第二章 文獻探討
第二節 表徵與整數加減學習
表徵系統乃是個人在社會文化影響之下逐步發展而得的思考工具，其一方面 是個人建構的成果，是內在的；另一方面也是社會文化的產物，是外在於個人的 實體，並具有社會約定成俗的意義。因而當學生學習數學之時必須獲得表徵約定 成俗的意義，並使該表徵成為溝通的工具，進而能使用該表徵進行問題的解決。
以此觀點而言，學校進行數學教育的目標之一便在於引導學生去建構或內化社會 共通的數學符號系統，以使能進行數學思考，進行數學溝通(遊自達，1995)。
一、表徵與數學學習
表徵是數學學習的重要媒介。學生若能根據問題情境，運用適當的數學表 徵，例如圖像、實物、抽象符號等形式來協助自我與他人溝通，藉由多種表徵表 達同一個數學概念，且在單獨的表徵系統之內以及各個表徵系統之間可以靈活的 轉譯，才能證明學生具有穩固的概念理解(Dreyfus & Eisinberg，1996)。
許多研究表示，圖形表徵解題策略對國小學童數學解題有幫助。然而，為 何使用圖形表徵來解題是有好處的？ 認知研究已經提出了相當多的論述以及實 驗來驗證這樣的優點。比如 Larkin 與 Simon(1987)提出：以圖形表徵的方式來
解決問題優於使用語詞表徵的三個理由：1.將相關的資訊區域群組化來降低問題 解決的搜尋，也就是說當我們在解決問題時，我們會從頭腦中搜尋相關的資訊，
而圖形表徵會使得我們較容易將相關資訊聚集起來，搜尋與問題相關的知識會較 快。2.圖形表徵相較於符號表徵而言，在比對上較容易，由於圖形表徵較符號表 徵具體，在比對相關知識時較容易。3.圖形表徵可以輔助知覺的推理，而這種推 理的方式要比符號表徵的推理容易。
在數學學習中，若能提供學生不同的表徵與表徵譯活動，引導其將問題情境 轉譯成多種表徵形式，有助於學生思考與問題分析的呈現，幫助學生不僅以一種 有意義的方式來學習數學。透過文字表徵轉譯為圖像表徵的活動，運用合宜的圖 像表徵來呈現問題中隱含的數量關係，能夠增進學生理解文字問題的題意並減少 解題歷程的錯誤(方美珍，2007；林文彥，2006；羅秋霞，2006)。理想的數學學 習需引導學習者在同一個物件上運用數個表徵，並且對該概念有清晰的多重表 徵。Noss and Hoyles(1996)提出僅就單一表徵的學習並不適當，因為在解題時，
不同表徵的角色結構相互牽連，單一表徵在解題時必須要能切換到其他的表徵 上。學生面對一個問題情境若能形成多種表徵，並形成表徵間的連結，將有助於 對問題的理解和解題能力。可見，表徵對於數學學習之重要性。
表徵與數學學習關係密切的另一個因素，便是表徵具有另一種重要的性質─
─「多義性」。所謂表徵的「多義性」是指相同的數學概念或知識，是可以使用 多種不同的形式來加以表徵的；換言之，原有的數學概念並不會隨著外在表徵型 式的變化而有所改變或差異(蔣治邦，1994；Kaput,1987)。因此，同一個數學概 念可有不同形式的外在表徵，數學概念的存在並不受外在符號表徵的影響。例 如：「3」、「三」、或「○○○」雖是不同的表徵形式，卻是同一種數學概念(遊 自達，1995)。
因表徵代表著多重的意義，所以學生在學習數學的過程中，不但需要瞭解 各種符號所代表的表徵意義，也必須能夠運用不同形式的表徵來進行溝通與運 思，如此方能進行有效的解題(林美惠，1997)。Lesh, Post, Behr(1987)認為：要想
瞭解學生對某數學概念意義的理解程度，最好的方法便是觀察學生是否能夠在不 同的表徵形式之間進行自由轉譯；倘若學生能夠使用多種不同形式的表徵來代表 某一特定的數學概念，或是能在不同形式的表徵之間進行自由轉換，則代表學生 已經充分的「理解」、「掌握」此一數概念所代表的意義了。
數學的概念理解包含兩個面向，除了能夠以一套符號或系統來表徵數學概 念，另一個則是能以多重表徵來呈現一個概念，且能在不同表徵系統間進行轉譯 活動(Davis, 1984)。學生學習數學概念過程中，進行表徵轉譯的過程產生的內心 建構有助於未來學習並且能應用在其他表徵系統，當學生數學概念持續進化，其 表徵系統網絡則會越來越複雜，對於表徵轉譯的能力愈能彈性掌握，其對於概念 學習則是愈成功(Behr, Lesh & Post,1987)。表徵轉譯過程除了產生內心建構且有 助於日後的數學學習之外，Izsak(2000)則提出透過表徵轉譯的過程學生可以反思 自己解題的過程，且表徵能處理問題情境與數學概念間連結的困難。總的來看，
在數學概念學習時，可以透過表徵轉譯活動來幫助學生思考、理解題意、建立不 同表徵系統間的連結、亦能理解題意與記錄題目。因此，表徵轉譯活動對促進學 生的概念學習來有相當大的助益。
