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數感之參考點教學融入國小五年級數學分數加法之實驗研究

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Academic year: 2021

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全文

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國立臺中教育大學數學教育學系

在職進修教學碩士學位班碩士學位論文

指導教授:易正明

數感之參考點教學融入國小五年級數學

分數加法之實驗研究

研 究 生 : 方 惠 珍 撰

中 華 民 國 九十六 年 六 月

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摘 要

本實驗研究主要探討數感之參考點教學融入國小五年級數學分數加法 對學童是否有學習表現之影響。本研究採立意取樣,以研究者所任教五年級 班級學童為實驗組,另擇一班五年級學童為控制組,於教學後先進行研究者 自編電腦估算試題施測,再進行紙筆試題施測,以瞭解兩班學童在教學後分 數加法的學習表現及運用的解題策略為何。 本研究結果如下: 一、融入數感之參考點教學對學童在分數加法的學習是有幫助的,藉由多樣 化的解題策略檢驗答案的合理性,可幫助學生建立數感。 二、在「估算試題」的構面二「運用參考點比較分數大小」達顯著差異,但 在紙本試題卻未能,因學童無法依賴筆算,並給與答題時間限制,而能 真正測出學生的估算能力。 三、在構面三「運用參考點瞭解數與運算的關係進行估算」的學習表現,因 需同時具備參考點與運算以判斷大小的較複雜估算能力,要學童單靠心 算完成仍是較困難的,但可藉由紙筆的輔助,在學童運用參考點策略簡 化數字運算後,幫助學童便捷且正確完成。 四、數感之參考點教學融入分數加法教學,對中分組學童在分數加法的學習 最有幫助。 五、在「估算試題」的構面二「運用參考點比較分數大小」,較有助於女學 童在分數加法的分數大小比較學習。 六、本實驗組學童較能根據題目類型,使用適當的估算方法,進行有效的解 題。 關鍵字:數感、參考點、估算

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Abstract

The purpose of this study is mainly to investigate the effect of integrating the benchmark of number sense into the mathematic addition of traction in the fifth grade. Two fifth grade classes in the same primary school were chosen as the samples of this study . The class that the researcher herself taught was the experiment group . The other one was the control group. After teaching activities , the students in these two groups took the estimation test of computer that the researcher designed. Later the students also took the written test in order to understand the performances made by the two groups in the addition of fraction and farther discuss.

The attained results through analysis are as follows:

1.Integrating the benchmark of number sense into the mathematic teaching really helped students to learn the addition of fraction. Students also could build up their own number sense by being taught the various problem-solving strategies to examine the rationality of each answer.

2.In the “ Comparing fraction by using the benchmark” category related to the area of the estimation of a test, but not the same of the written test . Student’s estimation abilities could truly be evaluated because students were unable to rely on the written calculations and the time given to students to answer questions was limited.

3.In the “ To understand the relation between the number and operation for estimation by using the benchmark “ category, students couldn’t solely depend on mental arithmetic to finish all questions on the test which required much more complicated estimation abilities, inclusive of how to use the benchmark

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and how to operate with numbers. With the help of the written calculations, therefore, students could more easily and correctly solve all questions by using the benchmark to simplity the questions.

4.Integrating the benchmark of number sense into the addition of fraction helped the students in the middle level the most.

5.In the “Comparing fraction by using the benchmark” category, female students benefieed the most from using the benchmark to compare fraction.

6.Studeuts in the experiment group relatively had the better capability to choose the most suitable estimation method according to the type of each question in order to efficiently solve all questions.

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目 次

中文摘要……… I 英文摘要……… II 目次……… IV 表次……… VI 圖次……… X 第一章 緒論……… 1 第一節 研究動機……… 1 第二節 研究目的與待答問題……… 8 第三節 名詞釋義……… 9 第四節 研究範圍與限制……… 11 第二章 文獻探討……… 12 第一節 數感的組成成份及重要性……… 12 第二節 數感實驗教學及相關研究……… 22 第三節 電腦輔助評量……… 37 第三章 研究方法與工具……… 42 第一節 研究架構……… 42 第二節 研究設計與流程……… 47 第三節 研究對象……… 48 第四節 研究工具信效度……… 49 第五節 資料分析與處理……… 54 第四章 研究結果與分析……… 64 第一節 兩班整體學童學習分數加法的差異情形……… 64 第二節 兩班不同學習能力學童學習分數加法的差異情形………… 73 第三節 兩班不同性別學童學習分數加法的差異情形……… 86 第四節 兩班學童運用估算策略的差異情形分析……… 94 第五章 結論與建議……… 105 第一節 結論……… 105 第二節 建議……… 107 參考文獻……… 109 中文部份……… 109 西文部份……… 113 附錄……… 116 附錄一 九年一貫課程暫行綱要分數教材能力指標……… 116 附錄二 數感組成成份與九年一貫暫行綱要能力指標對應表…… 117 附錄三 融入數感參考點教學於擴分約分教學活動設計………… 120 附錄四 融入數感參考點教學於分數加法教學活動設計………… 132

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附錄五 分數加法估算及紙本試題雙向細目表……… 137 附錄六 分數加法估算試題……… 138 附錄七 分數加法紙本試題……… 141 附錄八 有趣的分數學習單……… 145 附錄九 數字樹學習單……… 146 附錄十 估算試題原始構面細目表……… 147 附錄十一 估算試題構面調整分析……… 150 附錄十二 紙本試題原始構面細目表……… 153 附錄十三 紙本試題構面調整分析……… 156

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表 次

表2-1-1 九年一貫課程數主題的核心內容……….…… 21 表2-2-1 九年一貫暫行綱要五年級課程中分數的意義………. 26 表3-1-1 兩班分數加法教學活動………. 44 表3-3-1 研究樣本人數分配表………. 49 表3-4-1 估算試題正式施測題目決斷值一覽……….…. 51 表3-4-2 估算試題施測時間表……….… 51 表3-4-3 紙本試題正式施測題目決斷值一覽……….… 53 表3-5-1 估算試題資料分析之構面試題細目表………. 56 表3-5-2 估算試題資料分析之「構面一」試題細目表………. 57 表3-5-3 估算試題資料分析之「構面二」細目表………. 58 表3-5-4 估算試題資料分析之「構面三」試題細目表……… 59 表3-5-5 紙本試題資料分析之構面試題細目表……….… 60 表3-5-6 紙本試題資料分析之構面一試題細目表………. 61 表3-5-7 紙本試題資料分析之構面二試題細目表………. 62 表3-5-8 紙本試題資料分析之構面三試題細目表………. 63 表4-1-1   兩班整體學童估算總量表學習表現前測分數差異性t檢定摘 要表………. 65 表4-1-2 兩班整體學童估算總量表組內迴歸係數同質性檢定表……. 65 表4-1-3 兩班整體學童估算總量表單因子共變數分析檢定摘要表…. 66 表4-1-4 兩班整體學童估算構面一學習表現前測分數差異性t檢定摘 要表………….……….………….………….……. 66 表4-1-5 兩班整體學童估算構面一組內迴歸係數同質性檢定表……. 67 表4-1-6 兩班整體學童估算構面一單因子共變數分析檢定摘要表… 67

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表4-1-7 兩班整體學童估算構面二學習表現前測分數差異性t檢定摘 要表……….……….……….……….……….……….………. 68 表4-1-8 兩班整體學童估算構面二組內迴歸係數同質性檢定表…… 68 表4-1-9 兩班整體學童估算構面一單因子共變數分析檢定摘要表… 68 表4-1-10 兩班整體學童紙本總量表學習表現前測分數差異性t檢定摘 要表……… 69 表4-1-11 兩班整體學童紙本總量表組內迴歸係數同質性檢定表….... 70 表4-1-12 兩班整體學童紙本總量表單因子共變數分析檢定摘要表… 70 表4-1-13 兩班整體學童紙本構面三學習表現前測成績差異性t檢定摘 要表……… 71 表4-1-14 兩班整體學童紙本構面三組內迴歸係數同質性檢定表…… 71 表4-1-15 兩班整體學童紙本構面三單因子共變數分析檢定摘要表… 72 表4-2-1 中分組在構面一學習表現前測成績差異性t檢定摘要表…... 74 表4-2-2 中分組在構面一組內迴歸係數同質性檢定表…...…...…...… 74 表4-2-3 中分組在構面一單因子共變數分析檢定摘要表………. 75 表4-2-4 中分組在構面二學習表現前測成績差異性t檢定摘要表….... 75 表4-2-5 中分組在構面二組內迴歸係數同質性檢定表……… 76 表4-2-6 中分組在構面二單因子共變數分析檢定摘要表………….… 76 表4-2-7 中分組紙本總量表學習表現前測成績差異性t檢定摘要表… 77 表4-2-8 中分組紙本總量表組內迴歸係數同質性檢定表……… 78 表4-2-9 中分組紙本總量表單因子共變數分析檢定摘要表………… 78 表4-2-10 中分組紙本構面一學習表現前測分數差異性t檢定摘要表… 79 表4-2-11 中分組紙本構面一組內迴歸係數同質性檢定表……… 79 表4-2-12 中分組紙本構面一單因子共變數分析檢定摘要表………… 80 表4-2-13 高分組紙本構面三學習表現前測分數差異性t檢定摘要表… 80

