這兩個三角形成比例。另一種意

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義是表示部分對全體的關係，例如， b a 中的b表示全體的量，a則表示其中的一部分量，舉例來說，班上有 31 個學生，其中男生有 15 人，那麼我們可以說男生在班上人數的比例是 31 15 ，它是表示男生對全體人數的比例。而具有對等關係的比或比值所構成的關係式，稱之為「比例關係」(劉祥通、周立勳，1999)。82 年版數學課本把「8：100＝2﹕25」稱做比例算式，簡稱為「比例式」(教育部，1993)。而九年一貫國中數學領域的能力指標也納入兩個直接相關之能力指標，其一為 N-3-05 能理解比、比例、比值與正、反比的意義，並解決生活中的問題；其二為 N-3-07 能熟練比例式的基本運算。因此，周筱亭、黃敏晃(2002)認為比與比值這方面的教材是幾次課程修訂後，大家一致認為重要的。

貳、構成比和比例的數學要素

比和比例概念的數學要素由 Lamon (1995)提出，比和比例的概念含三個數學要素，分別就下列各點說明：

一、相對與絕對的改變(relative and absolute change)

比是代表任意兩個數值的對等關係，相對的概念是正是比的概念中最重要的成份，下面用個例子來說明：「有甲、乙兩校，甲校有學生 400 人，乙校有學生 500 人，三年後，甲校學生變成 500 人，乙校學生變成 600 人，請問，這兩校在這三年來的成長量相同嗎？」就「絕對改變」的角度來看，這兩校學生人數成長量相同，因為 500-400=600-500，都成長了 100 人，但是就「相對改變」的角度來說，兩校學生成長量應當相對於原來學生人數，甲校的成長量是原來的 4 1 ，而乙校的成長量是原來人數的1，所以甲校成長量較乙校多。

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從上述的例子可得知，學生進行比例推理問題時，應該要先判斷出要用絕對或是相對的立場來思索問題，對於學生而言，要移去他們使用熟悉的加法思考並產生相對性思考是需要一段時間去磨合，也因此教師需多呈現不同情境的問題，讓學生去做絕對或相對的選擇，或許能幫助學生盡快採用相對性思考比例問題。二、比感(ratio sense) Lamon (1995)所謂比感，就是對比的覺知，即學生能夠區辨在哪些情況下適合使用比的概念，也就是知道哪些是比概念的實例(example)或非實例 (non-example)。實例指得是含比例關係的任意兩量，反之則為非實例。舉例來說，一包餅乾 20 元，兩包餅乾 40 元，類似這樣的比例問題，必須知道比概念的實例，而依循此關係，可以往後延伸。但是若是 100 公分的人重 20 公斤，所以 200 公分的人重 40 公斤，上述就是非實例的問題。由此可知，比感是一種知道比例情境與數學關係的一種直覺。

三、共變性與不變性(covariance and invariance)

Lamon (1995)指出，若現有一比的關係式為 A：B＝C：D，這兩個比的比值是一樣的，這是不變性。而 C(或 D)會隨著 A(或 B)改變而改變，這就是共變性。舉例來說，有一材質相同的木棍，取 200 公分，就重 2 公斤，那麼取 300 公分，會重幾公斤，其中這兩小段木棍的長度(公分)與重量(公斤)比都是 100：1，比值為 100，這就是比概念的不變性，而 200 公分木棍的重量會隨著 300 公分木棍的重量而變，這是比概念的共變性。

参、比和比例的概念發展結構

比例概念的發展乃是兒童進入形式運思期(11 歲以上)，的指標(Piaget, 1958)，根據 Piaget 的論點，認為兒童在進入形式運思期後才具真正比例的概念，因此，比例概念對於認知發展階段，是具有由具體運思期進入形式運

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思期的特殊意義。比的概念可以視為比例概念的基礎概念，但是要將比例概念發展成熟，除了對比的概念瞭解透徹外，尚需要對於其他相關概念也要有一定的瞭解，在發展比和比例的基模時，相關的數學知識包括有下列各項： (1)數的結構，例如：倍數和除數。 (2)乘法和除法的基礎概念和變化。 (3)質的推理，例如：判斷比值大小的變化。 (4)變通性的單位化概念。 (5)有理數的概念。 Lamon(1995)主張單位化(unitizing)概念的理解對學習比和比例式有密切關係，因此，Lamon 提出一個比例推理的概念發展結構圖，如圖 2-1-1 所示：圖 2-1-1 比例推理的概念發展結構圖(Lamon, 1995) 以我國目前現行的國中小數學教材為例，比例概念的發展結構，可以如圖 2-1-2 所示，而其中比例概念中的比例尺和分數概念所延伸的子概念有放大、縮小及約分、通分和擴分為國小數學教科書的內容，而比和比值的基礎比例推理 (proportional reasoning) 比的適當性 (ratio appropriateness) 共變性和不變性 (covariance and invariance) 絕對和相對的思考

(absoulute and relative thinking) 單位化 (unitizing) 分割 (partitioning) 關係 (relationships)

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反比為目前國中七年級的數學教科書內容，而這三個子概念不但需要國小所學的比例知識外，還牽涉到較多的代數運算，對於學生的學習上較為艱難。圖 2-1-2 比例概念結構圖(改編至國立編譯館，1986)

第二節比例問題的解題類型探討

壹、比例問題的類型

在研究學生解比例問題時，發現比例問題特性大致上可分為兩類，第一類語意類型，第二類是數字結構，茲分別敘述如下：一、語意類型陳竹村、林淑君、陳俊瑜(2002)依語意的不同，將比例問題分成交換問題、組合問題、母子問題及密度問題。而 Lamon(1993)也曾將比例問題的語意類型分為內涵量的量數 (well-chunked measures) 、部份 - 部份 - 全體 (part-part-whole) 、聯想的集合(associated sets)及放大和縮小(stretcher and shrinker)四類型，而兩分類方式中有重疊之處，因此，綜合兩者，將比例問依語意類型可分成以下幾種： (一)內涵量的量數(密度問題) 外延量(extensive quantity)是指可以直接測量或計算的量，例如長度、時間、體積、重量等單一特性的量，而由兩個外延量所組成的比例關係，產生比例概念比和比值分數概念比例尺放大 (連)比例式正比擴分通分約分縮小反比

