不同數學文字問題之解題與合作解題研究

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(1)國立交通大學教育研究所碩士論文. 不同數學文字問題之解題與合作解題研究. 指導教授：蔡今中博士研究生：葉家綺. 中華民國九十四年七月.

(2) 致謝研究所生活的這幾年裡，除了學業，也完成了一些重要的人生大事，諸如結婚、生子、擁有自己的小窩等。過程中雖然有太多無法成眠的夜晚，但也有太多人給我滿滿的溫暖與鼓勵，值得我好好地感謝。這本論文能夠順利完成，首先要感謝我的指導教授-蔡今中博士。蔡老師的. 學術成就令人欽佩，但他待人寬厚、行事有效率的個人風格，一點也不亞於他的成就。老師給我很大的研究自由，讓我的想法能胡亂編織，然後他再幫我把這些思緒的盲點釐清，變得稍有條理。也感謝蔡老師對所有學生的教學，因為他有結. 構的內容安排，即使遲頓如我，也能對科學教育研究的內容與方向有一點點認識。當然還要感謝袁媛老師、張俊彥老師、楊芳瑩老師、蔡孟蓉老師給我的建議，. 使我的論文能更趨完整。感謝研究所的同學，穎沺、佩宜給了我相當多的協助與鼓勵，友誼長存。而. 教育所的所有老師的研究態度與行事，亦令我感佩甚深。我的好友小紅帽在論文. 完成的最後一階段，亦給我許多協助。還有感謝我的同事，麗鈴、文聖，常在我. 論文、工作、家庭忙不過來時，給予我工作上的協助，減輕我的負擔。當然，家人的支持是最令我感動與不捨的。我常無法陪伴他們或整理家務，幸有我先生永昇無怨無悔的付出、我母親秋菊女士對我兒子柏堯無微不至的照. 顧，使我們的家庭美滿幸福，也更促使我有必要完成此論文的決心。完成了個人夢想的一部份，我將帶著上述這些好人的祝福，展開另一個人生階段、把更多的時間留給家人。也希望這份論文內容對從事數學教育的研究者或教師有一些幫助。. 94 年 7 月.

(3) 中. 文摘. 要. 問題解決一直是數學教育研究中的重要議題。在學校中，我們常以解決文字問題作為培養問題解決能力的重要方式。本研究據以建構主義的觀點，探討數學計算能力與不同語文理解的學習者，面對不同述敘方式的文字問題時，其解題表現、錯誤類型，及解題歷程。接以，加入合作協商之解題方式，初探合作解題之成效。本研究探究問題解決的內涵，而發展出兩種文字問題－傳統文字問題、故事文字問題；五個解題歷程－理解題意、尋求模式、擬定解法、執行方法、判斷；以及解題評量方法。接以，本研究探討數學文字問題的相關研究，彙整影響解文字問題的因素，與錯誤類型。本研究採用測驗、觀察方法，研究樣本為六班國二學生，共 203 人。首先將所有學生分為四組，依序分別為「數學計算與語文理解皆未發生困難的學生」 (第一組)、「語文理解困難學生」(第二組)、「數學計算困難學生」(第三組)，與「數學計算與語文理解同時發生困難的學生」(第四組)。接著對其施以兩種數學文字問題，探究其個人與合作解題之得分、解題特徵與解題歷程。研究結果分為四個部份。首先，在得分方面，傳統文字題與數學算術測驗結果相同，表示此類常見的學校數學文字問題，其簡短的敘述已去情境化，強調的是計算能力。而各組學生在故事文字題的得分皆變差，其中第二、三組學生已無顯著差異，各有不同的解題困難產生。第二，在解題歷程方面，除第四組學生之外，餘三組學生在傳統文字題中大部份能達到高階段，但在故事文字題中，除了第一組學生之外，其餘學生大部份都停滯在低階段。而大部份學生沒有進行「判斷」的習慣，其憑直覺或歷程順利與否來決定是否驗證答案。另外，本研究亦嘗試建立一個解題歷程的模型。成功的解題必須先經歷「探索帶」，才能進入「解題核心」。第三，在錯誤類型方面，本研究認為有故事背景的文字題對大部份學生而. i.

(4) 言，使其感到極為困擾，也表現得較差。尤其我們可以看到第二、三、四組學生，他們在「一片空白」的題數遠遠地超過傳統題。而本研究也指出，第二、四組學生有明顯的「語言知識錯誤」，需要接受閱讀理解的再訓練；第三、四組學生則需要加強自動化技能的加速技巧。第四，各組學生合作解題後，皆能提昇兩種文字問題之得分與解題歷程階段。在合作的過程中，因和諧幽默的對話而產生情意上的支持，使得故事題之階段 0(即沒有任何解題行為)的次數的大幅減少，顯示故事文字題可能較適合以合作的方式進行。第一組學生在各種組合中，通常擔任教導者的角色，其與其他三組學生的合作型式類似於專家－生手型態；而第二、三組學生的組合是由能力較為互補的兩方所形成，產生的口語互動較多，為在「相同平面」(equivalent planes)的合作關係。. 最後，本研究認為在未來的數學問題解決研究上，合作解題可能是後續研究的重要方向之一。因此建議未來研究可以增加合作解題的配對模式及各組人數，以及讓合作的學生回頭再進行個別解題，以更深入地探究合作解題的功效。. ii.

(5) Abstract Problem solving has long been a crucial issue in mathematic education.. In. schools, providing students with word problems is an important way to help them become competent mathematics problem solvers.. Based on the view of. constructivism, this study mainly investigated the learners with different capabilities of math arithmetic and reading comprehension on their performance, error types, and the procedures for problem solving in dealing with different mathematical word problems. Moreover, the study explored the effectiveness on cooperative problem solving. By reviewing the theoretical foundations of problem solving, there were two different mathematical word problems: traditional and narrative ones. Five steps were also proposed for problem solving: understanding the problem, matching the pattern, making a plan, carrying out the plan, and judgement.. Afterward the study. integrated the factors and error types in problem solving through surveying the researches on mathematical word problems. Tests and observations were adopted in this study.. The participants were 203. eighth-grade students, who were classified into four groups: having no difficulties in math arithmetic and reading comprehension (Group 1), having reading comprehension difficulties only (Group 2), having math arithmetic difficulties (Group 3), and having difficulties both in math arithmetic and reading comprehension (Group 4). All of the students were given traditional and narrative word problems individually and collaboratively. Their performance, features of solving behaviors, and procedures of problem solving were investigated. Research findings were summarized as follows. First, students’ performance in traditional word problems was highly related to math arithmetic examination. It indicated that the traditional word problems were decontextualized and were highly iii.

(6) coherent with their arithmetic abilities. However, students’ performance in narrative word problems was not as good as that in traditional word problems.. Besides,. though the students in Group 2 and Group 3 belonged to different difficulties, the performance of narrative word problems turned out no significant differences. Second, most of the students attained high-level stages in solving traditional word problems except those in Group 4. However, except Group 1, most of the others stayed in low-level stages in solving narrative ones. Furthermore, depending on intuition or smooth working on the procedures of problem solving, most of the students did not judge their final answers.. Based on the research findings, a model. of problem solving was developed. Successful problem solving resulted from going through a ‘exploring belt’ and ‘the core of problem solving.’ Third, the findings also revealed that most of the students did not perform well in story-based narrative word problems.. In particular, the unanswered situation of. Group 2, Group3, and Group 4 students was much more frequent than that in traditional word problems. On the other hand, the students of Group 2 and Group 4 with obvious errors of linguistic knowledge may require interventions aimed at reading comprehension.. The students of Group 3 and Group 4, on the other hand,. may need instruction in automatic skills in mathematics. Finally, solving problems cooperatively promoted both the scores and problem solving stages in traditional and narrative word problems.. In the procedures of. cooperation, the unanswered situations were greatly reduced in narrative word problems because of the affective supports from interactive conversations. Furthermore, the Group 1 students usually played a tutor role in cooperative activities with those in other groups, which were likely similar to an expert-novice relationship, while the complementary cooperative combination of Group 2 and Group 3 students was likely in a ‘equivalent plane,’ which revealed more verbal interaction. iv.

(7) The study indicated that cooperative problem solving may be an important research issue for mathematical problem solving. Further research was suggested to deeply investigate the effect on cooperative problem solving.. v.

