表徵與數學學習之探究

第一節 表徵與數學學習之探究

學生面對數學問題，必須先瞭解問題的陳述，從工作記憶回憶相關問題的知 識架構，建構出問題的表徵模式。問題解決是數學領域最困難的一部分，而許多 學者研究發現解題的關鍵在於解題者對問題所形成的表徵。一個良好的表徵扮演 著兩種角色：思考與溝通的媒介、除此之外更是解題的工具。教授數學或是教科 書皆使用各種表徵系統來輔助學習，希冀學生能理解各種數學問題；重要的是必 須熟悉各種表徵系統的轉譯，並使用各種表徵系統進行運思與溝通，可見表徵轉 譯能力與數學學習過程有密不可分的關係。本節將說明表徵意義、類型與功能，

以及表徵轉譯的重要性。

一、表徵的意義

認知心理學說，表徵是指一種將外在現實環境的事物以較為抽象或符號化的 形式來代表的歷程；從訊息處理觀點來看，表徵指的是訊息處理過程中，將訊息 譯碼而轉換成另一種形式，以便儲存或表達的歷程(張春興，1989)。

Ｍayer 的解題理論中，表徵的功用亦是從認知觀點出發。數學解題歷程中，

數學表徵除了是內部數學思考歷程亦是外在數學形式的展現。學生須將內部思考 過程轉化為外在解題的表徵，也就是進行表徵的轉譯活動，以作為溝通數學想法 的工具。

Lesh 等人(1987)以溝通及問題解決的角度，指出「表徵」是指心智過程模 式化所使用的符號系統，如圖形、符號、語言文字、具體操作物，也就是學童內

心的概念轉為看得見的外在表現。

蔣治邦(1994)以數學的角度，認為表徵是用物理或心理形式，將一種事物或 想法，重新表現出來，以達成溝通的目的。

Ohlsson (1984, 1992)將完形學派的某些想法加入訊息處理的方法中。他的表 徵改變理論的核心在於：連結兩種理論方法，明定引導至頓悟，因而得到問題答 案之過程。其理論處理的是「問題如何解決」──此議題在問題解答者的心中表 達及建構的方式。若表徵被視為對長期知識的一個記憶探測(即是提取儲存在長 期記憶中跟問題相關的知識)，則合理的表徵表示被活化的知識對問題的解答是 有幫助的，而不合理的表徵則是沒有幫助的。因此，問題解決者必須努力地將不 合理的表徵轉為合理的表徵。所以，轉變表徵的方式有：對目前的表徵擬定或增 加新的跟問題相關的資訊、放寬限制條件來展開或者重新編碼新的看法，此方式 會重新解釋手上的問題。由於重新解釋的結果，新的長期知識就會被活化，因此 就有一些操作可被支援來達成目標。

綜合上述，許多學者認為表徵是一種將內在思想或是心智過程以物理或心理 的方式重新轉譯(張春興，1989；蔣治邦，1994；Lesh，1987；Ｍayer，1985；

Ohlsson，1992)。解題者對問題做出表徵，是對問題詮釋所建構的一個認知結構，

必須將問題的各種相關訊息統整在一起，當學生能使用適當的數學表徵傳達概 念，找出問題解決的途徑，只要能找出合適的表徵，新的長期知識就會重新內化 成為解題工具。所以，應鼓勵學生採用一些輔助的表徵工具，好比作圖或線段圖 等方式來幫助問題的表徵；學生能使用適當的數學表徵傳達所要表達的概念時，

亦可算是擁有擴充數學思維的技能了。

二、類型與功能

表徵的功能，並非僅止與他人溝通，也是自我溝通的工具，它是記錄個人數 學活動經驗的工具，以便於事後的反省；在解題過程中，亦可以作為前後步驟活

動間的溝通聯繫工具。

表徵與解題能力，有其不可分離的關係。如果說每個步驟都涉及一個運思活 動，而每個運思活動都必須存在被運思的材料，前一步驟運思的結果，必須用某 一種形式表達出來，才能成為下一個階段的材料，繼續進行活動，由於表徵是運 思的材料，其形式自然會影響下一個運思活動，進而影響到整個解題方式，或解 題速度(引自蔣治邦，1994)。

(一)從運思歷程的觀點

從個人運思的觀點，Bruner(1966)將表徵區分為動作表徵(enactive representation)、圖像表徵(iconic representation)及符號表徵(symbolic

representation)三種。動作表徵，即面對刺激時，我們以所學得的習慣動作做出 反應，當物體不再被操作後，物件意義則不存在，例如：在數學學習過程中，手 指點數或使用外在物件(實物、花片、積木...等實體物教具)這般可以實際外 顯操弄以掌握概念或事物。圖像表徵指的是用心像掌握概念，亦即是可在腦中形 成對圖像進行計數活動。符號表徵指的是受外在實物抽象的影響，代表實物或心 像的某種抽象性質，如在腦中形成數字元號的對應關係(轉引自劉秋木，1996)。

Bruner(1966)認為智慧的成長是運思活動逐漸地不依賴外在的刺激。圖像及 符號表徵都是心智活動的產物，可以留在記憶中，或重新自行建構出來，而不失 外在刺激原本的意義，它可以使人類的運思活動不再受外在刺激呈現的時空限 制，然而這些較為抽象的表徵是在學習經驗中發展出來的，先獲得圖像或符號表 徵的意義，當其意義穩固之後，才可進一步地使用圖像或符號表徵為材料，進行 運思活動(蔣治邦，1994)。

