研究動機

本研究為數感之參考點教學融入國小五年級數學分數加法之實驗研 究，本章共分四節，分別為一、研究動機；二、研究目的與待答問題；三、

名詞釋義；四、研究範圍與限制等，加以敘述。

第一節 研究動機

有一次研究者持該餐廳會員九折卡到餐廳用餐時，正值餐廳週年慶，因 此推出「用餐時若加點飲料，飲料半價」的優惠方案，但不能再和會員卡併 用，而我在點完和友人的兩份餐約 500 元，及飲料約 280 元後，不急不徐的 告訴店員我們要使用優惠方案。之後友人提及沒有實際計算，為何可快速選 擇最佳的優惠方案呢？我才發覺原來不是每個人都有所謂的流暢的數感，因 為飲料一杯大約要一百多元，若可半價至少可節省五十元以上，若以會員卡 九折方案計算，至少要點餐五六百元以上才划算，而該餐廳裡一份餐點大約 兩三百元，當然要使用優惠方案。像這種在沒有計算機的工具下，人們必需 得靠估算能力的幫忙，才能及時享有更多優惠的情況，在日常生活中比比皆 是。台大教授張海潮在「說數」一書中亦提到，自己有一次和兩位小學老師 在小學對面的館子吃中飯，老闆亦優待對面小學老師在此用餐就打九折。而 餐後最令兩位善用心算的小學老師驚奇的是，老闆竟能在原本 190 元的帳單 上，快速算出 170 元的九折優惠價，決定回學校要用這個題材教小朋友什麼 是概算。從這裡不難發現，用餐費用打九折應為 171 元，老闆應運用了參考 點 200 元，打九折就是減 20 元，基於不佔顧客便宜，快速以 190 元再減 20 元，算出 170 元的九折優惠價。像這樣日常生活常會碰到的數字情境，有電 算器便捷的設計，可快速且正確的計算，免除人們紙筆計算的困擾，但人們 仍不宜過度依賴電算器，隨之而來，人們生活中較需要的是具有正確且合理

估算答案的能力，而這正是數感能力中其中的一環。

鄔瑞香與林文生（1999）由 1978 年美國全國督學聯合會（NCSM）的 全國數學教師行動綱領報告的一段話，醒悟到培養學生會估測及驗證答案合 理性的能力是很重要的。九年一貫數學學習領域課程綱要（教育部，2003a）

中提及，估算是過去數學教學中，較被忽略的課題。一般來說，數字感較好 的學生，通常都能夠使用估算的技巧，來協助計算、驗算與解題。而經由估 算課題的教學，也更能促使學生對數學概念、程序計算、解題三者間的連結，

有更深入的理解。學生應明白，電算器或電腦固然可以用來減低計算上的負 擔，但仍然有各種錯誤的可能，因此仍然要有好的計算、估算甚至檢查策略，

來驗證計算結果的合理性。可見，提昇學生的估算能力和數學直覺的數感能 力，亦是教學課程中一大重點。支毅君（1997）研究指出，學生都知道應該 要檢查考試答案的正確性，而學生檢查答案的方法全是「再算一遍」或是「反 著算一遍」。而事實上檢驗答案的正確性正是估算的用途之一，教師應建立 學生正確的估算觀念，在教學適當時候，加入不同的估算方法，並鼓勵學生 使用估算方法檢驗答案，藉由多樣的解題策略，幫助學生建立數感。方惠珍 與易正明（2005）在探討估算融入國小五年級數學課程，對學童在估算概念 之發展是否有學習成就之影響研究中，實驗組學童在融入估算教學後，實驗 組學童在面對不同的估算問題，較符合文獻中所提的「能視數值的特色使用 不同的估算方法」進行估算。學習單的解題策略分析使用正確估算策略有 68%，較控制組 24%高出許多，可見提供多元解題策略供學生靈活運用，有 利於學童的概數學習，進而提昇其估算能力。「修訂綱要」與「暫行綱要」

一樣強調估算，並且更加強數與數線的結合，以及驗算，這些都是為了從各 個方面建立學生的數感。由此可見，透過有效的估算策略，可提昇學童估算 能力，進而促使學童靈活檢驗答案的合理性，藉以建立學童的數感是很重要 的。

的確，數感是數主題特別需要培養的能力，數感能力已被許多國家視為 21 世紀數學教育中重要教學主題之一。九年一貫數學學習領域綱要諮詢意 見（2003b）提及，九年一貫課程有關數與量的課程希望達到的目標，包括 學生能充分理解與熟練數概念和四則運算的數學內容，以培養學生的數感；

並在核心內容指出，數概念、估算與概數之數學教學為其中一環。建立數感 及位值概念，並掌握位值之間關係的換算，可進而提升運算的流暢性。運算 意義的瞭解、運算之間的關係是四則運算的主要內容。數感的培養、數概念、

