第三章 研究方法
第四節 資料處理
本研究採量化研究的分析方式，探究國小六年級兒童之比概念階層圖，
並與教材地位之比概念階層圖做比對，在紙筆測驗的分析處理，採 Excel 及 SPSS/PC 統計套裝軟體來進行試題信度、難度及鑑別度的分析。
在概念階層圖的繪製，則使用 Excel 軟體進行試題關聯係數的計算，並 使用 WORD 軟體進行試題關聯結構圖的繪製；與教材地位階層圖的比對評 分，則是使用 LFT-extended 軟體（卓樹樣，2005）來進行比對。
第四章 研究結果與分析
本研究之結果與分析，共分為四節，第一節為試題性質的分析，第二節 為試題關聯結構圖之繪製，第三節為試題關聯結構圖之分析與討論，第四節 為擴充之邏輯流量計分理論量化計分。
第一節 試題性質的分析
壹、信度分析
本研究之信度分析，採 Cronbach
α
係數求得試題之內部一致性。經 SPSS/PC 分析得到的值約 0.914 ，是信度可接受的預試試題。另從表 4-1-1 可知，刪除某題後並未使 Cronbachα
之係數異常提高，與整體之 Cronbach's α係數相差不多。表 4-1-1 正式施測 Cronbach
α
信度分析表題號 Alpha if
Item Del. 題號 Alpha if
Item Del. 題號 Alpha if
Item Del. 題號 Alpha if Item Del.
1 .913 12 .912 23 .914 34 .912 2 .912 13 .913 24 .912 35 .911 3 .913 14 .914 25 .913 36 .913 4 .913 15 .910 26 .911 37 .912 5 .914 16 .913 27 .911 38 .912 6 .912 17 .911 28 .911 39 .912 7 .915 18 .913 29 .912 40 .911 8 .911 19 .912 30 .911 41 .911 9 .912 20 .912 31 .912 42 .911 10 .913 21 .915 32 .910 43 .912 11 .914 22 .913 33 .911 44 .913 正式施測整體.Cronbach α係數＝0.914。
貳、效度分析
郭生玉（1989）認為效度需要測驗分數的一致性和正確性。可見良好的 效度往往比僅具良好的信度還重要。本研究之效度分析，採用內容效度及專 家效度，茲分述如下：
一、內容效度
本研究之測驗工具為能涵蓋現行國小六年級數學科教科書的教學目標及 教材內容，除於第三章中整理各版本教學目標外，並利用雙向細目表進行命 題前置作業，命題完成後再根據試題檢核表項逐一檢視編製好的試題，並進 行三個班級的預試，依據預試結果之信度、效度及鑑別度的數據，修正造成 試題品質不良的題目，以提升試題的內容效度。故本測驗所有試題均符合「比 與比值」單元教學目標及教材內，並且合乎試題檢核表所列試題編製要點編 製，具備內容效度。
二、專家效度
本研究之測驗工具均經專精國小數學科教材教法與測驗的教育大學教 授，以及五位教學經驗豐富的國小現職教師，針對本研究工具進行專家效度 問卷的填寫，提供有關本測驗的試題修改意見，使整份試題更臻完美。
參、難易度分析
本研究難易度分析根據測驗理論，由受試者依得分高低排序中取前 27％
為高分組、後 27％為低分組，再依高分組答對率與低分組答對率的平均數，
來決定試題的難易度。如表 4-1-2 所示：
表 4-1-2 正式施測難易度分析表
Item P PH PL D Item P PH PL D
1 .915 1.000 .760 .880 23 .721 .922 .520 .721 2 .921 1.000 .740 .870 24 .964 1.000 .820 .910 3 .970 1.000 .840 .920 25 .806 .941 .580 .761 4 .849 .961 .680 .820 26 .655 .941 .260 .601 5 .867 .961 .740 .850 27 .800 .922 .460 .691 6 .933 .980 .760 .870 28 .915 1.000 .700 .850 7 .806 .824 .700 .762 29 .697 .961 .340 .650 8 .834 .980 .500 .740 30 .691 .980 .340 .660 9 .964 .980 .820 .900 31 .812 .941 .560 .751 10 .606 .824 .320 .572 32 .721 .980 .220 .600 11 .497 .745 .280 .513 33 .933 1.000 .720 .860 12 .721 1.000 .440 .720 34 .849 .961 .600 .780 13 .527 .843 .240 .542 35 .764 .941 .400 .671 14 .558 .804 .340 .572 36 .818 .961 .600 .780 15 .891 1.000 .600 .800 37 .909 .980 .720 .850 16 .970 1.000 .820 .910 38 .685 .961 .380 .670 17 .915 1.000 .680 .840 39 .612 .961 .240 .600 18 .976 .980 .880 .930 40 .758 .961 .340 .650 19 .958 1.000 .800 .900 41 .679 .980 .260 .620 20 .976 1.000 .840 .920 42 .794 .980 .440 .710 21 .776 .902 .660 .781 43 .527 .902 .160 .531 22 .782 .922 .520 .721 44 .606 .902 .280 .591 N＝169，i＝44，NPH＝51，NPL＝50
肆、鑑別度分析
在鑑別度的分析上，採高分組答對率 PH減低分組的答對率 PL，得到之 鑑別度指數 d，如下表 4-1-3 所示，有 84％的題目，鑑別度在 0.2 以上，更有 48％的題目，鑑別度超過 0.4，顯示本研究之正式施測題目有鑑別度。
表 4-1-3 正式施測鑑別度分析表
題號 d 題號 d 題號 d 題號 d 1 .240 12 .56 23 .402 34 .361 2 .260 13 .603 24 .180 35 .541 3 .160 14 .464 25 .361 36 .361 4 .281 15 .400 26 .681 37 .260 5 .221 16 .180 27 .462 38 .581 6 .220 17 .320 28 .300 39 .721 7 .124 18 .100 29 .621 40 .621 8 .480 19 .200 30 .640 41 .720 9 .160 20 .160 31 .381 42 .540 10 .504 21 .242 32 .760 43 .742 11 .465 22 .402 33 .280 44 .622 N＝169，i＝44，NPH＝51，NPL＝50
第二節 試題關聯結構圖之繪製
在彰化縣六年級兒童之比概念階層圖的繪製中，因顧及每一概念節點的 代表性足夠及包含該概念之所有子概念，所以在施測題目的設計上，在每一 概念節點上，研究者皆設計有兩題甚或兩題以上的施測試題，如下圖 4-2-1 所示：
圖 4-2-1 施測試題概念節點題目分布圖
所有 44 題的施測題目，所繪出的試題關聯結構分析圖，是概念離散且交 錯邊過多的不佳結構圖，為避免產生不佳的比概念結構圖，並失去結構圖真 正的潛在訊息，研究者將每位受測兒童在每一概念節點的所有題目，反應出 來的答對得分，以答對算 1 分，答錯得 0 分來計算，算出總平均得分，四捨
比的意義 1 ~ 9 比值的意義 10 ~ 12 相等的比 24 ~ 41 最簡單整數比 42 ~ 44
因數及倍數的概念 18 ~ 20
前項及後項的意義 13 ~ 15
能將整數除法的商 以分數表示 16、17
通分的意義 21 ~ 23
五入得一平均得分，若為 0.5 以上，則此視為該受測者在此概念節點上是瞭 解的，此概念節點視為答對並記分為 1；反之，若概念節點的所有題目的平 均得分小於 0.5，則視為該受測者在此概念節點上是不瞭解的，此概念節點視 為答錯，並記分為 0。
舉例來說，以「比值的意義」此概念節點來看，若甲生在此概念節點的 子題 10、11 及 12 題中，答題情形分別是第 10 題和第 11 題答對、第 12 題答 錯，原始記分分別為 1、1、0，計算其平均為 0.66，大於 0.5，故「比值的意 義」這個概念節點，就視為甲生是答對的，得分記為 1。
以上述說明的比概念結構圖取分方式，配合試題關聯順序性係數 0.5，繪 製六年級兒童之比概念結構圖，如下圖 4-2-2 所示，是較簡潔易懂，更能透 露其潛在訊息的比概念結構圖。
答對率
圖 4-2-2 六年級兒童之比概念結構圖（
r
＊jk≧0.5）能將整數除法的商 以分數表示 16、17
通分的意義 21 ~ 23
比的意義 1 ~ 9
比值的意義 10 ~ 12
相等的比 24 ~ 41 最簡單整數比 42 ~ 44
因數及倍數的概念 18 ~ 20
前項及後項的意義 13 ~ 15
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