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一個新的內涵量，像這類的語意類型，稱為內涵量量數(Lamon, 1993)。例如密度問題中，密度就是一個內涵量，它是由質量和體積兩個外延量所產生的比所衍生的出來的比例關係，此外，速率也是一種常見內涵量。對學生而言，內涵量問題因牽涉到外延量比例關係，一般認定為較困難的。 (二)部份-部份-全體(母子問題) 一個集合是由兩個以上的集合所組成，而部份集合之間有比例關係，這類的問題稱為部份-部份-全體(Lamon, 1993)。這類型有關全體量和部份量之間有比例關係，就是母子問題。例如：「1 包饅頭有 8 個，其中有 5 個是芋頭口味，購買相同的 4 包饅頭，有幾個是芋頭口味的？」這就是母子問題。 (三)聯想的集合(組合問題) 兩個量數並沒有明顯的關聯，透過題目的說明後，才產生的比例關係，這類型的題目屬於聯想的集合(Lamon, 1993)。例如：「趣味競賽中，每 3 位男生就需搭配 5 位女生，現在有 9 位男生則需加入多少女生才能參加競賽？」問題中，3 位男生和 5 位女生原本沒有關聯，但經由題目說明後，兩個量數才產生比例關係。 (四)放大和縮小在比例問題中，兩個量數間有固定的比例，當一量數增加，另一個量數也一比例增加；反之，當一量數減少，另一量數也一比例減少，這類問題稱為放大和縮小問題(Lamon, 1993)。例如：「甲、乙兩個相似的梯形，甲梯形的上底是 3 公分，高是 8 公分，則若乙梯形的上底是 9 公分，則其高為多少公分？」，這類問題就是屬於放大和縮小的問題。 (五)交換問題兩類物件因某種關係，而具有相同的價值，這類問題就是交換問題(陳竹村、林淑君、陳俊瑜，2002)。例如：「便利商店中，30 張貼紙可換 1 隻公仔」，30 張貼紙和 1 隻公仔因題目內說明關係，使得它們具有相同的價值；另外，像「3 個包子賣 20 元」的陳述，也是屬於包子和錢幣間的交換關係，

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一般而言，以物易物的關係都屬於比例問題中的交換問題。

Tourniaire (1987)曾指出，受試者於熟悉的問題情境下解決比例問題，對於受試者是較有利的，受試者在熟悉的問題情境下，因為較能想像相關的情境和聯想具備的解題經驗，因此較容易解題成功；Lo and Watanabe (1995)也指出學生在熟悉的日常生活情境較能發展複雜的比例策略。因此，教師於教學比例問題的舉例時，能盡量的貼近學生日常的例子，相信對於學生的基本比例概念的建立會有一定的助益。

二、數字結構

大多數研究比例問題時，其比例問題的數字結構會影響受試者的解題表現，而 Tourmiaire and Pulous (1985)認為影響比例問題難易度的數字結構有三個因素： (一)數字的複雜度 Hart (1988)的研究曾提發現國中小學生在判斷比1:1、2:1和3:1時比其他比容易，代表數字的大小和複雜程度會影響學生在比例問題上的表現。數字越大或越複雜，對於學生而言是越困難的。 (二)數字的次序在比例式的運算中，未知數出現的位置和其他三個數字的關係，會影響解題的表現，由概念的發展可知道，未知數在後比例項的能力發展於未知數在前比例項之前，經由驗證更能發現，學生覺得未知數在第三比例項比未知數在第四比例項的問題要來的困難(楊錦連，1999)。 (三)整數比的呈現

Hart (1981)及 Lo and Watanabe (1997)發現學生較擅長解決整數比的問題，對於非整數比的問題，則認為較為困難。因此，整數比的呈現會影響學生解決比例問題的正確率。

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貳、比例問題正確的解題策略

學生解題策略的正確與否關係著最終答案的對錯結果，使用正確的策略解題，則可成功解題；若使用錯誤的策略，則往往導致解題失敗。而本研究旨在探討國中七年級學生在比與比例式的概念為例，運用 S-P 表與概念詮釋結構模式進行比與比例式之整合分析，因此對於比例的相關問題之解題策略，更需進一步分析，綜合國內外研究，比例問題的正確解題策略有五種，茲分述如下：一、單價法先求出「一單位的量」，在依需要加以計算求解，稱為單價法(林福來、郭汾派、林光賢，1986)。例如：「3 枝鉛筆賣 24 元，請問 9 枝賣多少錢？」問題中，可以先算出 1 枝鉛筆賣 8 元，再用9(單位數)× 8(單位量)= 72，求出 9 枝鉛筆賣 72 元。上述的解題過程可知，能利用先求出一個單位量來解題，使得解題的過程變成簡單的乘除運算，而這也是解比例問題的關鍵。單價法是學生經常使用的策略，如果能教學生利用單價法去解比例問題，那麼學生在解比和比例相關問題的答對率會相對提升(林福來，1987)。而楊錦連(1999)的研究結果顯示，單價法為國小高年級學童解比例問題時使用率最高的策略。二、倍數法當學生利用兩個比例式中的前項(後項)之間所具有倍數關係，再將此倍數擴充到後項(前項)的方式求解，我們稱之為倍數法(莊玉如，2005)。例如：「出遊旅行時，4 位學生需要發 5 包餅乾，那麼 8 位學生需要發幾包餅乾？」解法為 8 ÷ 4 = 2(倍)，5(包)× 2(倍)=10(包)。若用比例式來看，4：5 = 8：( )，因為前項 8 是 4 的 2 倍，可知道( )是 5 的 2 倍為 10。像上述方式的就是運用倍數法來解題。Lamon (1994)將這種方法稱為內策略(within strategy)，而這也是學生經常來使用解決比例問題方式之ㄧ(Lamon, 1993, 1994; Lo ＆

