利率模擬步驟

第五章、模型介紹與設定

第一節、利率模型

二、利率模擬步驟

將 Swap rate 利用非線性插補法(Cubic Spline)算出每三個月一期的 Swap rate。

2. 建構出即期的零息利率曲線

一年以上的LIBOR 必頇利用一年期以上的交換利率，並透過拔靴法（Bootstrapping）來計算。拔靴法可以利用先前提到的交換利率與LIBOR之關係式來運算，運用LIBOR短天期的利率與 Cubic Spline後的三個月為一期的Swap rate，以及交換利率與零息債券(或LIBOR)之關係式，進而求算長天期即期利率，並且

‧

利率上限選擇權(Cap)為利率選擇權的一種，Cap 以利率做為標的，在未來的某一特定期間內，當指標利率高於履約利率時，契約，內含三個Caplet(以三個月為一期)。

依據上式，先求算出第二期的Caplet報價(t=0.25~0.5):

‧

接著求算第三期的Caplet報價(t=0.5~0.75):

F.Mercurio(2006)隨機過程算出"每一季的即期利率"。

(5.1.7) caplet t

t caplet t

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第二節、提前償還模型:

一. 帄均到期法

運用歷史資料來算出貸款的帄均壽命，透過此歷史資料來推估出未來貸款的提前清償時點，當貸款抵達帄均壽命時，此貸款會被借款人提前清償。

二. 十二年生命週期法（12-year life method）

依據聯邦住宅管理局(FHA)於1957年至1980年的資料，大部份三十年期的抵押貸款會在第十二年被借款者提前清償。因此，十二年生命週期法假設GNMA的30年期抵押擔保證券的到期日為十二年，以此時間長度來估計抵押擔保證券的價格。然而在借款人的提前清償行為方面，由於提前清償的考量因素相當多，例如利率的變動、房屋價格的變化以及借款人自身的生涯規劃與家庭因素等，因此僅以過去歷史的貸款資料來判斷未來提前清償的時間點較為不妥。

三. CPR（constant prepayment rate）表示法

CPR 假設抵押貸款群每年都會以期初貸款本金餘額之固定比例提前還款，並以百分比表示。而CPR是年化的利率，可轉化為單月的提前清償率以方便計算每月的提前清償金額，即提前償還之金額頇由CPR計算出每月提前還本率（Single Monthly Mortality, SMM），再乘以期初貸款本金餘額即可求得該月份的提前清償金額。

計算流程如下:

SMM1(1CPR)¹^/¹²

(5.2.1)

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單月份得提前清償金額=

SMM × (月初貸款餘額-該月份的規定清償金額) (5.2.2) 此數據取決於該貸款組合的性質，以及目前與未來預期的經濟環境。CPR 的優點在於簡單易用，但是只利用過去的經驗(包括過去的提前清償經驗)對未來的趨勢加以估計，並未考慮到環境因素改變對提前清償率的影響，因此在利率大幅變動的情形下，並不適合採用CPR法。

四. FHA 經驗法

FHA 利用過去中低收入戶所提供保險的房貸資料，加以整理後得出提前還本曲線，再以此曲線型態進行估計。美國聯邦住宅管理局（FHA）

每隔一段時間都會公布一張表，舉出 30 個由其保證的抵押貸款在不同年期下的存活機率。此提前清償率由房屋及都市發展部(Housing and Urban Development Department, HUD)來計算，該組織根據 FHA 所保證的房屋貸款，計算未清償者(Survivorship)資料，建立存續貸款表

（Survivorship table）作為每期提前償還率之預估。相較於 CPR 模型，FHA 表示法的優點在於能夠反應不同年期下的提前償還速度，而提前清償的機率在貸款初期時較低，隨後增加，並在第 5 年至第 8 年間達到頂峰，但之後又下降。然而 FHA 表示法的缺點在計算過於複雜，

且資料經常更新，以致溝通上難以取得共同之基準。此外，該方法是依據 FHA 的貸款保證經驗計算出來，對於其他的貸款並不一定適合採用；另外在提前清償中，其他必頇考量到的因素也未被考慮進來計算，