(8) 目. 錄頁數. 中文摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ⅰ 英文摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ⅲ 目錄．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． Ⅰ 表目錄．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． Ⅳ 圖目錄．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． Ⅵ. 第一章緒論．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1 第一節第二節第三節. 研究動機與目的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．研究問題．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．名詞界定．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 第二章文獻探討．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 1 3 5. 7. 第一節問題解決．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 7 壹、問題的定義．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 7 貳、問題與數學問題的類型．．．．．．．．．．．．．．．． 9 參、問題解決的歷程．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 14 肆、解題的評量模式．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 20 伍、建構學習觀對數學問題解決研究的影響．．．．．．．．． 24 第二節數學文字問題的相關研究．．．．．．．．．．．．．．． 31 壹、影響解文字問題的因素．．．．．．．．．．．．．．．． 31 貳、文字問題錯誤類型的探討．．．．．．．．．．．．．．． 38. 第三章研究方法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 45 第一節第二節第三節. 研究對象．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 45 研究架構與設計．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 48 研究流程．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 50. 第四節. 研究工具．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 53 壹、「語文測驗」與「數學算術計算測驗」．．．．．．．．．． 53. 貳、「傳統文字問題」、「故事文字問題」．．．．．．．．．． 55 參、解題歷程自評表．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 57 第五節資料處理與分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 59 I.

(9) 壹、資料處理方式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 59 貳、資料分析方式-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 62. 第四章研究結果與討論．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 64 第一節. 學生在背景能力測驗與兩種文字問題上的差異情形．．．．． 65 壹、學生在兩種文字問題得分的基本描述統計．．．．．．．． 65 貳、學生在背景能力測驗與兩種文字問題上的差異分析．．．． 66. 第二節學生之背景能力與兩種文字問題得分之相關情形．．．．．． 69 第三節學生之背景能力對兩種文字問題得分的迴歸分析．．．．．． 70 壹、「語文測驗」與「數學算術計算測驗」對「傳統文字問題」的迴歸分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 70 貳、「語文測驗」與「數學算術計算測驗」對「故事文字問題」的迴歸分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 71 第四節各組學生在兩種文字問題的解題歷程．．．．．．．．．．．． 73 壹、學生解題歷程階段自評分數的基本描述．．．．．．．．．． 73 貳、學生解題歷程階段的質化描述．．．．．．．．．．．．．． 77 第五節各組學生在兩種文字問題的錯誤類型．．．．．．．．．．．． 84 壹、各組學生在傳統文字問題上錯誤類型分析．．．．．．．．． 84 貳、各組學生在故事文字問題上錯誤類型分析．．．．．．．．． 90 參、各組學生在兩種文字問題中的錯誤類型比較．．．．．．．．． 95 第六節學生合作解題得分之差異．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 100 壹、各種組合在兩種文字問題得分上的差異．．．．．．．．．． 102 貳、各組學生個人解題與合作解題得分的差異．．．．．．．．．． 103 第七節學生合作解題的解題歷程．．．．．．．．．．．．．．．．．． 106 壹、各組學生在各種組合中合作解題之歷程的基本描述．．．．． 106 貳、各組學生「個人解題」與「合作解題」的解題歷程改變差異 109 參、各種組合學生解題情況的質化描述．．．．．．．．．．．． 113 第八節歸納與討論．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 125 壹、各組學生在兩種文字問題的表現．．．．．．．．．．．．． 125 貳、各組學生的解題歷程．．．．．．．．．．．．．．．．．． 127 參、各組學生的錯誤類型．．．．．．．．．．．．．．．．．． 130 II.

(10) 肆、合作解題的成效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 132. 第五章結論與建議．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 136 第一節結論．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 136 壹、各組學生解兩種文字問題的情況．．．．．．．．．．．．． 136 貳、各組學生合作解題的成效．．．．．．．．．．．．．．．． 138 第二節在數學教育上的應用．．．．．．．．．．．．．．．．．． 140 第三節研究限制與建議．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 142 參考文獻．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 144 附錄．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 150 附錄一、傳統文字問題測驗及解答．．．．．．．．．．．．．．．．．． 150 附錄二、故事文字問題測驗及解答．．．．．．．．．．．．．．．．．． 154 附錄三、文字問題的評量指標．．．．．．．．．．．．．．．．．． 160 附錄四、解題歷程自評表．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 161 附錄五、解題歷程評鑑的指標．．．．．．．．．．．．．．．．．． 162 附錄六、錯誤類型類目表．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 163 附錄七、傳統文字問題的錯誤類型範例．．．．．．．．．．．．．． 164 附錄八、故事文字問題的錯誤類型範例．．．．．．．．．．．．．． 172 附錄九、各組學生之個人解題與合作解題的各階段次數百分比(傳統文字題) ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 183 附錄十、各組學生之個人解題與合作解題的各階段次數百分比(故事文字題) ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 184 附錄十一、各組學生個人與合作解題之解題歷程列聯表(傳統文字題) 附錄十二、各組學生個人與合作解題之解題歷程列聯表(故事文字題) 附錄十三、使用學生資料同意書．．．．．．．．．．．．．．．．附錄十四、各組學生「解題歷程階段」與「得分」之獨立性考驗. III. 185 187 189 190.

(11) 表目錄頁數表 2－1－1 表 2－1－2 表 2－1－3 表 2－1－4 表 2－1－5 表 2－1－6 表 2－1－7 表 2－2－1 表 2－2－2 表 2－2－3 表 2－2－4 表 3－1－1 表 3－1－2 表 3－1－3 表 3－4－1 表 3－4－2 表 3－4－3 表 3－4－4 表 3－4－5 表 3－4－6 表 4－1－1 表 4－1－2 表 4－1－3 表 4－2－1 表 4－3－1 表 4－3－2 表 4－4－1. 問題的分類．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 11 文字問題的分類舉例．．．．．．．．．．．．．．．．．． 13 各學者對解題歷園的看法之整理，與本研究的解題歷程分類 20 Charles & Lester (1982)的解題評量表．．．．．．．．． 21 Schoenfeld (1985)的多重記分．．．．．．．．．．．． 22 Mcaloon & robinson (1988)的解題評量表．．．．．．．． 22 本研究文字問題的評量表．．．．．．．．．．．．．．． 23 文字問題本身的因素．．．．．．．．．．．．．．．．．． 33 影響解文字問題的因素．．．．．．．．．．．．．．．．．． 37 學生在比較型問題的錯誤類型．．．．．．．．．．．．． 40 解題的錯誤類型之分類．．．．．．．．．．．．．．．． 44 203 位學生在兩項測驗上的原始得分與 T 分數分佈摘要．．． 45 四組學生的分類結構．．．．．．．．．．．．．．．．．． 46 各組學生在兩項測驗的 T 分數摘要．．．．．．．．．．．． 47 重測信度結果．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 54 國民中學智力測驗與普通分類測驗之相關．．．．．．．． 55 國民中學智力測驗與比西量表測驗之相關．．．．．．．． 55 三位教師之基本資料．．．．．．．．．．．．．．．．．． 56 兩種正式測驗之內容、題號、難易程度與適合程度．．．． 57 解題歷程自評表之題號與配合的解題階段．．．．．．．． 58 所有學生在兩種文字問題上的得分之摘要表．．．．．．． 65 學生在兩種文字問題上的得分之相依 t 考驗結果．．．．．． 66 各組學生在各測驗之差異摘要表．．．．．．．．．．．． 67 203 位學生在兩種背景能力測驗與兩種文字問題之相關係數矩陣．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 69 「語文測驗」與「數學算術計算測驗」對「傳統文字問題」之多元迴歸分析摘要表(N＝203) ．．．．．．．．．．．． 70 「語文測驗」與「數學算術計算測驗」對「故事文字問題」之多元迴歸分析摘要表(N＝203) ．．．．．．．．．．．． 72. 表 4－4－2. 「傳統文字問題」的解題歷程階段自評分數之卡方考驗．．． 74 「故事文字問題」的解題歷程階段自評分數之卡方考驗．．． 75. 表 4－4－3. 對 42 位學生之解題歷程觀察統整．．．．．．．．．．．． 77 IV.