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三、累加法(repeated addition) 解比例問題時，在「a:bc:d」的比例式中，先建立第一個比a :b的關係，再藉由加法(或減法)，把第一個比的關係擴充到第二個比的關係，也就是擴充到c :d的關係，這種連續相加的策略稱為累加法(劉祥通，2004)。例如：「超級市場特賣會中，3 個包子 20 元，請問買 9 個包子要花多少錢？」問題中，知道 3 個包子要 20 元，依序累加算出 6 個包子要 40 元，9 個包子要 60 元。而 Kenney, Lindquist and Heffernan (2002)稱該方法為往上數策略 (counting up)。而也有研究指出，當題目中出現非整數倍的情況時，就只有少數學生能使用累加法解整數比的問題(Hart, 1981)，如果學生堅持使用累加法，則會產生的問題有：(1)逃避乘法； (2)不會求比值；(3)不會做分數的乘法(林福來，1984)。四、公式法(formula strategy) 利用比例關係式、比值相等和交叉相乘法解題，稱為公式法，即在比例式「a:bc:x」中，內項乘積等於外項乘積可得bc ax，可求出 a bc x  ；或是利用比值相等 x c b a  ，再以交叉相乘法求出bc ax，進而得到 a bc x  。例如：「文具特賣會中，3 個橡皮擦要 20 元，請問買 9 個橡皮擦要花多少錢？」中，先假設買 9 個橡皮擦要花x元，進而列出比例式3:209:x，再利用內項乘積等於外項乘積得到3 x209，進而求出x60；或利用比值相等 x 9 20 3  ，再利用交叉相乘法求出3 x209，進而求出x60。公式法式教師經常教與學生最有效率的方法(楊錦連，1999)，但是 Lamon (1995)提到，只單純透過交叉相乘的方式去教學生解 d c b a  的比例問題，並不能幫助學生在比例推理上的能力，因為學生只是形式上的操作而已，非瞭解其根本意涵，對於比例的概念理解上並沒有實質幫助。因此，學生即使學會了公式法，但往往只記得內項乘積等於外項乘積的公式，對於解題雖然很有幫助，但其

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實對其意義都不瞭解。Freudenthal (1983)指出學習比和比例的過程必須是探究式的引導，而非不斷給予運算和自動化的過程。或許也是因為交叉相乘過於抽象，對於比例初期概念的瞭解並無太大的幫助，教育部在 1993 課程標準所編訂的教材分析，並不建議將其放入國小內容，而應該延至國中課程中 (陳竹村、林淑君、陳俊瑜，2002)。五、公因數法、公倍數法當比例問題中的數字關係非整數倍，且數值間具有公因數，可利用兩數縮小共同的因數來求解，此為公因數法。例如：「商店中，15 元可以買 40 顆糖，21 元可以買幾顆糖？」中，先找出 15 和 40 的公因數為 5，然後將 15 元分成 5 份，每份為 3 元，接著將 40 顆糖分 5 份，每份 8 顆糖，可知道 3 元可以買 8 顆糖，接著用累加法可求出 21 元可買 56 顆糖。Lo and Watanabe (1997)提到這種解題策略有兩項優點：(1)可避免分數和小數的運算；(2)在解決比例式中有未知項的問題時，此策略為有效的解題方法。此外，若在比例問題中，先找出兩個比的前項(或後項)的共同倍數並將前項(或後項)放大至共同倍數，接著，比較後放大兩個比的後項(或前項)，進而求解，此為公倍數法(Hoffer, 1992)。例如：「甲、乙商店中，甲商店 25 顆巧克力賣 18 元，乙商店 20 顆巧克力賣 15 元，試問，哪一家比較便宜？」問題中，先找出 25 和 20 的公倍數 100，接著將 25 和 20 放大至 100，甲商店 100 顆巧克力賣 72 元，乙商店 100 顆巧克力賣 75 元，可比較出甲商店較便宜。莊玉如(2005)提到，學生在解非整數倍的比例問題時，如果能利用公倍數策略求解，則可避免分數或小數的計算。六、數量分解法(decomposing methed) 解比例問題時，將問題的量數在計算過程中，分解成兩個以上的量數，在予以組何去求解，稱為數量分解法(劉祥通，2004；Vergnaud, 1983)。例如：「10 元可以買到 4 顆糖果，15 元能買幾顆糖果？」問題中，先將 15 元分解成 10 元和 5 元，而 5 元是 10 元的一半，因此 5 元能買到 4 顆糖果的一半 2

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顆糖果，所以 15 元分解成 10 元和 5 元，而分別可以買到 4 顆和 2 顆糖果，所以 15 元可以買到 6 顆糖果。Vergnaud (1983)提及，當學生無法用單價法解題時，通常會使用數量分解法去解題。