根據 Bruner 的研究，認知表徵是隨著年齡發展的，認為智慧的成長是指運 思活動從具體的實務操作逐漸轉換成抽象符號來認知，當不再依賴外在刺激運用 抽象符號之前，學生仍應從具體的學習活動中瞭解抽象符號表徵的意義，才能運 用符號進行運思，這種有意義的歷程對學習運用抽象表徵非常重要(蔣治邦，
2001b；黃幸美，2003)。
Heddens(1984)則以表徵觀點出發，將學生學習分為四個連續階段：
1. 具體表徵階段：運用生活中真實存在的物體，如蘋果、彈珠……等；
2. 半具體表徵階段：利用圖片或照片來代表實際物品；
3. 半抽象階段：利用上同於實體物的符號或圖形來代表實際物品，如畫三個○
代表三隻貓；
4. 抽象階段：運用符號表徵，如：2+5=7。
Heddens 認為學習者必須在具體階段，將新的知識加以內化，並有系統地沿 著四個學習階段，將新學知識附予抽象化的表徵，學習者才得以在真實世界與抽 象世界建立好連結。
Witzel 則指出美國許多州的數學標準規定數學學習需要讓學生透過操作來經 驗數學，以便建立數學的問題解決與高層次的思考。此外，學生也可以將操作具 體物過程和使用的畫圖表徵兩者來進行連結。未來，當學生面臨到困難的數學問 題時，可藉由具體物操作與圖像表徵間的連結，而將操作具體物的過程畫下來解 決問題，逐漸將其運用表徵能力抽象化。因此，教科書呈現的表徵形式與安排之 表徵轉譯活動須依各學習階段而有所不同，才得以逐漸幫助學生建立運用抽象畫 表徵的運思能力。
低年級學童常透過付諸行動(act out)的表徵轉譯活動呈現文字表徵的情境，
具體呈現出問題中抽象數量間的關係(Carpenter & Moser，1982)。但當問題數字 範圍逐漸增大時，具體操作問題情境的策略，會產生許多運算上的不便。故此，
學生必須形成新的策略，才得以因應與簡化大數量的需求與困難(蔣治邦，
2001c)。
所以，為何教科書中提供不同表徵形式來輔助學習？為何教學者必須讓學生 經由表徵轉譯活動過程中，反思抽象化的活動？皆是希冀藉由教學過程中，教學 者傳達學習者約定俗成的表徵概念，同時也讓學習者瞭解內容或對數學產生論 證，得以透過適當表徵與他人進行溝通，進而促進思考。
二、表徵與整數加減學習
表徵在整數加減學習方面，有以下幾種功能：具體呈現整數加減學習之抽象 概念並促進對整數加減內容意義的瞭解，分述如下：
兒童在未入小學前，即已能利用計算策略來解決簡單的加減問題(蔣治邦，
2001)。具體物加減計算發生於日常生活中，兒童透過生活中的實際物品計數來
熟悉計數經驗，得以學得簡易的加減計算技能。然而入小學後，兒童開始接觸正 規運算過程與公式的教學。對兒童而言，這是一些脫離情境的符號學習，較難理 解與運用。因而，低年級教科書中呈現文字表徵轉譯為生活中常見之實際物品(具 體物圖片)的活動，利用生活中實際存在的物品作為表徵，將問題中的訊息視覺 化，讓具體物圖片形成一個具體的刺激，並讓學生從活動中，核對問題中的訊息 與具體物圖片是否一致，進而思考及檢視對問題的理解是否與題意一致，逐漸引 導學生理解加減運算格式的意義，以協助兒童使用正確的解題策略(戴妏純，
2008)。而教科書安排文字表徵轉譯為半抽象符號「○」的活動，讓學生將「○」
視為問題情境中具體物表徵，在計數過程中，保留問題具體物的意義，用「○」
模擬實物變化狀態，用「○」為材料，依循具體物系統的運思法則(例如可被移 動點數)，完成計算總數的運思活動，唯有在運思過程中，不喪失具體物所表徵 的實物意義，才能使用具體物的運思，來解決實物的問題(蔣治邦，2000a)。甯 自 強 (1993)提 出 兒 童 能 夠 透 過 把 關 係 放 在 物 中 ， 利 用 物 的 建 構 與 解 構 (deconstruction)把內涵的關係藉由具體物操作的過程表徵出來，從而解決涉及關 係問題，他們可以透過物的構成成分來聯絡關係，兒童會利用活動將未知量表現 成已知量，其次進行已知量的確定數值工作。
在低年級階段，學童多半進行動作或圖像的運思活動，在動作運思活動中，
運思材料是實物、具體物、或圖畫，這些材料都可進行外顯的點數行動；在圖像 運思中，運思的材料是實物、具體物、或圖畫的心像，而進行內在的點數活動。
在基本加減運算範圍中，學童可能發展出符號運思，例如在合成情境下，只想到 2 和 3 兩個符號，即聯想到 5，但由於此種聯想是由許多 2 加 3 得到 5 的活動經
在基本加減運算範圍中，學童可能發展出符號運思，例如在合成情境下，只想到 2 和 3 兩個符號，即聯想到 5，但由於此種聯想是由許多 2 加 3 得到 5 的活動經