比與比例式的意義

壹、比、比值與比例式的意義

比(ratio)是存在於日常生活現象中的數學概念，是用於描述並置的兩對 應關係量，例如「小明拿了 3 部玩具車，去跳蚤市場換了 5 個布偶」可以記 為「3：5」(教育部，1993)。進一步說，比具有兩種含意，一是指兩個數量 之間的一種相對的關係 (Quintero, 1987)，是一種建立在兩個變項之間的關 係； 其 次， 比也 是 隱含 相 對大 小(relative magnitude)的 一 種對 比性 指標 (comparative index) (Lamon, 1995)，當我們用倍數、相當於、相對變化的語 言描述兩個量之間的相對關係時，便是隱含了比的相對性概念(鄭英豪，

1990)，例如，「姐姐的零用錢是妹妹的 2 倍，則姐姐和妹妹的零用錢比是 2：

1」、「一顆蘋果的價格相當於一個水梨的三分之ㄧ，則一顆蘋果和一個水梨 的價錢比是 1：3」。Lamon (1995)和鄭英豪(1990)皆認為「相對」是比概念中 最重要的成份，因此相對的概念對於學習比有密切的關聯性。而a：b中將 前項a除以不為 0 的b，所得的值稱為「比值」。

而「比例」(proportion)的定義，文獻上傾向於「兩個比(或比值)成等價 關係」(周筱亭、黃敏晃，2002)，此等價關係有兩種意義，一種是表示兩個 比之間的等值，例如

9 3 3

1 ，或如 ΔABC、ΔCDE 兩個相似三角形之間高的比 等於底邊的比，在這種情況下，我們可以說這兩個三角形成比例。另一種意

義是表示部分對全體的關係，例如，

b

a中的b表示全體的量，a則表示其中

的一部分量，舉例來說，班上有 31 個學生，其中男生有 15 人，那麼我們可 以說男生在班上人數的比例是

31

15，它是表示男生對全體人數的比例。 而具 有對等關係的比或比值所構成的關係式，稱之為「比例關係」(劉祥通、周 立勳，1999)。82 年版數學課本把「8：100＝2﹕25」稱做比例算式，簡稱為

「比例式」(教育部，1993)。而九年一貫國中數學領域的能力指標也納入兩 個直接相關之能力指標，其一為 N-3-05 能理解比、比例、比值與正、反比 的意義，並解決生活中的問題；其二為 N-3-07 能熟練比例式的基本運算。 因 此，周筱亭、黃敏晃(2002)認為比與比值這方面的教材是幾次課程修訂後，

大家一致認為重要的。

貳、構成比和比例的數學要素

比和比例概念的數學要素由 Lamon (1995)提出，比和比例的概念含三個 數學要素，分別就下列各點說明：

一、相對與絕對的改變(relative and absolute change)

比是代表任意兩個數值的對等關係，相對的概念是正是比的概念中最重 要的成份，下面用個例子來說明：

「有甲、乙兩校，甲校有學生 400 人，乙校有學生 500 人，三年後，甲 校學生變成 500 人，乙校學生變成 600 人，請問，這兩校在這三年來的成長 量相同嗎？」

就「 絕對 改 變」 的角 度來 看 ，這 兩校 學 生人 數成 長 量相 同， 因為 500-400=600-500，都成長了 100 人，但是就「相對改變」的角度來說，兩 校學生成長量應當相對於原來學生人數，甲校的成長量是原來的

4

1，而乙校

的成長量是原來人數的¹，所以甲校成長量較乙校多。

從上述的例子可得知，學生進行比例推理問題時，應該要先判斷出要用 絕對或是相對的立場來思索問題，對於學生而言，要移去他們使用熟悉的加 法思考並產生相對性思考是需要一段時間去磨合，也因此教師需多呈現不同 情境的問題，讓學生去做絕對或相對的選擇，或許能幫助學生盡快採用相對 性思考比例問題。

二、比感(ratio sense)

Lamon (1995)所謂比感，就是對比的覺知，即學生能夠區辨在哪些情況 下適合使用比的概念，也就是知道哪些是比概念的實例(example)或非實例 (non-example)。實例指得是含比例關係的任意兩量，反之則為非實例。

舉例來說，一包餅乾 20 元，兩包餅乾 40 元，類似這樣的比例問題，必 須知道比概念的實例，而依循此關係，可以往後延伸。但是若是 100 公分的 人重 20 公斤，所以 200 公分的人重 40 公斤，上述就是非實例的問題。由此 可知，比感是一種知道比例情境與數學關係的一種直覺。

三、共變性與不變性(covariance and invariance)

Lamon (1995)指出，若現有一比的關係式為 A：B＝C：D，這兩個比的 比值是一樣的，這是不變性。而 C(或 D)會隨著 A(或 B)改變而改變，這就是 共變性。

舉例來說，有一材質相同的木棍，取 200 公分，就重 2 公斤，那麼取 300 公分，會重幾公斤，其中這兩小段木棍的長度(公分)與重量(公斤)比都是 100：1，比值為 100，這就是比概念的不變性，而 200 公分木棍的重量會隨 著 300 公分木棍的重量而變，這是比概念的共變性。

参、比和比例的概念發展結構

比例概念的發展乃是兒童進入形式運思期(11 歲以上)，的指標(Piaget, 1958)，根據 Piaget 的論點，認為兒童在進入形式運思期後才具真正比例的 概念，因此，比例概念對於認知發展階段，是具有由具體運思期進入形式運

思期的特殊意義。

比的概念可以視為比例概念的基礎概念，但是要將比例概念發展成熟，

除了對比的概念瞭解透徹外，尚需要對於其他相關概念也要有一定的瞭解，

在發展比和比例的基模時，相關的數學知識包括有下列各項：

(1)數的結構，例如：倍數和除數。

(2)乘法和除法的基礎概念和變化。

(3)質的推理，例如：判斷比值大小的變化。

(4)變通性的單位化概念。

(5)有理數的概念。

Lamon(1995)主張單位化(unitizing)概念的理解對學習比和比例式有密 切關係，因此，Lamon 提出一個比例推理的概念發展結構圖，如圖 2-1-1 所 示：

圖 2-1-1 比例推理的概念發展結構圖(Lamon, 1995)

以我國目前現行的國中小數學教材為例，比例概念的發展結構，可以如 圖 2-1-2 所示，而其中比例概念中的比例尺和分數概念所延伸的子概念有放 大、縮小及約分、通分和擴分為國小數學教科書的內容，而比和比值的基礎

比例推理

(proportional reasoning)

比的適當性 (ratio appropriateness) 共變性和不變性

(covariance and invariance) 絕對和相對的思考

(absoulute and relative thinking)

單位化 (unitizing) 分割

(partitioning) 關係

(relationships)

反比為目前國中七年級的數學教科書內容，而這三個子概念不但需要國小所 學的比例知識外，還牽涉到較多的代數運算，對於學生的學習上較為艱難。

圖 2-1-2 比例概念結構圖(改編至國立編譯館，1986)