(12) 表 4－5－1 表 4－5－2 表 4－5－3 表 4－5－4 表 4－5－5 表 4－5－6 表 4－5－7 表 4－5－8 表 4－6－1 表 4－6－2 表 4－6－3 表 4－6－4 表 4－7－1 表 4－7－2 表 4－7－3 表 4－7－4 表 4－7－5 表 4－7－6 表 4－7－7 表 4－8－1 表 4－8－2. 各組學生在傳統文字問題的錯誤類型次數統計．．．．．． 85 各組學生在「無法順利轉譯成代數式子」的次數統計(傳統文字題) ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 86 各組學生在故事文字問題的錯誤類型次數統計．．．．．． 91 各組學生在「無法順利轉譯成代數式子」的次數統計(故事文字題) ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 92 各組的各項錯誤類型之題數比較．．．．．．．．．．．． 96 各組「操作錯誤」之題數比較．．．．．．．．．．．．． 97 各組學生在「無法順利轉譯成代數式子」之題數比較．．． 98 各組「不適當的解題習慣」之題數比較．．．．．．．．． 99 40 位學生個人與合作解題得分之摘要表．．．．．．．．． 101 各種組合學生在兩種文字問題得分之差異摘要表．．．．． 102 各組學生在傳統文字問題上個人得分與合作得分之相依 t 考驗結果．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 104 各組學生在故事文字問題上個人得分與合作得分之相依 t 考驗結果．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 105 各組學生合作解題之解題歷程的結果摘要(傳統文字問題)． 107 各組學生合作解題之解題歷程的結果摘要(故事文字問題)． 108 各組學生個人與合作解題的平均階段(傳統文字問題)．．．． 110 各組學生個人與合作解題的平均階段(故事文字問題)．．．． 111 各組「個人解題」與「合作解題」的平均階段差異之 χ2 值整理表．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 112 對 40 位學生合作解題歷程之觀察摘要．．．．．．．．．． 114 兩類組合模式的解題行為差異摘要．．．．．．．．．．．． 123 背景能力對兩種文字問題的影響彙整表．．．．．．．．． 125. 表 4－8－3. 各組的解題歷程與五種解題行為的比較．．．．．．．．． 130 各組的錯誤類型與四種錯誤類型的比較．．．．．．．．． 131. 表 4－8－4. 「個人解題」與「合作解題」之比較結果彙整表．．．．．． 134. V.

(13) 圖目錄頁數圖 2－1－1 圖 2－1－2 圖 3－2－1 圖 3－2－2 圖 3－3－1 圖 3－3－2 圖 4－1－1 圖 4－6－1 圖 4－8－1. 個體解決問題的內在歷程(Newell & Simon, 1972, p.89)． 16 問題解決流程圖(Glass & Holyoak, 1986, p.67)．．．．． 17 研究架構圖．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 48 研究設計圖．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 49 研究流程圖．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 50 正式施測流程圖．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 52 第四章內容之架構圖．．．．．．．．．．．．．．．．． 64 各組合在故事文字題得分之差異解晰圖．．．．．．．．． 103 解題模型示意圖．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 129. VI.

(14) 第一章緒論第一節研究動機與目的當我們思考著數學的本質與數學理解的內涵的同時，意味著數學課程的內容與數學教學的方法正在改變。傳統的數學教學，大多採用傳輸式的直接教學，學習者藉由機械操式地演練數學計算，直接反映教師的數學心智模式，因而缺乏獨立的推理能力(Cuoco & Goldenberg, 1996)。然而，數學教育在建構主義興起後，傳統的數學教學觀受到許多數學哲學家挑戰(例如 Davies & Hersch, 1981； Kitcher , 1984，以及 Hersch , 1986)。建構主義的學者認為，學生建構原有概念與新概念之間的關係，創造自己的理解(Hiebert & Wearne, 1988；Driver et al., 1994)，而非被動地接受一個外在的龐大的數學知識體。雖然傳統的數學的本質與數學教學受到了質疑與挑戰—從 60 年代培養優秀的數學家，到 80 年代重視數學與真實生活關聯的重要性—但問題解決能力一直是數學教育上的重要議題。即使是建構主義盛行的年代，美國國家科學學會(National Academy of Science) 在 2001 年指出，「數學能力」(mathematical proficiency) 是全部學生的數學學習目標(引自 Kilpatrick, 2002)。而「數學能力」的五個組成成份為：一、概念理解(conceptual understanding)，指學生對數學概念、運算和關係的理解；二、程序流暢(procedural fluency)，指學生實行程序的彈性、正確性、效能和適當性；三、策略能力(strategic competence)，指學生公式化、表徵和解決問題的能力；四、適當的推理(adaptive reasoning)，指學生對數學變項具有邏輯思考、反省、解釋和判斷的能力；五、多成效的傾向 (productive disposition)，指學生具有將數學科目視為可察覺、有用的及值得學習的意向，並且有努力用功以成為數學實行家的信念。該學會並指出問題解決(problem solving)能為數學能力的五個向度，提供一個非常適當的情境脈絡，也因此間接說明了問題解決在數學教育上的重要性，不論是過去或現在。. 1.

(15) 研究者目前正在中等學校服務，對國內中等學校數學教育來說，我們常以解決文字問題作為培養問題解決能力的重要方式。而在文字問題的解題歷程中，涉及語文理解、數學概念與計算能力等知識(張景媛，1994)。隨著學習派典的不同，對於數學中問題解決的研究也應有所不同。Vygotsky(1978,引自 Tappan, 1998) 的社會學習理論，認為較高的心理功能(例如概念性思考、邏輯性記憶、自我調節能力等)的起源係來自社會-溝通的交互作用(social-communicative interactions)；亦即人與人心理間的互動(社會關係)可以內化形成個人內的心理功能。他認為和成人或較有能力的同儕合作能夠促進較高心理功能的發展。也因而促使本研究除了個人問題解決之外，朝向合作解題的探究。另外，為了解決知識脫離情境和過度抽象的問題，Cooper & Harries (2002) 建議文字問題應留下一些希望學生有真實觀點的線索。加以近年來，有許多報導大力提倡閱讀能力的培養以提昇數學能力(何淑真，2003；陳致麟，2004；陳雅鈴， 2004)，所以本研究在數學的文字問題中，增加了語文理解變項與與敘述較長的故事文字問題。綜上所論，本研究據以建構主義的觀點，探討數學問題解決這個歷久而迷人的主題。本研究的動機在於瞭解，不同語文理解與數學計算能力的學習者，面對不同述敘方式的文字問題時的解題情形、錯誤類型，及其解題的歷程。接以，加入合作協商之解題方式，初探合作解題之成效。. 2.

(16) 第二節研究問題本研究依學生在國民中學智力測驗之分測驗：語文測驗與數學算術計算測驗上的表現，將學生分為四組：第一組為數學計算及語文理解皆未發生困難的學生；第二組為語文理解困難學生；第三組為數學計算困難學生；第四組為數學計算及語文理解同時發生困難的學生。. 本研究探討：一、各組學生在傳統文字問題中的得分，是否有所差異。二、各組學生在故事文字問題中的得分，是否有所差異。三、學生的計算能力、語文理解能力、傳統文字題問題得分、與故事文字問題得分，是否具有相關？四、學生的計算能力、語文理解能力對傳統文字問題得分的預測力如何？五、學生的計算能力、語文理解能力對故事文字問題得分的預測力如何？六、經由抽樣，以學生自評的方式，探討各組學生在兩種文字問題中的解題歷程。七、經由抽樣，探討各組學生在兩種文字問題上的錯誤類型。八、經由抽樣配對的方式，觀察合作解題 1 的效果。亦即探討各種組合學生： (一)在兩種文字問題中的得分是否有所差異 (二)在兩種文字問題中的得分是否較未組合之前高 (三)在兩種文字問題中的解題歷程 (四)在兩種文字問題中的解題歷程階段，是否較未組合之前高. 1. 本研究限於時間與人力，並假設能得到合作解題的最大效益，故捨去兩種組合方式：「第二組及. 第四組」、「第三組及第四組」，僅取四種組合方式：. 3.

(17) 一、第一組 1 位＋第二組 1 位；5 隊共計 10 人。二、第一組 1 位＋第三組 1 位；5 隊共計 10 人。三、第一組 1 位＋第四組 1 位；5 隊共計 10 人。四、第二組 1 位＋第三組 1 位；5 隊共計 10 人。故合計在第一組組取 15 位學生、第二組和第三組二組各取 10 位學生、第四組取 5 位學生，共計 40 位學生參與配對解題。. 4.

