量化分析

本研究施測工具之文字題每題配分 3 分，每次施測 6 題，三次共 18 題，總 得分為 54 分。依據三次文字題總得分作為本研究之樣本分類基準，將樣本得分 採取中位數分類，分成兩組，超過中位數歸類為高分組，中位數以下則歸類為低 分組。

本研究施測人數共 27 人，超過中位數即 42 分以上者有 13 位學生，歸類為 高分組；未超過中位數 42 分者有 14 位，歸為低分組，將兩組之答題情形分述如 下：

一、高分組與低分組在三種表徵測驗的答題情形：

本研究探討數概念「十的分解與合成活動」有以下六種分法表示：「1-9」、

「2-8」、「3-7」、「4-6」、「5-5」、「0-10」。學生在三種表徵中，表示「十的合成與 分解活動」數概念之情形為何？分別以下段落作解釋：

(一)高分群組在三種表徵的答題情形：

圈圈圖表徵方面，有 6 位能完整寫出六種分法、6 位找出五種，1 位找出四 種分法。在找出五種分法的學生裡，其中的 4 位在「0-10」的分法表現無法循跡 判斷；剩下 2 位並無使用圈圈圖表徵出「0-10」的分法。找出四種分法的學生除 了「0-10」的分法表現無法循跡判斷，亦遺漏了「1-9」的分法。

圖像表徵方面：有 8 位中間以直線隔開，將圓圈分成兩堆；有 2 位將兩堆圓 圈分兩列呈現；1 位以加號符號區隔兩堆圓圈；1 位僅以空格做區隔；1 位將圓

圈分成兩堆，並畫框框將之框選區別開來。

對於線段圖的圖像表徵，有 9 位能明確的在刻度線上做切割；4 位雖在刻度 線上做切割，但在某些線段圖上出現兩條切割線，例如：在 3 和 7 刻度線上做切 割。有一位僅成功表示兩組分法，但其表現多元化：在刻度數字作記號，或是從 分割點作兩條弧線。得分方面，以線段圖表示數概念之總得分為 52 分，平均分 數為 4。

表 4-1-3 高分組線段圖表徵表現人數與得分統計表 高分組線段圖表徵表現人數與得分統計表

線段圖表徵分法-人數與得分統計

六種分法 五種分法 四種分法 三種分法

人數 1 4 2 6

得分 6 20 8 18

總得分 52

平均 4

(二)低分群組在三種表徵的答題情形：

圈圈圖表徵方面，有 1 位能完整寫出六種分法；10 位只找出五種，遺漏「0-10」

的分法；3 位沒有成功表示圈圈圖。

圖像表徵方面：有 9 位中間以直線隔開，將圓圈分成兩堆；有 1 位將兩堆圓 圈分兩列呈現；1 位以數學符號「+」區隔兩堆圓圈；1 位將圈圈寫成一列，沒有 以任何符號做區隔，也看不出任何分堆表現；1 位將圓圈分成兩堆，並畫框框將 之框選區別開來；1 位無任何圖像表徵，只呈現數學算式。

得分方面，以表徵呈現 1 種分法得 1 分，低分群組在圈圈圖表示數概念之總 得分為 56 分，平均分數為 4。

表 4-1-4 低分組圈圈圖表徵表現人數與得分統計表

功表示「1-9」的分法；有 2 位不會以線段圖做表徵。

線段圖的圖像表徵方面，有 11 位能明確的在刻度線上做切割；有 3 位不會 表示，其中 2 位圈選數字但沒有合成分解的意義，另一位則在每條線段前標上數 字順序，並無在線段圖上做切割，不是成功的表徵表現。

