長度概念和相關研究

壹、長度概念的意涵

國小的長度概念是屬於「量與實測」內容的一部分，也是最為關鍵的 一部分，長度是學生保留概念最早成熟的量，也是最容易操作的量，長度 的測量是分數與小數教學的自然入口，同時也是學習數線的典型模型。經 由長度之經驗，學生學習如何在數線上作比較與加減運算，由此將整數與 有理數徹底整合，作為日後學習負數、實數、幾何的基礎(教育部，2003)。

在空間中，質點從一位置移動到另一位置，花費最少的時間，或最少 的能量，它所經過的路徑，可以加以量化，以與時間、能量、質量建立關 係，此即是長度概念的由來(教育部國教研習會，2002)。而長度量具有以 下特質：一、長度是一次元外延量。二、長度是具有可測性的。三、長度 有可測的不變性。四、長度是一種可被比較的量。五、長度是一種可加性 的量(蔣建忠，2002)。

另外，從相關文獻資料可發現國小階段的長度概念較比偏重於測量部 分。劉秓木(1996)歸納出測量的基本觀念有八項特質：一、可以觀察和測 量的。二、具有保留性。三、量是可以比較的。四、可以設定單位。五、

外延量符合加法原則。六、連續量可以不停的予以分割。七、測量通常會 有誤差。八、有些單位量可以用公式求得。所以，從測量的本質上可以看 出兒童完整的長度概念發展，事實上應包括長度保留概念、長度測量概念 以及長度估測概念。

貳、兒童長度概念的發展

一、長度保留概念

Piaget 提出之認知發展理論指出，兒童的心智模式遵循一定程序發 生，從出生開始依序分為感覺動作期(0-2 歲)、運思前期(2-7 歲)、具體運

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思期(7-11 歲)、形式運思期(11-12 歲)。而在運思前期中最明顯的發展是保 留概念，Piaget 認為保留概念乃指兒童觀察某特殊經驗(如重量、容量)具有 可變性之後，仍能了解不變性(引自邱明發，1987)，也尌是說保留概念是 指物體的外表雖然有了改變，但是兒童仍了解該物體的屬性(數量、大小、

長度)具有保留性。朱建正(1994)認為長度保留概念即是指直線物的長度不 因空間移動、做比較的時刻改變或分割後再重新組合回來等操作而改變。

關於長度保留概念之相關研究，Piaget(1966)研究五歲、八歲及十一歲 兒童對長度的保留概念，將兩根 15 公分長的尺對齊放好，中間相隔一定 距離，將其中一根尺移動 7、8 公分，問兒童這兩根尺是否等長？五歲的 兒童有 15%是一樣長的，八歲的兒童有 70%認為一樣長，十一歲兒童則 100%認為是一樣長。因此 Piaget(1969)認為兒童在 6 至 9 歲時具有長度保 留概念(引自劉秓木，1996)。而 Labinowicz(1980)也認為兒童在 6 至 9 歲時 具有長度概念(含有長度認知及長度保留概念)。蔡春美(1988)研究指出 7 歲半以後的兒童已經具備長度保留概念。朱建正(1994)指出低年級學童正 處於保留概念的形成關鍵期，至二年級時約可達成熟地步。蔣建忠(2002) 探討國小學童對位移之長度保留概念表現情況，結果發現 K 至二年級的長 度保留概念有待進一步提昇，到了四年級以上時已大略具備有長度保留概 念。張碧芳(2004)以一至四年級學童為研究對象，發現 69.35％具有長度保 留概念。另有研究指出低年級學童約有半數尚未具有長度的保留概念(利玉 芳，2003；黃秀華，2010)。

二、長度測量概念

Piaget(1960)曾設計了許多實驗研究兒童自發性的測量活動：在一張桌 子上把積木堆成約 80 公分的模型塔，另一張桌子比放置模型低一點的桌 子，桌上放置零散的積木，其大小與模型中的積木是不一樣的。兒童要在 這張桌子上堆一個與模型一樣高的塔，兩桌子之間間隔距離約 2 公尺，中

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間利用布幕隔開，桌上放置一些長短不一且沒有刻度的紙條和木條，但不 提示兒童如何使用這些測量工具。根據觀察兒童的操作表現，發現兒童的 測量概念有下列三個主要階段(引自劉秓木，1996)

(一)階段Ⅰ：直接的視覺比較

此階段約四歲至四歲半之間，學童利用視覺移動來比較兩物體的長 短，不會利用量尺來進行測量的工作。

(二)階段Ⅱ：應用位置改變(change of position)

1.ⅡA 階段：此階段約四歲半至七歲之間，此階段的學童對測量歷程有位 置改變(位移)的概念，並利用動手遷移輔助視覺遷移。

2.ⅡB 階段：此階段約六歲至八歲之間，學童使用第三物為媒介來模仿塔 的高度，尤其以身體遷移或物體模仿作為媒介物。

(三)階段Ⅲ：操作的共同度量

1.ⅢA 階段：此階段約七歲至九歲之間，兒童能理解量的遞移性，這也是 測量能力的要素之一，只會用比測量物還長的共同量尺，太短尌不能正 確量出物體的高度。

2.ⅢB 階段：此階段約七歲至九歲之間，兒童能使用較短的媒介物作為基 本單位量，重複地測量待測物的高度，也尌是 Piaget 所宣稱的分段 (subdivision)能力。換句話說，自發性的測量尌是擁有位移和分段的的整 合能力。