(18) 第三節名詞界定壹、數學問題本研究中的數學問題為以文字敘述之問題，在學校數學中，常稱為應用問題，包括傳統文字問題、故事文字問題兩種。傳統文字問題指的是學生常可在數學課本、習作及坊間參考書籍看得到的題目，其內容常是刻意刪去與解題無關訊息，不一定符合真實生活情境。故事文字問題不常出現在課本、參考書中，不是學生熟悉的題目，內容則務使其儘可能符合真實生活情境與學生過去生活經驗，所以也包括與解題無關的訊息，因而題目的敘述較為綿長。. 貳、解題歷程本研究綜合各學者對解題歷程的看法，將解題的歷程分為五個階段(level)：第一階段為「理解題意」：包括使用閱讀的方式，對問題的要求形成表微，界定已知的條件及所要達到的目標。第二個階段為「尋求模式」：即活化長期記憶庫的知識，辨識問題的種類、尋求是否有符合該問題或與該問題相類似之基模知識。第三階段為「擬定解法」：結合先備知識與合理的推測，找出獲取解答的可能方法。第四階段為「執行方法」：即執行第三階段的方法。這個階段之前，個體可能會先在心智上評估、測試此方法，方法若成功，則在實際上實行；若不成功則回到前面任何一個階段，直到重新擬定可能的解決方法。第五階段為「判斷」：針對執行方法後的結果，加以判斷是否解決此問題，是否有遺漏一些限制，若完全成功，則儲存此經驗，並結束此歷程；若不完全成功，則可能回到前面一至三個階段，重新開始，也可能放棄解決此問題。本研究中，為了評估學生之解題歷程，採用學生自評的方式，其結果以 0 ~ 5 個階層(Level)表示，其中，1 表示學生達到第一階段「理解題意」，其它以此類推。詳細內容在第三章研究方法敘述。. 5.

(19) 參、錯誤類型本研究綜合各學者對學生在算術上、代數上可能發生的錯誤類型之看法，將之粗略分為兩大類型：一為操作上的錯誤；一為不適當的解題習慣。操作上的錯誤，可再分為三個細項：計算錯誤、概念錯誤、非關答案的操作。計算錯誤只是在做運算時，不小心算錯了。而運算子選擇錯誤、對變項間關係無法順利轉譯成代數式子、解方程式過程中的程序性錯誤等，皆是因為對某個數學概念之性質或限制不夠了解所致，都可歸類為概念錯誤。最後，非關答案的操作，指的是所做的運算完全無法回答問題、或與問題無關、內部充滿著不一致性。不適當的解題習慣，包括認為所有的數字都要運算、沒有數字的句子是沒有用的句子、直覺性的反應等不恰當的解題習慣或信念。本研究以抽樣觀察之方式，探究各組學生在兩種文字問題上的錯誤類型，並以描述性統計百分比方法做為說明。相關內容於第三章研究方法中詳述。. 肆、語文理解能力本研究以樣本之智力測驗中的語文測驗得分，表示其語文理解能力。. 伍、數學計算能力本研究以樣本之智力測驗中的數學算術計算測驗得分，表示其數學計算能力。. 6.

(20) 第二章. 文獻探討. 第一節問題解決數學本身就是一種解決問題的活動。八十年代美國數學教育界為了挽救學生數學成就普遍低落現象，積極地致力於數學教育研究與改革，當時學界共識是以培養優秀解題者為目標，美國數學教師委員會(National Council of Teachers of Mathematics, NCTM)於 1980 在「行動綱領」(Agenda for Action)中宣示，「解題必須是學校數學的重心」。大約十年後，學界的學習理論派典轉移，美國國家研究委員會(National Research Council)體會到問題解決能力與真實生活關聯的重要性，在「重塑學校數學」(Reshaping School Mathematics)一書中指出「… 雖然數學語言以規則為基礎，這些規則也必須學習。但學生要有超越規則而以數學語言來表達事物的動機」(Schoenfeld, 1992)，亦即數學教學的目標在於培養能夠數學地思考的學生，對於生活中大量的資料，能夠分辦其有用性，以先前所學的數學知識，加以邏輯運用，成功地解決問題。我國九年一貫數學領域的課程暫行綱要(教育部，2000)也顯示，培養解決數學問題的能力為數學課程發展的目標之一。從以上歷史的脈絡來看，稱「問題解決」為近年來數學教育上的重要議題，實不為過。以下先談問題的定義與內涵，再分析問題與數學問題的類型，接著討論解題的歷程與評量模式，最後探討近代建構主義思想對數學問題解決研究的影響。. 壹、問題的定義當一個人有一個目標，卻尚未找出可以用來達成目標的方法時，那麼便會產生問題了。各個學者對於問題的定義不一，有的學者認為所謂「問題」即是個人想達到某種目標，而必須找出方法來達成目標的情境；有的學者認為是「所處狀態」(presented statement)和「目標狀態」(goal statement)間的差異或距離；而有的學者認為「問題」必定有四個組成，分別是目標、可用資源、操作程序及 7.

(21) 限制等(Glass & Holyoka, 1986)。以下探討不同學者所提出的「問題」的定義。 Polya(1962)認為「問題」能使人有意識地去尋求達成目標之方法，而這個方法不是立即可得的，「解決問題」即是去「尋求方法」的行動。一個問題的存在與否，要視這個問題對個人的困難度。. 張春興(1994)認為，所謂「問題」(problem)是指個人在有目的待追求而尚未找到適當手段時所感到的心理困境。基於此義，問題的存在與否，是主觀的認知與感受；對生手而言是問題，對專家而言卻不是問題；對有所追求的人是問題，對一無所求者未必是問題。. Newell & Simon (1972)將個人產生解決問題行動的場域，稱為「問題空間」 (problem space)，問題空間是由幾個狀態(statement)所構成的：(1)一個目標或目的狀態；(2)一個初始的或是開始的狀態，也就是對問題所做的描述；(3) 一些中間狀態，用來描述為達成該目標之所有可能的解決路徑。每一個解決路徑又是由一些個別的步驟所組成，這些步驟會將個體由開始的狀態運作到其目標狀態。. Kilpatrick (1985)先從心理學的層面來定義「問題」，再由其它層面來看待「數學問題」。以心理學層面來看，問題通常被定義為一個情境，在此情境中我們想要達到某一個目標，但直接通往此一目標的路徑已被阻礙，而個體為了達到目的所做的一些活動即為解決問題。數學問題則是指在尋求答案的過程中，一定要用到的數學概念、原理或方法的問題。從社會學及人類學的層面來看，數學問題被當作是老師給學生的一項任務。從數學及數學教學的層面來看，數學問題被當作是數學建構的來源、數學教學進行的思考工具，藉由讓學生解決數學問題而搭起數學的鷹架。. 8.

(22) Mayer (1992)綜合許多心理學家所同意的定義，提出「問題」必須包含三項特徵： 1、已知(Givens)：問題起始階段包含的條件、對象等訊息。 2、目標(Goals)：問題想要或最後要達成的階段。解題就是將問題從起始階段轉移至目標階段的歷程。 3、障礙(Obstacles)：由問題的起始階段至目標階段，解題者無法立即知道問題的答案。也就是說解題者目前沒有明確與直接的方法，可將問題從起始階段轉移至目標階段。. 綜上所述，「問題」即是指個體所處的一種未達成目標的情境，其中的目前呈現狀態和所要達到的目標狀態間存有障礙，且目前尚沒有一個明顯的方法或途徑可以去除中間的障礙。本研究中的問題指是數學問題，亦即是那些必須利用數學概念、原理、原則及數學方法以消弭目前呈現狀態和欲達到之目標狀態間所存有的距離或障礙的問題。. 貳、問題與數學問題的類型問題沒有統一的分類方式，學者依其研究需要而將問題作分類。例如，張春興(1994)依問題的答案類型，將問題分為兩類：有固定答案的問題 (fixed-solution problems)和未定答案的問題(open-ended problems)。固定答案的問題，其答案未必為解題者所了解，因為問題對個人而言是相對的，例如數學難題對學生是問題，但對老師可能就不是問題。固定答案的問題通常需要遵循一定的步驟和方法才能獲得答案，例如電子技術工人修理電視機，須遵循該機件之結構模式逐步檢查，找到故障所在，始能進行修理。而非固定答案的問題，在學校課程中不常見，但在生活上卻處處皆是，且對人類之創造思考而言，更屬重要。非固定答案的問題可能沒有答案、可能有許多答案，也可能到現在尚未肯定是否有答案。例如如果沒有發生二次世界大戰，世界會是什麼樣子？這個問題沒 9.