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表4-2-14 高分組紙本構面三組內迴歸係數同質性檢定表………….… 81 表4-2-15 高分組紙本構面三單因子共變數分析檢定摘要表……….… 81 表4-2-16 中分組紙本構面三學習表現前測分數差異性t檢定摘要表… 82 表4-2-17 中分組紙本構面三組內迴歸係數同質性檢定表……… 82 表4-2-18 中分組紙本構面三單因子共變數分析檢定摘要表………… 83 表4-2-19 低分組紙本構面三學習表現前測分數差異性t檢定摘要表… 83 表4-2-20 低分組紙本構面三組內迴歸係數同質性檢定表……… 84 表4-2-21 低分組紙本構面三單因子共變數分析檢定摘要表………… 84 表4-3-1 兩班女生估算構面二學習表現前測分數差異性t檢定摘要表 86 表4-3-2 兩班女生估算構面二組內迴歸係數同質性檢定表………… 87 表4-3-3 兩班女生估算構面二單因子共變數分析檢定摘要表……… 87 表4-3-4 男生紙本總量表學習表現前測分數差異性t檢定摘要表…… 88 表4-3-5 男生紙本總量表組內迴歸係數同質性檢定表……….… 89 表4-3-6 男生紙本總量表單因子共變數分析檢定摘要表………. 89 表4-3-7 兩班女生紙本總量表學習表現前測分數差異性t檢定摘要表 90 表4-3-8 兩班女生紙本總量表組內迴歸係數同質性檢定表…….….... 90 表4-3-9 兩班女生紙本總量表單因子共變數分析檢定摘要表…….… 91 表4-3-10 兩班男生紙本構面三學習表現前測分數差異性t檢定摘要表 91 表4-3-11 兩班男生紙本構面三組內迴歸係數同質性檢定表………… 92 表4-3-12 兩班男生紙本構面三單因子共變數分析檢定摘要表………. 92 表4-3-13 兩班女生紙本構面三學習表現前測分數差異性t檢定摘要表 93 表4-3-14 兩班女生紙本構面三組內迴歸係數同質性檢定表………… 93 表4-3-15 兩班女生紙本構面三單因子共變數分析檢定摘要表…….… 93 表4-4-1 第2-4題運用解題策略對答題結果之影響(費雪精確性檢 定)……….……….……….……… 95

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表4-4-2 第2-4題兩班答對學童運用參考點有效解題策略之情形…... 96 表4-4-3 第2-5題兩班答對學童解題策略多樣化統計表(費雪精確性

檢定)……….……….……….……… 99 表 4-4-4 第 2-5 題兩班答對學童運用解題策略統計表……….… 100

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圖 次

圖3-1-1 研究架構圖………. 46 圖3-2-1 研究流程圖………. 47

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第一章 緒論

本研究為數感之參考點教學融入國小五年級數學分數加法之實驗研 究,本章共分四節,分別為一、研究動機;二、研究目的與待答問題;三、 名詞釋義;四、研究範圍與限制等,加以敘述。

第一節 研究動機

有一次研究者持該餐廳會員九折卡到餐廳用餐時,正值餐廳週年慶,因 此推出「用餐時若加點飲料,飲料半價」的優惠方案,但不能再和會員卡併 用,而我在點完和友人的兩份餐約 500 元,及飲料約 280 元後,不急不徐的 告訴店員我們要使用優惠方案。之後友人提及沒有實際計算,為何可快速選 擇最佳的優惠方案呢?我才發覺原來不是每個人都有所謂的流暢的數感,因 為飲料一杯大約要一百多元,若可半價至少可節省五十元以上,若以會員卡 九折方案計算,至少要點餐五六百元以上才划算,而該餐廳裡一份餐點大約 兩三百元,當然要使用優惠方案。像這種在沒有計算機的工具下,人們必需 得靠估算能力的幫忙,才能及時享有更多優惠的情況,在日常生活中比比皆 是。台大教授張海潮在「說數」一書中亦提到,自己有一次和兩位小學老師 在小學對面的館子吃中飯,老闆亦優待對面小學老師在此用餐就打九折。而 餐後最令兩位善用心算的小學老師驚奇的是,老闆竟能在原本 190 元的帳單 上,快速算出 170 元的九折優惠價,決定回學校要用這個題材教小朋友什麼 是概算。從這裡不難發現,用餐費用打九折應為 171 元,老闆應運用了參考 點 200 元,打九折就是減 20 元,基於不佔顧客便宜,快速以 190 元再減 20 元,算出 170 元的九折優惠價。像這樣日常生活常會碰到的數字情境,有電 算器便捷的設計,可快速且正確的計算,免除人們紙筆計算的困擾,但人們 仍不宜過度依賴電算器,隨之而來,人們生活中較需要的是具有正確且合理

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估算答案的能力,而這正是數感能力中其中的一環。 鄔瑞香與林文生(1999)由 1978 年美國全國督學聯合會(NCSM)的 全國數學教師行動綱領報告的一段話,醒悟到培養學生會估測及驗證答案合 理性的能力是很重要的。九年一貫數學學習領域課程綱要(教育部,2003a) 中提及,估算是過去數學教學中,較被忽略的課題。一般來說,數字感較好 的學生,通常都能夠使用估算的技巧,來協助計算、驗算與解題。而經由估 算課題的教學,也更能促使學生對數學概念、程序計算、解題三者間的連結, 有更深入的理解。學生應明白,電算器或電腦固然可以用來減低計算上的負 擔,但仍然有各種錯誤的可能,因此仍然要有好的計算、估算甚至檢查策略, 來驗證計算結果的合理性。可見,提昇學生的估算能力和數學直覺的數感能 力,亦是教學課程中一大重點。支毅君(1997)研究指出,學生都知道應該 要檢查考試答案的正確性,而學生檢查答案的方法全是「再算一遍」或是「反 著算一遍」。而事實上檢驗答案的正確性正是估算的用途之一,教師應建立 學生正確的估算觀念,在教學適當時候,加入不同的估算方法,並鼓勵學生 使用估算方法檢驗答案,藉由多樣的解題策略,幫助學生建立數感。方惠珍 與易正明(2005)在探討估算融入國小五年級數學課程,對學童在估算概念 之發展是否有學習成就之影響研究中,實驗組學童在融入估算教學後,實驗 組學童在面對不同的估算問題,較符合文獻中所提的「能視數值的特色使用 不同的估算方法」進行估算。學習單的解題策略分析使用正確估算策略有 68%,較控制組 24%高出許多,可見提供多元解題策略供學生靈活運用,有 利於學童的概數學習,進而提昇其估算能力。「修訂綱要」與「暫行綱要」 一樣強調估算,並且更加強數與數線的結合,以及驗算,這些都是為了從各 個方面建立學生的數感。由此可見,透過有效的估算策略,可提昇學童估算 能力,進而促使學童靈活檢驗答案的合理性,藉以建立學童的數感是很重要 的。

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的確,數感是數主題特別需要培養的能力,數感能力已被許多國家視為 21 世紀數學教育中重要教學主題之一。九年一貫數學學習領域綱要諮詢意 見(2003b)提及,九年一貫課程有關數與量的課程希望達到的目標,包括 學生能充分理解與熟練數概念和四則運算的數學內容,以培養學生的數感; 並在核心內容指出,數概念、估算與概數之數學教學為其中一環。建立數感 及位值概念,並掌握位值之間關係的換算,可進而提升運算的流暢性。運算 意義的瞭解、運算之間的關係是四則運算的主要內容。數感的培養、數概念、 運用四則運算解決生活中的問題,以估算策略及電算器或電腦解決繁雜的計 算問題,是數的學習內容。楊德清(2006)指出數感並不是數學課程中的一個 新主題,而是教與學方法上的改變。數感教學重視學習者的學習過程,主張兒童 應該有意義地學習數字與運算的概念,並且能夠將此種理解應用於日常生活情境 中,而不只是汲汲於尋求「標準答案」;重視學生思考層面的多元化,而不只是機 械式的使用公式或規則以獲得答案。Thornton & Tucker(1989)提到因數感是逐 漸發展而成,透過持續性的數感融入教學,可自然的發展數感。Gurganus(2004) 表示在課堂中設計估算的經驗進行估算,以產生合理的估算值;或在解題時檢驗 答案的合理性,利用估算選擇合理的答案,可促進數感發展。由此可知,因建立 學童的數感是很重要的,而進行數感教學,引導學童進行有意義的數學學 習,可提昇學童的數感能力。因此讓擔任第一教學現場的研究者深感興趣, 想要更進一步透過教學活動的融入,深入研究探討學童的數感表現。 依據Yang(1995)的研究發現,台灣學生在筆算技巧方面擁有較高的水 準,但在解決不用計算的類似問題(如:估算)時,數感的能力顯然不能等 同於筆算能力。Reys & Yang(1998)進行臺灣六年級與國中二年級學生的 研究,發現學生具有良好的筆算能力,並不代表他們具備良好的數感能力。 因此未必數學成就好的學童,就具有較好的數感能力。目前研究對於數感雖 無明確定義,但由楊德清(2002)參考多方文獻,將數感的組成成份定義為