参、比例問題錯誤的解題策略

Tourmiaire and Pulos (1985)提到：比例問題犯錯的原因包括忽略重要的資訊、加法策略或常數差。其他文獻也提及誤解題意、比例項錯置、加減法和任意運算也是比例問題中的常見錯誤策略，茲將各情形分述如下：一、加法策略(常數差策略) 加法策略又稱為常數差策略，就是以加、減代替乘、除求比與比例問題的ㄧ種解題方法(林福來、郭汾派、林光賢，1986)，在a:bc:x的問題中，若以xc(ba)的方法求x，這種解法就是加法策略。例如：「4 枝原子筆和 6 枝尺價錢相同，那麼 6 枝原子筆和幾枝尺價錢相同？」問題中，學生的錯誤解法會用觀察發現 6-4=2，所以 6+2=8，會回答 8 枝尺。很多研究也一致發現學生會使用加法策略解決比例問題(林福來、郭汾派、林光賢，1986； Hart, 1981)。由林福來等(1986)的研究顯示我國約有 16％的國中生一再的使用加法策略來處理比例問題，而且學生使用加法策略的解題特性為(1)可處理一半、2 倍、3 倍等簡單倍數的比例問題；(2)不會求比值；(3)不會分數運算； (4)逃避乘法。Hart (1988)認為學生在解決比例問題時所犯的錯誤不會因為成熟而消失，他們會使用不正確的加法策略，但是如果老師教導學生解題策略可能會將學生的錯誤推理修正成正確的想法。二、忽略重要資訊忽略重要訊息指的是學生在解題時，將問題中重要的資訊或數據忽視不顧，以至於解題錯誤(林福來、郭汾派、林光賢，1986)。例如：「買 2 塊麵包 15 元，則買 3 塊麵包要花多少錢？」問題中，學生時常將 15 元當成 1 塊麵包的錢，所以直接乘以 3，明顯忘記當初 2 塊麵包 15 元的條件。另一種常

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見的錯誤類型為只比較兩個比的分子部份而忽略分母部份的資料(Hart, 1981; Noelting, 1980)。例如 G. Noelting 的橘子汁問題研究中，題目提到「甲果汁是一杯橘子汁加兩杯水調製，乙果汁是 2 杯橘子汁加 5 杯水調製，試問，哪一杯較甜？」，學生常認為乙杯橘子汁較多杯，所以乙杯較甜，這也是忽略比較分母的情況，單純用分子來比較大小的錯誤解題方式。三、誤解題意將題目中的文字、數字誤解為另一類的文字或數字(Tourniaire ＆ Pulos, 1985)。例如：「某班級園遊會，決定自己調製果汁販賣，一開始他們用 4 公升的葡萄汁加 8 公升的水，後來賣光後，而且現在只剩 2 公升的葡萄汁，請問還要多少公升的水才能要調出一樣比例的果汁？」，這類型的題目，學生常將相同比例誤解成相同容量，而一開始功共調製了 12 公升的果汁，但後來葡萄汁剩 2 公升，因此他們會誤認為還需要 10 公升的水，才能調製出相同的果汁。四、比例項錯置原來的比例式應為a:bc:x，卻將未知數的位置錯放，變成a:bx:c或 b x c a:  : ，因此得到錯誤的答案(林福來，1984)。魏金財(1987)將此方式稱為比值錯置型。例如：「8 間房間能裝 2 台電腦，請問 12 間房間能裝多少台電腦」，此問題學生若將比例項錯置會以為，4 間房間裝 1 台電腦，12 間誤以為能裝 12×4=48 台，這就是比例項錯置的犯錯類型。有些學生容易習慣除法時用大數除小數的方式運算，而這樣未釐清數量的關係間的基準點，便容易犯了比例項錯置的錯誤(郭文金、謝哲仁，2004)。五、加減法錯誤類型中的加減法即不按比例增、減，而是隨意加一點或減一點來當做比例問題中的未知數(林福來、郭汾派、林光賢，1986)。例如：「將一塊重 5 公斤的鐵球丟入裝滿水的游泳池中，會溢出 2 公升的水，若將另一塊重 8 公斤的鐵球，一樣丟入裝滿水的游泳池中，試問會溢出多少公升的水？」，

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學生錯誤的解法會認為 8 公斤的鐵球比 5 公斤多了 3 公斤，所以溢出水量也會多一點，就自行多加一些，不一定符合題意和比例原則。六、任意運算所謂的任意運算就是無視於給定的證據，將題目中的數字隨意的加減乘除運算，沒有解題策略可言(何意中，1988)。例如：「商店中，15 元可以買 40 顆糖，21 元可以買幾顆糖？」中，若學生的解題過程為 15+40+21=76 顆糖之類的運算，毫無任何規則可言，只是將題目中出現的數字認意的運算，就是屬於這一類的錯誤類型。何意中(1988)於研究中也發現到，學生錯誤類型中，忽略重要的資訊、加法策略和任意運算這三類，會隨著年齡增加而遞減，代表這三類型的錯誤，會隨著概念的成熟而減少發生錯誤的機會。綜觀上面的錯誤類型可發現，很多錯誤都是因為學生粗心大意或是缺少基本的比例概念所致，也因此在教學上，教師若能加強這些部份的觀念，相信學生犯錯的情況能大為改善。

肆、比例概念的層次分類

Notelting 將比例推理分成三個層次，分述如下(何意中，1988)：（1）第一層次：前運思期，二到七歲左右的受試者只能比較兩個項。（2）第二層次：具體運思期，七到十一歲的受試者能夠用有序數對的共變來解決整數比的問題。（3）第三層次：形式運思期，十一歲以上的受試者能夠任意解決比值的比例問題。 Quintero(1987)曾經讓九歲和十三歲兩組兒童判斷不同數量的黑糖和白糖混合時的顏色深淺，以進一步研究兒童在處理不同比的相關問題時，其分成四個層次，各層次表現的情形，結果分述如表 2-2-1 所示：