(23) 有答案，因為不可能有這個問題。又例如，一般公認兒童的食物營養與其身心發展有密切的關係，但什麼食物最有利於其身心發展？這個問題便可能有許多個答案。最後一個例子，如果世界人口比現在多了 50 倍，人類的住宅會變成什麼樣子？這個問題可能會發生，且尚未有肯定的答案。. 黃敏晃 (1998)則依問題與解題者的關係，將問題分為二類：例行性問題 (routine problems)和非例行性問題(non-routine problems)。例行性問題指解題者熟悉待解決的問題，面對這種題目時，解題者從記憶中提取合適的解法即可。一些需加以熟練計算技能的問題屬於傳統文字問題，數學課本的習題或作業中的大部分題目也屬於此類問題，做此類題目的目的比較重視熟練一些固定技巧或模仿。而解題者面對非例行性問題時，無法利用已學的知識尋求技能，直接解決問題，亦即解題者處於無法立即知道解決路徑的情境之中；解題者必須搜尋、檢核及統合先前所學的知識和技能，以擬定可能的解決方法。一些教育學者認為只有當解題者面對的是非例行性問題，解題行為才會發生。學校教育的目的，除使學生熟練基礎技能，更應製造機會，使學生有應用知識，以解決非例行性問題的經驗和能力，此即解題的意義。值得注意的是，一個問題是否為例行性問題或非例行性問題，會因解題者而有所不同，因此非例行性問題不一定是很難的題目。. 問題雖然沒有固定的分類方式，但有一個重要向度是它們是否有完整的定義，亦即分為定義完整問題(well-defined problem)與定義不完全問題 (ill-defined problem)兩種 Simon(1973；引自黃明螢，2000)。定義完整問題有明確的敘述及目標，也包括所有解決方法所需要的訊息；而定義不完全問題中，則有一些不確定性(uncertainty)的條件，例如沒有固定的解法、答案或目標，因此使得解決方法不能立即得到、也困難許多。本研究將問題的分類方式彙整如表 2－1－1 所示。. 10.

(24) 表 2－1－1：問題的分類. 分類的依據. 問題的描述. 內. 分類名稱. 定義完整的問題. (Simon, 1973). 涵. 問題舉例. 描述完整、提供解題所需條件的問題。. Ex：百貨公司大拍賣，媽媽以 6 折買了一件衣服 600 元，請問這件衣服原價多少錢？. 定義不完整的問題. 包含一些不確定性條件的問題。. (幾何三大難題之一)用尺規作圖做一個正立方體為原給定正立方體體積的 2 倍。. 答案類型 (張春興，1994). 有固定答案的問題. 未定答案的問題. 依循固定方法可得到答案的問題。 2. Ex：解一元二次方程式 2X －X－6＝0. 可能沒有答案、多個答案、或尚未肯定答案的問題。能增進創造思考。. Ex：(哥德巴赫猜想)任何一個大於 3 的合數都可以寫成兩個質數的和嗎?. 問題與解題者關係例行性問題 (黃敏晃，1998). 非例行性問題. 解題者熟悉解法的問題。目的通常是為了精熟固定技巧。. Ex：3 還要加多少才會變成 8？ (對已學過加減法的小學生來說). 解題者無法直接解決的問題，需統合先前經驗，擬定可能的解法。. Ex：3 還要加多少才會變成 8？ (對學會數數，但未學過加減法的學齡前兒童來說). 在數學問題方面，Polya (1962)從教學的層面將其分為四種： 1、例行的問題：把正在學的運算規則，拿來作機械式的應用就能解決的問題。 2、有選擇的應用題：要應用以前學過的規則或步驟才能解決，但以前學過的不只一種，所以解題者需要作一些判斷以選擇適用的規則或步驟。 3、選擇一種組合：要求解題者把二個以上的學過的規則或例子組合起來才能解出來的題目。 4、接近研究級的題目：這種題目要求解題者把二個以上的規則或例子作有創意 11.

(25) 的組合才能解題，但此種組合會有許多分支，且要求相當高層次的獨立思考，以及使用到擬真推理。在數學文字問題的分類方面，亦有許多不同的分類方法。在加減法的文字題方面，學者將之分為改變型(change)、比較型(compare)和合併型(combine)三類 (Riley, Greeno & Heller, 1983；Kintsch & Greeno, 1985；De Corte & Verschaffel, 1989)。在乘除法的文字題方面，則可分為量數同構型 (isomorphism of measures)、量數叉積型(product of measures)和多重比例型 (multiple proportions) (Vergnaud, 1983)。另外 Marshall, Pribe & Smith (1987)則依文字題的運算步驟分為單步驟(one-step)和雙步驟(two-step)二類，若只須要一個運算步驟(如＋、－、×、÷)是屬於單步驟文字問題，若要經過二個運算步驟是屬於雙步驟文字問題。以上各分類各舉例說明如下頁表 2－1－2 所示。 Marshall (1995)認為造成各個文字問題有所不同的因素有三個向度，亦可作為文字問題分類的參考依據： 1、問題情境的表面特徵(surface feature)：例如故事脈絡的不同。雖然這是每個文字問題最明顯差異，但過去的研究顯示出，只使用表面特徵去了解問題情境很難成功地解決問題。 2、問題情境的語法特徵(syntactic feature)：例如文章長度、用語的複雜度、運算操作的型式與個數等。語法特徵常被用來預測問題的難度，但學生擁有較好的語法特徵辨識能力就能做出較適當的決定。過去的研究認為，語法特徵的簡化有助於學生對問題的了解。 3、問題情境中的關係(relationships)：學生是否能了解問題中情境之間的關係，是其是否能成功地解決問題之關鍵。情境中的關係是問題的本質，能消除表面與語法特徵所帶來的誤導。有關情境中的關係之描述能使解題者辨識是否與先前經驗有相似性。而算術方面的文字問題，主要有五種關係(可以單獨存在或組合)：改變(change)、聚集(group)、比較(compare)、再敘述 12.

(26) (restate)、成比例變化(vary)。. 表 2－1－2：文字問題的分類舉例文字題類型. 分類. 舉例說明. 加減法. 改變型. 哥哥有 5 枝鉛筆，弟弟再給他 3 枝，哥哥現在有幾枝筆？. 的文字題. 比較型. 哥哥有 5 枝鉛筆，弟弟有 3 枝鉛筆，哥哥比弟弟多幾枝鉛筆？. 合併型. 乘除法. 哥哥有 5 枝鉛筆，弟弟有 3 枝鉛筆，兩人共有幾枝鉛筆？. 量數同構型哥哥把 20 枝鉛筆平均分給 5 個人，則每個人可得到幾. 的文字題. 枝鉛筆？. 量數叉積型妹妹有三件不同顏色的上衣，二件不同款式的裙子，則她最多有幾種搭配的方式？. 多重比例型平均來說，三隻豬在 2 天內需要消耗 120 公斤的飼料，請問四隻豬 3 天需要多少公斤的飼料？. 運算步驟不. 單步驟. 飲料每瓶 25 元，買 6 瓶共需多少元？. 同的文字題. 雙步驟. 飲料每瓶 25 元，餅乾每包 15 元，買 6 瓶飲料和 1 包餅乾共需多少元？. 學校中的數學問題，一般可分為算術問題(arithmetic problem)與文字問題 (word problem)。算術問題只需要熟練數學的基本運算規則即可解題，而文字問題尚須有「從文本中學習」(learning from text)的能力(Kintsch, 1989)，能夠對文字脈絡作解碼(decoding)、接觸(accessing)，進而理解題意，依照問題的脈絡，將自然語言(ordinary or natural language)轉譯成算術語言 (arithmetic language)之後，才能依照數學的運算程序獲得答案(Mayer, 1992)。這種數學文字題在我國的中小學裡，也稱為「應用問題」，因為應用問題. 13.

(27) 與計算題(也就是算術問題)不同，並非只是單純的計算而已，而是需要把數學概念與運算規則統合後，運用至問題情境中。文字問題在我國中小學的數學課程中佔有重要的地位，但常因為刻意簡化問題情境，或讓學生過度重複演練相同的問題，而失去其原本的意義與功能。本研究探究學生在數學「文字問題」上的表現情況，此「文字問題」不同於「算術問題」，若依 Marshall 提出之「語法特徵」來分類，「算術問題」使用數學運算符號描述問題，而文字問題則以文字敘述日常生活中可能發生的故事來描述題目。在內容方面，國內在國中學生方面的研究大部份使用的數學問題是定義完整的、刻意刪去無用訊息的、不一定符合真實生活經驗、常在課本及坊間參考書籍上可見、有固定答案的例行性問題(例如袁媛，1993；林清山 & 張景媛， 1993；張景媛，1994)。依據本研究之研究旨趣，自編的文字問題，除配合現行國內國中二年級學生之數學能力指標之外，亦參考國內外相關教材，擬編製兩種文字問題施測。一為傳統文字問題，二為故事文字問題。傳統文字問題指的是學生可在數學課本、習作及坊間參考書籍看得到的題目，題目內容大致上與國內過去的研究相似；而故事文字問題，則務使其儘可能符合真實生活情境與學生過去生活經驗，且不會出現在課本、參考書中，不是學生熟悉的題目。在解法上，兩種問題都是多步驟的題目，且其問題的內容具有同構性質，也都符合現行國中二年數學能力指標。本研究探討學生在數學上的表現，並以文字問題為主，是因為文字問題的解決歷程涵括語文理解、數學概念、計算能力，是促進高層次思考的途徑，再者，文字問題是學校數學欲實現情境學習理論於實務的最佳方法之一，相關的討論將在下文(伍、建構學習觀對數學問題解決研究的影響)中呈現。. 參、問題解決的歷程能夠解決問題是人類心智上的天賦，而人類的心智又是上天所賜與的禮物 (Polya, 1962)。從認知科學的角度看來，問題解決為一個多步驟的過程(Mayer , 1982)，在這個過程中，解題者必須找出過去經驗(基模)和正在處理問題兩者之 14.