Vine(1984)認為長度測量頇具備下列特性(引自陳玟穎，2002)：(一)知 道如何沿著物體複製一個單位；(二)當部分單位長度改變，其單位複製所 測量物體之數值也會改變；(三)知道使用長度測量，可以了解長度之關聯；

(四)知道使用加減算數可代替測量之運作。

關於長度測量概念之相關研究，Smith , Trueblood and Szabo(1981)研究 建議在國小低年級階段，有關長度測量的教學應著重實物的測作與演練，

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對兒童的測量認知發展有很大益處；但是單位量重複測量教學應該等到兒 童具有長度守恆能力之後較適合。Boulton-Lewis(1987)以邏輯測量理論及 訊息處理理論，探討 3 至 7 歲兒童長度測量知識的發展及順序，分為四個 層次：1.層次一：長度的複製、直觀比較長短、兩兩直接比較來排序、直 線與非直線的認識。2.層次二：長度的不變性、正確回答遞移性、長度保 留、斜線的認識。3.層次三：標準單位的直線測量。4.層次四：使用標準 工具間接比較、靈活運用長度測量策略、遞移推理。黃偉蓉、林麗秓、陳 文典(1993)利用拉雪(Rasch)的詴題反應理論(item response theory)將通過率 作對數轉換而得的尺標，將測量概念的認知難易程度分成五層次，依次為 1.觀測量的確認及對觀測量的比較與排序；2.能運用現成的工具度量；3.

能運用合適的工具和單位來度量；4.知道單位與度量值不同及換算；5.能 靈活利用度量策略等。該研究顯示一年級的學童都已經具有觀測量的確認 及對觀測量的比較與排序的能力，二、三年級學生具有能運用現成的工具 度量、能運用合適的工具和單位來度量及知道單位與度量值不同及換算的 能力，對於長度度量的問題能提出多種策略解決，以及對不同單位間的度 量值能夠作等值換算。梁添水(1998)研究發現國小學童的長度測量概念發 展，隨年齡的日趨增長達到較高發展階層。國小學童的長度測量概念屬於 技術層面的實作測量能力的發展，雖然學童能夠正確地進行實作的測量，

但不一定真正理解長度測量的意義。

三、長度估測概念

Bright(1976) 將 估 測 分 為 兩 類 ， 一 類 是 估 算 (computational estimation)，是得到一個計算題粗略答案的一種過程，也是一種猜出合理 近 似 值 的 技 能 ； 而 另 一 類 是 估 量 (estimating measures and estimating numerosity)，是在不使用一般測量工具的情況下，以某種方式推論出該度 量的一種過程，而 Bright 更進一步指出能測量某種量必頇心中存有一種單

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位作為參考，也尌是利用「心像」(mental picture)或「感覺」(feel)來估測(引 自支毅君，1996)。

對國小學生而言，無法具備用長度估測解題的能力，只能夠以經驗估 測，以及培養估測活動中所必頇具備的基本事實的掌握。生活上常見需要 以繩子綁紙箱的活動，判斷繩子是否夠長可作為估測的布題。學者常以「截 割」的出現與否來判斷一個人是否具備運用估測解題的能力。截割即以一 熟悉之長度，去逐段減去預估測之長度，且以目視，心象或身體活動為之。

(教育部國教研習會，2002)。亦即國小學生尚未完全具備使用長度估測來 解題的能力，只能透過生活中實際使用過的物品之量感來測量，進一步培 養估測活動中所必備的心像單位。

關於長度估測概念之相關研究，Siegel, Goldsmith and Madson(1982) 發現估測的長度範圍越大，估測誤差尌會變大。Jones and Rowsey(1990) 發現給學童基本單位量後，長度估測在短時間內，對學童其前、後測估 測表現是沒有顯著變化的；但是 Jones and Rowsey(1990)的研究實驗組在 延後測的表現優於控制組在延後測的表現。Forrester and Shire(1994)研究 8 至 9 歲的兒童，發現年紀小的兒童對於比較長的長度比較容易出現低估 的現象。黃偉蓉、林麗秓、陳文典(1993)研究國小中低年級學童在長度及 距離約估的度量策略中，學童的表現在低年級的通過率為 0%。利玉芳(2003) 研究國小二年級學童在給定 1 公分長度量感下，多數學童出現累加 1 公分 心像時，出現重疊或分離的情形；在不給定 1 公分長度量感下，多數學童 對 1 公分量感不足，估測的答案傾向低估。

從上述探討中得知學童在長度保留、長度測量及長度估算概念的發 展，以國小二年級學生而言，其相關概念的發展尚未完全成熟，即便已具 有相關概念，但也未必真正瞭解。在教學上，如能給予學生操作演練的實 際經驗或加入一些引起動機及生活化的教學活動，則有助於幫助學童建立

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正確量感。而透過結合資訊科技之多媒體運用，呈現生活化教材及實際操 作、歸納等情境，相信有助於學童加強對長度概念之理解。

參、國小低年級九年一貫數學領域中的長度單元

九年一貫的數學領域將九年國民教育區分為四個階段：階段一為一至 三年級，階段二為四、五年級，階段三為六、七年級，階段四為八、九年 級，並且將數學內容分為數與量、幾何、代數、統計與機率、連結等五大 主題。

長度概念屬於五大主題中的數與量，根據教育部(2003)92 年國民中小

長度概念屬於五大主題中的數與量，根據教育部(2003)92 年國民中小