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一、瞭解數的基本意義;二、比較數字大小的能力分辨;三、瞭解運算對數 字的意義和影響之能力;四、發展並靈活運用參考點的能力;五、發展估算 策略,以及能夠判斷運算結果之合理性。林素微(2002)指出數感這個概念 通常是直觀的、浪漫的,不證自明的,我們常用這個詞來描述某個學生「數 的表現就是好(just good with number)」、或者形容一群數學表現很傑出的 學生。Case (1989) 認為數感很難定義但卻很容易辨識,數感良好的學生可 以在真實世界的量與數學世界的數和數字表徵間自由遊走,他們可以發明他 們本身管理數字運作的程序,針對同樣的數,可以根據脈絡以及表徵的目的 用多重方式來進行表徵,他們可以辨識基準點(benchmark numbers)以及數 字組型(number patterns),尤其是來自於數字系統的深層結構。他們對於 數字操弄的敏銳度較高,對於數字上明顯的錯誤(數字大小順序上的錯誤) 可以輕易就辨識出來;最後他們在思考及談論數字問題的特質以及表達時會 以較敏銳的方式來進行,而不用透過任何精確的計算。一個具有數感的學生 可能會自問,「我認為這個問題的答案是什麼樣種類的數?答案大概有多 大?可能的數值範圍為何?計算完成之後,這個答案和我所預期的是否一 致?」上述文獻所提及具備數感能力的學童在教學學習現場其實不難發現, 且的確存在,只是數學成就好的學童,不一定數感能力就比較好,讓研究者 想加以深究,如果將學童按照數學成就分組,其數感能力的表現是否有所不 同。 在國小數學數與量課程中,除了整數之外,分數的數概念與運算亦為教 學的另一個主要重點。呂玉琴(1991)指出,在日常生活中,或者在數學和自 然科的教材中,都可以發現分數是很常用的重要概念,分數概念因有多重意 義,雖不容易了解但卻是重要的。呂玉琴與詹婉華(2004)更提到在國小數 學課程中,分數概念的學習佔有重要地位,從二年級到六年級都有分數的主 題出現。在教育部(2000)國民中小學九年一貫課程暫行綱要數學學習領域

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的分段能力指標中,N-1-7、N-2-5、N-2-6、N-2-19、N-3-3、N-3-4、N-3-6、 N-3-7(參見附錄一)皆是關於分數概念的能力指標,在數與計算四個階段 的21個能力指標中,有關分數的主題占了8個,顯示在九年一貫課程暫行綱 要數學學習領域之中,分數在國小數學教學上的重要性。其中部份/全體、 等分概念、等值分數概念、分數大小比較,更是分數主題學習的重點。陳和 貴(2002)研究提到兒童對於分數的操作(operate)、數感(number sense)等認 知卻有相當的困難,對中、高年級學生而言也是最為困難的學習內容之一, 因此常會產生迷思概念。呂玉琴(1993)研究學童在等分概念常見的錯誤類 型可分為:一、連續量分成兩份,但兩份不一樣大小;二、將同樣大小的離 散量分成兩份,但兩份個數不一樣多;三、將不同大小的離散量分成個數相 同的兩份,但總量不一樣多。呂玉琴(1991)研究學童在分數的大小比較時, 常見的錯誤類型可分為一、根據分母的大小來比較;二、根據分子的大小來 比較;三、將分子、分母同加一數來比較;四、分別比較二個分數的分子、 分 母 。 在 美 國 教 育 發 展 評 估 (The National Assessment of Educational Progess,簡稱 NAEP)針對中學生(13-17歲)所做的研究顯示,學童所缺乏的 分數概念包括:不瞭解分數的意義、對分數缺乏數感、不認為分數是數、不 知分數有大小之別、以機械式的規則來完成計算(引自Post, 1988)。由此可 知,學童在分數的學習中,對於部份/全體、等分概念及分數的大小比較有 較多的迷失概念,產生學習困擾,皆起因於不瞭解分數的基本意義,及忽視 或不懂得運用運算對數的影響,檢驗答案的合理性,而這些部份皆是數感所 重視且涵蓋的範圍,因此引發研究者思考,若能針對學童在單位量的指認、 等分概念、等值分數、分數的大小比較及分數的加法運算,融入數感教學, 可否能提昇學童在分數的學習表現,解決其迷失概念? 許清陽(2001)研究指出,分數的相對大小是與數感有關的另一主題。 學生在比較分數的相對大小時,同分母的比較是比較容易的,只要比較分子

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的大小即可;雖然這種方式是正確有效的,但對於分數的數感之提升卻沒有 幫助。有證據顯示,學生在比較分數大小時,常常忽略分母是否相同這種比 較方式,當分母相同時,他們會以分子的大小來決定分數的大小,而當分子 相同時,他們同樣以分母的大小來決定分數的大小(Behr, Wachsmuth, Post, & Lesh, 1984; Sowder & Markovits, 1989)。顯然地,這種分數的比較方式是 受到先前所學到整數相對大小的影響。學生經常不能理解分數中部份與整體 之間的關係;例如,他們會認為2

3和

3

4 是相同的,因為分母和分子之間的差

都是1(Peck & Jencks, 1981)。學生如果能將分數的符號和其意義相連結, 那麼就較能理解分數的相對大小。Sowder & Markovits (1989)的研究顯示, 學生使用圖示和操作的方式來比較分數的大小,能成功的比較不同分母或不 同分子分數的大小,在這個教學研究中,學生會以1 2 或1為比較分數大小的 參考點(benchmark);研究結果說明了,學生在教學之後比教學之前在分 數直覺(intuitive)方面有顯著的提升。 楊德清(2000)在國小六年級學生回答數字常識問題所使用之方法研究 中,則指出長久以來,許多的研究持續地證實了學校數學若只強調算則與公 式的學習,往往會誤導了數學概念的學習,甚至產生許多的迷思概念。不論 低、中、或高程度的學生皆普遍表現出非常習慣使用算則的原理與方法,而 少有數感的解題策略(如使用參考點、善用估算的方法、認知數字之大小、 或理解運算對數字之相對影響等)被使用。亦即表示學生非常缺乏數感的能 力。對中、下程度的學生而言,此種情況更為嚴重。當學生回答訪談問題時, 皆非常依賴紙筆計算的方法,無法從理解與有意義化的層面思考,往往將自 己侷限於算則的方式。例如在判斷那兩個分數之和比1大?(1)2 5 + 3 7 (2) 1 2+ 4 9 (3)3 8+ 2 11 (4) 4 7+ 1 2。為什麼?的問題中,接受訪談學童普遍依賴紙筆通分計

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算找出答案,而少有解題想法能運用參考點1 2及瞭解兩個大於 1 2的數相加, 結果一定大於1,這種運算對數所造成的影響,進行答案的估算,回答「因 為1 2 是全部的一半, 4 7比一半還要大,所以答案比1大」。顯示算則的過份學 習將妨礙學生思考與推理的能力,侷限了對數字的理解與彈性的應用,因此 阻礙了學生數感的發展。這也應證了Warrington & Kamii (1998)所強調的: 算則的教學有礙於數感的發展。數學教師應該學習將我們的注意力焦聚於促 進學生的理解而不是單調程序之演練與實行(Bezuk & Crame, 1989)。教學 的焦點應該強調如何幫助兒童建立觀念性知識的理解,而不是程序性技能的 熟練。計算能力不應被拋棄,但是理解與意義化的學習數學更為重要。數學 應鼓勵學生思考與邏輯推理能力的培養,而不是汲汲於追求計算的能力、速 度與準確性。我們的數學教育應更重視培養孩子邏輯思考,推理,溝通,與 聯結知識的能力。此文獻更證實研究者的思考方向是正確的,分數的學習在 現今數學課程中是相當重要的一環,卻也是學童不甚瞭解,深感學習困擾的 部份,若能在分數教學課程中,不僅只傳授學童透過分數約分或擴分的通分 技巧解決分數的大小比較或分數的合成與分解,更融入數感的參考點教學, 學童是否能透過參考點的運用,靈活運用估算檢驗答案的合理性,培養數學 直觀能力,發展學童的多元思考能力,以期更符合九年一貫課程所重視的要 學童有帶著走的能力。 綜合上述研究,現在教學第一現場的研究者,任教高年級已五年,亦發 現學童在分數的學習中,正如文獻研究所提,因為學童對分數的基本意義不 甚瞭解,認為分數不是一個數,或在分數的大小比較及分數的加法運算中, 常因一味遵循現行教材的機械運算演練,若演算繁雜、即使運算錯誤,大部 份學童仍無法有效檢驗答案的合理性,以致遭受挫敗。因建立學童的數感是 很重要的,本研究嘗試在分數約分和擴分及分數的加法的學習中融入數感教

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學,讓學童深入瞭解分數的基本意義,並藉由融入參考點的運用及瞭解運算 對數的影響,讓學童進行有效的估算,運用有效方法檢驗答案的合理性,探 討學童在分數約分和擴分及分數的加法的學習表現為何?