(28) 間的關係。以下分別討論各學者對問題解決歷程的看法。. Polya (1957)將問題解決分為下列四個步驟： 1、了解問題(understand the problem)：了解問題的文字敘述，並指出問題的主要部份，包括題目中的已知、未知和條件等。 2、擬定計劃(making a plan)：依據現有的資料，找出獲取解答的可能途徑，即提出解題計劃。 3、執行計劃(carrying out the plan)：實現所擬定的解題計劃，並檢驗所執行的每一步驟。 4、回顧(looking back)：回顧所完成的解答，對它進行檢查和討論。回顧整個解題過程，想想看是不是有更好的方法，或不同的解題方法，解題的方法或結果是否可以運用至其它的問題等。. Newell & Simon (1972)以訊息處理系統觀點描述個體解決問題的內在歷程 (如下圖 2－1－1 所示)。首先是「輸入轉譯」(input translation)階段，個體將外在問題形成內在表徵，經由對此內在表徵的架構，個體判斷這個問題的解答是明顯容易的、難解的，或是達不到的。第二個階段是「選擇方法」(selecting method)，個體結合先前經驗與合理的推測，選擇一個似乎可行的方法。第三個階段是「應用」(applying)，將先前所選擇的方法應用在這個問題上，此時個體的內在與外在行為，皆受此方法控制。最後一個階段為「影響環境」階段，亦即為「結束或再循環」的階段，當應用此法結束，個體會視結果而有四個選擇 (options)：(1)完成此問題，並將此方法儲存；(2)選擇其他方法，再回到第三階段；(3)產生一個不同的問題表徵，亦即原問題再界定(reformulated)、再精緻化，而回到第一個階段；(4)放棄解決這個問題。. 15.

(29) 外. 在. 問. 題. 環. 境. 問題陳述. 影響環境. 輸入轉譯. 內在表徵. 應用方法. 改變表徵. 選擇方法. 方法的記憶庫. 內在一般知識. 問題解決者的內在心理環境. 圖 2－1－1：個體解決問題的內在歷程 (引自 Newell & Simon, 1972, p.89). Glass & Holyoak (1986)認為雖然不同問題的解決基模有所不同，但仍有一般解決模式，這個模式分成四個步驟(如下圖 2－1－2 所示)，並且，這四個步驟是可以循環的： 1、形成初步的問題表徵：以自己的理解方式，形成不同的問題表徵方式，例如依題意畫出簡要的圖形。 2、計劃可能的解決方式：應用一些操作(有關的定理、原則或公式)以建構能產生解答的一系列步驟。值得注意的是，個體常在實際行動之前，心智上測試 16.

(30) 解決計畫，尤其是在若犯錯會有嚴重後果的問題上。 3、重新界定問題：如果初期的問題表徵無法滿足解題需求，則須以另一種方法重新陳述或表徵問題，若不能成功地重新界定問題，解題者可能陷入膠著狀態，此時最好稍作休息，再回到問題情境。 4、實行計劃及檢討結果：執行所形成的解題計畫，如果失敗，則加以檢討原因，是否放棄、修正或重擬新的解題計劃。. 失敗. 3、重新界定. 停滯片刻，再回 3. 問題. 失敗 1、形成初步的問題表徵. 陷入膠著狀態. 成功. 2、計劃可能. 完成. 及檢討結果. 的解決方法. 解決. 4、實行計劃. 成功. 計劃失敗. 圖 2－1－2：問題解決流程圖 (Glass & Holyoak, 1986, p67). Mayer(1992)提出數學解題共有四項成份： 1、問題轉譯：應用語言知識和事實知識，將問題的每一個句子轉譯成內在表徵 (internal representation)。在這個過程中，必須了解語句的意義。 2、問題整合：應用基模知識，將問題的每個陳述句整合而成連貫一致問題表徵。在這個歷程中，必須認識問題的類型、辨認有關及無關的資料，以及決定哪些訊息是解題所必須的。 3、解題計劃及監控：運用策略知識，想出並監控解題計劃。例如畫圖、考慮較少的類似問題、設立次目標、使用矛盾法、逆向工作等。 4、解題執行：運用程序性知識，正確及自動化地操作數學規則以求得解答。. 17.

(31) Gagné, Yekovich & Yekovich (1993)認為一個問題解決的歷程在初始階段，解題者會對該問題形成一個表徵，其表徵的組成可能包含在工作記憶中活化的訊息，以及其它外在的表徵。接著這些表徵會活化存在長期記憶中關於文字問題的知識，例如辨識出該文字題的類型，並且從而形成可用於找出該問題解決方法的線索。這個活化解決方法的歷程會被應用在當前的情境中。最後人們還會對所使用的解決辦法是否成功做評估。. Marshall (1995)認為問題解決的歷程包括五個步驟： 1、情境描述(situation description)：將問題情境的基本架構作歸類、區別出其特徵，以尋找合適的基模。 2、現狀評估(status quo appraisal)：學生考慮自己已存在的知識結構及先備知識。 3、資源評估(source evaluation)：選擇適合的解決方法或理論架構。學生是否經歷過類似問題，會影響到此評估過程所需要的時間。 4、理論確認(theoretical verification)：精緻化(elaborate)所選擇的基模假設，及確認(corroborate)其能符合該問題情境。 5、實際檢核(practicality check)：實際執行策略，並檢核結果。. Thom & Pirie (2002)綜合近年來多位學者的研究，用學生自我闡述(talk) 的方法，將解題的歷程中的行為分作七類。值得注意的是，這七類解題行為並沒有固定的順序，因此也不稱為解題策略。它們分別是閱讀(reading)、理解 (understanding)、計劃(planning)、實行(implementing)、分析(analyzing)、探究(exploring)、證明與推論(justifying and generalizing)。. Pape (2004)則整理 98 位六、七年級學生的解題行為，並將之分類為二大類。第一類為 DTA(Direct Translation Approach)，表示學生明顯地專注於數 18.

(32) 字，而非題目中的上下文本(context)。且其直接將問題中的元素轉譯為算式。此類解題行為又可再區分為三類：(一) DTA-proficient：其解題特徵是學生幾乎只看幾個關鍵字，沒有重讀，便自動地和高效率地轉譯問題元數至數學算式與計算。其最後答案可能會正確。(二)DTA-not proficient：學生對閱讀可能有困難。其最主要的特徵是，對形成解決方法的猶豫。一再地重讀可能是唯一的解題行為。而計算過程與最後的答案可能與題意不完全一致。(三)DTA-limited context：亦是直接轉譯問題元素為算式，可能有使用題目中的某些訊息，但僅限某些單獨而非全部的(關鍵)字詞。第二大類為 MBA(Meaning-Based Approach)，表示解題者專注於變項及變項間的關係，重視文本結構多於數據。他們不斷地重讀每一句話、組織訊息，以支持整個解題過程，並且能解釋每一個算式的意義，最後的答案顯示他了解問題情境。此大類可再細分為兩類： (一)MBA-full context：此類解題過程涵蓋上述 MBA 解題行為，但沒有驗證計算過程及答案。(二)MBA-justificaion：此類解題過程涵蓋上述 MBA 解題行為，且有驗證計算過程。. 綜上所述，綜合各學者對解題歷程的看法，本研究將解題的歷程分為五個階段(整理如下表 2－1－3)：第一階段為「理解題意」，包括使用閱讀的方式，對問題的要求形成表微，界定已知的條件及所要達到的目標。一些研究顯示，很多學生在數學解題中的困難，都源自對問題的不了解(黃敏晃，1998)，也就是說，問題轉譯歷程對學生來講是十分困難的(Loftus & Suppes, 1972；引自 Mayer, 1987)。第二個階段為「尋求模式」，即活化長期記憶庫的知識，辨識問題的種類、尋求是否有符合該問題或與該問題相類似之基模知識。第三階段為「擬定解法」，結合先備知識與合理的推測，找出獲取解答的可能方法。第四階段為「執行方法」，即執行第三階段的方法。這個階段之前，個體可能會先在心智上評估、測試此方法，方法若成功，則在實際上實行；若不成功則回到前面任何一個階段，直到重新擬定可能的解決方法。第五階段為「判斷」，針對執行方法後的結果， 19.

