研究工具

本研究使用的工具為研究者自編「數學加減文字題紙筆測驗」以及「外部表 徵測驗試題」，其中包含三個分測驗：「圈圈圖表徵測驗」、「盒圖表徵測驗」，以 及「線段圖表徵測驗」。以下依據測驗目的、編製依據、測驗內容，預試及正式 施測後結果與檢討依序分述如下。

一、測驗目的

本研究欲探討二年級學童數概念能力、對各種表徵試題的表現，以及文字題 表現與表徵之間的相關性。研究工具為自編之「外部表徵測驗試題」，內容共有 三個測驗。

二、編製依據

本研究依據九年一貫能力指標，輔以學生所使用的康軒版二上數學教科書為 筆試測驗的編製依據，再參考國內外相關研究，將試題類型加以修訂，編製成一 份團體施測的外部圖形表徵與加減文字題解題測驗工具。

三、測驗內容

(一) 加減文字題紙筆測驗

本研究之加減文字題紙筆測驗試卷初稿完成後，邀請大學數學教育系所教授 與在國小低年級任教多年的教師，依據試卷初稿的試題類型與內容來檢核試卷是 否適合，並依專家的意見修改後成為正式的測驗工具。

文字題試題編製是研究參考國小數學加減文字題之相關研究(李秀玲、葉啟 村，2007；翁嘉英，1988)與圖形表徵之相關研究(Alison, C.Ｓ., Reality, S. C., &

Anne, M. M. ,2009)，參考文獻上的試題類型並修改。加減問題之分類，並非以 寫出之算式為「加」或「減」為標準，而是以情境之相似性為標準，學生學習以 理解情境中各量之關係為主；試題類型則選擇改變與合併類型的題目，因為此題 型對於學童是有困難的。Pauwels (1987)以二年級學童為對象，作加減文字題的 研究，共有 14 種加減法題型，其中有 11 種是減法相關題型，其研究結果顯示，

當改變、結合與比較問題的語意結構，與所求未知數的減提策略衝突時，兒童答 對率將會下降。其減法題型是指解題過程中會運用減法也算是一種減法問題，而 普遍造成難題的題型是：合併型-部分量未知、改變型-改變量未知、改變型-起 始量未知(正確率大致上介於 39~56%)。為配合本研究數概念知識，將之研擬成 加減文字題題型，以未知量性質區分，類型如下：(一)、改變類型：改變量未知 題加減法二題、起始量未知題加減法二題，共四題。(二)、合併類型：部份量未 知題加減法各一題，共兩題。以上兩類型共十八題，分成三次施測，一次測驗六 題。

(二) 三種外部表徵測驗試題

針對國小低年級不同的教科書版本整理出作為認知輔助工具的表徵與數學概 念關係的圖形。依據教育部頒布的國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域分 年細目 1-n-04 詮釋說明：能從合成、分解的活動中，理解加減法的意義，使用

＋、－、＝做橫式紀錄與直式紀錄，並解決生活中的問題。採用這三個表徵原因 是，除了教師在進行教學時，會鼓勵學生發展不同的解題策略或是圖示表徵，例 如畫圈或操作具體物、半具體物，而且這些解題策略以及表徵被用來幫助學生理 解「十的合成與分解」數概念，作為將來解加減問題的經驗。個別的表徵使用上 有其特定的使用規則與方式，藉此規則也助於教學者分析或暸解學生在表徵或數 概念方面的表現情形。

1.圈圈圖表徵測驗

以數概念「十的合成與分解」為題幹以十個「○」讓學生視為問題情境中具 體物表徵，在計數過程中，保留問題具體物的意義，用「○」模擬實物變化狀態，

用「○」為材料，依循具體物系統的運思法則(例如可被移動點數)，完成計算總 數的運思活動。如以下例題：

○○○○○○○○○○ 將 10 分成多少和多少，你有幾種分法？

請畫出你的分法。

1.( )數數看，上面共有幾顆圈圈？(1) 10 顆 (2) 9 顆 (3)我不知道。

2.( )題目要你做什麼？( 1 )把 10 個圓圈分成兩堆 ( 2 )把 10 個圓圈分成三堆。

2.盒圖表徵

被用來描繪整數概念之部分-部分-整體關係的盒圖，可假設學生合成與分解 的表現。以部分-全體概念與盒圖表徵的操作情形為例，設計檢測題目如下所示：

? ?

