第五章 第五章
第五章 結論與建議 結論與建議 結論與建議 結論與建議
本章共分為三節，首先根據前面第四章的研究結果與討論，彙整成為本研究 的結論；接著是提出本研究在數學教育實務上的應用；最後則是說明本研究的研 究限制及探討未來相關研究的可能方向。
第一節 第一節
第一節 第一節 結論 結論 結論 結論
本研究將學生依其語文理解能力與數學計算能力的不同而分為四組：第一組 為「數學計算與語文理解皆未發生困難的學生」、第二組為「語文理解困難學生」、 第三組為「數學計算困難學生」，而第四組學生為「數學計算與語文理解同時發 生困難的學生」。接著對其施以兩種數學文字問題：「傳統文字題」、「故事文字 題」，探究其個人與合作解題之得分、解題特徵與解題歷程。在得分方面，研究 者以統計方法考驗其得分差異的顯著性；在解題特徵與解題歷程方面，研究者以 質的觀察與學生自評方式，描述其個人與合作之解題行為。以下即針對本研究之 研究結果統整而成結論，共分為兩個部份陳述之。
壹 壹 壹
壹、、、、各組學生解兩種文字問題的情況各組學生解兩種文字問題的情況各組學生解兩種文字問題的情況各組學生解兩種文字問題的情況
本研究探究四組學生解決兩種文字問題的情況，包括得分上的差異、解題 歷程、與錯誤類型。根據前面的研究結果與討論，得到的結論如下所述。
一、得分差異
首先，在傳統文字題方面，各組經由事後分析比較，發現其得分高低呈現第 一組>第二組>第三組>第四組的情況，與數學算術測驗結果相同，且相關分析、
迴歸分析皆與此結果相互呼應，表示此類常見的學校數學文字問題，其簡短的敘 述已去情境化，故強調的是計算能力。
在故事文字題方面，各組經由事後比較，發現其得分高低呈現第一組>第二、
三組>第四組，而迴歸分析中語文理解的預測力也略為提昇，顯示第二組與第三
組學生在故事題中各有困難產生，因而無顯著差異。
以上的研究結果，與 Jordan 等人(2003)的研究結果頗為相符。另外，由於
「數學算術計算測驗」與「語文測驗」兩個預測變項合計對「故事文字問題」之 預測力並不高(adj. R2＝.668)，因此本研究認為仍有其他重要因素能影響「故 事文字問題」的表現。其中，「努力不懈」(persevere)( Thom & Pirie, 2002) 可能即為重要因素之一，亦即對問題是否能持續地嘗試，不要太早放棄解題。
二、解題歷程
本研究綜合各學者對解題歷程的看法，將其分為五個階段：1、理解題意；2、
尋求模式；3、擬定解法；4、執行方法；5、判斷。本研究使用卡方獨立性考驗 方法，結果發現「解題歷程階段」與「得分」之間有正相關存在。在學生自評解 題歷程方面，傳統題部份，第一、二組學生大多自評達到執行計劃、檢核結果的 高階段(4 和 5)，第三組學生約有 60%可達到高階段，第四組學生則只約有 35%
達到高階段，其餘 62.5%是落在低階段(0~2)的。但是在故事題中，除了第一組 學生仍有高達 91%達到高階段，第二、三組學生大部份是停滯在 0~2 的低階段，
只有大約 26%達到高階段。而第四組學生的情況更嚴重，有超過 50%為一片空白。
較為特殊的是，在兩種文字題中，較少學生勾選階段 3(擬定解法)、且達到
「執行計劃」的大部份學生，沒有進行下一階段「判斷」的習慣，此結果與莊裕 庭(2002)的研究結果頗為相符。本研究認為，不論哪一組學生，其計劃階段大多 不明顯，大部份都包含在執行階段或與執行階段連接；而只有對較無把握的問 題，或是個人對於計算的過程感到不順利，才會回頭去檢驗算式，亦即是憑直覺 或歷程順利與否來決定是否驗證自己的答案。
本研究亦嘗試建立一個解題歷程的模型，如前文圖 4－8－1 所示。成功的 解題必須先經歷「探索帶」，才能進入「解題核心」。「探索帶」歷程的長短因解 題者對題目的熟悉度而相異，「理解題意」、「尋求模式」都在「探索帶」中發生，
直到發展出一個關鍵的「解題計劃」，始進入「解題核心」。在「解題核心」中，
學生執行解題計劃，經由一連串的運算之後，得到最後的答案並進行檢驗。本研
究中，第一、二組學生解傳統文字題時，在探索帶裡組識訊息為有效的算式，快 速地進入解題核心。但在故事題方面，兩組學生處於探索帶時間較長，第一組學 生利用不斷地「重讀」(re-read)過濾訊息，並結構而成有用的算式，進入解題 核心。但第二組學生無法掌控有用的訊息，組織錯誤，可能做出錯的推論以快速 跳離探索帶，或是一直處於探索帶，失去耐心與信心，最後放棄解題。第三組學 生解兩種文字題時處於探索帶階段較長，常利用重讀以理解問題，但不一定能列 出關鍵的算式以進入解題核心。即使已進入解題核心，因為對特殊的數學運算不 熟悉，所以也不一定能得到最後答案。第四組學生在探索帶的階段最長，對於訊 息的處理沒有結構，找不到或視而不見解題關鍵。在故事題中，幾乎就停留在探 索帶中，找不到出口。
三、錯誤類型