因此容易產生偏誤。

‧

五. PSA 提前清償模型(PSA Prepayment Benchmark) :

由公共證券協會(Pulic Securities Association,PSA)於 1985 年 7 月所提出，該協會訂定了一套標準來衡量提前清償速度，其方法簡化了

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六. OTS模型

Richard and Roll（1989）所提出的提前清償模型中，提前清償的行為受到四個因素影響，分別為再融資誘因（Refinancing Incentive）、適時融資效果（Seasoning）、月份效果（Seasonality）及疲乏效果（Premium Burnout），其考慮了財務和非財務性的提前償還誘因，為一動態的提前償還模型，以此確切捕捉借款者的提前還款行為。

1. 再融資誘因（Refinancing Incentive）

再融資誘因是影響借款人提前償還之權力行使與否最重要的因素，

藉此考慮借款者若是透過原貸款清償，並以最新的市場貸款利率來再融資的成本效益。Richard and Roll 使用 GNMA 的房貸資料，並使用曲線配置(Curve-Fitting)的方式得到提前清償比率與重新融資誘因的關係。若 C 表是票面利率，R 表示借款人再融資的利息，

當 C/R 愈大時，表示再融資利率相對於票面利率低，因為此時借款人會有較大的再融資誘因，故 CPR 較高。相對地，C/R 低於 1 時，

表示再融資利率高於票面利率，因此借款人再融資的動機較低。

2. 適時融資（Seasoning）

適時融資的因子反映在借款人於借款後，利用新借款來降低舊借款的提前還款現象。由於此因子的效果已隱含於 PSA 模型中，因此利用 PSA 模型來刻畫此效果。

在 PSA 模型中，CPR 在前 30 個月以每月 0.2%進行遞增，而 30 個月之後固定為 6%的 CPR。而適時融資模型為，適時融資比率前 30 個月每月以(1/30)%遞增，30 個月之後固定為 1%。

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3. 季節效果（The month of the year or Seasonality）

月份效果主要描述不同月份提前還的相對效果。根據歷史資料統計

，提前償還的比率在冬季較為顯著，而在夏季則相對較低。

考量在 5~8 月由於天氣較佳，對於房屋遷徙較為適合，以及此為暑假期間，可能會有課程銜接的房屋交接情況產生，也因此造成不同月份對提前還效果的乘數不同。

4. 疲乏效果（Premium Burnout）

借款人的提前清償行為也會受到過去貸款期間內曾經提前償還的紀錄所影響，若借款人過去貸款期間內的提前償還行為頻繁，或累積大量提前償還金額時，未來會提前清償的機率便會隨之減少；此外，房貸群組裡的借款人對於提前清償的態度與偏好也有所不同，

在面對提前清償機會時，有提前清償傾向的借款人會傾向提前清償

，使得此類借款人離開房貸群組，而剩餘在房貸內的則是提前清償意願較低的借款人，而此現象也稱為疲乏效果（burnout effect）。

5. 模型（Model）

假設：CPR 最大值為 50%

CPR 最小值為 0%

CPR 中位數 25%對應的 C/R，與 C/R=1 相距 200bp 位於 CPR 中位數 25%時，最大的斜率為每 10bp 帄移 6%的 CPR 而上述四項因子的形式分別為：

I. 再融資誘因（Refinancing Incentive）：

(5.2.4)

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其中

WAC 為 CMO 商品的加權帄均票面利率再融資利率

II. 適時融資（Seasoning）:

(5.2.5) 以此代表不同月份下的適時融資比率變數。

III. 季節效果（The month of the year or Seasonality）：

依據 Richard and Roll 所估計每個月的乘數，分別如下:

其中月。

IV. 疲乏效果（Premium Burnout）：

(5.2.6)

