模糊理論探討

模糊理論是Zadeh 教授在 1965 所提出，此理論改變了過去傳統數學只 有0 與 1 的值，以數學方式表達模糊語意的方法，旨在解決現實環境中不明 確性與模糊性（ambiguity & vagueness）的資料。教育資訊系統具有不確定 性、高度的模糊性和主觀性等特徵，所以複雜度較一般的工程系統高。傳統 的講求精確的數學方法顯然不完全適合描述和處理教育系統內部的各類資 訊，而模糊數學正是為了將數學導入到具有模糊現象和模糊概念的各個領域 中，它的出現使得數學的應用範圍增加，因此在屬於教育領域的資訊處理過 程中導入模糊數學逐漸逐漸受到重視。

模糊理論與傳統古典數學理論之間，最大差異在於模糊理論以多值函數 之觀點，描述其研究對象，不設定明確之區隔界線，且容許模糊和不確定性 的存在，尤其在處理與人有關之事物上，更能突顯出其優於古典數學之精準 明確的處理方式。洪欽銘教授（1993）認為模糊數學是以數學手段分析與處 理模糊性事件的學科，譯成“模糊性數學＂會更貼切。也就是說模糊數學將 普通（傳統）集合（crisp set）重新擴張定義為可傳達模糊概念之集合（fuzzy set），基本精神即是接受模糊性現象存在事實，並以處理概念模糊不定事物 為研究目標；表 2-29 說明傳統集合與模糊集合之比較，我們便可了解兩種 集合的差異性。

表2-29 傳統集合與模糊集合之比較表

傳統集合（crisp set） 模糊集合（fuzzy set）

使用0 或 1 的特徵函數 使用0 到 1 的特徵函數

強調非此即彼的關係 接受亦此亦彼的關係

只接受精確不模糊的資訊 可接受模糊不精確的資訊

硬性的二分類法 軟性的二分類法

資料來源：吳政達（1999）。國民小學教師評鑑指標體系建構之研究。

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模糊理論是以人類解決問題的思考模式為其基本出發點，許多主觀意思 之表達，並非二元邏輯所能夠明確說明的，因此Zadeh 教授便對模糊所定義 之集合，引進隸屬函數（membership function），以表示元素與集合之相容程 度。

壹、模糊集合的定義

在普通集合論中，一般把被討論對象的全體稱為論域（universe of discourse），也稱為全域，常用大寫字母 U, V,...，X，Y 等來表示，論域中的 每個對象稱做元素，通常用小寫字母a, b,...x，等來表示。給定一個論域 U，

U 中某一部分元素的全體，稱做 U 中的一個集合，常用 A, B, C…等表示。

例如以“學生＂作為一個論域，“大學生＂、“中學生＂等就是該論域中的 集合。

對於論域U 中的一個普通集合 A, U 中的任一元素 X 與集合 A 的從屬關 係只有兩種，要麼屬於，記用X A∈ ，要麼不屬於，記作X A∉ ，此兩種情況 只能存在一種。這一性質實際上確定了從U 到{0, 1}上的一個映射μ_A( )x 。

A( )x

μ ：ｘ→ {0, 1}

或μ_A( )x ﹦

{

1 , x A0 , x A _∈^{∉ 映射ｕA} （x）稱為集合 A 的特徵函數。

無確定邊界的集合，我們稱之為模糊集合。模糊集合最重要的特點，就 是它把原來普通集合對類屬、狀態的“非此即彼的絕對屬於或不屬於的判 定，轉化為對事物的類屬或狀態從0 到 1 不同程度的相對判定。為了將模糊 集合與普通集合加以區別，把模糊集合的特徵函數稱為隸屬函數，一般記作

A( )x

μ ，它表示元素x 屬於模糊集合 A 的程度，μ_A( )x 可在[0, 1]閉區間內連 續取值。模糊集的隸屬函數是U 到[0, 1]區間的一個實值函數，如果用數學 語言來表達，則為

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令一個論域U, U 到[0, 1]閉區間的任一映射μ_A( )x

A( )x

μ ： x→（0, 1） 都確定 U 的一個模糊子集A，μ_A( )x A 稱作A的隸 屬函數。如果論域U 為有限集，則模糊集合可用向量來表示：

An=（xl, x2,...,xn），其中 n 表示論域 U 中有 n 個元素，xi表示第i 個元 素的隸屬度。隸屬度指的是元素對集合的隸屬程度。可以將模糊事物數量化。