第二節 研究目的與待答問題

本節根據上述研究動機,將分為兩部份,分別為一、本實驗研究之研究 目的,二、本實驗研究之待答問題,分述如下:

一、本實驗研究之研究目的

1. 探討學童是否因數感之參考點教學融入國小五年級數學課程,而有 助於分數加法的學習發展。 2. 實驗組是否因解題的多樣化,而較能使用適當的估算方法,快速且 合理的估算,以檢驗答案之合理性。

二、本實驗研究之待答問題

1.數感參考點之實驗教學,對兩組不同教學活動學童學習分數加法的影 響為何? 2.數感參考點之實驗教學,對兩組不同數學學習能力學童,學習分數加 法的影響為何? 3.數感參考點之實驗教學,對兩組不同性別學童,學習分數加法的影響 為何? 4.數感參考點之實驗教學,對兩組學童估算策略運用之影響?

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第三節 名詞釋義

本研究為「數感之參考點教學融入國小五年級數學分數加法之實驗研 究」,針對本實驗研究所使用的名詞,有五項定義,分別為一、數感;二、 參考點;三、國小五年級學童;四、不同數學能力學童;五、分數加法,定 義如下:

一、數感

數感(number sense)是指對數的一種直覺,有學者以數感、數字感或 數字常識稱之,在本研究以數感稱之。本研究所要探討的是分數數感,綜合 文獻,研究者主要參考楊德清(2002)與李茂能(2005)對國內外有關數感 的組成成份之研究,配合五下數學分數課程約分、擴分及分數的加法,歸納 本研究因分數課程範圍限制,對數感的組成成份的研究如下: 1.瞭解分數的基本意義 2.運用參考點比較分數大小 3.運用參考點瞭解數與運算的關係進行估算

二、參考點

本研究融入數感之參考點教學,在分數參考點的部份,參考Piaget, Inhelder, & Szeminska(1960)及 Hiebert & Tonnessen(1978)研究,兒童 分數處理能力的發展次序,皆優先會處理分數1 2的問題,因此本研究擬以參 考點1 2為主。例如: 14 30 接近參考點 1 2 ,而且小於 1 2;在整數參考點,以1和2 為主,例如:10 9 接近參考點1,而且大於1。

三、國小五年級學童

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本研究所指的五年級學童,是指九十學年度入學的學童,使用數學教材 版本依循九年一貫暫行綱要,並在三、四年級接受過分數概念教學。

四、不同數學能力學童

由於數學能力涵概的範圍相當廣泛,本研究裡所指的不同數學學習能力 學童,主要是根據在校五上三次月考的數學學習成就之平均來區分,以班級 為單位,按數學學習成就之分數高低,分為高中低三組:(一)高數學能力 組,指在校五上三次月考的數學學習成就之平均,在班級施測者中,為前 33%之學童。(二)中數學能力組,指在校五上三次月考的數學學習成就之平 均,在班級施測者中,為前 34% ~ 66% 之學童。(三)低數學能力組,指在 校五上三次月考的數學學習成就之平均,在班級施測者中,為最後 33%之學 童。

五、分數加法

本實驗研究根據能力指標「N-2-5 在等分好、整體 1 能明確出現之具體 情境中,能以真分數來描述單位分數內容物為多個個物的幾份,進行同分母 真分數的合成、分解活動,並理解等值分數的意義。」「N-2-6 在具體情境中, 能以假分數或帶分數描述具體的量,並能解決分數的合成、分解以及簡單整 數倍的問題。」「N-2-7 能認識真分數、假分數與帶分數,作同分母分數的 比較、加法與整數倍的計算,並解決生活中的問題。」及相關版本第十冊「擴 分和約分」及「異分母分數加法」等單元,進行國小五年級學童的分數約分 擴分、分數的加法之數感概念研究。因此本研究設計所指的「分數加法」, 涵蓋等分概念、部份/全體、等值分數及異分母的大小比較及簡單的分數加 法之估算。

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第四節 研究範圍與限制

本研究以國小五年級學童為對象,進行數學分數課程融入參考點教學之 實驗研究,探討兩組學童在實驗前後其數學學習表現之差異情形。在研究過 程中,由於一些難以控制的客觀因素的影響,故產生一、研究範圍,二、研 究限制,說明如下: 一、研究範圍 在九年一貫暫綱數學課程中,二年級已開始介紹分數的概念,三年級介 紹簡單的真分數,四年級介紹假分數和同分母分數的加法,五年級介紹等值 分數、分數的整數倍和分數的加法,六年級介紹通分和分數的除法。因以分 數的約分、擴分及分數的加法,同屬同一次月考教學範圍,教學時間相近, 故分數乘法及不屬於五年級分數教學課程,皆不在本研究的範圍之內。 二、研究限制 (一)實驗樣本的限制 因考慮研究者的能力、時間及現實環境等因素,本研究樣本採立意 取樣,以研究者所任教的五年級班級為實驗組,學童共 32 位;以教學 理念相近,且常一起溝通教學策略的學年教師所任教之班級為控制組, 學童共 33 位。故研究結果的外推,應採謹慎與保留的態度。 (二)實驗工具的限制 本研究所用之分數數學運算問題,僅限於分數的加法,不包括分數 的乘法及除法運算,因此在解釋不是本研究所指分數數學運算問題時, 應有所保留。

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第二章 文獻探討

本章的文獻探討共分三節敘述,以下將針對第一節探討數感的組成成份 及重要性;第二節探討數感實驗教學及相關研究;第三節關於電腦輔助評 量,一一加以敘述。

第一節 數感的組成成份及重要性

本節分為兩個部份進行探討數感的組成成份及重要性,依序為一、數感 的組成成份;二、數感的重要性,詳細敘述。

一、數感的組成成份

什麼是數感(Number sense)?美國數學教師協會(National Council of Teachers of Mathematics 簡稱NCTM)1989年所公布的中小學「學校數學課 程與評量標準」(Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics.) 提到,數感是一種根據對數的不同意義,產生一種對數的直覺。從國內外相 關文獻對於數感相關概念的論述,雖無一個明確的定義,但卻有助於數感相 關概念的釐清。以下就針對國內外數感相關概念的論述,進行說明。 (一)李茂能(2005)數感的組成成份 李茂能參考文獻分析,將數感的組成成份定義如下: 1.瞭解數字的基本意義以及數與數間之關係的能力 瞭解數字的基本意義以及數與數間之關係的能力包括:理解數字 系統(如整數、分數、小數、與百分比)所代表的意義以及它的結構關 係:包括十進位元系統、數字的型態、與位值的觀念。Sowder & Schappelle (1989)的主張:瞭解數字的基本意義是建立數字常識能力

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中最重要的一個因素。 2.具備比較數字大小的能力 具備比較數字大小的能力包括能夠直接比較數字(包含整數、分 數、與小數)之大小,例如:知道3 5大於 1 2,或者能夠分辨 0.62 為何 大於 0.5999;能夠判斷兩個數字之中哪一個較接近第三個數字,例 如:知道3 5和 9 19 哪一個分數比較接近 1 2 ?具備排序數字之能力,例 如:能夠由小至大依序排列下列數字:0.4999,19 25, 8 15, 12 11,0.95; 以及理解數字稠密性的能力,亦即知道兩個小數(分數)之間有無限多 的分數或小數的存在,例如:知道 0.23 與 0.24 之間有無限多的小數 與分數。 3.瞭解運算對數字的影響之能力 認知運算對數字的影響即是瞭解運算在不同的數字系統下(包括 整數與有理數)與不同情境下所產生之影響。當學生在面臨四則運算 數學問題時,他必須能對每一特定的問題情境發展如何去解決問題的 策略。NCTM(1989)強調,運算的理解涉及到關於數字和運算兩者 間之相互影響的洞察和直覺,因此不同的運算對數字將產生不同的結 果與意義。例如,兒童應該了解,當兩個數字相加時,如果每一個數 字都超過 500,那麼它們的和一定會比 1000 大。 4.具備判斷運算結果之合理性的能力 學習數學的主要目的之一乃在解決問題,因此在不同的情境下, 必須決定問題情境需要的是正確的或大概的答案,並據以選擇適當的 計算工具,如心算或估算,以有效解決問題,同時能夠檢驗運算結果 的合理性。例如,當要求學生去找出 534.6×0.545=291357 之小數點 的位置時,學生可以知道運用以下算則方法是不合理的:被乘數有一

