比概念之教材分析

本研究因必須編製比概念之試題，以檢測兒童學習教科書後之比概念階 層圖，與教材地位階層圖有無一致性，故瞭解九年一貫數學教材，對本研究 是重要的。

壹、相關名詞的探討

一、比

依據 64 年版部編本國小數學教科書的定義，比是指兩量倍數關係的另一 種說法。例如：「5 塊餅乾是 2 塊餅乾的幾倍，這種關係也可寫做 5：2，讀做 五比二」。

比是指並置的兩對應關係量的紀錄，例如：「小明拿 4 顆蘋果，到菜市場 去換 6 個橘子」可以記為 4：6。這是 82 年版課程綱要的定義。（周筱亭、黃 敏晃，2002）

二、對等關係

這是 82 年版課程綱要中，給比的另一個名詞。代表任意兩數量，因某種 原因（不考慮單位是否相同的問題），而產生的關係。數學上的意義等同序對，

序對以（A，B）表示，當然也可用較常見比的符號 A：B 來紀錄。例如：小 明的身高是 140 公分，體重是 40 公斤；一籃水果有 10 顆，一共重 20 公斤；

某班級中男生有 15 人，女生有 12 人…等。諸如此類的描述，都可視為產生 了一個對等關係。140 公分對 40 公斤、10 顆對 20 公斤、15 人對 12 人，…。

記錄成 140：40、10：20、15：12（周筱亭、黃敏晃，2002）。

三、對等關係的種類─組合、母子、交換、密度

這四種分類方式是依語意結構的不同來劃分，與 Lamon（1993）依語意 結構而對比概念所做的分類有部分是重疊的。Lamon 將比概念分為熟知的量 數（well-chunked measures）、部分─部分─全體（part-part-whole）、關聯的 集合（associated sets）、擴大縮小（stretchers & shrinkers）四個類型。茲將九

年一貫數學領域綱要中對等關係的分類及與 Lamon 所做比較分述於下：（周 筱亭、黃敏晃，2002；翁宜青，2002）

（一）組合

若此兩數量是同類量，且同是一全體量的部分時，稱之為組合的對等關 係。例如：一桶積木中有 5 個紅色積木、3 個黃色積木。此部分的定義與 Lamon 分類中「關聯的集合」相似。

（二）母子

若此兩數量是同類量，且其中一數量是全體量，另一數量是全體量的部 分量時，稱之為母子的對稱關係。例如：一箱飲料有 24 杯，其中有 10 杯是 綠茶。此部分的定義與 Lamon 分類中「部分─部分─全體」相似。

（三）交換

兩個具有相同價值的物件，可以進行交換，而形成對等關係，稱之為交 換的對等關係。例如：小明拿了五個蘋果，到市場換了十個橘子。

（四）密度

兩不同類量，重量及體積，用以描述同一物件的密度性質，稱之為密度 的對等關係。例如：100 立方公分的水重 100 公克。此部分的定義與 Lamon 分類中「熟知的量數」相似。

四、比值

64 年版的比值，是直接定義前項除以後項，抽象的定義常使教師在教 學，以及學生在學習上造成困擾。82 年版的課程綱要，則先透過各種對等關 係，產生一個比，並藉由列出與它相同的比，所產生的最簡整數比相同，來 得到最簡整數比的概念。最簡整數比的單位化（unitizing）所產生的數就是比 值。也就是說對於一個比「A：B」，透過找一個後項為 1 且與 A：B 相等的 比，如 A：B＝X：1，得到的 X 就是 A：B 的比值。Lamon（1990）認為單 位化是建立複雜單位結構的必經歷程。如果兒童解比概念問題時，能先求出 單位量，再利用此單位量解題，即具備比值的單位化能力（周筱亭、黃敏晃，

