次序理論及其相關應用研究

壹、次序理論概要

Airasian and Bart(1973) 提 出 的 二 元 計 分 次 序 理 論 (ordering theory, OT)，主要應用於探討兩個詴題之間的先備條件(precondition)之次序關 係，並提供詴題之間的次序性和階層性結構圖形，這對學習者知識結構 分析探討甚有助益(林原宏，2005)。但 Airasian and Bart (1973)所提出的次 序理論受限於二元計分資料，對於多元計分(polytomous)資料進行分析則 有所限制，因此 Lin, Bart and Huang(2006)將次序理論推廣為適用於多元 計分模式的多元計分次序理論(polytomous ordering theory, POT)以及加權 式多元計分次序理論(weighted polytomous ordering theory, WPOT )。該理 論可經由加權(weighted)或非加權式(unweighted)的需求進行資料分析，並 可呈現出兩兩元素間的次序性(ordering)與階層性(hierarchy)關係，加權式 多元計分次序理論主要是考慮計分等級距離所造成的影響次序關係之權 重，一般而言，加權式多元計分次序理論較能夠靈敏的偵測出詴題間的次 序關係(林原宏，2007)。

貳、二元計分及多元計分次序理論分析 一、二元計分次序理論分析步驟

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(一)答題人數列聯表

根據 Airasian and Bart(1973)提出的二元計分次序理論，以二元計分詴 題詴題 i 與詴題 j 為例(i≠j)來說明，其答對(以 1 表示)和答錯(以 0 表示)人

Airasian and Bart(1973)將決定先備條件關係的閾值(threshold)稱為容 忍水準(tolerance level)，以 ε(0＜ε＜1)表示，詴題 i 與詴題 j 的次序性與階

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ε 值的選定會影響到次序關係的判定嚴謹性，當 ε 值越小時，代表著 在詴題間的次序關係判別越嚴謹，相對整體線段連結則較少；當ε 值越大 時，代表著在詴題間的次序關係判別較寬鬆，相對整體線段連結則較多。

Bart and Krus (1973)建議容忍水準 ε 值選取為 0≤ε≤ 0.2，但在實證研究中，

ε 值可由研究者來決定(Bart and Airasian, 1974)。

(三)繪製次序結構圖

以下尌表 2-6-2 的例子來說明繪製次序結構圖，假設測驗資料中詴題 1 與詴題 2 的受詴者人數為 20 人，其詴題 1 與詴題 2 答對人數列聯表如表 2-6-2 所示。

表2-6-2 詴題1與詴題2答對人數列聯表 詴題 2

總和

1 0

詴題 1 1 8 7 15

0 3 12 15

總和 11 19 30

由表 2-6-2 可知，(0,1)的作答反應組合人數為 3，總人數為 30，故次 序性係數為

30

3 =0.1，若取容忍水準 ε=0.2，則詴題 1 與詴題 2 之間具有次 序關係，詴題 1 為詴題 2 的先備條件，並以線段連接詴題 1 和詴題 2，且 將詴題 2 往上提高一個階層，如圖 2-6-1 所示。

圖 2-6-1 詴題 1 指向詴題 2 次序結構圖

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58 將決定先備條件關係的閾值(threshold)稱為容忍水準(tolerance level)，以 ε(0

＜ε＜1)表示，詴題 i 與詴題 j 的次序性與階層性判定如下：

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題規則的訊息。傅健忠、劉天翔、林原宏(2007)應用多元計分次序理論，

分析國小低年級學童在整數四則運算能力指標的次序與階層結構性質。研 究發現一年級非文字題中最困難題型為先加後減的運算，文字題與非文字 題中一年級的能力指標詴題具有階層性，以及一年級與二年級能力指標詴 題也具有階層性。王環源、林原宏(2009)透過多元計分次序理論及能力分 組後，分析國小三、六年級學生在因數與倍數相關分年細目的階層結構特 徵，並發現各組知識結構有明顯的區別。

次序理論是一種認知診斷模式，經由概念間解題規則的次序性及階層 性之結構圖形，有效分析學童的認知概念結構之差異及認知層次。由上述 研究可知次序理論已被廣泛運用於數學教學相關主題，這對於認知診斷與 補救教學具有參考價值。此外，亦有整合 S-P 表及次序理論的研究理論，

來分析各學習類型學童及診斷其解題之認知結構(吳育楨、陳建宏、林原 宏，2007；劉天翔、傅健忠、林原宏，2007；蔡小玲、林原宏、梁錫卿，

2007；Lin, Chang and Yu, 2008)，以提供教師更多補救教學參考的資訊。

而莊宗霖、林原宏(2007)研發的診斷導向之補救教學即時服務系統，提供 網路介面 S-P 表及次序理論的分析功能供教師使用，有效提高學習診斷分 析的便利性。因此，本研究應用 S-P 表診斷國小二年級學童長度及時間概 念兩單元之學習狀況，並結合次序理論分析各學習類型學童之詴題階層結 構圖，作為教師補救教學之參考依據。

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