第四 第四 第四
第八節 歸納與討論 歸納與討論 歸納與討論 歸納與討論
第八節 第八節 歸納與討論 歸納與討論 歸納與討論 歸納與討論
本節為針對前面七節中各項研究結果，加以歸納與做出相關的討論。本節共 分為四個部份，第一個部份為「各組學生在兩種文字問題的表現」；第二部份探 討「各組學生的解題歷程」；第三部份討論「各組學生的錯誤類型」；第四部份則 是探究「合作解題的成效」。
壹 壹 壹
壹、、、、各組學生在兩種文字問題的表現各組學生在兩種文字問題的表現各組學生在兩種文字問題的表現各組學生在兩種文字問題的表現
下表 4－8－1 為歸納前面第一至三節的研究結果。由此表可看出，傳統文字 問題方面，其與數學算術測驗結果完全相同，且相關分析、迴歸分析皆與此結果
表 4－8－1：背景能力對兩種文字問題的影響彙整表 學生在兩種文字問題得分的相依 t 考驗摘要(N＝203) 傳統題－故事題
平均數＝11.49 標準差＝9.45 t＝17.327*** ***p＜.001 各組學生在各測驗之事後比較摘要 (Scheffé)(N＝203)
一、數學算術計算測驗 1 > 2 > 3 > 4 二、語文測驗 1，3 > 2，4 三、傳統文字問題 1 > 2 > 3 > 4 四、故事文字問題 1 > 2，3 > 4
背景能力與兩種文字問題的高度正相關摘要(N＝203)
「數學算術計算測驗」與「傳統文字問題」，r＝.80, p＜.01 背景能力對兩種文字問題的迴歸分析摘要(N＝203)
(預測變項) (可解釋的變異量)(adj.R2) (依變項) 數學算術計算測驗 63.4%
語文測驗 3.5% 傳統文字問題
(合計 66.8%) 數學算術計算測驗 45.7%
語文測驗 13.5% 故事文字問題
(合計 59.0%)
相呼應。前面第二章中所提到 Jordan & Montani(1997)探討兩類型學生：「數學 學習困難—特殊領域」(MD-specific)與「數學學習困難—一般領域」
(MD-general)，與本研究中相互比較後，前者可類比為本研究中的第三組學生，
後者則可類比為第四組學生，兩種文字題中，第三組學生的得分都較第四組學生 來得高，與 Jordan 等人的研究結果相符合。
傳統文字問題即為常見的學校數學文字問題。其簡短的敘述已去情境化，
且刻意刪除了與解題無關的訊息，故強調的是計算能力。長期地機械式演練大量 這樣類型的問題，可能會形成抽象命題式的知識基模，導致「呆板的知識」(inert knowledge)，使得學生無法應用該知識於真實的問題解決情境中(Gagné,
Yekovich & Yekovich, 1993)。因此 Cooper & Harries(2002)建議學校給予學 生文字問題作為練習時，應安排一些希望學生有真實觀點的線索，亦即是與真實 情境相關的問題。
然而，故事文字題的問題情境雖然是學生所熟悉的日常生活情景，但其包 括許多無關的資訊，且有一些有用或重要的線索夾雜在題目的敘述中，不易發 現，使得學生對故事題較傳統題感到困難許多(Yancy1981,引自古明峰，1998)，
因此各組學生在故事題中表現得較差，此亦可由上表 4－8－1 看出。
Jordan, Hanich, & Kaplan(2003)以二至三年級兒童為對象，類似本研究 般地將兒童分為四組：一為數學與閱讀無困難學生(normal achievement in math and reading, NA)、二為只有閱讀困難學生(reading difficulties but normal math, RD-only)、三為只有數學困難學生(math difficulties but normal reading,MD-only)、四為數學與閱讀皆有困難學生(math and reading
difficulties,MD-RD)。其研究結果與本研究頗為相符：即 NA 與 RD-only 兩組學 生在文字題上表現皆勝過 MD-RD 學生；MD-only 學生在單純數學算術方面與 MD-RD 學生無顯著差異，但在解文字題方面勝過 MD-RD 學生；而縱貫研究之後，MD-only 與 RD-only 兩組學生在解文字題方面無顯著差異。而本研究中，第二組與第三組 學生在故事文字問題的表現上無顯著差異。為再深入探討這二組學生的差異，我
們由前面第四節探討各組解題歷程中，可以看到第二組學生雖有較好的算術運算 能力，但其過於重視題目中的數字、讀題快、對故事題長篇的文字敘述沒有耐心 詳讀，所以無法組織有用訊息而無從下手，而這也是第二組學生得分嚴重下降的 主要原因。第三組學生則反之，他們讀題慢、一再重讀，花很多時間在分辦資訊 的有用性及其關係，雖然可能計劃解題方法，但其較弱的數學運算能力，使其仍 不能完整地解決故事文字題。
從上表 4－8－1 我們還可以看出，調整後的決定係數值(adj. R2)略為提高，
意即在故事文字問題中，「語文測驗」的預測力有些微的提昇，但「數學算術計 算測驗」與「語文測驗」兩個預測變項合計對「故事文字問題」之預測力不若對
「傳統文字問題」來得高(adj. R2＝.590；adj. R2＝.668)。這個結果顯示仍有 其他重要因素能影響「故事文字問題」的表現，由前文第四節探討各組解題歷程 的結果，本研究認同「努力不懈」(persevere)( Thom & Pirie, 2002)為成功解 故事文字題的重要因素之一，亦即對問題是否能持續地嘗試，不要太早放棄解題。