(33) 加以判斷是否解決此問題，是否有遺漏一些限制，若完全成功，則儲存此經驗，並結束此歷程；若不完全成功，則可能回到前面一至三個階段，重新開始，也可能放棄解決此問題。因此有關學生在數學文字問題表現的研究，應該詳細分析學生解題行為之過程，以區分出學生是在解題的那一個階段產生困難。亦即，學生是在第一階段有理解題意方面的困難、或在第二階段時無法辨識問題類型、尋求類似模式、或是第三階段時無法選擇適當的方法，或是在第四階段無法有效地執行運用數學規則，還是在最後一階段方面，疏忽了題目的細節等。本研究經由抽樣，以學生自評方式，探究其解題歷程，以了解各組學生在進行文字問題解決時之困難所在，並試探合作解題方式是否能改善此困境，提昇有困難學生之解題階段。. 表 2－1－3：各學者對解題歷程的看法之整理，與本研究的解題歷程分類學者. 解題歷程. Polya (1945). 了解問題. 擬定計劃. 應用執行. 回顧. Newell & Simon (1972). 輸入轉譯. 選擇方法. 應用. 結束或再循環. Glass & Holyoak (1986). 形成初步的問題表徵. 計劃可能的解法方式. 實行計劃及檢討結果. Mayer (1996). 問題轉譯. 問題整合. 解題計劃及監控. 解題執行. Gagné, Yekovich 形成表徵 & Yekovich(1993). 活化知識. 找出解決方法. 評估. Marshall (1995). 情境描述. 現狀評估. 資源評估. 理論確認. 實際檢核. Thom & Pirie (2002). 閱讀. 理解. 分析. 計劃. 實行探究判斷和推論. 本研究之分類. 理解題意. 尋求模式. 擬定解法. 重新界定問題. 執行方法. 判斷. 肆、解題的評量模式傳統上是非題式的評量方式，非對即錯，難以評量學生解題的過程是否正確，也無法找出學生的迷思概念，因此大部份學者認為這並不是客觀的評量方 20.

(34) 式。如何才是客觀的評量方式？有的學者認為應依結果來分析學生的解題表現，有的學者則認為應對整個解題過程予以評分。然根據本研究之旨趣，認為若要評量學生在解題歷程中所遭遇的困難，應以學生整個解題過程加以評估。故以下僅探討以學生整個解題過程為評量方式的模式。. Charles & Lester(1982)的評分方式是將學生的解題過程分為三個階段來給分，每個階段的總分為 2 分。其整個評分方式如下表 2－1－4 所示。. 表 2－1－4：Charles & Lester (1982)的解題評量表解題過程的評分標準. 了解問題. 0-完全無法解釋問題 1-對於問題的一部分無法解釋 2-完全了解題意. 擬定計劃. 0- 完全無法安排適當的計畫 1- 問題中只有一部分能正確的規劃 2- 計畫能執行，據此並獲得正確的答案. 求得答案. 0- 由於不適當的計劃而無法求得正確的答案 1- 計算錯誤或抄錯 2- 求得正確的答案. Schoenfeld (1985)提出的多重記分方式(如下表 2－1－5)，除了評量學生的解題過程，尚考量其所使用的解題方法之個數及解法所達到的程度，因此 Schoenfeld 將解題過程分為三方面來評分，每一個層面依據學生是否使用而給予 1 或 0 分。例如某一位學生以一個方法解出答案，以第二種方法做對一些，且有提到第三種方法的證據，但沒有去實踐第三種方法，則該生在此三個層面所獲得的分數分別為：一、顯示證據：3 分(顯示出有三種解決方法)；二、實踐方法： 2 分(執行其中二種方法)；三、進展： 0 分(第三種方法沒解出)、1 分(第二種方法有一些做出)、 0 分(並沒有任一個解法達到「幾乎解出」)、1 分(以第一種方法完全解出)。該生合計得到 7 分。 21.

(35) 表 2－1－5：Schoenfeld (1985)的多重記分解題層次. 學生解題特徵. 一、顯示證據學生是否有任何證據顯示其對問題已意識到有一特殊解法。. 二、實踐方法學生是否有實踐這個方法？或者只意識到，但並沒有去尋求。. 三沒解出沒有進一步求答。、有一些解出學生的處理方式很合理，但無法求出答案。進幾乎解出很接近答案了，但計算上有一些錯誤。展解出答案完整的解答。. Mcaloon & Robinson (1988)依學生整體的表現來評分，其評分標準如下表 2－1－6 所示。表 2－1－6：Mcaloon & Robinson (1988)的解題評量表得分. 0. 學生的解題表現. ♦ 完全空白；或是 ♦ 所寫的一點都不正確或不相關. 1. ♦ 一開始就用較差的策略，顯出其對問題不了解；或是 ♦ 沒有嘗試再用別的方法. 2. ♦ 雖是較差的策略，但顯出其對問題有一些了解；或是 ♦ 雖然使用適當的策略，但不能繼續做下去. 3. ♦ 用適當策略，但忽略問題的某已知條件或思考的過程不情楚. 4. ♦ 有適當策略，但有計算上的錯誤. 5. ♦ 有適當策略，且 ♦ 對問題完全了解，且 ♦ 答案完全正確. 近年來，雖然較盛行質的評量方式，例如 Kane (1993)提出六種有關國小學生數學成就之評量策略：訪談(interview)、觀察(observation)、檔案歷程 (portfolios)、學生自我評量(student self-assessment)、作業表現 (performance tasks)、學生寫作(student writing)等。但這些評量方式，較難有具體或客觀計分方法，或者是較耗費時間，於實際教學上不易實施，因此大部份正式的評量模式，仍以紙筆、實作為主，以訪談、平時的作業表現為輔。本研究欲了解學生在解題的歷程中，在那一個階段產生困難，故需分析學生 22.

(36) 整體的解題歷程。首先 Charles & Lester 的評量方式，其三個層面互相關連，很難分開評量了解問題和實際解決問題的分數，因為學生所擬定的解題計劃是直接受到其是否了解問題的影響，故本研究不採用此評量方法。而 Schoenfeld 的評量方式對研究者在量化的研究方面並不是很恰當，因為很難去解釋全部學生平均分數的意義、對以學生個人分數來排定等級或解釋也有困難，但在質化方面，若用於抽樣訪談，可以看出不同語文理解能力與算術能力的四組學生，是否在解決問題的策略個數上有所差異。綜言之，本研究並不正式使用 Schoenfeld 的評量方法。 Mcaloon & Robinson 所提的評分方法，對於本研究而言較為適用。因此本研究擬參考其評量模式，依照學生解題的層次分別計分，如以下表 2－1－7 所示。亦即將解題表現分為五個層次，最低分為 0 分，最高分為五分。. 表 2－1－7：本研究文字問題的評量表得分. 0. 學生的解題表現. ♦ 完全空白；或是 ♦ 所寫的一點都不正確或不相關 (例如列出不相關的數學算式). 1. ♦ 一開始就用較差的策略，顯出其對問題有初步了解，但無法繼續做下去。(例如僅列出數學算式、或畫出圖形)。. 2. ♦ 雖是較差的策略，但顯出其對問題有一些了解；或是 ♦ 雖然使用適當的策略，但不能繼續做下去。(例如列出算式，也嘗試接下去計算，但無法做完). 3. ♦ 用適當策略，但忽略問題的某已知條件或思考的過程不情楚，導致答案錯誤。(例如已做完計算，但忽略一些運算規則或條件，而使答案錯誤). 4. ♦ 有適當策略，也考慮問題中的相關條件，但有計算上的錯誤，導致答案錯誤。. 5. ♦ 有適當策略，且 ♦ 考慮所有條件，過程中沒有錯誤，且 ♦ 答案完全正確. 23.