例如，“高個子＂這一概念是模糊的。在我國身高185 公分被認為是高 個子，可以說是 100%的高個子。它的隸屬度就是 1。身高 180 公分基本上 勉強可以算作“高個子＂，它的隸屬度可以定為 0.9。而身高如果僅有 130 公分，則其隸屬度就為0。因此可以將“高個子＂這一概念用 0 和 1 之間的 數界定出來，而表示屬於“高個子＂這一概念的程度的數值就是隸屬度。

如果一個模糊集能寫成如下的形式，則此模糊集就能成立：

A={（x,μ_A( )x ） , ∀ ∈x X }

式中μ_A( )x 叫做A的隸屬函數，x 所對應的每一個數值叫做隸屬度。∀x表 示任意一個x，∀ ∈x X 表示任意一個屬於論域X 的 x。所以模糊集合 A 對於 論域x 中的任意一個元素 Xl都有一個隸屬度μ_A( )x₁ 。由此可見，確定一個模 糊集的關鍵在於給定集合中每個元素的隸屬度。

當論域X 是有限集合時，即 X=（xl, x2, x3,…, xn） , x 上的一個模糊集 可表示為：

1 1 2 2 n n

A={ (x )/x , (x )/x , ^ μ_A μ_A ...μ_A(x )/x }

或 A=μ （x_A 1）/x1+μ （x_A 2）/x2+, …+μ （x_A n）/xn

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式中的的“+＂與“/＂並不表示加法和分數線，μ （x_A 1）/x1表示模糊集 合中的元素 X1 與之對應的隸屬度是 Uμ （x_A 1）。以四位研究生對教育研究 法的熟悉度為例。

設論域X 是由四位研究生組成的集合，即 X：{王，胡，謝，李}，“熟 悉教育研究法＂是x 上的一個模糊集 A，則這個模糊集合可以表示如下：

A= {0.9/王，0.6/胡，0.87/謝，0.53/李}

或 ^0.9 +^0.6 +^0.87 + ^0.53

王 胡 謝 李

故數值「0.9/王、0.53/蘇」表示意義為，王姓研究生熟悉教育研究法的 程度是0.9，而李姓研究生對教育研究法的熟悉程度則是只有 0.53。

貳、模糊數與三角模糊數

模糊數（fuzzy numbers）為系統理論中有關信賴區間（confidence interval）

概念之延伸，Kaufmann＆Gupta（1986）指出：「模糊數具有結合可能性分 佈和α水準的信賴區間的性質」。若Ã為一凸集合的模糊數並屬於常態分佈 之模糊集合，其歸屬函數 fA為映至［0,1］的連續函數，且至少存在一實數 R，滿足 fA＝1，則 Ã為一模糊數。

三角模糊數（triangular fuzzy number）則定義為：A 是實數線（real line）

R 上的模糊子集，如圖 2-8 所示，其隸屬函數 fA 需滿足下列條件：

1. f_A 為從 R 映至【0，1】的一個連續映射。

2. fA（x）=0， x < c 。

3. f_A 在【c，a】為嚴格遞增。

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依據Zadeh（1975）所提之擴張原理（extension principle）與 Dubious 與 Prade（1980）之近似理論，可以進行三角模糊數之算術運算，說明如下：

a b c

A μ_A( )x

0 1

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假設有兩模糊數A=（a1, b1, c1）與B=（a2, b2, c2），則其基本運算為：

1.三角模糊數的加法

(

a , b , c1 1 1

) (

a , b , c2 2 2

) (

a +a , b1 2 1 b , c2 1 c2

)

A⊕ =B ⊕ = + + ⊕：模糊數的加法運算子

2.三角模糊數的減法

(

a , b , c1 1 1

) (

a , b , c2 2 2

) (

a -c , b -b , c -a1 2 1 2 1 2

)

A B Θ = Θ = Θ：模糊數的減法運算子

3.三角模糊數的乘法

(

a , b , c1 1 1

) (

a , b , c2 2 2

) (

a1 a , b2 1 b , c2 1 c2

)

A⊗ =B ⊗ = × × × ⊗：模糊數的乘法運算子

4.三角模糊數的除法

(

1 2 1 2 1 2

)