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表 2-2-1 Quintero 比的概念層次層次層次一層次二層次三層次四兒童概念兒童只注意到比中的ㄧ個單獨元素，沒有發現兩個量的關係。兒童知道一個比的和兩個變數有關，但將它們視為加法關係。兒童能夠處理整數倍的比例問題。兒童能夠處理非整數倍的問題。表現結果九歲組的兒童認為 6 匙白糖和 8 匙黑糖混合會比 4 匙白糖和 6 匙黑糖混合顏色更淡，因為 6 匙大於 4 匙，沒有考慮到黑糖匙數。要求兒童比較兩個比值 1 3 和 3 5 時，兒童認為這兩個比值式相等的，因為 3-1=5-3。每 3 匙黑糖中混合 9 匙白糖和每 2 匙黑糖中混合 8 匙白糖，兒童知道第二種混合白糖比例較高，所以顏色比較淡。每 2 匙黑糖中混合 5 匙白糖和每 3 匙黑糖中混合 8 匙白糖，兒童能判斷出第二種混合白糖的比例較高，所以顏色較淡。錯誤原因沒有注意到兩個變數之間的關係。使用加法規則而未用乘法規則。無法將整數比化成每一個單位比兒童在比中出現分數或小數時的概念關係不瞭解，將其視為不相關的數建議事項因為學校很少正式教到一個變數是依賴另一個變數改變的想法。用每一單位來呈現比，幫助兒童瞭解每一單位比的概念，避免學生不瞭解表達比的語言而發生錯誤。在學習整數比時引導兒童瞭解每一單位比的相等關係，教師可利用整數比的圖形幫助兒童瞭解。教師在幫助兒童瞭解非整數比的正確關係前，可從讓兒童瞭解不同分數的解釋開始。 Quintero(1987)認為比的概念學習和教導是很困難的，這應該成為教師努力克服的教學目標之ㄧ，而讓學生學會利用成熟的比例概念是很重要的課題。

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第三節模糊理論

模糊理論相較於古典數學理論算是ㄧ門新興的數學科別，有別於傳統數學的二元邏輯，僅能處理 1、0 的問題。在真實的世界裡，有多問題及答案處於模糊地帶，也就是存在多重意義或不確定性，如何將這些模稜兩可的狀態，轉化成明確的概念，這正是模糊理論的延伸。下面針對模糊理的相關論點分別做說明：

壹、模糊理論的意義

「fuzzy」的原意是不分明、界線不清或模糊的意思(九章編輯部，1992)。而模糊理論(fuzzy theory)是由 Zadeh (1965)所提出的，其原始想法是為了處理自然語言(natural language)上的模糊性，模糊代表了不確定性，因此，模糊理論希望用更嚴謹的方式描述模糊的現象(楊敏生，劉曼君，1996)。

自從提出模糊理論後，擴張了當時二元(即 0 或 1)現象的描述方法，而改以隸屬度的觀點來描述現象，Zadeh 提出了隸屬函數(membership function) 的概念，將模糊理論基本定義如下(林原宏，2002)：【定義 1】令U 代表全域，E為ㄧ個函數，即E：U [0,1]，則U之模糊子集A的隸屬度函數記為E_A(x)，表示元素x隸屬於模糊集合A的程度，模糊子集A根據不同情況分表示成：（一）在離散（discrete）的情況下，模糊子集A可表示成： n n A A A x x E x x E x x E A ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 _ _ _   （二）在連續（continuous）的情況下，模糊子集A可表示成：



 x x E A A( )，x U 【定義 2】模糊子集A的 截集定義為：A {xu_A(x)}，0 1

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A的截集的隸屬度函數E_A(x)為：          ) ( , 0 ) ( , 1 ) ( x E x E x E A A A 實際上，模糊理論和機率理論都是研究不確定的問題，而林原宏(2001) 也整理兩個理論間的異同之處，如表 2-3-1 所示。表 2-3-1 模糊理論和機率理論之比較 比較向度 模糊理論 機率論 理論基礎 可能性機率性目的用模糊測度來表示發生後的不確定性用機率測度函數來表示發生前的不確定性性質具事後觀點具事前觀點數值隸屬值界於[0,1] 機率值皆於[0,1] 聯集運算 找最大值採加法計算 交集運算 找最小值採乘法計算模糊理論經過四十多年各領發展和應用，也成為統計、工程學科上的重要的基礎理論，近來，更是受到教育學及社會科學上的運用，也確認模糊理論在學術界的重要性，接著進而介紹模糊關係矩陣和截矩陣。

貳、模糊關係矩陣與模糊關係截矩陣

模糊關係矩陣(fuzzy relation matrix)是用來表示兩集合元素之間的關係，假設A集合有m個元素，B集合有n個元素，則兩集合元素a_i和b_j由A到

B的模糊關係矩陣R(r_ij)_m__n來表示。

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即              mn m m m n n r r r r r r r r r r r r R         3 2 1 2 23 22 21 1 13 12 11 其中 0r_ij 1，i1,2,3,,m j1,2,3,,n 而模糊關係截矩陣是指給定 值的情況下，可進行模糊關係截矩陣運算。即： R (r_ij)_m__n 且          ij ij ij _r r r , 0 , 1 ，其中0 1

参、模糊理論的相關研究

模糊理論發展至今，被各領域發展和應用，下面就商務金融領域、社會科學領域、工程科技領域三類分述說明：ㄧ、商務金融領域 Bezdek (1981)提出 FCM 演算法，用距離來衡量資料間的關聯性，結合最適合集合半徑和性能指標函數，能對分群數目和有效性進行評估，能提供業者對於市場使用的行銷策略；劉仲原、方定國及施雅月(2003)在競爭市場中，藉由消費者所認知的品牌相似性，採用模糊集群方法，建立市場競爭結構及分析消費者對產品轉換度，及計畫行銷方式；林志聰(1997)利用模糊集群分析在台灣上市、上櫃公司商銀企銀的經營效率為案例，尋找最佳的投資選擇；而薛道隆(1993)於高雄市對大專生的電子字典市場，使用模糊集群分析做出市場區隔；黃國亮(1995)更是從 26 家紡織業的財務資料中，以模糊程度最小者決定分為 2 群，而模糊理論分類能保留原有的資料訊息，可以提供後續研究，這也是有別於ㄧ般集群分類方法。二、社會科學領域

Perdikaris (1996)對於 van Hiele 原始的幾何認知分類，進ㄧ步利用模糊隸屬度函數，建立出 van Hiele 的幾何認知發展模式；林原宏(2005)以模糊關