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位小數,第二個數字乘數有三位小數;相乘的結果有 1+3=4 位小 數,因此 291357 的小數點應該向左移四位,所以答案為 29.1357。因 為一個 5 百多的數字乘上大約是 0.5(1 2)的數字,其結果應該是 2 百 多,而不可能是 2 拾多。 5.數與運算的多重表徵 能認知對於數字不同的表徵形式,即具有以不同形式表徵數字的 能力。例如:能夠以不同的表徵方式,如圖形表徵、符號表徵等方式 成呈現數所代表之意義。 (二)楊德清(2002)的數感組成成分 楊德清依據相關文獻與研究報告,發展出數感的組成成分如下: 1.瞭解數的基本意義 理解數字系統(整數、分數、小數),它所代表的意義以及它的 結構關係,包括十進位系統、數字型態、與位值觀念。瞭解數字的意 義與能夠彈性地運用數字關係是發展數感之重要基礎(McIntosh, Reys, & Reys, 1992; Sowder & Schappelle, 1989)。

2.比較數字大小的能力分辨 能夠比較數字(包含整數、分數、與小數)之大小,例如:2 3> 1 2 或5.6大於5.5988;有能力去排序數字,能夠由小至大依序排列;以 及知道兩個數字之間有無限多的分數或小數的存在,例如:知道0.83 與0.84之間有無限多的小數與分數。 3.瞭解運算對數字的意義和影響之能力 瞭解運算在不 同的數字系統下(包括整數與有理數)以及不同 情境下所產生之影響。例如,兒童應該可以了解,當兩個數字相加 時,如果每一個數字都超過50,那麼它們的和一定會比100大。

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4.發展並靈活運用參考點的能力 參考點(Benchmark)乃是指可依賴以作為檢驗其它數字或解決 問題之標準點。例如:以1為參考點,知道17 18小於1但是很接近1;以 1 2為參考點,知道 5 13小於 1 2但是很接近 1 2;當要求學生估計全校的人 數時,兒童能夠發展適當的參考點,如以本班人數或年級人數為參 考點,進而求出全校學生的人數。McIntosh, Reys, & Reys (1992)認 為,參考點通常可以被使用於判斷一個答案的大小或者選擇一個約 略數字以便於估算或心算的進行。 5.發展估算策略,以及能夠判斷運算結果之合理性 學習數學的主要目的之一乃在解決問題,因此在不同的情境 下,必須決定問題情境需要的是正確的或大概的答案,並據以選擇 適當的計算工具(如估算或心算),以有效的解決問題,同時能夠 檢驗運算結果的合理性。 (三)Sowder(1992)的數感組成成分 Sowder 綜合其他數感相關研究學者論述,將數感的組成成分,分為九 類: 1.能彈性地合成、分解數字,並靈活地轉換數字的各種不同表徵。 2.能辨認數字的相對大小與排序。 3.能處理數字的絕對大小。 4.會使用參考點(benchmark)。 5.能有意義的連結數字、數與運算間相關符號的能力。 6.能瞭解數算對數字的影響。 7.能有效運用數字與運算的性質進行心算。 8.能有效變換數字估算算式的答案,並在適當的時機進行估算。 9.對數字的意義較有感覺。

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Mclntosh, Reys, Reys, Bana, & Farrel 為了建構數感的評量題庫,依據 1992 組織架構中的三個範疇,建立數感的六個主要構成元素: 1.瞭解數的基本意義及大小 2.瞭解和應用數的多重表徵 3.瞭解運算對數的意義與影響 4.瞭解及運用等值的形式以利解題 5.發展計算的策略 6.運用參考點 (五)NCTM (1989)的數感組成成分 NCTM 在其出版的「學校數學課程與評量標準」中指出,數感包含以 下五個組成成份: 1.對數字的基本意義具有良好的瞭解

涵蓋了對基數(cardinal number)與序數(ordinal number)的瞭解。 2.能夠操作具體物來探討數的關係 例如,利用具體物來進行合成分解的活動,讓兒童更能理解數字的 涵義。 3.瞭解數的相對大小 例如,51 比 29 大,很接近 49,約是 100 的一半,比 70 小。 4.能瞭解運算對數字之相對影響 例如,如果乘數大於 1,其積會大於被乘數;如果乘數小於 1,其積 則會小於被乘數。 5.能發展出參考點(Benchmarks),並應用於測量一般的物體及生活情

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境中: 例如,能知道一個國小學童的身高不可能會有316公分,一條麵包的 價格不太可能是3000元,發展出測量物體的參考點有助於學童判斷 結果的合理性。 綜合上述文獻,可看出發展參考點是數感組成成份的重要成份之一,例 如:李茂能研究,在比較數字大小時,知道3 5大於 1 2 , 1 2即是參考點,及楊 德清研究,知道17 18小於1但是很接近1,就是以1為參考點。透過參考點的運 用,可幫助學童瞭解數的相對大小,進行估算,檢驗答案的合理性。因此, 本研究將融入數感之參考點策略,並參考李茂能與楊德清對國內外有關數感 的組成成份之研究,配合五下數學分數課程約分、擴分及分數的加法,歸納 本研究因分數課程範圍限制,對數感的組成成份的研究如下: 1.瞭解分數的基本意義 2.運用參考點比較分數大小 3.運用參考點瞭解數與運算的關係進行估算

二、數感的重要性

數感早已受到美國、澳洲、大陸、香港等國家的重視,成為小學數學課 程中的教學重點。研究者將各國數學課程中對數感的重視,分述如下: (一)美國 在NCTM(2000)出版的「學校數學課程之原則與標準」(Principles and Standards for School Mathematics)中,指出數感(number sense)是指能夠

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很自然地合成或分解數字;使用特別的數字如100或1 2當作參考點;運用數 字與運算間的關係解決問題;瞭解十進位數字系統;具有估算能力;能使數 字意義化;以及認知數字之相對與絕對的大小。主張中小學的數學課程應將 數感融入當中,以培養兒童的數感,發展學生數與運算概念為其標準之重 心。國小的數學概念和計算離不開數字和運算,數字和運算是形成數字理論 的開始;而數字和運算的中心要點,便是發展數感。在幼稚園到十二年級的 教學課程設計中,數字和運算標準就要求所有學生,要能夠了解數字、數字 的多重表徵方式、數字間的關係及數字系統;也要了解運算對數的意義及運 算間的關聯性;並且保有計算的流暢性及發展參考點做合理的估算之能力。 (二)澳洲

澳洲教育研究協會(Australian Education Council )(AEC, 1991)出版 的「澳洲國家學校數學報告書(A national statement on mathematics for Australian schools)」中提到,所有人皆需要發展好的數感(A Sense of Number),數感教學為中小學數學教育所不可缺少的主題。 (三)大陸 中國大陸中小學數學課程標準(姜志遠整理,2003),在課程內容的學 習,強調發展學生的數感,數感主要表現在理解數的意義;能用多種方法來 表示數;能在具體的情境中把握數的相對大小關係;能用數來表達和交流資 訊;能為解決問題而選擇適當的演算法;能估計運算的結果,並對結果的合 理性作出解釋。 中國大陸中小學數學課程標準(姜志遠整理,2003)在第一學段(1~3 年級)內容標準中指出要初步建立數感,加強估算,並提倡演算法多樣化; 課程實施建議中,又指出估算在日常生活中有著十分廣泛的應用,教師要不

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失時機地培養學生的估算意識和初步的估算技能,以加強估算,鼓勵算法多 樣化。教師應組織學生交流各自的估算方法,比較各自估算的結果,逐步發 展學生的估算意識與策略。 例如:小明家養雞的收入是 243 元,養猪的收入是 479 元。估計這兩項收入 一共多少元? 不同學生的估算策略可能有所不同: 1.有的學生認為:「200 加 400 等於 600,43 加 79 大於 100,因此它們 的和比 700 多一點」。 2.有的學生估算的方法可能是:「243 小於 250,479 小於 500,因此它 們的和比 750 小」。 3.有的學生可能說:「這個數比 200+400 大,比 300+500 小」。 4.這些都是正確的。 在第二學段(4~6 年級)課程實施建議中,又指出培養學生的估算意 識,發展學生的估算能力,讓學生擁有良好的數感,具有重要的價值。教師 應該為他們提供相互交流的機會,以加強估算,鼓勵解決問題策略的多樣化。 例如:一本書 12 元,全班 48 人,每人買一本大約需要多少錢? 教學中應充分鼓勵學生交流各自的估算方法: 1.可以是 10×50=500,認為 500 元左右。 2.也可以是 12×50=600,不到 600 元。 3.還可以是 10×48=480,肯定比 480 元多。 4.不同的學生可能會有不同的估算方法,但這些都是正確的。 (四)香港