貳 貳 貳
貳、、、、各組學生的解題歷程各組學生的解題歷程各組學生的解題歷程各組學生的解題歷程
由前文第四節的第一部份，使用卡方之獨立性考驗，我們知道「解題歷程 階段」與「得分」有正相關存在。並且，在第一、二組學生在傳統文字題中，大 多能達到執行計劃、檢核結果的高階段(4 和 5)，第三組學生約有 60%可達到高 階段，但約有 30%是落在低階段(0~2)。第四組學生則只約有 35%達到高階段，其 餘 62.5%是落在低階段的。但在故事題中，情況大為不同。除了第一組學生仍有 高達 91%達到高階段，第二、三組學生大部份是停滯在 0~2 的低階段，只有大約 26%達到高階段。而第四組學生的情況更嚴重，有超過 50%沒有任何解題歷程。
在上述學生自評解題歷程統整說明中，首先，不論是傳統題或故事題，較 少學生勾選階段 3(擬定解法)，不是自評為 0、1、或 2，就是自評為 4 或 5。莊 裕庭(2002)將學生區分為高、低數學成就，並且整理各學者的看法後，將解題歷 程分為六個階段：讀題、探索、分析、計劃、執行、驗證。其中探索與分析階段
的內涵，恰如本研究中的「尋求模式」階段。莊裕庭(2002)在其研究中指出，不 論高或低數學成就學生，其計劃階段大多不明顯，大部份都包含在執行階段或與 執行階段連接，與本研究中結果相符。第一、二組學生解傳統文字題的過程非常 流暢快迅，與平時練習較多有關，他們讀題之後，便直接列出解題算式、計算並 得到答案。而其他在兩種文字題中，許多自評解題階段為 2 的學生，他們在探索 的過程中，也做了一些簡單的列式與運算，但這些列式與運算都無法使他們進入 解題核心，也無法得到重要的中介答案，故他們自評達到階段 2。
另外，達到「執行計劃」的大部份學生，沒有進行下一階段「判斷」的習 慣。在傳統題中，只有對較無把握的問題，或是個人對於計算的過程感到不順利，
才會回頭去檢驗算式，亦即是憑直覺或歷程順利與否來決定是否驗證自己的答案 (莊裕庭，2002)。但在故事題中，第一、二、三組有部份的學生、第四組幾乎是 全部的學生，無論是否察覺到自己的答案可能不對，都不會再進行判斷的檢驗工 作，原因是故事題太多的敘述太長，有用與無用訊息雜混，他們沒有信心或是沒 有能力再驗算。
綜觀每一組學生的解題歷程，本研究試著建立一個解題模型：「探索帶」、「解 題核心」，如下圖 4－8－1 所示。成功的解題必須先經歷「探索帶」，才能進入「解 題核心」。「探索帶」歷程的長短因解題者對題目的熟悉度而相異，學生的理解題 意、尋求模式都在「探索帶」中發生，直到發展出一個關鍵的解題計劃，始進入
「解題核心」，這個解題計劃能夠得到重要的中介或最後答案。在「解題核心」
中，學生執行解題計劃，經由一連串的運算之後，得到最後的答案並進行檢驗。
第一、二組學生解傳統文字題時，在探索帶中理解題意，利用題目中的條件，
組識成有效的算式，快速地進入解題核心。但在故事題方面，兩組學生處於探索 帶的階段較長，第一組學生利用不斷地「重讀」(re-read)以過濾重要的訊息，
並將這些訊息結構而成有用的算式，進入解題核心。但第二組學生無法掌控有用 的訊息，組織錯誤，可能做出錯的推論以快速跳離探索帶，或是一直處於探索帶，
失去耐心與信心，最後放棄解題。
第三組學生解兩種文字題時處於探索帶階段較長，常利用重讀以理解問題。
縱然已理解題意，但不一定能列出關鍵的算式以進入解題核心。即使已進入解題 核心，因為對特殊的數學運算不熟悉，所以也不一定能得到最後答案。
第四組學生在探索帶的階段最長，對於訊息的處理沒有結構，找不到或視 而不見解題關鍵。在故事題中，幾乎就停留在探索帶中，找不到出口。
本研究綜合前文第二章第一節的第三部份(p.18)與本章第四節的第二部份 (p.76)，將各組學生在兩種文字問題的解題歷程與 Pape(2004)對解題行為的分 類相比較，可得到下表 4－8－2。其中 Pape 的二大類解題行為分別為 DTA(Direct Translation Approach)與 MBA(Meaning-Based Approach)。
本研究認為，在傳統文字題中，第一、二組學生對題目結構熟悉，得以自 動地和高效率地轉譯問題元數至數學算式與計算，且其最後答案常是正確的，故 可歸類為 DTA – proficient。在故事文字題中，第二、四組學生對閱讀可能有 困難，對形成解法的過程非常猶豫，一再地尋求模式可能是唯一的解題行為。而 計算過程與最後的答案可能是拼湊而來的；故將之歸類為 DTA-not proficient。
而每一組在兩種文字題中，都有使用題目中不完全的訊息，將之直接轉釋為算式 的現象，故四組學生都被歸類為 DTA-limited context。在故事題中，第一、三
解題 核心 探 索
帶
關鍵的 解題計劃
圖 4－8－1：解題模型示意圖 (每一個「 」都是可能的關鍵解題計劃)
組學生常不斷地重讀每一句話，專注於變項及變項間的關係。其組織訊息以支持 整個解題過程，並且能試著解釋每一個算式的意義。其中第一組學生猶能檢驗最 後的答案，故歸類於兩種 MBA；第三組學生經常無法順利完成數學運算，故只能
組學生常不斷地重讀每一句話，專注於變項及變項間的關係。其組織訊息以支持 整個解題過程，並且能試著解釋每一個算式的意義。其中第一組學生猶能檢驗最 後的答案，故歸類於兩種 MBA；第三組學生經常無法順利完成數學運算，故只能