第二章 文獻探討
第一節 數感的組成成份及重要性
本節分為兩個部份進行探討數感的組成成份及重要性，依序為一、數感 的組成成份；二、數感的重要性，詳細敘述。
一、數感的組成成份
什麼是數感（Number sense）？美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics 簡稱NCTM）1989年所公布的中小學「學校數學課 程與評量標準」（Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics.）
提到，數感是一種根據對數的不同意義，產生一種對數的直覺。從國內外相 關文獻對於數感相關概念的論述，雖無一個明確的定義，但卻有助於數感相 關概念的釐清。以下就針對國內外數感相關概念的論述，進行說明。
（一）李茂能（2005）數感的組成成份
李茂能參考文獻分析，將數感的組成成份定義如下：
1.瞭解數字的基本意義以及數與數間之關係的能力
瞭解數字的基本意義以及數與數間之關係的能力包括：理解數字 系統(如整數、分數、小數、與百分比)所代表的意義以及它的結構關 係：包括十進位元系統、數字的型態、與位值的觀念。Sowder &
Schappelle (1989)的主張：瞭解數字的基本意義是建立數字常識能力
中最重要的一個因素。
2.具備比較數字大小的能力
具備比較數字大小的能力包括能夠直接比較數字(包含整數、分 數、與小數)之大小，例如：知道3
5大於1
2，或者能夠分辨 0.62 為何 大於 0.5999；能夠判斷兩個數字之中哪一個較接近第三個數字，例 如：知道3
5和 9
19 哪一個分數比較接近1
2 ？具備排序數字之能力，例 如：能夠由小至大依序排列下列數字：0.4999，19
25， 8
15，12
11，0.95；
以及理解數字稠密性的能力，亦即知道兩個小數(分數)之間有無限多 的分數或小數的存在，例如：知道 0.23 與 0.24 之間有無限多的小數 與分數。
3.瞭解運算對數字的影響之能力
認知運算對數字的影響即是瞭解運算在不同的數字系統下（包括 整數與有理數）與不同情境下所產生之影響。當學生在面臨四則運算 數學問題時，他必須能對每一特定的問題情境發展如何去解決問題的 策略。NCTM（1989）強調，運算的理解涉及到關於數字和運算兩者 間之相互影響的洞察和直覺，因此不同的運算對數字將產生不同的結 果與意義。例如，兒童應該了解，當兩個數字相加時，如果每一個數 字都超過 500，那麼它們的和一定會比 1000 大。
4.具備判斷運算結果之合理性的能力
學習數學的主要目的之一乃在解決問題，因此在不同的情境下，
必須決定問題情境需要的是正確的或大概的答案，並據以選擇適當的 計算工具，如心算或估算，以有效解決問題，同時能夠檢驗運算結果 的合理性。例如，當要求學生去找出 534.6×0.545＝291357 之小數點 的位置時，學生可以知道運用以下算則方法是不合理的：被乘數有一
位小數，第二個數字乘數有三位小數；相乘的結果有 1＋3＝4 位小 數，因此 291357 的小數點應該向左移四位，所以答案為 29.1357。因 為一個 5 百多的數字乘上大約是 0.5(1
2)的數字，其結果應該是 2 百 多，而不可能是 2 拾多。
5.數與運算的多重表徵
能認知對於數字不同的表徵形式，即具有以不同形式表徵數字的 能力。例如：能夠以不同的表徵方式，如圖形表徵、符號表徵等方式 成呈現數所代表之意義。
（二）楊德清（2002）的數感組成成分
楊德清依據相關文獻與研究報告，發展出數感的組成成分如下：
1.瞭解數的基本意義
理解數字系統（整數、分數、小數），它所代表的意義以及它的 結構關係，包括十進位系統、數字型態、與位值觀念。瞭解數字的意 義與能夠彈性地運用數字關係是發展數感之重要基礎（McIntosh, Reys,
& Reys, 1992; Sowder & Schappelle, 1989）。
2.比較數字大小的能力分辨
能夠比較數字（包含整數、分數、與小數）之大小，例如：2
3＞
1
2 或5.6大於5.5988；有能力去排序數字，能夠由小至大依序排列；以 及知道兩個數字之間有無限多的分數或小數的存在，例如：知道0.83 與0.84之間有無限多的小數與分數。
3.瞭解運算對數字的意義和影響之能力
瞭解運算在不 同的數字系統下（包括整數與有理數）以及不同 情境下所產生之影響。例如，兒童應該可以了解，當兩個數字相加 時，如果每一個數字都超過50，那麼它們的和一定會比100大。
4.發展並靈活運用參考點的能力
參考點（Benchmark）乃是指可依賴以作為檢驗其它數字或解決 問題之標準點。例如：以1為參考點，知道17
18小於1但是很接近1；以
1
2為參考點，知道 5
13小於1
2但是很接近1
2；當要求學生估計全校的人 數時，兒童能夠發展適當的參考點，如以本班人數或年級人數為參 考點，進而求出全校學生的人數。McIntosh, Reys, & Reys (1992)認 為，參考點通常可以被使用於判斷一個答案的大小或者選擇一個約 略數字以便於估算或心算的進行。
5.發展估算策略，以及能夠判斷運算結果之合理性