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香港數學教育學會課程關注小組(1997)在對「2001 年小學數學科課 程大綱初稿」的意見中,指出在「修訂摘要」中曾提及要「加強學生在概算 及估算方面的能力」和「要建立數字感」,上述的課題內容,不但不應被刪 除,反而更應被重新肯定及加強。更建議應增強學生認識「乘法分配性質」 的概念,以培養數字感及發現數理關係的經驗。 (五)台灣 九年一貫數學學習領域綱要諮詢意見(2003b)中指出,基本上,數感是對 數字的一種直覺,它是一種概念,也需要多種能力的組合,所謂概念即是對 數字與運算符號之意義的理解,所謂能力乃是指學習者能夠將新訊息與先前 所獲得的經驗做邏輯性的連結,進而驅使學習者形成連結的能力。數感包含 對數字與運算符號之意義的理解與運用能力,具備發展與運用參考點、比較 數字大小、了解運算對數字的意義和影響能力,並發展不同的解題策略,判 斷運算結果的合理性等等。 1.數感在課程標準的教材地位 劉曼麗與侯淑芬(2006)指出雖然九年一貫課程綱要中(教育部, 2003a),培養學生流暢的數字感已被列為國小階段的課程目標之一,在綱 要中卻未見有明確的能力指標和具體的教學說明與其對應;但是所陳述的數 學能力指標中,其實都隱含著數感的概念(林素微、洪碧霞,2002),其互 相對應關係(參見附錄二)有詳細比較;而且數感強調有意義的學習與數學 生活化,此正與九年一貫的精神相符應(徐俊仁、楊德清,2000)。在國小 階段一年級至六年級數與量的主題說明中,提到流暢的計算能力,可內化學 童的數感,計算時要能運用四則運算的性質,協助心算與估算,至六年級時, 建立完整的數感。可見數感能力的培養是九年一貫數學教育改革的重點。 2.數感是九年一貫課程數主題的核心內容

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九年一貫課程中,數感是數主題特別需要培養的能力。教育部(2003b) 九年一貫數學學習領域綱要諮詢意見小組,在數與量基本理念篇中,指出整 個數主題的核心內容如表 2-1-1,而核心內容全是數感所涵蓋的主要內容, 由此可知,數感是九年一貫課程數主題的核心內容。 表2-1-1 九年一貫課程數主題的核心內容 正整數 分數和小數 數概念 1-1 數的說讀聽寫做等表徵之間的轉換。 1-2 數的大小比較與排序。 1-3 位值概念與不同位值之間的換算。 1-4 依據數的特性(如:因數、倍數)辨 認數的性質。 1-1 分 數 概 念 和 大 小 比較。 1-2 小數概念和大小 比較。 四則運算 2-1 加法乘除算式意義的瞭解與應用。 2-2 瞭解四則運算的基本性質。 2-3 理解並使用四則運算之橫式記錄、直 式記錄、及直式算則。 2-4 運用電算器、估算、及取概數方法等 計算策略簡化複雜的計算。 2-1 分數四則運算。 2-2 小數四則運算。 連結 3-1 和整數概念的關聯。 3-2 分數表示除的意涵。 3-3 分數和小數的互換。 3.九年一貫課程數主題和數感的對應關係如下: (1)表2-1-1中,正整數數概念1-1、1-3,分數和小數數概念1-1、1-2,連結 3-1、3-2、3-3所指的教學內容,其實就是數感中所指的瞭解數的基本 意義。 (2)表2-1-1中,正整數數概念1-2,分數和小數數概念1-1、1-2所指的教學 內容,其實就是數感中所指的辨認數字的相對大小。 (3)表2-1-1中,正整數數概念1-4,四則運算2-1,2-2、2-3,分數和小數四 則運算2-1、2-2所指的教學內容,其實就是數感中所指的瞭解運算對數 的影響。 (4)表2-1-1中,正整數四則運算2-4所指的教學內容,其實就是數感中所指 的運用參考點進行估算。

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由上述各國數學課程標準及九年一貫課程數主題,皆提及數感能力的培 養並有相關能力指標與數感彼此相互對應(參見表2-1-1),可知目前世界各 國相當重視數感課程的能力養成,並編有相當份量的課程,這讓研究者深感 興趣,本研究論文主題擬深入探究數感課程與教學課程互相融合,對於學童 的數學學習有何影響。

第二節 數感實驗教學及相關研究

數感目前是許多國家數學教育中重要的教學主題之一,因此設計數感教 學活動亦被視為發展小學數學課程之主軸與中心。本節研究將依一、實驗教 學研究,二、參考點的分數教學,三、數感及相關研究,依序說明。

一、實驗教學研究

實驗研究法是在教育情境中,透過控制、操縱及觀察自變項與依變項間 的關係,以預測實驗情境中的現象;並將此關係類化或應用於實驗情境外的 母群的一種研究方法(王保進,1990),是唯一能真正考驗有關因-果關係 之假設的方法,也是解決教育上理論的與實際的問題,以及推動教育成為一 門科學的最有效途徑(王文科,1990)。 (一)實驗研究的基本特徵(葉重新,2006)說明如下: 1. 不同組別的比較: 一般的實驗研究,將受試者分發至實驗組或控制組,讓實驗組接受 實驗處理,然後比較這兩組受試者在依變項上得分的差異。 2. 操弄自變項:

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研究者針對研究問題或假設,操弄自變項,再觀察不同自變項對依 變項的影響。 3. 隨機化: 自母群體中隨機抽取若干樣本接受實驗,研究結果就能推論到母群 體,藉以提高外在效度;理論上來說,整體而言兩組受試者的各種 特質是相等的。 (二)實驗的效度 實驗的效度是指實驗結果的準確程度,可分為內在效度與外在效度。 1. 內在效度: 指由實驗處理影響依變項的真正程度。研究者對無關干擾變項控制 愈嚴謹,內在效度就越高。影響內在效度的因素包含歷史、身心發 展與成熟、測驗、工具、統計迴歸、選樣不等、受試者流失、選樣 與成熟交互作用、實驗處理的擴散、強亨利效應、實驗處理的平等 補償、控制組士氣低落及實驗者的偏見(王文科,1990;葉重新, 2006,第 11 章)。 2. 外在效度: 指實驗結果可以推論到其他群體或情境的可靠程度,可分為母群體 效度及生態效度;母群體效度是指實驗結果可以推論到母群體的程 度;生態效度為實驗結果可以推論到不同情境的程度。(葉重新, 2006) (三)準實驗設計: 真正的實驗設計應隨機抽樣與隨機分派受試者於實驗處理,可 以對實驗誤差的來源加以控制,使得實驗結果能夠完全歸因於自變 項的改變;但是進行教育研究時,受試者多是自然形成的完整團體, 例如學校組織或是班級學生,像這樣以現有的受試者團體為研究對

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象,而非隨機將受試者分派於實驗處理的設計,即為準實驗設計(王 文科,1990)。準實驗只能儘量控制影響實驗內在效度的因素,雖然 不如真正實驗可靠,但是教育現象的瞭解,仍有很大的幫助(高義 展,2004,第 12 章),然而,研究者在進行解釋與推論時,應謹慎 為之,不宜過度推論。準實驗設計有許多種,最常用的有下列幾種 (王文科,1990;林生傳,2003,第 14 章;高義展,2004) 1. 不等組的前測-後測控制組設計: 通常需有兩組參與研究,其中一組為實驗組,另外一組為控制組 以玆對照;研究者採用完整的、已形成的受試者群體,先施予前 測,為實驗組組安排處理條件,接著實施後測。 2. 時間系列設計: 只有一組研究樣本,是指實驗組在接受處理之前和以後,重複接 受測量,而非僅在處理前、後各接受一次測量。 3. 相等時間樣本設計: 適用於只有一組受試者可當控制及實驗組的情況,實驗的處理與 控制處理在相等的時間間距內,交互間隔出現,使得每位受試者 均重複接受這些處理。 4. 相等材料前測-後測設計: 以同組當作實驗組與控制組,且進行兩次以上的循環,該組在第 一循環可能當作控制組,至第二循環則當實驗組。 5. 對抗平衡設計: 是為了防範因各組接受處理之次序而產生的解釋問題而提出的設 計,所有組均個別輪換接受一種不同的實驗處理,各組均接受所 有的處理,只是以不同的順序進行。

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根據準實驗研究,本研究擬以兩班不同教學策略為自變項,以學生五上 數學學習成績及自編試題前測為共變項,並以授課教師、學童、教學時間、 教學內容活動設計及施測方式為控制變項,進行依變項自編試題學習表現的 分析。