本研究認為有故事背景的文字題雖能引發部份學生的興趣，使其考慮真實情 況，但對大部份學生而言，這類型的問題使他們感到極為困擾，也表現得較差。
尤其我們可以看到第二、三、四組學生，他們在「一片空白」的題數遠遠地超過 傳統題。
本研究試著將各組的錯誤類型與張景媛(1994)之四種國中生數學文字題錯 誤概念來比較。其中第二、四組學生於故事文字題中，有明顯的「語言知識錯誤」， 需要接受閱讀理解的再訓練(Cardelle-Elawar, 1992)。而第三、四組學生則需 要加強程序性知識，亦即「自動化技能」(automatic skills)的加速技巧(Jordan
& Montani, 1997)。
貳貳
貳貳、、、、各組學生合作解題的成效各組學生合作解題的成效各組學生合作解題的成效各組學生合作解題的成效
本研究探討各組學生合作解題之得分與解題歷程的差異。量化的分析方面，
有各組之間的比較，以及組內個人的比較；質化的分析方面，描述各組合作解題 的過程。
一、在組間比較方面
各組合作解傳統題之後的得分，並無顯著差異，分數都很高。而各組合作解 故事題之後的得分，經由事後考驗後，只有「組 1+組 3」顯著高於「組 1+組 4」。
在解題歷程階段之組間比較方面，各組合作解兩種文字題後的解題歷程都偏 高階段(4 或 5)，較個人解題進步得多。尤其是在故事題方面，各種組合的高階 段的次數都較合作解傳統題後來得多。
二、在組內個人比較與質化描述方面
整體而言，合作解題能夠促進學生解文字題的得分與提昇解題歷程階段，且 在故事題的效果比在傳統題來得好。雖然對於第一組學生而言，即使在合作之後 的得分與解題歷程階段較個人解題沒有顯著差異，但本研究認同 Fantuzzo 等人 (1989)的看法，認為第一組學生之內化的概念與基模精鍊是很可能較其合作伙伴 更為深入的。另外，各組學生在合作解題的過程中，和諧幽默的對話產生情意上 的支持，使得故事題之階段 0 的次數的大幅減少，亦頗為符合 Greeno 等人(1996) 的看法：來自於社群中參與關係的認同，是學習動機的來源。
最後，本研究將四種配對組合約略分為兩大類，第一類是第一組與其它三組 的組合，亦即「組 1+組 2」、「組 1+組 3」、「組 1+組 4」；第二類則是第二組與第 三組的組合，即「組 2+組 3」。第一類的組合模式是由能力較強的一方帶領能力 較弱的一方建構解題歷程，頗為符合「鷹架支持」(scaffolding)的隱喻，類似 於專家-生手形態。而第二類的組合模式是由能力較為互補的兩方所形成，因此 產生的口語互動、意見交換較多。類似同儕在「相同平面」(equivalent planes) 的合作關係(Rogoff, 1991，引自 Mintzes 等人，1998)，沒有太明顯的專家或生 手之別，而是兩個個體共同學習、創造意義。
第二節 第二節
第二節 第二節 在數學教育上的應用 在數學教育上的應用 在數學教育上的應用 在數學教育上的應用
本研究探究不同的「數學算術能力」與「語文理解能力」的學生，解兩種文 字問題的情況，以及初探合作解題的成效。結果發現學生在傳統文字問題方面的 表現依數學算術能力的不同而有所差異；在故事文字問題方面，各組學生則有不 同的解題困難；而合作解題能提昇學生解題之得分與解題歷程階段，故事題成效 尤高。本研究結果在數學教育上可能的應用主要有二，首先幫助學校教師易於區 分數學學習困難的學生之障礙來源；第二，提供一些可能適合各組的教學建議。
一、易於區分困難來源：
本研究的研究對象為國中的普通班級學生，而非資源班學生。且本研究將 學生區分為四組的依據，並非使用特殊的鑑定量表，而是利用每一所學校新生入 學時必然施測的國民中學智力測驗。這對於大部份教授普通班數學科目的教師而 言，是非常容易取得的資料，也很容易區分其不同的數學解題困難可能原因。
二、合適的教學建議：
(一)閱讀理解策略
要增進學生的數學學習，必須也增進他們的閱讀能力(Fuentes, 1998)。由 本研究結果，我們推測第二、四組學生可能更能夠從閱讀理解策略訓練中提昇數 學文字問題解決能力。已有許多的學者從事這方面的研究，例如 Siegel &
Fonzi(1998)、Borasi & Siegel(1998)、McIntosh(1997)、McIntosh 和 Bear(1993) 等，其研究指出閱讀策略能促進學生理解數學文本(making sense in
mathematics texts)，而且更可以將這些文本當作探索數學想法的媒介，並且學 生討論數學概念的次數也增加了。學校中的數學教師不妨和國文教師合作協同教 學，使學生投入一個動態的閱讀過程，運用推理能力與自己的想法，提昇對數學
mathematics texts)，而且更可以將這些文本當作探索數學想法的媒介，並且學 生討論數學概念的次數也增加了。學校中的數學教師不妨和國文教師合作協同教 學，使學生投入一個動態的閱讀過程，運用推理能力與自己的想法，提昇對數學