第四章 研究結果及分析
第三節 試題關聯結構圖之分析與討論
回應本研究之研究目的，必須運用第二章所提到之試題關聯結構分析 法，得出並繪製出六年級兒童之比概念階層圖，並於本節中，對彰化縣六年 級兒童之比概念結構加以分析，並作適當的討論。
壹、六年級兒童整體比概念試題關聯結構圖的分析與討論
一、橫斷層面分析
首先就八個概念節點的答對率高低，就橫斷層面分析六年級兒童所呈現 出來的比概念結構與教材地位的比概念結構有何差異，八個概念節點的答對 率如下表 4-3-1 所示：
表 4-3-1 概念節點答對率
答 對 率 概 念 節 點 名 稱 包 含 題 號
比的意義 1～9
能將整數除法的商以分數表示 16、17 高答對率
0.95～1.00
因數及倍數的概念 18、19、20
通分的意義 21、22、23
中答對率
0.80～0.86 相等的比 24～41
比值的意義 10、11、12
前項及後項的意義 13、14、15 低答對率
0.55～0.61
最簡單整數比 42、43、44
（一）從表 4-3-1 可以觀察出，高答對率的三個概念節點，「比的意義」、
「能將整數除法的商以分數表示」以及「因數及倍數的概念」皆屬初級定義 及前備知識概念，故受測的六年級兒童在這方面表現佳，與教材地位結構圖 的呈現亦同。
（二）在中答對率的兩個概念節點中，其中，「通分的意義」建立在「因 倍數的概念」上，在受測六年級兒童的比概念結構圖亦有呈現出上下位的關 係，既是如此，「通分的意義」概念節點的答對率比「因倍數的概念」略高，
符合比概念教材地位概念結構的期望。而相等的比，在比概念教材地位中，
屬中高難度，應其須具備「比的意義」及「比值的意義」兩概念，才能達到 此階層，從受測兒童的比概念結構亦是符合的。
（三）在低答對率方面，「最簡單整數比」的概念，在比概念單元中，屬 最後達成的階層，因其須綜合所有相關概念才能達成，所以呈現出來的答對 率偏低，此點與教材地位結構圖所呈現的一致。但「比值的意義」及「前項 及後項的意義」在教材地位結構圖中，應屬高答對率的下位概念，結果於兒 童比概念結構中，竟是最上位概念，此耐人尋味的結果，將在下一部分探討 分析。
二、比概念結構圖之分析與討論
（一）從圖 4-2-2 中，可以明顯看出主要結構在「因數及倍數的概念」
→「比的意義」→「相等的比」→「最簡單整數比」，此主要結構與比概念教 材地位結構圖的主要結構：「比的意義」→「比值的意義」→「相等的比」→
「最簡單整數比」中，「比的意義」、「相等的比」、「最簡單整數比」這三個概 念的上下位是相同的，唯一不同之處在於「比值的意義」，於六年級兒童的比
概念結構中，「比值的意義」居於上位，研究者推測這可能是臺灣兒童的通病，
在數學的學習上，往往只重計算，而忽略基本定理，所造成的結果。除此之 外，六年級兒童所呈現出來的主要概念結構，顯示出兒童在學習上是先學會
「因數及倍數的概念」，再學會「比的意義」，然後再「相等的比」，最後才能 對「最簡單整數比」有進一步的瞭解，這與教材的安排是相去不遠。
（二）除主概念結構外，另四個概念：「通分的意義」、「能將整數除法的 商以分數表示」、「比值的意義」、「前項及後項的意義」，後兩項基本定理「比 值的意義」及「前項及後項的意義」在最上位的原因，應是同（一）之推測，
六年級兒童忽視，又或是根本不瞭解原理所致，當然真正原因仍須容待後續 探討。而「通分的意義」在「因數及倍數的概念」的上位，與比概念教材地 位結構圖是相符合的，顯示六年級兒童在學會因數及倍數的概念後，才能進 一步學會並瞭解通分的意義，這一點的學習結果，是回饋教材的學習安排的。
（三）「能將整數除法的商以分數表示」在「相等的比」的下位，亦不難 看出其與「比值的意義」的上下位關係，因「相等的比」在「比值的意義」
的下位，所以「能將整數除法的商以分數表示」亦可看成是「比值的意義」
的下位概念，這一上下位概念的關係，與教材地位的安排恰好一致，略有不 同之處只在於兒童的比概念結構呈現出來的上下位關係，多了一個「相等的 比」，在這方面可能是六年級兒童在「相等的比」概念的學習上，有較多的計 算，而「能將整數除法的商以分數表示」是一個操作型定義的概念所致。
（四）至於為何「前項及後項的意義」及「比值的意義」會成為最上位 的概念，除在（二）（三）做了大略的推測外，於下一部分，針對各個概念間 的試題關聯結構分析，於試題題目的分析討論中，再做探究分析。
貳、六年級兒童比概念之子概念試題關聯結構圖的分析與討論
一、「比的意義」概念結構圖分析
（一）橫斷層面分析
首先就「比的意義」概念節點的九個題目答對率高低，就橫斷層面分析 六年級兒童所呈現出來的比概念結構，九個題目的設計概念及答對率如下表 4-3-2 所示：
表 4-3-2 「比的意義」概念題目原理及答對率
1、 從表 4-3-2 中可知，在「比的意義」概念的九個題目中，除第 7 題 外，餘題目的答對率皆有 0.8 以上，可知六年級兒童在「比的意義」概念上，