第三節 試題關聯結構圖之分析與討論
回應本研究之研究目的，必須運用第二章所提到之試題關聯結構分析 法，得出並繪製出六年級兒童之比概念階層圖，並於本節中，對彰化縣六年 級兒童之比概念結構加以分析，並作適當的討論。
壹、六年級兒童整體比概念試題關聯結構圖的分析與討論
一、橫斷層面分析
首先就八個概念節點的答對率高低，就橫斷層面分析六年級兒童所呈現 出來的比概念結構與教材地位的比概念結構有何差異，八個概念節點的答對 率如下表 4-3-1 所示：
表 4-3-1 概念節點答對率
答 對 率 概 念 節 點 名 稱 包 含 題 號
比的意義 1～9
能將整數除法的商以分數表示 16、17 高答對率
0.95～1.00
因數及倍數的概念 18、19、20
通分的意義 21、22、23
中答對率
0.80～0.86 相等的比 24～41
比值的意義 10、11、12
前項及後項的意義 13、14、15 低答對率
0.55～0.61
最簡單整數比 42、43、44
（一）從表 4-3-1 可以觀察出，高答對率的三個概念節點，「比的意義」、
「能將整數除法的商以分數表示」以及「因數及倍數的概念」皆屬初級定義 及前備知識概念，故受測的六年級兒童在這方面表現佳，與教材地位結構圖 的呈現亦同。
（二）在中答對率的兩個概念節點中，其中，「通分的意義」建立在「因 倍數的概念」上，在受測六年級兒童的比概念結構圖亦有呈現出上下位的關 係，既是如此，「通分的意義」概念節點的答對率比「因倍數的概念」略高，
符合比概念教材地位概念結構的期望。而相等的比，在比概念教材地位中，
屬中高難度，應其須具備「比的意義」及「比值的意義」兩概念，才能達到 此階層，從受測兒童的比概念結構亦是符合的。
（三）在低答對率方面，「最簡單整數比」的概念，在比概念單元中，屬 最後達成的階層，因其須綜合所有相關概念才能達成，所以呈現出來的答對 率偏低，此點與教材地位結構圖所呈現的一致。但「比值的意義」及「前項 及後項的意義」在教材地位結構圖中，應屬高答對率的下位概念，結果於兒 童比概念結構中，竟是最上位概念，此耐人尋味的結果，將在下一部分探討 分析。
二、比概念結構圖之分析與討論
（一）從圖 4-2-2 中，可以明顯看出主要結構在「因數及倍數的概念」
→「比的意義」→「相等的比」→「最簡單整數比」，此主要結構與比概念教 材地位結構圖的主要結構：「比的意義」→「比值的意義」→「相等的比」→
「最簡單整數比」中，「比的意義」、「相等的比」、「最簡單整數比」這三個概 念的上下位是相同的，唯一不同之處在於「比值的意義」，於六年級兒童的比
概念結構中，「比值的意義」居於上位，研究者推測這可能是臺灣兒童的通病，
在數學的學習上，往往只重計算，而忽略基本定理，所造成的結果。除此之 外，六年級兒童所呈現出來的主要概念結構，顯示出兒童在學習上是先學會
「因數及倍數的概念」，再學會「比的意義」，然後再「相等的比」，最後才能 對「最簡單整數比」有進一步的瞭解，這與教材的安排是相去不遠。
（二）除主概念結構外，另四個概念：「通分的意義」、「能將整數除法的 商以分數表示」、「比值的意義」、「前項及後項的意義」，後兩項基本定理「比 值的意義」及「前項及後項的意義」在最上位的原因，應是同（一）之推測，
六年級兒童忽視，又或是根本不瞭解原理所致，當然真正原因仍須容待後續 探討。而「通分的意義」在「因數及倍數的概念」的上位，與比概念教材地 位結構圖是相符合的，顯示六年級兒童在學會因數及倍數的概念後，才能進 一步學會並瞭解通分的意義，這一點的學習結果，是回饋教材的學習安排的。
（三）「能將整數除法的商以分數表示」在「相等的比」的下位，亦不難 看出其與「比值的意義」的上下位關係，因「相等的比」在「比值的意義」
的下位，所以「能將整數除法的商以分數表示」亦可看成是「比值的意義」
的下位概念，這一上下位概念的關係，與教材地位的安排恰好一致，略有不 同之處只在於兒童的比概念結構呈現出來的上下位關係，多了一個「相等的 比」，在這方面可能是六年級兒童在「相等的比」概念的學習上，有較多的計 算，而「能將整數除法的商以分數表示」是一個操作型定義的概念所致。
（四）至於為何「前項及後項的意義」及「比值的意義」會成為最上位 的概念，除在（二）（三）做了大略的推測外，於下一部分，針對各個概念間 的試題關聯結構分析，於試題題目的分析討論中，再做探究分析。
貳、六年級兒童比概念之子概念試題關聯結構圖的分析與討論
一、「比的意義」概念結構圖分析
（一）橫斷層面分析
首先就「比的意義」概念節點的九個題目答對率高低，就橫斷層面分析 六年級兒童所呈現出來的比概念結構，九個題目的設計概念及答對率如下表
首先就「比的意義」概念節點的九個題目答對率高低，就橫斷層面分析 六年級兒童所呈現出來的比概念結構，九個題目的設計概念及答對率如下表