2002；翁宜青，2002）。

五、比例問題與對等問題

比例問題指的是 64 年版課程所進行類似：已知一比較量對基準量的比，

而且已知一個比較量或基準量，求另一個未知量的問題。而對等問題是指兩 等價的對等關係，「A：B＝C：D」其中有一項是未知數的情境文字題問題。

因為對等關係有四類，故對等問題依然可分成四類，分別為組合問題、母子 問題、交換問題及密度問題等。其問題類型舉例如下：

（一）組合問題

馬場裡，每二個工人可以照顧五匹馬，有 20 匹馬，需要幾個工人來照顧？

（二）母子問題

飲料工廠將飲料裝箱，每 1 箱飲料中有 2 罐可以抽中再來一罐，問如果 要抽中 10 次再來一罐，要買幾箱？

（三）交換問題

小明用 10 個菠蘿麵包可以換到 8 個紅豆麵包，如果隔天小明只帶了 5 個菠蘿麵包，可以換幾個紅豆麵包？

（四）密度問題

３公升的水重３公斤，幾公升的水重８公斤？（周筱亭、黃敏晃，2002）

六、比例式及比例式填充題

「5：8＝20：32」即稱為比例式。「5：8＝20：32」中若有一數是未知量，

將其列為「5：8＝（ ）：32」則成比例填充題。比例填充題是用在某些數學 具體活動時的記錄，包括教師布題、學生解題及結果的呈現等。（周筱亭、黃 敏晃，2002）

七、數量關係與函數

有某一對應關係的兩組數量，例如：多個三角形及其總邊數合、時速 50 公里的車子經過的時間與所走的距離、…等，都可稱為數量關係，可記錄為

（X1、X2、X3、…）與（Y1、Y2、Y3、…），特別注意其中的對應順序不可 對調。若存在此兩變項的關係式，使一變項為已知，即可知另一變項，則稱 此關係式為函數。（周筱亭、黃敏晃，2002）

八、正比例與反比例

生活中存在最簡單的函數，就是正比例及反比例，因為兒童尚未有函數 的概念，故正比例及反比例須透過比與比值的關係來引入。當一數量關係的 所有對應項的比的比值都相同時，稱這兩對應關係為「正比例」；若其中一組 數量先取倒數，與另一組對應數的比的比值相同時，稱這兩個對應關係為「反 比例」。

由上述說明，若甲組數量與乙組數量成正比例，那麼乙組數量與甲組數 量亦成正比例。同樣的若甲組數量與乙組數量成反比例，那麼乙組數量與甲 組數亦成反比例。（周筱亭、黃敏晃，2002）

九、百分率、命中率、打擊率

在母子對等關係中，若前項為子、後項為母，例如：「小王投籃球 50 次，

投進了 15 球」，其中的比值，將依不同的情境的社會文化術語，給了不同的

「率」之名稱。如果後項設定為 100，則形成的前項值就可稱為百分率或百 分數。（周筱亭、黃敏晃，2002）

貳、比概念問題之兒童解題探討

一、解題的先備知識

翁宜青（2002）認為解比概念的問題，先備知識有五項，分別是：（一）

具有因倍數的能力；（二）熟悉乘除法的問題情境；（三）有理數概念的整體 發展；（四）相對的思考能力；（五）比值的單位化能力。研究者認為，具有 因倍數的能力，乘除法必須熟稔，（一）（二）點其實無須分述，應合為同一 點說明，另（四）相對的思考能力，於第二節中已有說明，故不再贅述，以 下研究者就剩餘三點說明如下：

（一）具有因倍數的能力

解比例問題，通常是先做除法再做乘法（劉祥通、周立勲 1999）。例如：

9 顆糖果，賣 15 元，12 顆糖果要賣多少元？類似的問題都必須將 15 元除以 9 顆，得到 1 顆糖的單價是

9 15＝

3

5元，再以 1 顆糖的單價乘以 12 顆，得到所

求的總數 20 元。如果兒童具備因倍數概念時，就可以先將 9 顆糖分 3 堆、15 元分 3 堆，1 堆有 3 顆糖果賣 5 元，亦可解出答案，且更可避免以嘗試錯誤 法去試出公因數。故具備因倍數能力，可以使兒童在解比概念問題時，加快 關鍵解題的要素。