大多數的人是瞭解並學會的。
2、 在「比的組合意義」方面，三個問題的平均答對率有 0.91，但在數 值範圍方面，按教材地位及研究者原先的題目設定，由簡單到困難應是「整 數對整數」→「分數對整數」→「分數對分數」，但由表 4-2-2 卻是相反的情 形，從答對率高到低是「分數對分數」→「分數對整數」→「整數對分數」， 研究者認為應是受測兒童在回答問題時，未看清題目，甚或搞錯題意所致，
由施測試題第一題題目：「王媽媽上街買了 1 箱柳丁，其中分 7 顆給小陳，分 11 顆給老李，分 15 顆給小莉，請問小陳與老李所分到柳丁數量的比為下列 何者？」可看出此題並無特別難度，有可能會寫錯的原因極可能是粗心大意 所造成。
3、 在「比的母子意義」方面，三個問題的平均答對率有 0.86，但在數 值範圍方面，亦出現答對率與教材地位及研究者題目設定相反的狀態，顯示 受試兒童在面對愈簡單的題目時，愈容易粗心答錯。但在「比的母子意義」
方面，平均答對率較「比的組合意義」答對率來得低，顯示學生在「比的母 子意義」上的瞭解，不如「比的組合意義」來得好，這一點與楊錦蓮（1999）
的研究結果相同。
4、 在「比的交換意義」方面，三個問題的平均答對率有 0.85，是三種 比的意義：組合意義、母子意義、交換意義中答對率最低的，顯示受試兒童 在面對交換問題時，是較不容易瞭解其意義，並答對問題的，尤其第 7 題的 題目：「阿凱拿 3 顆蘋果，到水果攤可以換 5 顆橘子，或是換 8 根香蕉。請問
同樣的價錢，可以買到的蘋果與香蕉的個數比為下列何者？」，並沒有明顯答 錯的要素，為何答對率只有 0.79，實在頗令人費思。或許只能歸因於受試兒 童未看清題目就倉促作答。
（二）試題關聯結構圖分析
答對率
圖 4-3-1 「比的意義」概念試題關聯結構圖（
r
＊jk≧0.5）0.7
0.8
0.9
1.0
1 2
8 4
5 7
3 6
9
1、 從圖 4-3-1 可知有一主要結構在題目 3、6、9、8 題，呈現的上下位 關係分別在於題目 3 及題目 9 有等價關係，題目 3 及題目 9 則同是題目 6 的 下位關係，而在主要結構的最上位則是題目 8。另題目 2 亦是題目 3 及題目 9 的共同上位，題目 4 則僅是題目 3 的上位、題目 1 僅是題目 9 的上位，最後 與所有題目無上下位關係的有題目 5 及題目 7。
2、 在允許誤差的情形下，題目 3、6、9 可同視為等價關係，成一等價 群，代表受測的六年級兒童在題目 3、6、9 這三題中呈現的是一個等價關係，
此三題分別是比的組合意義、母子意義及交換意義在數值範圍是分數對分數 時的題目，由此可知受試六年級兒童在面對不同比的意義的比概念問題時，
在分數對分數的數值範圍中，不同比的意義的比概念題目，影響小於數值範 圍，才造成因數值範圍造成的等價關係，此發現可回應教材地位的安排及施 測題目的設計原理。
3、 在允許誤差的情形下，題目 3、9、2 亦可同視為等價關係，推測可 能因第 2 題的題目：「姊姊剪了一塊 10 公尺的布，其中 2
2
1公尺做成衣服，3
公尺做成褲子，1 3
1公尺做成圍巾，請問姊姊用來做褲子及圍巾的布長比為下
列何者？」中，數值範圍除原先設定之分數對整數的組合，亦可見分數對分 數的組合，在受試兒童解題時，會出現此三題等價的結果。
4、 題目 5 及題目 7 跟其餘所有題目沒有上下位關係，由橫斷分析就可 知道這兩題的答對率在「比的意義」概念的九個題目中，算是低的，尤其是 題目 7，是最低的，而造成答對率這麼低的原因，就如同橫斷分析時所說，
大部分答錯此題的受試兒童都是未看清題目就倉促作答，從答錯的受試兒童 的選擇來看，第 5 題的題目：「麵包師傅做麵條，每 15 公克的麵條中，都含
有 2 公克的鹽，和 4
1 公克的糖，請問麵條與糖的公克數比為下列何者？①
15：2② 2：
41 ③ 15：
41 ④ 4
1：15」中正確答案是 3，而答 1 及答 2 的受試
兒童在 169 位正式施測的六年級兒童中就各佔了 12 位，另第 7 題的題目：「阿 凱拿 3 顆蘋果，到水果攤可以換 5 顆橘子，或是換 8 根香蕉。請問同樣的價 錢，可以買到的蘋果與香蕉的個數比為下列何者？① 3：5② 5：8③ 3：8④ 8：
3」中，正確答案是 3，而答 2 的受試兒童就有 25 位，高分組的答對率只有 0.82，低分組答對率有 0.70，並無明顯鑑別，可見兒童作答時的粗心，高分 組跟低分組答錯的比率差不多。因此，在非觀念不對而答錯的情形過多下，
應是此兩題與其他題目無上下位關係的原因。
二、「比值的意義」概念結構圖分析
（一）橫斷層面分析
首先就「比值的意義」概念節點的三個題目答對率高低，就橫斷層面分 析六年級兒童所呈現出來的比概念結構，三個題目的設計概念及答對率如下
首先就「比值的意義」概念節點的三個題目答對率高低，就橫斷層面分 析六年級兒童所呈現出來的比概念結構，三個題目的設計概念及答對率如下