第四章 研究結果與討論
第四節 各群受試學生個別晤談之分析
經由 S-P 表分析後，將 28 位受試學生分成五個組後，接著從各群之中 抽取 1 位受試學生進行個別晤談，希望藉由個別晤談的過程瞭解受試學生比 與比例式能力的發展，利於日後補救教學等措施。首先，研究者依照表 3-3-9 半結構性問題大綱向受試學生提出問題，並要求其回答解題的想法和過程，
當研究者發現受試學生無法解決問題或產生迷思概念時，適時的用口語給於 協助和引導，以其發現錯誤觀念之所在。
本研究的質性工具是以受試學生在正式施測的試題，主要針對錯誤的題 目進行詢問和討論，也透過彼此間的問答，將問題的想法澄清，也藉此得知 受試學生的迷思概念，以下針對 S-P 表各組抽取的學生個別進行晤談：
ㄧ、A 群受試學生 S18 晤談分析
A 群受試學生 S18 其正式施測的分數為 19 分，錯誤的題目為第 2、11、
15、18 及 24 題，當中第 11 和第 24 題皆牽涉到反比概念，也為後續晤談的 主要試題，其概念結構圖分析和部份晤談過程，整理於表 4-4-1 中：
表 4-4-1 S18概念結構圖與晤談分析表 受試學生S18概念結構圖
概念結構圖分析
概念 2(A2 理解並求比例或比值的相關問題)精熟度最高，可判斷其該 概念的試題，答對率較高，而牽涉該概念的題目中，僅有試題第 11 題和第 24 題答錯，而這兩題錯誤試題，都牽涉到反比的概念，對照其概念結構圖，
其反比概念(A3 理解並判斷正比、反比判斷)為階層的最上層。因此，後續 的晤談，會以這兩題的主要討論試題。
個案晤談精要 以下呈現個別晤談時，受試學生 S18 的回應：
試題 11：
A、B 為兩面積相同的三角形，若 A、B 兩對應邊長的比為 3：5，試求 A、
B 兩對應高的比= ： 。（請填入最簡整數比）
受試學生作答為 3:5 師：你為何寫 3:5?
生：(沉默一下!)感覺要寫這樣。
師：你知道三角形面積如何求嗎?
生：知道阿!底×高÷2。
師：對阿!很好喔!你沒忘記。那這一題的兩三角形面積相等，你覺得底(邊 長)越長，對應的高的大小應該是如何?
生：好像是越小吧!
師：好像?你確定嗎?
生：應該是，確定了!(突然眉頭開了!)喔~我想起來了!這是成反比關係!
師：為什麼這麼說?
生：因為三角形面積為底×高÷2，兩面積相等，那就是代表底×高÷2 的值是 相等的，當然底×高的值也會相等，而題目中說到底(邊長)比為 3:5，
表 4-4-1 S18 概念結構圖與晤談分析表(續) 那對應高的比應該是
5 :1 3
1 ，最後要整理成最簡整數比，所以應該是 3:5。
師：你對你的推論，有沒有信心。
生：有!我記起課本說的反比的內容了。
師：很好!下次再出現類似的題目答對喔!
試題 24：
ABC
中，AB,BC,AC三邊長分別為 5，6，7，則其邊上的高之比 為 ： ： 。（請填入最簡整數比）
受試學生作答為 5:6:7
師：那你覺得第 24 題這題，你覺得這樣寫對嗎?
生：不對!
師：你怎麼知道不對?
生：跟剛剛一樣，同一個三角形面積相同，底×高÷2 都相等，所以也是反 比的想法，我算一下，(學生動筆計算)，算出來了，答案是42:35:30。 師：你肯定你的答案嗎?
生：這次我確定了!這跟剛剛第 11 題很像!
師：很好!你很有慧根喔!