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係矩陣進一步分析詮釋結構模式，針對不同能力的受試者，發現其分數減法概念上有所差異；許惠芳(2008)針對國小二年級學童，應用模糊取向的詮釋結構模式，分析學童數與量的分年細目概念結構之差異情況；李玉貞(2008) 研究國小ㄧ年級學童，應用模糊詮釋結構模式，進ㄧ步分析受試者的概念結構，對於探討個別化的差異，對於教師教學後實行補救教學有很大的幫助。莊一凡、陳光勳(2004)利用模糊量表以及傳統的李克特式五點量表，來探究國小教師在數學科進行資訊融入數學科的現況及所遭遇的困難因素，研究發現到模糊量表在研究中更較傳統的李克特式五點量表獲得更多訊息。三、工程科技領域 Mamdani (1974)首次用模糊理論和模糊推理實現世界上第一個實驗性的蒸氣機控制，並取得了比傳統的直接數字控制法更好的效果，也宣告模糊理論應用於工程科技的開始。黃楷翔(2010)應用模糊概念提出一些行為決策，讓視覺自主人形機器人以十五條影像掃瞄線來擷取機器人周遭環境的障礙物資訊，以模糊系統所架構的行為決策決定出最適合的行為動作。林志威 (2010)應用模糊理論為基礎的二值化處理演算法，提出雷射光反射點為基礎的自動光學檢測方法進行太陽能片的汙點檢測，而透過該方法可以有效的濾除影像不相關的訊息。王巽民(2010)藉由模糊理論所建立的模糊規則庫，找出最適合的控制變化量，經過解模糊後，進行對光照度的補足，經由模擬實驗後發現，能將與一般市售的之電燈泡相比，耗電瓦數可減少 50％，亮度比例提升約 30％，進而實現系統晶片上 LED 節能的照明控制。綜上所述，模糊理論發展至今已四十餘年，應用的範圍非常廣，從工程科技到社會科學都可以發現模糊理論的蹤跡跟成果，相信未來隨著模糊領域的成熟，將會出現更多更可靠的實際應用。

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第四節概念詮釋結構模式

壹、詮釋結構模式(interpretive structural modeling，ISM)

詮釋結構模式(ISM)最早由 Warfield (1976)所提出，主要在於分析ㄧ個集合內的所有元素的從屬關係(subordinate relation)，其理論基於離散數學和圖形理論，透過二元矩陣的運算，呈現出一系統之中元素間的關聯性，之後經由電腦運算的推廣，進一步，將複雜的元素關係產生成完整而多層次結構圖形關係。佐籐隆博(1987)提出將此一方法應用於教育領域中課程教材及認知結構的研究上，其主要意義是將學習者腦中思考的概念單位結構，用具體的數量和圖形來表示(許天維、林原宏，1994)。 ISM 分析法可系統化的表示整體元素之間的階層結構關係。若欲分析的系統內有 K 個元素，任意兩兩元素 A_i和 A_j 間的二元關係矩陣為 K K ij a A( ) _ ，而a_ij 1表示A_i從屬A_j，即A_i為A_j的下階元素；若a_ij 0就表示A_i不為A_j的下階元素。一、ISM 分析方法及運算 1.相鄰矩陣的運算兩個相鄰矩陣A的運算的結果定義如下：

 

K K KK K K K K K K ij a a a a a a a a a a A A A                     ) 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 ( 1 ) 2 ( 2 ) 2 ( 22 ) 2 ( 21 ) 2 ( 1 ) 2 ( 12 ) 2 ( 11 ) 2 ( 2        2 A 矩陣內的元素用數學式表示如下： Kj iK j i K k j i kj ik ij a a a a a a a a a 



         2 2 1 1 1 ) 2 (

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) 2 ( ij a 即表示就是A矩陣的第i列(row)和第 j行(column)的元素，且為第i 個元素指向第 j個元素；A2矩陣內和的運算定義如下：      1 = and 1 = if else 1 0 y x y x ；      else 0 = and 0 = if 1 0 x y y x 因為矩陣的元素非 0 即 1，故由和的定義可知，A2矩陣內的元素為 0 或 1。

2.傳遞閉包(transitive closure)和可到達矩陣(reachability matrix)

我們把如下的矩陣 Aˆ 稱為傳遞閉包。 P A A A A Aˆ   2 3 又根據圖形理論，我們定義下列運算式為： P P I A I A A A A I Aˆ   2 3  (  ) 上式中的I 表示K K階的單位矩陣，將以下的矩陣R稱為可到達矩陣。 I A A A A A I A I A A A A I A I A R P P P P P                   1 2 3 1 3 2 ) ( ) ( ˆ  

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3. ISM 圖形的繪製 ISM 分析法，從原始資料矩陣A，經過傳遞閉包運算，直到達成可到達矩陣R為止。二、舉例說明假設某元素(概念)有六個，以概念A₁至A₆ 表示，且這六個元素組成矩陣A，經由傳遞閉包及單位矩陣I 運算後，其可到達矩陣為R。矩陣A與可到達矩陣為R分別如下：                      0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A ；                      1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 R 定義下列中各矩陣並說明如下： (1)R(A_k)：是A的可到達矩陣，在可到達矩陣中，若元素為 1，則填上表示被指向的元素代號；若元素為 0，則保持為 0。如R矩陣中的第 3 列第 2 行的元素為 1(即r₃₂ 1)，表示概念A₃指向A₂，則在R矩陣中的第 3 列第 2 行的位置填上A₂。 (2)M(A_k)：是由R(A_k)而來的，M(A_k)的每一列，表示指向該元素的所有其它元素，即M(A_k)矩陣是R(A_k)矩陣的轉置。 (3)R(A_k)M(A_k)：是R(A_k)和M(A_k)兩矩陣之交集，其相對應位置若同時存在該元素，則填上該元素；否則填上 0。 ISM 圖製作過程，其步驟如下：步驟一：針對R(A_k)和R(A_k)M(A_k)兩矩陣中的每一列，找出列相等的元素，則在R(A_k)矩陣、R(A_k)M(A_k)矩陣中A₁所在的行(column)

