第五章、 模型介紹與設定
第二節、 提前清償模型
七、 比例轉機模型
七. 比例轉機模型（Proportional Hazard Model , PHM）
近年所發展的提前清償模型上，Cox(1984)的比例轉機模型(PHM)較廣為 使用，又稱Cox's Regression Model。
在風險函數(Hazard function)的設定上，以隨機變數T代表事件發生的 時間，以累積分配函數(CDF)的設定而言，F(T)=P(T<t)表示在t時間點
‧ 國
立 政 治 大 學
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Na tiona
l Ch engchi University
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(1,2,,k)為此機率函數中所存在的參數
Cox(1984)運用此一概念，推導出比例轉機模型（Proportional Hazard Model , PHM），其函數如下:
(5.2.11) 先前提到函數中的的參數 ，為待估計的參數。
在變數的設定方面，總體與個體的情況將會影響提前清償行為的發生，
影響的變數包括許多層面，包括市場利率、季節變化、景氣情況、地區 環境等因素，而此行為也將加速了轉手證券與轉支付證券的現金流量流 動，對於此類證券化商品的價格造成影響。Green and Shove在1986年 利用比例轉機模型（Proportional Hazard Model）中所選取的四個變 數來估算出貸款的提前清償率，變數包括了重新融資率與契約貸款利率 的差額、前項差額的三次方、燃燒效果 、季節性因子。首先定義提前 償還函數，它指的是在某一段期間內，房貸人提前償還的機率。
基線函數(baseline hazard function)可為內生或外生變數，此基線函 數可視為未經過變數調整所存在的存活機率。此函數的設定方式有很多 種，過去在處理基線函數時，除了透過經驗法則之外(PSA法)，還有設 定此函數服從某些統計分配。如Schwartz and Torous(1989)將基線函 數假設為服從log-logistic 分配；另外，Schwartz and Torous(1992) 則將基線函數假設為PSA的經驗法則； Schwartz et al.(1993)C2-26 及 Fu et al.(2003)則採用多項式函數處理基線函數，透過變數的設定 來調整基線函數的型態，其函數設定如下:
(5.2.12)
依據Green and Shove(1986)的設定，基線函數(baseline hazard
) exp(
) , :
( 1 2 2 3 3
0i t i i i
h
V V kVk
t h V t
h( , ) 0( )exp 1 12 2
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‧ 國
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v t2
c l t
3c：契約貸款利率
l(t)：t時點下的重新融資率，一般而言為長期貸款利率 3. V3為疲乏效果(burnout effect)
過去的提前清償次數或是已提前清償的金額數，將會影響未來房貸 借款人的提前清償行為，其變數定義如下：
MB t ：為t時點下扣除提前償付額的本金未償還餘額
MB t* ：在t時點下未扣除提前償付額的本金未償還餘額
4. V4為季節因子
模型中也考慮了加入季節因子的解釋變數v t4 ，其定義為：
由於在5~8月天氣較佳，較適合進行房屋遷徙，再加上暑假期間，
可能會有課程銜接的房屋交接情況產生，也因此造成不同月份對提 前還效果的乘數不同，依據美國過去的歷史經驗也可發現房地產市 場在春夏兩季的交易行為較多，其中的提前清償行為出現的機會也 較秋冬季節來的多。
在變數確定之後，接下來可運用最大概似估計法並結合數值方法去估計 模型所需要的參數，其中 , ,p 1, 2, 3, 4為未知參數，定義為：
0, 1, , , ( 1)
ij ij ij ijk ij k
，當ij0 1表示在所觀察的期間內包含第i群
的第j個抵押權被提前清償；ij0 0為其他。tij表示在所觀察期間內，
包含第i群的第j個抵押權之發行的月份的個數必頇假設每一個提前清
) )
( ) ln(
*(
t MB
t v３ MB
時點在九月至四月 時點在五月至八月 ,
0 , 1
4