結論
經過和受試學生 S18 的晤談，發現該生有反比的概念，但是在正式施 測時，卻無法將反比的想法引入題目中，經由晤談的對話中，讓該生想起 來課本提及的反比內容，而有這想法，再加上清楚三角形面積的運算，搭 配反比的概念，自行都能將正確答案算出。
二、A’群受試學生 S18 晤談分析
A’群受試學生 S14 其正式施測的分數為 22 分，錯誤的題目為第 2 及 13 題，這兩題皆牽涉到比例式的數值運算，這也是後續晤談的主要試題，其概 念結構圖分析和部份晤談過程，整理於表 4-4-2 中：
表 4-4-2 S14 概念結構圖與晤談分析表 受試學生 S14 概念結構圖
概念結構圖分析
概念 6(B3 做比例式的簡單運算)精熟度最低，可判斷其該概念的試題，
錯誤率較高，其錯誤兩題試題中都含有此概念。因此，後續的晤談，會以 這兩題試題為主要討論試題。
個案晤談精要 以下呈現個別晤談時，受試學生 S14 的回應：
試題 2：
丙 30 分鐘走了 261 公尺，40 分鐘可以走 公尺。
受試學生作答為 342 師：你怎麼寫這個答案?
生：我算錯了嗎?我再算一遍(動筆計算一次)。
師：你再算看看吧!
生：我算出來了!答案應該是 348。
師：你能說說看你怎麼算的嗎?
生：比例式的運算，前項放時間，後項放距離，所以列出30:26140:x， 求x的值即可。
師：所以你這次求出的x值為 348 不是 342。
生：我上次(指的是正式施測)計算錯誤了，這次才對。
師：你也太粗心了吧!以後要更小心喔!
生：我知道了。
試題 13：
3 : 4 = x : 12
5 ，則x = 。 受試學生作答為 5
表 4-4-2 S14 概念結構圖與晤談分析表(續) 師：那你第 13 題怎麼回事?你覺得答案對嗎?
生：等我一下(動筆計算)，我再算一下(過一會兒)，不對!
師：你怎麼知道不對?
生：我再算一次，答案是 16
5 。 師：你怎麼算的呢?
生：比例式的運算為內項相乘等於外項相乘，因此，得到
4 4 x 5，
16
5
x 。
師：很好，不過你都知道怎麼算，但是當初都計算錯誤，很不應該喔!下次 要避免產生計算錯誤喔!
結論
經過和受試學生 S14 的晤談，發現該生有比例式運算的概念，但是在 正式施測時，由於計算錯誤，導致有兩題計算錯誤，也經由晤談的對話中，
讓該生再次運算一遍，而確認當初的答案有誤，透過該晤談，讓該生能再 將比例式的運算法則回想一遍，未來對於該類試題能更謹慎些。
三、B 群受試學生 S7 晤談分析
B 群受試學生 S7 其正式施測的分數為 17 分，錯誤的題目為第 4、5、7、
15、16、21 及 24 題，當中第 5、7 題皆牽涉到正反比概念，為後續晤談的 主要試題，其概念結構圖分析和部份晤談過程，整理於表 4-4-3 中：
表 4-4-3 S7 概念結構圖與晤談分析表 受試學生 S7 概念結構圖
表 4-4-3 S7 概念結構圖與晤談分析表(續 1) 概念結構圖分析
由概念結構圖中可發現，概念 3(A3 理解並判斷正比、反比的概念)及 概念 11(D2 能思考並計算連比例應用問題)的精熟度最低，也是唯二兩個概 念的精熟度未達.50，而錯誤試題中的第 5、7 題中，都涉及到正反比的概 念。因此，後續與該生的晤談，會以這兩題為主要討論問題。
個案晤談精要 以下呈現個別晤談時，受試學生 S7 的回應：
試題 5：
若xy20，則x和y成 比關係。(空格填正或反) 受試學生作答為正比
師：你知道正比和反比的不同嗎?
生：大概知道。
師：你能說看看嗎?
生：嗯~(思考一下)，大概就是x和y的ㄧ個式子。
師：很好喔!你說的沒錯，不過你能說更清楚些嗎?式子怎樣寫呢?
生：我好像沒記清楚!
師：你記得我們上課有提過吧!
生：記得有說過，但是忘記了。
師：我這邊有課本，給你找找，哪邊有提到相關內容?
生：好阿!我找一下!(將我準備的課本拿去翻閱)，我找到了，在 3-3 的地 方。
師：沒錯!那你看ㄧ下內容，能告訴我這題的答案嗎?
生：等我一下!(尋找課本中相關內容)，我知道了，是反比。
師：你怎麼知道的?能說看看嗎?