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與列(row)全部刪掉，刪除後的列與行則不再尋找和比較。步驟二：以相同方法繼續尋找，直到所有元素均被找出。步驟三：將找出的元素依序列出高低層次，且依矩陣A_{中的元素關係，用箭} 頭表示，即完成 ISM 圖的繪製。為便於觀察各個矩陣，將R(A_k)、M(A_k)和R(A_k)M(A_k)矩陣整理如表 2-4-1。表 2-4-1 R(A_k)、M(A_k)和R(A_k)M(A_k)矩陣表示 ) (Ak R M(Ak) R(Ak)M(Ak)                     6 3 1 6 5 4 3 2 1 6 4 3 1 6 3 1 6 4 3 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A                     6 3 1 6 5 4 3 2 1 6 4 3 1 6 3 1 6 4 3 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A                     6 3 5 4 6 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A A A A A A A A 在R(A_k)和R(A_k)M(A_k)矩陣中，先找出對應的第一列A₁，則在R(A_k) 和R(A_k)M(A_k)中A₁所在的行(column) 與列(row)全部刪掉；以此類推，依序找出元素A₃和元素A₆、接著找出元素A₄、元素A₂，最後在找出元素A₅，再依照步驟三的列出高低層次和箭頭指向，即可完成 ISM 圖的繪製，如圖 2-4-1 所示。

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圖 2-4-1 ISM 繪製圖二、詮釋結構模式於社會科學之相關研究 ISM 自從 Warfield (1976)提出以來，廣泛的應用於教育、公共事務決策等社會科學議題，在教育上能分析教材結構及學生概念，能進一步對教材或學生進ㄧ步的修正或補救，而公共議題上的決策，也能經由電腦輔助下，透過圖形呈現的關聯性，進行最後的決策，進一步提升 ISM 的應用性，接著針對國內、外應用 ISM 分析方法於社會科學領域的案例，分述如下：戴雪峰、鄭樹團(1997)提出加權 ISM 分析方法，針對ㄧ般的 ISM 進行改良，使其在 ISM 的基礎上，利用可到達矩陣來建立結構模型，進而能得到各結構模型間的依賴關係，給決策分析者提供ㄧ個參考性的結論和量化的數值指標。鄭振源、曾國雄(1993)結合 ISM 提出多數決策與多目標決策問題中，同優方案的優先排序方法，可利用電腦輔助決策系統協助決策者判斷優劣情況，進而決定決策方向。陳碩珮(2006)以五家汽車公司為對象，利用問卷對汽車專家進行調查，應用 ISM 分析法建構發展出最適合的製造商和經銷商的夥伴關係，對於夥伴合作的決策提供很大的幫助。張寧(2007)利用 ISM 分析法呈現數種不同條件下的圖形關聯性，進一步能從決挑選出對於決策者 5 A 3 A 4 A 2 A 5 A 3 A 4 A 2 A 6 A 6 A 1 A A ₁

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最佳的決策結論，對於處理公共議題的決策，有很大的幫助。佐藤隆博(1987)在「ISM 構造學習法」中，有談及許多有關 ISM 方法在教育領域中的課程與學習的應用，並提供許多實際範例，也因為如此，ISM 分析法被後人廣泛應用於教育領域中。許天維、林原宏(1994)認為 ISM 分析法的共能在於建立整體概念元素之間指向關係，應用於教育上主要用途有三點： (ㄧ)教材內容結構化將教材目標「由上往下(top down)」分析，最後決定出各單元的教材內容。 (二)編授教材內容教學者決定教材內容的目標層次關係，「由下往上(bottom up)」分析，可幫助教學者瞭解教學目標和學習內容的順序和發展關係。 (三)學習者學習內容的結構化以學習者本身學習的概念結構為主體，利用 ISM 分析法，可得到整體概念結構關係。

Tatsuoka and Tatsuoka (1997)將這種方法發展成電腦化認知診斷適性化測驗系統(computerized cognitive diagnostic adaptive testing system)，對於補救教學有極大的幫助。蔡炳燁、鐘靜蓉(2003)以商業職業學校經濟學「供需與平衡」單元實例中運用 ISM 分析方法與電腦軟體，建立更科學化的「學習路徑(learning path)」和「學習地圖(learning map)」，重新分析學習項目的編排順序，能快速說明 ISM 圖在學習單元上的順序，之後，更進ㄧ步提出具構造化及階層化的教學設計方法，稱為結構化教學設計。唐復(2003)運用 ISM 分析法於推動教育試導網路化需求評估及發展策略，能得到問題階層關係和改善方案的結構關係。楊智堅(2006)運用詮釋結構模式設計九年一貫數學領域第三階段的結構化教材，發現結構化的設計能促進老師對於數學結構和內容的理解，對於教學上的重點和脈絡有很大的幫

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助。黃淑芬(2007)透過詮釋結構模式所得出概念構圖，探討國校六年級的國語及數學能力的學習模式，讓教師能快速瞭解學生的學習概念結構。莊宗霖 (2008)應用詮釋結構分析法，發展出一套適用於補救教學的網路版學習診斷時即分析系統，其診斷學生的學習訊息，能作為之後補救教學的依據。綜上所述，運用 ISM 在教學及分析認知結構上，可使片斷、抽象的要素重新排列，轉換成具體化、全面化的關聯階層圖，林原宏、陳進春及許天維(2005)提到 ISM 分析法對於分析教材溝通、設計教材內容以及建立學習者的知識概念結構等方面貢獻卓著。