得分方面，以線段圖表示數概念之總得分為 55 分，平均分數為 3.93。

表 4-1-6 低分組線段圖表徵表現人數與得分統計表 低分組線段圖表徵表現人數與得分統計表

線段圖表徵分法-人數與得分統計

六種分法 五種分法 四種分法 三種分法 一種分法 不會表示

人數 3 5 2 1 1 2

得分 18 25 8 3 1 0

總得分 55 平均 3.93

將高低分組各表徵圖中的表現求以平均整理討論，如表 4-1-7 結果所示：在 圈圈圖測驗中，高分組平均得分為 5.38，低分組平均得分為 4；盒圖測驗中，高 分組平均得分為 5.69，低分組為 5.07；線段圖測驗中，高分組平均得分為 4，低 分組平均得分為 3.93。由此表可得知，高分組學生在三種外部表徵的成績表現皆 高於低分組學生的表現；然而，惟獨在線段圖外部表徵測驗中，平均分數僅略高 於低分組學生，且平均分數明顯低於其他兩種表徵表現。

表 4-1-7高低分兩組在各階段表徵測驗平均得分統計表 高低分兩組在各階段表徵測驗平均得分統計表

圈圈圖 盒圖 線段圖

表徵測驗平均得分 表徵測驗平均得分 表徵測驗平均得分

高分組 5.38 5.69 4

低分組 4 5.07 3.93

二、高、低分組在三種外部表徵系統相關知識架構之分析

根據表 3-3-1「三種外部表徵系統相關知識結構表」來分類，不符合表徵使 用的知識結構就代表使用表徵錯誤，不符合數概念的知識結構就代表數概念錯 誤。以此原則統計出各類人數，結果如下所示：

(一)高低分兩群組在圈圈圖外部表徵與表示分割數概念之呈現類型：

在圈圈圖表徵測驗中，學生需使用○圖形表徵來表達六種數概念「十的分解 與合成」的分法。

1.本測驗中，高分群組能正確使用○圖形表徵並表示六種數概念分法的有 6 位；

低分組則有 1 位，如圖 4-1-1 所示。

圖 4-1-1 完整表示圈圈圖表徵以及數概念事例 完整表示圈圈圖表徵以及數概念事例

2.表徵使用錯誤者、數概念正確，高分群組有 4 位，低分群組有 2 位。

皆能畫○表徵並且依其個人表徵分類規則呈現五種分法，但在「0-10」此分法中，

因無法依循其表徵使用規則做出明確判斷，故歸於失敗的表徵呈現。整理可得三 種錯誤類型，其表現如下圖表所示：

圖 4-1-2 表徵使用錯誤者、數概念正確類型 表徵使用錯誤者、數概念正確類型

類型一：分列法 類型二：縱線區隔法

類型三：取間隔區分法

3.正確使用表徵但數概念無完整表示者，在高分組中有 2 位；低分組則有 8 位，

都是遺漏「0-10」的分法。

4.表徵以及數概念呈現兩者皆錯的，高分組有 1 位、低分組有 3 位。高分群組在

「0-10」的分法表徵之表現不同於規則性，數概念方面遺漏了「1-9」的分法。

低分群組，有三種錯誤類型：其中 1 位只寫出數學符號表示數概念，然而遺漏

「0-10」的分法，無完整呈現(如類型一)；另 1 位雖然有使用○圖形並使用另外一 種符號區隔為兩堆，但其答題情形與題目「十的分解與合成」無關，無法判斷是 否有正確的數概念(如類型二)；1 位雖有使用畫○來進行分堆活動，但是無法看 出明確的區隔記號(如類型三)，依據認知工作分析其知識結構將之歸類於表徵錯 誤類型，且數概念也不完整。錯誤類型如圖 4-1-3 所示：

圖 4-1-3 兩群組在圈圈圖表徵與數概念兩者皆錯的錯誤類型 兩群組在圈圈圖表徵與數概念兩者皆錯的錯誤類型

低分群組錯誤類型一 低分群組錯誤類型二

(續下頁)