（三）有理數的整體發展

兒童在遇到類似第一點的舉例問題時，如果在第一步以 15 ÷ 9 時得到 一個除不盡的小數，而不知道用分數來代表答案時，表示兒童尚缺乏有理數 的整體發展。兒童對以分數來表示除法的結果並不熟悉，所以無法解決比概 念問題（楊錦蓮，1999）。

（五）比值的單位化能力

「小明買 2 枝鉛筆要 5 元，買 10 鉛筆要花多少元？」。兒童帶遇到類似 比概念問題時，若能將 2 枝 5 元當成一個單位，算出要買 10 枝鉛筆要 5 個單 位（5 從 10÷2 來的），得到 5×5＝25 元。則認為兒童已具備比值的單位化能 力。

二、解題關鍵

解題的關鍵在於兒童能具體操作累加及等分割活動（周筱亭、黃敏晃，

2002）。例如：「小王買 4 杯飲料花了 50 元，用同樣的買法，小華買 15 杯飲 料要花多少元？」，兒童必須先把前比例項的兩數量，同時累加 3 次，再把前 比例項的兩數量等分割成 4 分，合成其中的 3 分於之前累加的 3 次上，才可 得到小華所要花的錢數。較不複雜的問題可能只須累加，或等分割即可，又 累加又等分割，最後再合成，應是最複雜的問題了。故無論比概念問題中，

簡單或複雜的問題，解題關鍵都是累加及等分割。累加就是乘法，等分割即 除法，與先前所提先備知識須乘除法及因倍數觀念吻合。而複雜問題的等分 割後再合成，就須先備知識中的單位化能力。此兩部分恰不謀而合。

三、難易因素

周筱亭、黃敏晃（2002）等學者們認為，比概念的問題中，有三個難易 因素，分別為：（一）未知數的位置；（二）轉換的方式；（三）前比例項的數 值範圍。茲分述如下：

（一）未知數的位置

「5 個蘋果賣 25 元，多少個蘋果賣 40 元？」這類的問題，如果列成比 例式填充題，則可列成「5：25＝X：40」；如果是「多少個蘋果賣 25 元時，

8 個蘋果賣 40 元」，列成比列式填充題，可列成「X：25＝8：40」。這兩類問 題，不同的只是未知數放的位置，一個放在前比例項，另一個放在後比例項，

以成人的算則來看，這是一樣的題目，但以兒童的角色來看，這是不一樣的 題目。未知數在後比例項時，做為推論基礎的前比例項是已知的，所以這是 一個正向推論，稱為「正向活動」；反之，未知數在前比例項時，做為推論基 礎的前比例項，有部分是未知的，須反向推論來求所求，稱為「逆溯活動」

（周筱亭、黃敏晃，2002）。就兒童的發展而言，正向活動是較早發展的，逆 溯活動是相對較難的，故對兒童解比概念問題時，這是一個重要的難易因素。

（二）轉換的方式

所謂轉換的方式，係指在解比概念問題的正向活動時，前比例項須透過 累加或等分割的轉換方式，得到後比例項，求出未知數。此轉換方式依題目 類不同而不同，分述如下：（周筱亭、黃敏晃，2002）

1、整數倍的轉換：如「5 本書可以換 7 枝筆，15 本書可以換幾枝筆？」

這類型的問題，列成比例式填充題為「5：7＝15：X」，通常只須將前比例項 累加 3 次，就可得到答案，稱為整數倍的轉換。

2、單位分數倍的轉換：如「15 本書可以換 21 枝筆，5 本書可以換幾枝 筆？」這類型的問題，列成比例式填充題為「15：21＝5：X」，通常只須將 前比例項等分割 3 次，就可得到答案，稱為單位分數倍的轉換。

3、真分數倍或假分數倍的轉換：如「15 本書可以換 21 枝筆，10 本書可 以換幾枝筆？」這類型的問題，列成比例式填充題為「15：21＝10：X」，須

3、真分數倍或假分數倍的轉換：如「15 本書可以換 21 枝筆，10 本書可 以換幾枝筆？」這類型的問題，列成比例式填充題為「15：21＝10：X」，須