/ a / , b / b , c / a

A B  = c A/B= （a1/a2, b1/b2, c1/c2） /：模糊數的除法運算子 參、模糊語意變數

如果一個變數能以自然語言得文字來代替它的值，它被稱為語意變數

（linguistic variable），其中這個文字在論域中能被模糊集合歸納定義（汪惠 健，2006）。故「語意變數」是以人類語言中的字或句子為值，而不是以數 據為值（李允中、王小璠、蘇木村，2001），語意變數是用來處理複雜或無 法定義清楚的情況

以圖2-9 為例，指標適宜程度是變數 x 在區間[0, 1 ]上取值，其中 1 表示

「指標適宜」最高。設在區間[0, 1]上有五個模糊集合，它是表達科技大學負 責國際化的業務承辦人對國際化評鑑指標的適宜程度（L5：非常適宜；L4： 適宜；L3：普通；L2：不適宜；L1：非常不適宜）。如果我們視 x 為語意變 數，則它以"非常適宜"、"適宜"、"普通"、"不適宜"與"非常不適宜"來代表它

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的值。也就是我們稱"x 是非常適宜"、"x 是適宜"等。當然，變數 x 也可以在 區間[0, 1 ]上取其值，本研究利用三角模糊數來表示語意變數的隸屬函數，

故如果變數界定在 x＝適宜程度，則其模糊值為（0.25, 0.5, 0.75）。

圖2-9 語意變數概說圖

故一個語意變數被（X, T, U, M）特性化（汪惠健，2006），其中：

（一）X 是語意變數的名稱，如國際化評鑑指標的適宜程度。

（二）T 是 X 能代表的語意值的集合，如 T={非常適宜、適宜、普通、

不適宜與非常不適宜}。

（三）U 是實際物理範圍，而其語意變數代表它的明確值，上述說明中 U﹦[0, 1 ]。

（四）M 是一個語意的規則關連在變數 T 上的每一個語意值且具有 U 上的模糊集合，以指標適宜程度為例說明，則 M 關連"非常適宜

"、"適宜"、"普通"、"不適宜"與"非常不適宜"，且具有圖 2-9 所 示的隸屬函數。

L1 L2 L3 L4 L₅ 隸屬度

1

0.25 0.5 0.75 1

指標適宜程度x

118 肆、解模糊化

解模糊化(defuzzification)是要將模糊數轉換成單一明確值，以利指標權 重計算之比較及排序。常用解模糊化方法有重心法、最大平均值法及α截集 法，其中，「重心解模糊化法」是最常用也似乎是最合理的（鄭滄濱，2001；

張銘仁，2004）。

一、重心法（Center of Gravity Method）

主要是計算模糊數的歸屬函數與其歸屬函數論域所圍成面積的重心，以 該重心作為模糊數明確值，亦即該語意項的隸數度（張銘仁，2004）。當模 糊數為三角形模糊數時，假設三角模糊數，則重心法公式為：

( ) ( )

3

IJ IJ IJ IJ

IJ IJ

U L M L

DF = ⎡ ⎣ − + − ⎤ ⎦ + L

_，其中

DFij ：解模糊化值後的明確值 Uij ：三角模糊數的極大值 Mij ：三角模糊數的幾何平均值 Lij ：三角模糊數的極小值

二、最大隸屬度值之平均值法(mean of maximum method)

以模糊數的隸屬函數中最高隸屬度值的元素，做為此模糊數的明確值，

若最高隸屬度值的元素不只一個時，則將所有對應的元素值取平均值，採平 均值代表解模糊化值。其表示式如下：

1

1

ⁿ

i i

DF N x

=

= ∑

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μ

- 1 0 1

x

1

三、α截集法(α-cut Method)

α-截集（α-cut）是將模糊集合轉變為明確集合的方法（Zimmerman H.

J., 1991）。也就是說，模糊集合 A 的α-截集是一個明確集合 Aα，包含 U 中所有的元素，但在A 中隸屬度大於或等於α（汪惠健，2006）。α可視為 信心水準(confidence level)或稱為門檻值（吳政達，1999）。

α-截集定義如下：

{

^, A

( ) }

A_α = x U∈ μ x ≥α

如圖2-10 所示，當α﹦0.3，模糊集合的α-截集是明確集合［-0.7, 0.7］，

而當α﹦0.9 時模糊集合的α-截集是明確集合［-0.1, 0.1］。

圖2-10 三角模糊數的α-截集示意圖

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在文檔中 科技大學教育國際化指標建構之研究 (頁 118-128)