貳、概念詮釋結構理論

一、理論源由

概念詮釋結構模式(concept advanced interpretive structural modeling, CAISM)是由 Lin, Hung and Huang (2006)所提出，其分析目的是從受試者的測驗資料，提供個人化的概念階層結構訊息。此模式根據概念向量比對 (concept vector matching)和模糊理論(fuzzy theory)等計算方法，並利用詮釋結構模式(interpretive structural modeling, ISM)的階層結構運算法則(Warfield, 1976, 1982)，可以數值和圖形結構呈現個人化概念階層結構(individualized concept hierarchy structure)。利用 CAISM 分析法能將受試資料輸出結果絕對化，作為個別化知識結構的參考依據。二、資料與矩陣定義首先定義矩陣如下： (1)假設某測驗有二元計分M 個(m1,2,,M)試題，欲測量的概念有A個 (a1,2,,A)與N位受試者(n1,2,,N)。 (2)受試者反應矩陣為X (x_nm)_N__M ，試題屬性矩陣Y (y_ma)_M__A (3)由所測量的概念屬性可構成典型概念向量Z (z_ia)₁__A，且每個典型概念向量在M 個試題所構成典型反應向量r_i (r_im)₁__M (r_i₁,r_i₂,,r_iM)。

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由上述定義，其演算法則如下： (1) 由試題屬性矩陣及典型概念矩陣，計算典型反應矩陣R (r_im)_I__M 如下： M I im r R ( ) _ ，其中        else , 0 , , 2 , 1 , ) )( ( , 1 z y y a A r_im ia ma ma  (2) 受試者n之作答反應向量與典型反應向量r_i的近似程度，計算如下： c x r M M m im nm ni



  1 ) ( ) (  ，其中       im nm im nm im nm r x r x r x , 0 , 1 ) ( ) (  (3) 定義標準化近似值為sc_ni，判定明確辨識和模糊辨識，其過程如下：明確辨識：即存在K(K 1)個c_ni值滿足c_ni 1，則sc_ni如下：則       else c K sc_ni ni , 0 1 , / 1 模糊辨識：即c_ni 1 i1,2,,I，則sc_ni如下：則

_

  I i ni ni ni c c sc 1 (4) 令矩陣D(d_na)_N__A，其中受試者n在概念a的精熟度表示為d_na，計算如下：



  I i ia ni na sc z d 1 ) )( ( and 0d_na 1 (5) 依 Luce(1959)的選擇規則(choice rule)理論和相對適合度準則(relative goodness rule, RGE)，且結合察覺的模糊邏輯模式(fuzzy logic model of perception, FLMP)之公式，對受試者而言，其概念a為概念a'的先備概

念(即概念a指向概念a'的機率)之從屬關係機率(subordination relation

probability)如下(Massaro & Friedman, 1990)：

                else d d d d d d d and d d and d p na na na na na na na na na na aa , ) )( 1 ( ) 1 )( ( ) 1 )( ( 0 0 , 0 1 1 , 1 ' ' ' ' ' '

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(6) 對受試者n而言，其兩兩概念間的從屬關係機率構成模糊關係矩陣

(fuzzy relation matrix)F_n (p_aa _')_A__A。利用 截集(cut)，選定適當的 值(0 1)運算後，可得二元關係矩陣(binary relation matrix)之相鄰矩陣(adjacent matrix)F_n如下： A A aa n p F (  _') _ 且          ' ' ' ₀ _, , 1 aa aa aa _p p p ，0 1 (7) 最後將受試者n的二元關係矩陣F_n (p_aa _')_A__A經由 ISM 分析，可得到受試者的個人化概念結構圖，且為提供圖形可讀性，可進行 ISM 圖簡化，假設元節素A_i指向A_j有多條路徑(path)，則去除直接指向並保留間接指向的路徑(林原宏，2005)，如圖 2-4-2 所示：圖 2-4-2 ISM 圖簡化舉例(引自林原宏，2005) 三、概念詮釋結構模式的相關研究李青芷、林原宏(2008)探討在職進修教師的統計知識結構，以受試者的測驗分數，將其分為高、中、低三組，結果進一步發現三各組別其統計概念結構有所差異，並由個別的概念結構圖發現，高分組的概念階層數低於中、低分組，而高分組的概念結構圖也較其他兩組更具有結構性。鄭佩郡(2008)應用概念詮釋結構模式去探討國小六年級學生的面積概念 Aj Ak Al Ai Am Aj Ak Al Ai Am 簡化

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結構，針對資賦優異學生和普通班學生兩類學生進行研究，並根據模糊集群分組，分析結果也發現到資賦優異和普通班學生兩類學生的面積概念結構圖有所差異，而不同集群的學生的面積概念結構圖更有其特徵和差異，而這些概念結構圖上的差異，可以讓教師針對個別學生進行補救教學或個別晤談的依據。陳紹銘(2006)應用模糊詮釋結構模式研究澎湖縣六年級學童等量公理的概念階層結構，研究結果發現國小學童學習等量公理過程中，其知識結構具有階層的特性，且受試者之等量公理的 ISM 圖因能力值的不同而有明顯差異存在。祝淑梅(2007)以國小高年級學童為研究對象，探討其個人化的小數知識之概念階層結構，其研究發現模糊取向的詮釋結構模式分析法可有效的分析個人化的小數點概念結構，而由個別化的 ISM 圖指向關係，更可具體提供教學者規劃分組教學的依據。紀順雄(2007)應用模糊取向的詮釋結構模式，分析中部地區國小六年級學童的加法概念結構，其研究發現到不同能力值的受試者，其分數加法概念結構有所差異，而試題的概念屬性結構圖因受試者能力值的不同而有所差異。

Yih and Lin (2007)探討 27 位大學生學習 MATLAB 的概念知識結構，發現得分不同受試者其概念結構圖有所差異；而答對題數相同的受試者但反應組型不同受試者，其概念結構圖也有所不同。綜合上述，概念詮釋結構模式應用認知診斷上，能提供有關概念階層、概念精熟度和概念間的連結等訊息，可以讓教學者針對個別學生進行概念階層的診斷分析，進一步提供教學因應策略，輔導學生，以彌補學生在學習上的不足之處。

七年級學生比與比例式概念探究-植基於S-P表和概念詮釋結構模式之整合分析

國立臺中教育大學數學教育學系碩士班碩士論文

指導教授：林原宏 教授