生：反比的式子是xy k，k是ㄧ個定值，這題的k 20，所以是反比。
師：很好，不過下次你可要把課本內容記清楚，別又弄錯了喔!
生：我知道了!
試題 7：
右圖中，試判斷x和y成 比關係。(空格填正或反) 受試學生作答為空白
師：那你繼續看一下第 7 題，你知道這個圖是甚麼關係嗎?
生：我找一下(翻閱課本找尋)，我知道了，是正比。
0 y
表 4-4-3 S7 概念結構圖與晤談分析表(續 2) 師：你怎麼確定呢?
生：我看課本中，有提到正比關係的圖形，必通過原點，這圖有通過原點，
所以是正比。
師：那你知道為什麼會通過原點嗎?
生：我找看看(翻閱課本找尋中)。
師：你能告訴我正比的關係式怎麼寫嗎?
生：我知道，y kx，k為定值，我剛剛有在課本上看到。
師：那你知道這樣的式子，x和y代入什麼值ㄧ定會滿足式子。
生：喔~，我知道了!x和y代入 0 ㄧ定會滿足式子，所以ㄧ定會通過原點。
師：那你知道原因了吧!
生：我知道了!
師：不過測驗時可不能讓你看課本，要把內容記在腦袋中。
生：嘻嘻!我知道啦!
結論
經過和受試學生 S7 的晤談，發現該生正反比的概念模糊，因此，在正 式施測時，未能此兩題正反比的觀念題正確回答，不過經由晤談的對話後，
該生對照課本內容，再將正反比的內容複習ㄧ次，而確認此兩題的正確答 案，最後提醒該生要將這部份的內容記住，而非倚靠課本，也可從此看出，
該生資質不錯，但懶於記憶。
四、B’群受試學生 S25 晤談分析
B’群受試學生 S25 其正式施測的分數為 16 分，錯誤的題目為第 1、8、
10、15、16、17、20 及 24 題，當中第 10、15、16、20 和 24 題皆牽涉到有 關最簡整數比和比值的概念，而這幾題也是後續晤談的主要試題，其概念結 構圖分析和部份晤談過程，整理於表 4-4-4 中：
表 4-4-4 S25 概念結構圖與晤談分析表 受試學生 S25 概念結構圖
概念結構圖分析
由該生的概念結構圖中可看到，概念 5(B2 觀察並描述最簡整數比或比 值)精熟度最低，也是唯一精熟度未達.50 的概念，而牽涉該概念的題目中，
答錯比率極高，而針對答錯的試題中，也會成為後續的晤談主要討論問題。
個案晤談精要 以下呈現個別晤談時，受試學生 S25 的回應：
試題 10：
24：90 的最簡整數比為 。 受試學生作答為 3:15
師：你能找出這題錯誤的地方嗎?
生：我再算一下(動筆計算)，我知道了，應該是 4：15。
師：你能說看看你怎麼算的嗎?
生：24：90 的比，前後項同時約掉 6，就可以得到 4：15。
師：比的前後項可以這樣約分嗎?記得除掉的數字甚麼限制嗎?
生：好像不能是 0，其他都可以。
師：很好，你記的很清楚，不錯，不過下次計算錯誤不要再發生了!
試題 20：
體育課測驗投籃，每人投籃 10 次，A、B、C 三人各投進 3、5、9 球，試 問：A、B、C 三人此次測驗投籃的命中率比為 ： ： 。
（請填入最簡整數比）
受試學生作答為
10 : 9 2 :1 10
3
表 4-4-4 S25 概念結構圖與晤談分析表(續) 師：你知道什麼是最簡整數比嗎?
生：我知道阿，就是寫成整數比，而且這些整數都不能再約分。
師：很好，你說的沒錯，那這一題你覺得你寫的答案是最簡整數比嗎?
生：好像不是!
師：好像?你不確定嗎?應該很明顯吧!
生：不是啦，三個數都不是整數，我確定不是。
師：很好，既然你知道最簡整數比的寫法，那你這一題答案應該寫什麼才 對。
生：我算一下!(動筆計算)，答案應該是 3：5：9，答案比想像中簡單!
師：你繞了一大圈，最後才寫出來，下次注意看清楚答案的要求，知道嗎?
師：你繞了一大圈，最後才寫出來，下次注意看清楚答案的要求，知道嗎?