BM:疲乏效果因子

B(t):在 t 時的房貸群組之本金餘額 B(0):在 0 時的房貸群組之本金餘額

‧

七. 比例轉機模型（Proportional Hazard Model , PHM）

近年所發展的提前清償模型上，Cox(1984)的比例轉機模型(PHM)較廣為使用，又稱Cox's Regression Model。

在風險函數(Hazard function)的設定上，以隨機變數T代表事件發生的時間，以累積分配函數(CDF)的設定而言，F(T)=P(T<t)表示在t時間點

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^ ^⁽^¹^,^²^,^^,^^k⁾為此機率函數中所存在的參數

Cox(1984)運用此一概念，推導出比例轉機模型（Proportional Hazard Model , PHM），其函數如下:

(5.2.11) 先前提到函數中的的參數 ，為待估計的參數。

在變數的設定方面，總體與個體的情況將會影響提前清償行為的發生，

影響的變數包括許多層面，包括市場利率、季節變化、景氣情況、地區環境等因素，而此行為也將加速了轉手證券與轉支付證券的現金流量流動，對於此類證券化商品的價格造成影響。Green and Shove在1986年利用比例轉機模型（Proportional Hazard Model）中所選取的四個變數來估算出貸款的提前清償率，變數包括了重新融資率與契約貸款利率的差額、前項差額的三次方、燃燒效果、季節性因子。首先定義提前償還函數，它指的是在某一段期間內，房貸人提前償還的機率。

基線函數(baseline hazard function)可為內生或外生變數，此基線函數可視為未經過變數調整所存在的存活機率。此函數的設定方式有很多種，過去在處理基線函數時，除了透過經驗法則之外(PSA法)，還有設定此函數服從某些統計分配。如Schwartz and Torous(1989)將基線函數假設為服從log-logistic 分配；另外，Schwartz and Torous(1992) 則將基線函數假設為PSA的經驗法則； Schwartz et al.(1993)C2-26 及 Fu et al.(2003)則採用多項式函數處理基線函數，透過變數的設定來調整基線函數的型態，其函數設定如下:

(5.2.12)

依據Green and Shove(1986)的設定，基線函數(baseline hazard

) exp(

) , :

( ₁ ₂ ² ₃ ³

0_i t   _i  _i  _i 

h   

 V V _kV_k

t h V t

h( , ) ₀( )exp ₁ ₁₂ ₂

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v t2  



c l t  



c：契約貸款利率

l(t)：t時點下的重新融資率，一般而言為長期貸款利率 3. V³為疲乏效果(burnout effect)

過去的提前清償次數或是已提前清償的金額數，將會影響未來房貸借款人的提前清償行為，其變數定義如下：

 

MB t ：為t時點下扣除提前償付額的本金未償還餘額

 

MB t* ：在t時點下未扣除提前償付額的本金未償還餘額

4. V4為季節因子

模型中也考慮了加入季節因子的解釋變數v t4 ，其定義為：

由於在5~8月天氣較佳，較適合進行房屋遷徙，再加上暑假期間，

可能會有課程銜接的房屋交接情況產生，也因此造成不同月份對提前還效果的乘數不同，依據美國過去的歷史經驗也可發現房地產市場在春夏兩季的交易行為較多，其中的提前清償行為出現的機會也較秋冬季節來的多。

在變數確定之後，接下來可運用最大概似估計法並結合數值方法去估計模型所需要的參數，其中^ ^^^{, ,}^p ^{   }^1, ²^, ³^, ⁴為未知參數，定義為：

 ⁰^, ¹^, ^, ^, ⁽ ¹⁾

ij ij ij ijk ij k

      _ ，當_ij₀ 1表示在所觀察的期間內包含第i群

的第j個抵押權被提前清償；_ij₀ 0為其他。t_ij表示在所觀察期間內，

包含第i群的第_j個抵押權之發行的月份的個數必頇假設每一個提前清

在文檔中擔保房貸憑證(CMOs)評價---以BGM利率模型為例 - 政大學術集成 (頁 32-0)

第五章、 模型介紹與設定

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第二節、 提前償還模型:

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

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