(37) 伍、建構學習觀對數學問題解決研究的影響問題解決一直是數學教育中相當重要的議題。然學習理論派典的不同，對數學問題解決的觀點亦略有不同。早期行為主義的學習理論，強調要確立情境與剌激間的聯結，因此在數學問題解決的學習上，學生重複演練一些問題、使用相同的解決方法，以達到精熟的程度。在題目本身，為了減去無關的聯想，題目通常也只出現與解答有關的訊息。這樣的學習觀點，顯然是強調增進學生的反應速度與正確性。亦即學生是否能在時限內執行正確的解題步驟才是其所關心的重點。六十年代以後，受到認知心理學萌芽、建構學習觀逐漸風行的影響，科學與數學教育已從傳統直接教學轉變為建構式探究教學，強調學習者先備概念、心智建構模式以及重視語言、社會、文化的學習脈絡情境。建構主義雖然有許多的派典，但其基本主張大致可分為幾點：(1)知識是由有認知能力的個體主動建構的，並且無法被動的接受(Bonder，1986)；(2)認知是個體以「適應」(accommodation)的方式去組織其經驗中的世界，而非去發現客觀存在的現實世界(Appleton, 1993)；(3)在社群中，個體們經由批判、確認等社會協商的過程，以產生該社群所協定的概念、系統，以及通用的方法(Driver, Asoko, Leach, Mortimer & Scott, 1994；Tsai, 1998)。建構主義的學習觀點，主要強調「理解化」與「意義化」的過程。其認為知識是一種動態的內在表徵，知識是個體主動建置的，而非逐漸累積或可直接拷貝的；學生建構原有概念與新概念之間的關係，創造自己的理解(Hiebert & Wearne, 1988；Driver et al., 1994)。因此若採取機械式的學習方式，學生可能會形成抽象命題式的知識基模，這種與情境分離的作用會導致「呆板的知識」(inert knowledge)，亦即學生可以在面對語文式的定義性測驗時去提取該知識，然而他們卻無法應用該知識於真實的問題解決情境中(Gagné, Yekovich & Yekovich, 1993)。另外，在學習遷移方面，統整的學習能提昇概念理解的品質，有助於學習者將之應用在創造性問題解決以及相關材料的新學習上，亦即能提高成功遷移. 24.

(38) 的機會(Mayer, 1975；Mayer, 1987；Case & McKeough, 1990 )。應用在數學問題解決上，若學生機械式地解決相似的數學問題，而且每一個問題都被教導一種固定性的解法，則學生的內在數學表徵，可能是一些獨立的、雜亂無章的命題概念。教師不應只是教導學生數學計算方法與技巧，更要教導學生統整數學概念。學生不能只學習固定的數學問題解決方法，更要學習「數學的結構」(the structures of mathematics)，了解數學程序背後所隱涵的概念與關係。也就是說，數學問題解決的教與學，應摒棄傳統的計算性(computational)，朝向概念性(conceptual)發展，使學生具有解決問題所應具備的分析能力與批判能力。基於知識的產生具發明性(inventiveness) (Tsai, 1998)，應該讓學生解決不同的問題，也就是問題的來源要具多元性，且這些問題需與現實生活情境相符；在解題的過程中，學生主動地發明解決問題的策略，或以小組討論而綜合/審核出解決方法，則學生最後會建構出一個具有統整性的數學概念網路，且這樣網路是具備生產性的(productive)(Hiebert & Carpenter, 1992)，能在現在的與將來的問題解決歷程中具有方向與監控能力。綜上所述，建構學習觀點的主要意涵，及其對數學問題解決研究的可能影響，整理如下：. 一、重視先備知識先備知識是概念發展的橋樑。學生以先備知識來理解學校裡的正式概念，以學校的正式概念來增加、修正先備知識的內容與架構，兩者是交互作用的歷程 (Howe, 1996；引自 Mintzes, Wandersee & Novak, 1998)。若學生具有另有概念(alternative conception)，則因先備知識根深蒂固的性質，將會非常不易改變(Wandersee, Mintzes & Novak, 1994；Eylon & Linn, 1998)，因此在教學時應該注意學生概念的發展，加強新舊知識的關連性。應用在數學問題解決教育上，根據問題解決的首要歷程為問題轉譯與問題整合(Mayer, 1992)，因此教師在預備(選擇)教材前宜先注意，數學文字問題的敘 25.

(39) 述需配合學生的發展、語文理解能力、數學技巧等可能影響解題學習與表現的先備知識。在未來的研究啟示上，可將影響數學問題解決能力的先備知識因素中，將其再詳細區分為領域一般(例如語文理解能力)與領域特殊(例如數學計算能力)，使教師得以分類進行更有效的補救教學。有關影響解文字問題的因素，將在下節討論。. 二、重視合作協商的過程 1980 年代早期，強調「精熟學習」(mastery learning)的說法式微，代之而起的是分組策略、合作學習。教育者發現個別化精熟學習策略的缺失，是忽略同儕之間的激發動機與協商過程。Linn & Burbules (1993)、Mayfield (1976)、 Towns & Grant (1997)以及 von Glaserfeld (1993)等人的研究指出合作學習有許多優點 (引自 Tsai, 1998)。第一，學生必須以語言表達自己的看法，他們必須學會如何反映出他們的思考。經由向同儕說明的同時，學生能更清楚地了解概念，並且發現這個概念與自己先前概念的不一致處。在這個溝通過程中，學生必須積極參與整個學習活動，以使得在小組內、小組間，學生能明辨彼此間想法的不同，而加以辨證，以達到一致的看法，此亦為社會建構的過程(Mintzes, Wandersee, & Novak, 1998)。第二，小組討論較能有效率地處理工作，並且較能引發創造力。第三，過去的研究發現 (例如 Johnson & Johnson, 1985；Slavin, 1984，引自 Tsai, 1998)，合作學生能提昇學生的學習成就、學習動機與學習態度；並且學生會由機械式的學習方式，轉向有意義的學習方式。第四，由於同儕間的發展階段較為一致，因此同儕或許較老師能有效地解釋訊息，以讓另一位學生明白。當學生向同儕解釋某個觀點時，可能比向老師解釋來得輕鬆，他們或許覺得和老師說話是一件有壓力的事；況且被老師糾正，比被同儕糾正來得痛苦、難堪多了。第五，整個合作學習過程，學生分享或協商概念會幫助他們發展人際溝通技巧。而 Vygotsky(1978, 引自 Tappan,1998)的社會學習理論，認為較高的心理功 26.

(40) 能(例如概念性思考、邏輯性記憶、自我調節能力等)的起源係來自社會-溝通的交互作用(social-communicative interactions)；亦即人與人心理間的互動(社會關係)可以內化形成個人內的心理功能。他認為和成人或較有能力的同儕合作能夠促進較高心理功能的發展。「鷹架支持」(scaffolding)的隱喻最初是由 Bruner, Ross, & Wood(1976，引自杜佳真，1997)所提出，強調教師的理想角色仍是提供學生支持。應用鷹架理論中責任轉移的概念，Palincsar & Brown(1984，引自杜佳真，1997)發展出「交互教學法」(reciprocal teaching method)，此教學法是透過漸進的方式，由老師和學生輪流扮演教學者的角色。在此過程中，教師藉由學習責任的轉移，促進學生「近側發展區」(zone of proximal development, ZPD)的擴展，此法已顯示出對促進師生間更高層次互動對話和教學責任轉移方面是成功的。而交互同儕指導(reciprocal peer tutoring)則為學生倆倆互相教學。在過程中，學生們彼此都要提供對方教學、評量與增強，因此能使雙方互相協助，並提供彼此社會的支持(Griffin & Griffin, 1998)。 Fantuzzo, Riggio, Connelly, & Dimeff (1989)更以 100 個大學生為研究對象，探究「交互同儕教導」(reciprocal peer tutoring, RPT)的學習成效。結果顯示學生的認知方面獲得進步(cognitive gains)，且降低了與課業表現有關的精神壓力(psychological stress associated with academic performance)。綜上所述，在數學問題解決的學習方面，教師安排小組團隊式的合作解決問題，應能提昇學習動機、促進學生協商能力、增進解題之效能。教師並且應注意師生間是否有良好互動與回饋模式，以促使學生自我調適，使其具備反省與批判能力，使學生能如同數學家一樣思考，在數學社群中提出假設、證明、澄清數學概念。據此，本研究除了探究問題解決之外，也朝向合作解題的研究方向。再者，因為 Mintzes 等人(1998)認為在合作學習方面，學生兩人一組的合作方式可能較為有利，因為每位學生有較多的機會說出自己的想法，然而潛在的缺點可能是萌生的想法較少，且大部份的國內外有關合作學習的研究都是以 3~4 位學生為一組，所以本研究試著以 2 人為一組合作解題。 27.