學習數學的主要目的之一乃在解決問題，因此在不同的情境 下，必須決定問題情境需要的是正確的或大概的答案，並據以選擇 適當的計算工具（如估算或心算），以有效的解決問題，同時能夠 檢驗運算結果的合理性。
（三）Sowder（1992）的數感組成成分
Sowder 綜合其他數感相關研究學者論述，將數感的組成成分，分為九 類：
1.能彈性地合成、分解數字，並靈活地轉換數字的各種不同表徵。
2.能辨認數字的相對大小與排序。
3.能處理數字的絕對大小。
4.會使用參考點(benchmark)。
5.能有意義的連結數字、數與運算間相關符號的能力。
6.能瞭解數算對數字的影響。
7.能有效運用數字與運算的性質進行心算。
8.能有效變換數字估算算式的答案，並在適當的時機進行估算。
9.對數字的意義較有感覺。
（四）Mclntosh, Reys, Reys, Bana, & Farrel (1997) 的數感組成成分
Mclntosh, Reys, Reys, Bana, & Farrel 為了建構數感的評量題庫，依據 1992 組織架構中的三個範疇，建立數感的六個主要構成元素：
1.瞭解數的基本意義及大小 2.瞭解和應用數的多重表徵 3.瞭解運算對數的意義與影響 4.瞭解及運用等值的形式以利解題 5.發展計算的策略
6.運用參考點
（五）NCTM (1989)的數感組成成分
NCTM 在其出版的「學校數學課程與評量標準」中指出，數感包含以 下五個組成成份：
1.對數字的基本意義具有良好的瞭解
涵蓋了對基數（cardinal number）與序數（ordinal number）的瞭解。
2.能夠操作具體物來探討數的關係
例如，利用具體物來進行合成分解的活動，讓兒童更能理解數字的 涵義。
3.瞭解數的相對大小
例如，51 比 29 大，很接近 49，約是 100 的一半，比 70 小。
4.能瞭解運算對數字之相對影響
例如，如果乘數大於 1，其積會大於被乘數；如果乘數小於 1，其積 則會小於被乘數。
5.能發展出參考點（Benchmarks），並應用於測量一般的物體及生活情
境中：
例如，能知道一個國小學童的身高不可能會有316公分，一條麵包的 價格不太可能是3000元，發展出測量物體的參考點有助於學童判斷 結果的合理性。
綜合上述文獻，可看出發展參考點是數感組成成份的重要成份之一，例 如：李茂能研究，在比較數字大小時，知道3
5大於1
2 ，1
2即是參考點，及楊 德清研究，知道17
18小於1但是很接近1，就是以1為參考點。透過參考點的運 用，可幫助學童瞭解數的相對大小，進行估算，檢驗答案的合理性。因此，
本研究將融入數感之參考點策略，並參考李茂能與楊德清對國內外有關數感 的組成成份之研究，配合五下數學分數課程約分、擴分及分數的加法，歸納 本研究因分數課程範圍限制，對數感的組成成份的研究如下：
1.瞭解分數的基本意義 2.運用參考點比較分數大小
3.運用參考點瞭解數與運算的關係進行估算
二、數感的重要性
數感早已受到美國、澳洲、大陸、香港等國家的重視，成為小學數學課 程中的教學重點。研究者將各國數學課程中對數感的重視，分述如下：
（一）美國
在NCTM（2000）出版的「學校數學課程之原則與標準」（Principles and Standards for School Mathematics）中，指出數感（number sense）是指能夠
很自然地合成或分解數字；使用特別的數字如100或1
2當作參考點；運用數 字與運算間的關係解決問題；瞭解十進位數字系統；具有估算能力；能使數 字意義化；以及認知數字之相對與絕對的大小。主張中小學的數學課程應將 數感融入當中，以培養兒童的數感，發展學生數與運算概念為其標準之重 心。國小的數學概念和計算離不開數字和運算，數字和運算是形成數字理論 的開始；而數字和運算的中心要點，便是發展數感。在幼稚園到十二年級的 教學課程設計中，數字和運算標準就要求所有學生，要能夠了解數字、數字 的多重表徵方式、數字間的關係及數字系統；也要了解運算對數的意義及運 算間的關聯性；並且保有計算的流暢性及發展參考點做合理的估算之能力。
（二）澳洲
澳洲教育研究協會（Australian Education Council ）（AEC, 1991）出版 的「澳洲國家學校數學報告書（A national statement on mathematics for Australian schools）」中提到，所有人皆需要發展好的數感（A Sense of Number），數感教學為中小學數學教育所不可缺少的主題。
（三）大陸
中國大陸中小學數學課程標準（姜志遠整理，2003），在課程內容的學 習，強調發展學生的數感，數感主要表現在理解數的意義；能用多種方法來 表示數；能在具體的情境中把握數的相對大小關係；能用數來表達和交流資 訊；能為解決問題而選擇適當的演算法；能估計運算的結果，並對結果的合 理性作出解釋。
中國大陸中小學數學課程標準（姜志遠整理，2003）在第一學段（1～3 年級）內容標準中指出要初步建立數感，加強估算，並提倡演算法多樣化；
課程實施建議中，又指出估算在日常生活中有著十分廣泛的應用，教師要不
失時機地培養學生的估算意識和初步的估算技能，以加強估算，鼓勵算法多
失時機地培養學生的估算意識和初步的估算技能，以加強估算，鼓勵算法多