低分群組錯誤類型三 高分群組錯誤類型

(二)高低分兩群組在盒圖圖形表徵與呈現分割數概念之呈現類型：

在盒圖表徵測驗中，表徵的應用需在兩個小格子內填入兩個部份，假如下方 有大格子，則需將代表全體的數字填入，兩個小格子填入數量之和必定等於大格 子之數量。

1.高分組中能正確使用表徵與數概念的有 9 位；低分組有 8 位。正確類型如圖 4-1-4 所示。

圖 4-1-4 盒圖外部表徵及數概念正確表示類型 盒圖外部表徵及數概念正確表示類型

2.數概念正確但表徵使用錯誤者，高低分組都沒有此類情形。

3.正確使用表徵但數概念無完整表示者，在高分組中有 4 位，其中 3 位遺漏「0-10」

的分法，1 位遺漏「5-5」的分法；低分組則有 5 位，其中 4 位遺漏「0-10」的分 法，1 位雖然使用正確的盒圖表徵規則，然而並非作出正確的數概念「十的分解 與合成」的分法。例如：在兩個小格子填入 8 和 3，大格子填入兩數之合 11。類 型如圖 4-1-5 所示。

圖 4-1-5 盒圖外部表徵數概念不完整表示類型 盒圖外部表徵數概念不完整表示類型

4.表徵以及數概念呈現兩者皆錯的，僅低分組的 1 位，他將上方的兩個小格子視 為二位數位值中的十位與個位，兩個小格子視為一個數，大格子為接續的另一個 數，在小格子和大格子兩者之間作序詞數數，如圖 4-1-6 所示。

圖 4-1-6 盒圖錯誤表徵類型 盒圖錯誤表徵類型

(三)高低分兩組在線段圖圖形表徵與呈現分割數概念呈現類型：

在線段圖表徵測驗中，表徵的應用方面：需從線段圖上標示的一個數字將此 線段切分或區分為兩部分，兩部分的值合為 10，且兩切割線段之區別要精準明 確。

1.學生表現方面：高分群組能正確使用表徵與數概念的有 1 位；低分群組有 2 位。如圖 4-1-7 所示。

圖 4-1-7 線段圖表徵與數概念完整表示類型 線段圖表徵與數概念完整表示類型

2.數概念正確但表徵使用錯誤者，高分群組有 2 位，在表示「0-10」的分法中沒 有明確以符號區別出兩部分線段；低分群組有 5 位，其中 2 位是在數線上圈選數 字，因而無法精確判別出兩部分線段；1 位在同一條數線畫了兩條切割線，將之 分為三部分，故也不符合本表徵使用規則(如類型一)；2 位在表示「0-10」的分 法中沒有明確以符號區別出兩部分線段(如類型二)。如圖 4-1-8 所示。

圖 4-1-8 線段圖數概念正確、表徵使用錯誤類型 線段圖數概念正確、表徵使用錯誤類型

類型一 類型二

3.正確使用表徵但數概念無完整表示者，在高分組中有 4 位，這 4 位都出現「0-10」

的遺漏，其中 2 位除遺漏「0-10」之外，尚有「3-7」、「5-5」的漏失；在低分組 中有 4 位，皆遺漏「0-10」的分法。

4.表徵以及數概念呈現兩者皆錯的，高分組有 6 位，其中 5 位會在線段上取兩個 能合為十的數線刻度做出兩條切割線(如類型一)，1 位雖有將線段切割為兩部 分，但區別不精確，也無完整的數概念呈現。低分組有 3 位，其中 1 位僅在各線 段圖旁標示 1、2、3 等序詞，作答情形與題目無關；2 位數概念遺漏且「0-10」

表徵不正確(如類型二)。如圖 4-1-9 所示：

圖 4-1-9 線段圖兩者皆錯類型 線段圖兩者皆錯類型

類型一 類型二

三、文字題測驗與外部表徵測驗結果分析

測驗文字題主要目的在於比較、選定做研究的學生，在三種外部表徵測驗之 表現上是否有差異，藉以瞭解學生在文字題測驗表現是否與外部表徵的使用有 關，亦即學生數學的先備知識概念學得好，表徵的表現是否也學得好？

測驗文字題主要目的在於比較、選定做研究的學生，在三種外部表徵測驗之 表現上是否有差異，藉以瞭解學生在文字題測驗表現是否與外部表徵的使用有 關，亦即學生數學的先備知識概念學得好，表徵的表現是否也學得好？