二、參考點的分數教學

Piaget, Inhelder, & Szeminska(1960)發現,孩童在處理和長度、面積等 有關的分數問題時,先會處理1

2 的分數問題,其次依序為

1 1 1 1 4→ → →3 5 6 ;

Hiebert & Tonnessen(1978)探討兒童在連續量及離散量的分數概念發展, 發現兒童在處理和面積有關的分數問題時,其能力與Piaget et al.的研究結果 相同。但在處理和長度有關的分數問題時,先會處理1 1 1 1 2 → → →3 4 5(引自呂 玉琴等,2004)。因此,研究者擬運用學童所優先會處理的分數1 2,為本研 究分數教學的分數參考點,如 9 20接近 1 2但小於 1 2,則可以 1 2為 9 20的分數參考 點。 Clement(1987)認為兒童的分數概念,必須將具體物、語言、符號三 種表徵結合在一起,才算擁有完整的分數概念(引自林碧珍,1990)。Cramer, Post, & delMas (2002)在 RNP 課程中特別強調,使用具體操作物,並適時的 將教學轉移至半具體,語言,以及抽象符號的表徵,兒童可以發展較好的分 數概念,以比較分數大小。游政雄、呂玉琴、吳宏毅與劉世能(2003)發現 學童處理分數符號表徵問題比圖形表徵問題困難。因此,研究者擬透過分數 圓形板的半具體物操作及圖形表徵進行與分數參考點的大小比較及估算教 學,探討與控制組直接以抽象符號表徵教學,學生在分數加法的學習表現有 何差異?

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依教育部頒布的九年一貫數學領域暫行綱要(教育部,2000)之安排,在 國小五年級所學習的分數,主要以表 2-2-1 幾種意義為主: 表 2-2-1 九年一貫暫行綱要五年級課程中分數的意義 分數的多種意義 說 明 部份/全部 (連續量) 在「整體 1(單位量)是連續量」的問題情境中, 將一個整體等分後,以分數來表示 N 個子分割單位 的部分量和整體量之間關係,是「部份/全部」的 分數意義。 子集合/集合 (離散量) 在「整體 1(單位量)是離散量」的問題情境中, 由一個以上的物體所組成的整體中,以分數來表示 N 個物體合起來的部分量和整體量之間關係,是「子 集合/集合」的分數意義。 等值分數 在存在一個整體中,等值分數用來表示不論在 連續量或離散量情境中,兩個量的「部分-整體」 相對關係不變。 分數是一個數/ 數線上的一點 在數學領域課程綱要第二階段,將簡單的整數 數線,延伸至分數數線,分數的意義擴展為數線上 的一個點。位於數線上這個點的分數數值所表示的 是當原點與單位長確定之後,這個點與原點和單位 長與原點形成的相對關係。 由表 2-2-1 可知,本研究所要探討的分數含有多種意義,研究者將依據 此表所提及的四種分數的意義,加上銜接課程在五下所安排的單元為分數的 加法,作為研究工具的向度考量,以設計數感融入分數的研究工具量表,進 行研究探討。 楊德清與洪素敏(2003)在小四比較分數大小之教學研究中,藉由圖像 (半具體)表徵的方式以增強兒童分數的概念教學目標,引導兒童使用圖像表 徵的方式呈現分數概念,以增強其心像能力,進一步加強分數概念的理解。 從小朋友的學習心得中,發現兒童對分數的比較有不同的方法,並瞭解比較 分數大小時要注意到相同的單位量,不可以直接以分母或分子的大小做判

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斷。教學研究雖然受限於許多學生不善於使用文字表達他們的數學想法,但 藉助「你認為3 5和 1 3這兩個分數,分別是大於 1 2、小於 1 2 或者等於 1 2?為什 麼?」的解題方法和所陳述的理由,幫助教師更清楚的瞭解學生的思考策 略。而且雖然教師只短暫的引導兒童使用參考點(1 2)以比較分數,但已有 2 人可把1 2 當作一半,然後用 3 5超過一半來判斷。在不動筆就知道 18 30和 20 50的分 數大小評量中,正確回答的 27(90%)位同學中,有 12 位學生回答「因為18 30的 分子超過分母的一半,所以就大於1 2;但是 20 50的分子就沒有超過一半,所以 就比1 2小。所以 18 30比較大!」5 位學生回答「 18 30 比較大,因為 30 30的一半是 15 30, 所以18 30比 15 30大。但是 50 50的一半是 25 50, 20 50還不到一半;所以 18 30比較大!」 由此顯示運用參考點,有助於學童進行比較抽象符號表徵的分數大小。 洪素敏(2003)研究的主要目的乃是透過分數概念的紙筆測驗與訪談, 瞭解國小五年級(即將升上六年級)的學童,其相關的分數迷思概念情形; 根據分數概念前測結果分析,五年級學生普遍具有的分數迷思概念有:(1) 等分的概念不夠穩固。(2)漠視單位量的角色。(3)未把分數b a看成一個 數值。並且篩選出真正具有分數迷思概念的學生12人,實施補救教學活動。 學生所具有的分數迷思概念,約可分為下列七項:(1)對分數詞意義的不 瞭解。(2)比較大小時忽略單位量要一致。(3)受單一圖形表徵的限制。 (4)對分數的大小缺乏數感。(5)以整數的運算類推分數的加法。(6) 等值分數的求法和分數的乘法混淆。(7)無法將分數視為數線上的一個數 值。實施補救教學活動之後,學生在「等分時要注意到整體單位量的角色」, 及「分數比較大小時要考慮到單位量是否一致」方面有長足的進步,且不再 有學生反應看不懂各種圖形表徵所代表的意義。但是,將近一半的學生仍然

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無法克服「以整數的運算類推分數的加法」、「等值分數的求法和分數的乘 法混淆」及「無法將分數視為數線上的一個數值」的迷思概念。此外,學生 在分數的數感培養仍嫌不夠。

Behr & Lesh (1984)在所進行的分數教學實驗研究中發現,參與教學實驗 的學童可以在處理同分子分數、同分母分數、異分子異分母分數比較下,發 展出四種比較分數大小的策略,分別是以相同分子、相同分母、遞移及考慮 剩餘部分策略進行分數大小的比較。現行教材之數學課室重視記憶原理、背 誦數學公式,強調計算能力與速度之訓練(楊德清,2002),例如:當比較 分數大小或求異分母之兩分數和時,教科書通常教導學生先通分再比較分子 之大小或通分求分子之和(Markovits & Sowder, 1994; Sowder, 1992)。

綜合上述有關分數之研究,研究者思考在小五分數數學課程中,有許多 異分母分數的加法問題,學童習慣以紙筆算則的方式,先通分再計算分子之 和或差以解決這些問題,精於計算、熟練公式,卻往往是知其然而不知其所 以然,因無法善用不同解題策略,檢驗答案的合理性,導致計算錯誤卻仍不 自知。因現行教材教學大部份只教授以約分擴分方式進行分數大小比較,若 可豐富學童比較分數大小的策略,對學生在進行分數大小的比較時,是否有 學習表現之影響?本研究融入參考點教學,在分數參考點的部份,亦參考 Piaget 兒童分數處理能力的發展次序,以參考點1 2為主,並在實驗組的教學 情境中,採用游政雄等(2003)的研究,多以圖形表徵進行分數大小的比較, 探討學童在分數加法的學習表現,是否與控制組的學習表現有所差異。

三、數感及相關研究

1.學童數感能力之探究

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林素微(2002)研究中數感表現越高的學童,其平均作答時間也越長, 而且數感好的學生對於題目難度也有較佳的後設覺察,他們會因應題目的難 度而調整自己的作答時間,而數感薄弱的學童對題目的難度並沒有覺察。就 數感和數學能力測驗、數量估算評量的相關來看,常模考生的數感與這兩項 一般數學成就表現的相關均為.47,呈現中度的正相關。另外,研究中針對 年級、城鄉與性別等不同背景變項進行高年級學童數感表現的討論。整體而 言,六年級學童的數感比五年級學童好,其數感的表現顯得快又準確,顯示 學童的數感會隨著數的處理與學習經驗的增加而提昇;城市地區學童的數感 表現出比鄉鎮地區學童的數感略佳,主要差異是鄉鎮地區的學童數感薄弱的 人數比率較高;而女生的數感表現比男生好,而且性別的答對比率差異幅度 隨著難度層次的提升而有小幅增加,顯示在較困難的問題上,性別的差距更 為明顯,可能是女生在處理新的情境問題時較為細心與投入,因此對於情境 有較強的覺知所致。具體而言,研究中所研發的電腦化數感評量,題目情境 真實而題型新穎,內容結構明晰、難度大致適切,而且與數學學習關聯變項 呈現合理的相關組型,利於後續的擴充發展,也可提供其他新式測量題型研 發具體的參考資訊。 許清陽(2001)研究文獻指出,估算與數感有密不可分的關係。估算是 一項複雜的技能,涉及了兩種成份:其一,將精確的數字改變成概略的數字; 其二,然後再將這些概數以心算處理。Case & Sowder(1990)認為,這兩 種成分在本質上是不同的,要11、12歲以下的孩子完全以符合這兩種成份的 方式來估算,是有困難的。研究中以中南部縣市公立小學為量表編製研究對 象,抽取國小高年級學童800人,進行電腦線上測驗,以建立量表之信、效 度;接著再抽取中南部縣市公立小學高年級學童1137人,進行數感評定量表 的線上施測,以瞭解國小高年級學童數感的發展;最後再抽取研究者所任教 學校不同學年度五年級各四班學生共276人,施予數感量表線上測驗,以瞭