從認知互動的觀點來看，Kaput(1987)將表徵分為：1.認知及感知表徵 (cognitive and perceptual representation)：指個體內在對於知識與訊息

的 表 徵 ， 亦 即 為 個 體 在 腦 海 中 將 訊 息 及 知 識 轉 換 的 形 式 。 2.解 釋 表 徵 (explanatory representation)：指自然語言或心像與其他數學符號間的聯結，用以 描述心理結構的模式，亦即為心理學家所建構的一種假設性實體，用以說明個體

的內在表徵。3.數學內部表徵(representation within mathematics )：指不同數學結 構之間的關聯，亦即以數學的某一結構來呈現另一種結構的特性。4.外在符號表 徵(external symbolic representation)：指以外在符號物體來表徵數學概念的系統，

是用來表示抽象的數學概念的物質型式。以上分類，前三種屬於心智活動的產 物，即內在表徵(internal representations)；後者屬於外在表徵(external

representations)。所謂「內在表徵」是指在解題歷程中，解題者對於語文的解釋 與內在心像所扮演的解題角色；「外在表徵」是指解題者利用外在的數學符號、

圖形、數表、物體等，做為輔助或說明解題的工具(杜佳真，1999)。故，學習者 數學知識的內在表徵會受到外在表徵的影響；相對而言，外在表徵的型式也會反 映出學習者數學知識的內在表徵(蔡志仁，1999；謝孟珊，2000)。

Schnotz et al.(2010)提出表徵的兩種基本形式：描述與描繪。描述藉由符號的 輔助來表示一個對象，比如說透過語言的描述一個物件，或是透過數學符號來描 述牛頓第二定理 F=ma。描述性的表徵由符號組成，與它們要表達的對象並沒有 類似性；相反的，描繪是一種空間上的配置，想要表達的對象有結構上的類似性，

比如，照片、畫圖、地圖等。描繪由圖示來組成，這些圖示藉由類似或結構上的 相似性來表達他的對象，描繪並不會敘述，而是顯示出一個物體的特性。

描述與描繪針對不同的目的有不同的用法，描述表徵較一般化與抽象化，而 描繪較具體化與特定化，描述在表達能力上則比描繪較強大，在表達抽象的知識 時描述的能力比描繪更強。描繪比描述能表達較完整的資訊，比如，畫圖時，我 們不只要畫形狀，還有大小及方向。描述只能確認對象的形狀，無法指明大小或 方向。當使用在推論時描繪則較有用，由於可以直接從表徵讀出訊息，因此描繪 在計算上是較有效率的。

描述的表徵對於以下方面特別有用：以較抽象的方式來描述物件及情節的特 性、事件的解釋及預測、引導個人的注意及認知過程。描繪的表徵對於以下方面 特別有用：物件的外觀、情節與事件的理解、推理討論及問題解決。心智描繪表 徵的建構及處理，稱為心智模式，是條件式演譯及類別推理的核心。

認知心理學家將理解視為建構內部心智表徵的過程，假如理解視為溝通的一 部分，他是依據某人所寫或畫的記號(文字或圖像)。理解就是一個建立在某人所 產生的外部表徵為基礎來建構內部表徵的過程，上述所提有關描繪及描述表徵的 差異也同時應用到內部心智表徵的建構。文字表面結構的心智表徵和文字語意內 容的命題表徵都是描述性表徵，它們都使用符號來描述主題。相對上，視覺的影 像及心智模式都是描繪的表徵，他們的內在結構都可以對應到所要表達主題的結 構。

Schnotz and Bannert(2003)為了描述與描繪內外在表徵的差異，提出了文字與 圖畫理解的整合模式。此模式如圖 2-1-1 所示：

圖 2-1-1 文字與圖像綜合理解之整合模式 文字與圖像綜合理解之整合模式

描述 (Descriptions) 描繪 (Depictions)

資 料 來 源 ： 翻 譯 自“Construction and interference in learning from multiple representations,” by Schnotz, W., & Bannert, M. ,2003, Learning and

Instruction, 13, 141–156.

描述的分支包含了外部的文字、文字表面結構的心智表徵、以及語意內容的 內在命題表徵，這些表徵則依據符號處理來彼此互動。描繪的分支包含了外部的 圖畫及圖示、內部圖形的知覺或圖形顯視的影像，以及所描繪主題的內部心智模

命題表徵 心智模式

模式建構 模式檢核

文字表徵 視覺表徵、圖像

符號處理

文字-圖像對應 圖像-文字對應

結構對應

文字 圖像

式，這些表徵則依據結構對應來彼此互動。

當一個人理解一段文字時，此模式假設他建構三種心智表徵：

1. 他形成文字表面意義的心智表徵，此時他尚未理解文字的意義，但他可 以讀取文字。

2. 根據他讀取的文字，此時他建構命題表徵，此表徵會擷取文字的語意。

3. 最後，他會建構文字內容的心智模式，此模式是一種類物件，用來類比

3. 最後，他會建構文字內容的心智模式，此模式是一種類物件，用來類比