將 10 分成多少和多少，你有幾種分法？

請在框框內寫出或畫出你的分法。

1.( )題目要你做什麼？( 1 )把 10 分成多少和多少 ( 2 )把 10 分成三個部分 2.( )你發現格子有大有小嗎？( 1 ) 有 ( 2 ) 沒有。

3.( )你想怎麼寫出你的分法？( 1 )畫圖 ( 2 )寫數字 ( 3 )其他方法。

3.線段圖表徵

何謂線段圖？它是以直線段來表達數或量及其運算的方式。線段圖型式的表 徵容易彰顯問題中數量間的「部分-整體」關係，亦可以幫助學童成功解決數學 符號問題，因為加減互逆概念為合成、分解的逆溯，而線段圖裡很容易觀察到分 與合是屬於相反的概念，例如：5+3=8 的線段圖，倒過來看便可看到 8=5+3，甚 至不用翻轉，將線段圖由下往上看亦可，所以線段圖可將加減互逆概念表達的很 清楚，這即是該圖示的好處。因此設計檢測題目以探究學生作答表現，如下所示：

這是一條標有數字的線段，請你先數一數，這條線段 共有幾格？如果要將這條線段分成兩個部分，你有幾 種分法？請先回答下列三個題目：

1.數數看，這條標有 0~10 刻度的線段共有幾格？( )格。

2.( )題目要你把線段怎麼了？(1)分成兩個部分 (2)分成三個部分。

3.( )你會怎麼畫出分法？我會在線段上：

(1)圈一圈 (2)劃線隔開 (3)其他方法。

測驗分三次實施，使用時機與目的如下：每兩個星期進行一次施測，共三次。

每次施測內容分為兩部分：一為外部表徵試題，一為文字題。

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

檢測表徵使用情形之後，再檢測學生加減文字題的表現情形，然後將學生在 文字題測驗表現的成績分成高、低兩群組，藉以觀察分析此兩群組學生在表徵對 於「十的合成與分割」的數概念之知識表現。

四、評分標準

(一)「加減文字題紙筆測驗」每階段有 6 題，三次合計 18 題，每題三分採分段 給分，方式為：依題意列式得一分、使用正確的運算符號得一分、解出正確答案 得一分。三次總得分為 54 分。

在「外部表徵測驗試題」中能正確表徵一種數概念得一分，共有 6 種分法，

一項表徵測驗總得分為 6 分。

(二)認知工作分析

針對國小低年級不同的教科書版本整理出作為認知輔助工具的表徵與數學 概念關係的圖形。

Alison(2009)研究對轉譯模式提出假說：每一種知識類別是由多種知識成分 所組成，藉此以這種方式來理解。轉譯是一種瞭解數學概念是甚麼，將它呈現在 外部世界程式間的一個函數；也就是面對問題時，學生必須能夠表達並調和多種 概念與程式。因此我們想知道：當課程處理數概念「合成與分解」的概念，藉由 10 這個數字合理分割的表現，到底如何被解加減法文字題以及外部表徵類型的 知識所引導？

其次，研究者根據 Alison(2009)的三種外部表徵使用知識結構表，結合 ACT-R 理論與教科書版本採用的圖示表徵，與有多年任教低年級導師經歷的三位現職國 小教師以及相關學術領域的專家討論分析，表徵和數概念的知識組成，最後修正 編擬成適合本研究認知工作分析之知識架構表，如下表 3-3-1 所示。

由表 3-3-1 了解使用表徵所應掌握的使用規則以及對應的數概念知識結構。

資料來源：翻譯自” Translation between external representation systems in

mathematics: All-or-none or skill conglomerate?” by Alison, C.Ｓ., Reality, S. C., &

Anne, M. M. , 2009, The Journal of Mathematical Behavior, 28, 223-224.

五、預試 (一)專家審核

本測驗編製完成後，分別與多年任教低年級導師經歷的三位現職國小教師、

相關學術領域的專家討論，綜合歸納意見研擬修改題本。

(二)預試

本研究在 99 學年度下學期先進行預試。施測過程中，老師發下「加減文字 題紙筆測驗」和「外部表徵測驗」試卷。開始施測前，先將指導語念一次，待受 試者對於題意都了解後開始作答，測驗時間約 40 分鐘，完成後收回。

預試時，大多數學童皆能在時間內完成，因此本測驗正式施測時間訂為一節 課 40 分鐘。

六、正式施測

本研究在 100 學年度上學期期中階段評量後(約 11 月)開始，每隔兩週施測，

共實施三次。表徵測驗內容次序則依照學童學習過程接觸表徵之先後順序為依 憑，依序為圈圈圖、盒圖，與線段圖表徵試題。

測驗後，將受試者依據三次「加減文字題紙筆測驗」總得分作為本研究之樣 本分類基準，採取中位數分類，超過中位數歸類為高分組，中位數以下則歸類為 低分組；分成兩組以分析不同程度學童之測驗表現。