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解新舊課程不同教學方式對學童數感發展的影響。結果發現,「國小高年級 學童數字常識評定量表」的編製有不錯之信、效度。在信度方面,建立了內 部一致性信度及重測信度;在效度方面,建立了專家、內容及建構三種效度。 學童數感的發展,在辨認數字大小的能力、瞭解運算對數字的意義和影響的 能力、以多重方式表徵數字的能力三個組成成份有顯著差異。而瞭解數字意 義和關係的能力以及發展計算策略與判斷答案合理性的能力,這兩個組成成 份沒有差別的。統計分析也發現,國小高年級不同性別之男女學童在數感各 組成成份發展上具有顯著性差異,亦即在發展計算策略與判斷答案合理性的 能力、及以多重方式表徵數字的能力這兩個向度上,男女的差異達到顯著水 準(α=.01);但從各組成成份男女平均數的差異來看,達到顯著水準的 兩組其男女性別平均數差異都很小,這種平均數差異很小,卻有統計上達到 顯著差異,但在實質的應用是否有價值仍有待後續研究。 楊雅婷、易正明、林棋銘與陳進春(2006)在探討問題情境對國小六年 級男、女學童數學能力表現上之影響,依據九年一貫數學領域能力指標,選 取數與計算、量與實測、關係、圖形與空間、統計與機率五項數學能力,分 別編製「中性情境題目」、「男性情境題目」、「女性情境題目」共三種不同情 境題目進行施測。研究結果顯示:中性題目時,女學童表現較優秀的部份為 數與計算;男學童表現較優秀的部份為圖形與空間;而量與實測、關係及統 計與機率等三項能力,在雙向細目表中之理解層次、應用層次等較高之認知 層次,男學童的答對率普遍較女學童高;反之,在雙向細目表中之知識層次、 技能層次等較低之認知層次,女學童的答對率則普遍高於男學童。另選取之 五項數學能力中,不論數與計算、量與實測、關係、圖形與空間或統計與機 率,情境題目皆會影響男、女學童之解題表現。 2.數感教學研究

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劉曼麗與侯淑芬(2006)研究整數數感融入國小四年級數學科教學之研 究,以數感成分中的四個元素「了解整數的位值概念與比大小」、「了解運 算性質與運算對數的影響」、「分解或合成數以便於運算」和「使用參考值 以便於解題」融入國小四年級數學科教學有關整數教材的單元中。採準實驗 設計,在分別由該班導師進行數感教學與一般教學。並以自編的「數感能力 測驗」和「數學成就測驗」進行前後測學習成效的評量。研究結果顯示藉由 生活布題、估測估算活動、遊戲和數學日記等方式能幫助學生發展數感能 力。t-考驗結果顯示實驗組數感後測成績顯著高於前測,單因子共變數分析 結果也顯示實驗組的數感成績不但顯著高於對照組,在數學成就測驗上亦 是。雖數感融入在正規的數學課程中,實驗組的原課程部分雖因融入數感教 學而有所壓縮,卻並未因此影響學生數學學習之成效,甚至實驗組學生的表 現比對照組還好。教學中因教師刻意以接近整十的數來布題的情況下,學生 也因此較易察覺到以參考值解題的便利性,而逐漸擺脫紙筆計算,以參考值 解決估算問題。接受訪談的7名不同數感程度學生在教學後其數感均有不錯 的發展,尤其是在使用參考值解決心算和估算等問題上。 徐俊仁(2001)隨機選取一班六年級學童,親自實施數感的教學活動, 在教學前、後紙筆測驗部份,教學前學生的平均分數為9.3(32.07%), 經過數感教學活動後,學生的平均分數為5.2(52.41%),學生的作答表 現進步很多,其中更有部分在教學前紙筆測驗表現不佳的中、低程度學 生,在教學後有明顯的成長。若以組成數感紙筆測驗的元素來加以區分, 可以看出,在教學前學生在估算方面表現最差,顯示學生的估算技巧相當 缺乏,究其原因,可能是因為數學課程較少估算的教材,學生缺乏估算技 巧這方面能力的培養。雖然教學前、後,學生在各部分的成績,均有普遍 的成長,但以數字大小及估算兩方面的表現,成長較大。另外在教學後接 受訪談的六位學生中也發現,在教學前,接受訪談的學生普遍以算則及記

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憶公式為主要的思考方式;在教學後的訪談發現,使用算則的比例,已大 為降低。大部分的學生在思考比較數字大小的問題時,不再囿於將兩數通 分為唯一的解題方法,而能從數字本身的意義去考慮,來比較分數的大 小。對於估算的問題,則能以找出較明確的估計值,改變題型的估算技巧, 彈性地使用策略來解題。同時在教學後的訪談也發現,學生較能瞭解運算 對數字的影響,根據問題的要求,彈性地運用數感的元素來解題,而不再 使用算則為優先考量。此外,學生相當擅於使用參考點,對於無法直接運 用心算解題時,會先考慮數字本身的意義,尋找數字相對的參考點加以解 題,普遍的情形,相當令人訝異。 楊德清(2002)研究從AB兩校各選取1個六年級之班級進行數感過程導 向教學實驗之研究。數感紙筆測驗經由T-考驗結果顯示,兩校學生在教學後 之成績皆顯著地優於教學前之表現(p<0.01);同時保留測驗之成績亦顯著 地優於教學前之表現(p<0.01),但教學後與保留測驗不具顯著差異性。此 正顯示數感教學具良好之成效,且學生具良好的保留概念,代表此學習是理 解的,與有意義的學習。12位(每班各6位學生)接受訪談學生在教學前之 回答少有數感策略呈現,大都傾向於使用現行教材算則的方式解決問題或無 法解釋,由於解題之思考模式侷限於公式與計算法則,因此無法有意義的產 生結果。然而教學後除B校低程度學生外,學生之反應與解釋明顯地呈現了 使用數感策略的能力,如比較數字大小之能力,發展運用參考點之能力,或 估算之能力等。在此教學實驗下,學生數感能力之成長是明顯的。另研究結 果顯示接受訪談之A校小六學生(不論低、中、高)在教學後已發展運用數 感的策略。例如:教學後學生已經能夠彈性地運用參考點,如1或1 2以處理 問題,對分數的概念具有較深入的理解、能夠以意義化的方式比較分數之大 小,了解運算對數字之相對的影響,同時發展估算的策略以靈活地解決問 題。對B校學生而言,低、中、高程度學童表現各有不同。中、高程度學生

數據

圖                  次
表 3-5-2  估算試題資料分析之「構面一」試題細目表(續表)  構  面  主 題  題                  目  附    註  15.關於下列敘述,何者不合理?  (A)哥哥吃了 1 8 根甘蔗  (B)爸爸每天慢跑 1 1 5 公里  (C)奶奶種了 5 6 9 顆綠豆  (D)桶子裡堆了 3 4 公斤的垃圾  分數的多義性構 面 一 瞭 解 分 數 的 基 本  意  義  表 3-5-3  估算試題資料分析之「構面二」細目表  構  面  主 題  題
表 3-5-3  估算試題資料分析之「構面二」細目表(續表)  構  面  主 題  題                  目  附    註  11.比比看, 1 2 、 23 及 37 三個數,誰最大?  (A) 1 2   (B)  23   (C)  37   (D) 一樣大。  運用參考點 12 表 3-5-4  估算試題資料分析之「構面三」試題細目表  構  面  主 題  題                  目  附    註  3.媽媽炸年糕需要 4 9 包麵粉,做蛋糕需要 7 15 包麵
表 3-5-6  紙本試題資料分析之構面一試題細目表(續表)  構  面  主 題  題                    目  附    註  1-7.(   )一箱飲料有 24 瓶,大雄喝了 1 6 箱,小夫 喝了 1 8 箱,胖虎喝了 14 箱,下列敘述何 者正確? ○1  大雄喝了 18 瓶。   ○2  小夫喝了 8 瓶。  ○3  胖虎喝了 6 瓶。  ○4  一樣多,因為每人都喝 1 瓶。 部份/全體 單位分數  1-9.(   )在 39 315÷÷ 、 9 15 及 49 415××
+6

參考文獻

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