運用四則運算解決生活中的問題，以估算策略及電算器或電腦解決繁雜的計 算問題，是數的學習內容。楊德清（2006）指出數感並不是數學課程中的一個 新主題，而是教與學方法上的改變。數感教學重視學習者的學習過程，主張兒童 應該有意義地學習數字與運算的概念，並且能夠將此種理解應用於日常生活情境 中，而不只是汲汲於尋求「標準答案」；重視學生思考層面的多元化，而不只是機 械式的使用公式或規則以獲得答案。Thornton & Tucker（1989）提到因數感是逐 漸發展而成，透過持續性的數感融入教學，可自然的發展數感。Gurganus（2004）

表示在課堂中設計估算的經驗進行估算，以產生合理的估算值；或在解題時檢驗 答案的合理性，利用估算選擇合理的答案，可促進數感發展。由此可知，因建立 學童的數感是很重要的，而進行數感教學，引導學童進行有意義的數學學 習，可提昇學童的數感能力。因此讓擔任第一教學現場的研究者深感興趣，

想要更進一步透過教學活動的融入，深入研究探討學童的數感表現。

依據Yang（1995）的研究發現，台灣學生在筆算技巧方面擁有較高的水 準，但在解決不用計算的類似問題（如：估算）時，數感的能力顯然不能等 同於筆算能力。Reys & Yang（1998）進行臺灣六年級與國中二年級學生的 研究，發現學生具有良好的筆算能力，並不代表他們具備良好的數感能力。

因此未必數學成就好的學童，就具有較好的數感能力。目前研究對於數感雖 無明確定義，但由楊德清（2002）參考多方文獻，將數感的組成成份定義為

一、瞭解數的基本意義；二、比較數字大小的能力分辨；三、瞭解運算對數 字的意義和影響之能力；四、發展並靈活運用參考點的能力；五、發展估算 策略，以及能夠判斷運算結果之合理性。林素微（2002）指出數感這個概念 通常是直觀的、浪漫的，不證自明的，我們常用這個詞來描述某個學生「數 的表現就是好（just good with number）」、或者形容一群數學表現很傑出的 學生。Case (1989) 認為數感很難定義但卻很容易辨識，數感良好的學生可 以在真實世界的量與數學世界的數和數字表徵間自由遊走，他們可以發明他 們本身管理數字運作的程序，針對同樣的數，可以根據脈絡以及表徵的目的 用多重方式來進行表徵，他們可以辨識基準點（benchmark numbers）以及數 字組型（number patterns），尤其是來自於數字系統的深層結構。他們對於 數字操弄的敏銳度較高，對於數字上明顯的錯誤（數字大小順序上的錯誤）

可以輕易就辨識出來；最後他們在思考及談論數字問題的特質以及表達時會 以較敏銳的方式來進行，而不用透過任何精確的計算。一個具有數感的學生 可能會自問，「我認為這個問題的答案是什麼樣種類的數？答案大概有多 大？可能的數值範圍為何？計算完成之後，這個答案和我所預期的是否一 致？」上述文獻所提及具備數感能力的學童在教學學習現場其實不難發現，

且的確存在，只是數學成就好的學童，不一定數感能力就比較好，讓研究者 想加以深究，如果將學童按照數學成就分組，其數感能力的表現是否有所不 同。

在國小數學數與量課程中，除了整數之外，分數的數概念與運算亦為教 學的另一個主要重點。呂玉琴(1991)指出，在日常生活中，或者在數學和自 然科的教材中，都可以發現分數是很常用的重要概念，分數概念因有多重意 義，雖不容易了解但卻是重要的。呂玉琴與詹婉華（2004）更提到在國小數 學課程中，分數概念的學習佔有重要地位，從二年級到六年級都有分數的主 題出現。在教育部（2000）國民中小學九年一貫課程暫行綱要數學學習領域

的分段能力指標中，N-1-7、N-2-5、N-2-6、N-2-19、N-3-3、N-3-4、N-3-6、

N-3-7（參見附錄一）皆是關於分數概念的能力指標，在數與計算四個階段 的21個能力指標中，有關分數的主題占了8個，顯示在九年一貫課程暫行綱 要數學學習領域之中，分數在國小數學教學上的重要性。其中部份/全體、

等分概念、等值分數概念、分數大小比較，更是分數主題學習的重點。陳和 貴（2002）研究提到兒童對於分數的操作(operate)、數感(number sense)等認 知卻有相當的困難，對中、高年級學生而言也是最為困難的學習內容之一，

因此常會產生迷思概念。呂玉琴（1993）研究學童在等分概念常見的錯誤類 型可分為：一、連續量分成兩份，但兩份不一樣大小；二、將同樣大小的離 散量分成兩份，但兩份個數不一樣多；三、將不同大小的離散量分成個數相 同的兩份，但總量不一樣多。呂玉琴（1991）研究學童在分數的大小比較時，

常見的錯誤類型可分為一、根據分母的大小來比較；二、根據分子的大小來

常見的錯誤類型可分為一、根據分母的大小來比較；二、根據分子的大小來