第四章、 實驗結果與討論
第三節 綜合討論
本節針對前面兩節的內容，將一些結果做綜合討論，討論重點共分為二個 部分，分別為：高低分群組在三種表徵測驗的得分表現、依據認知工作分析分別 探討兩群組的表徵與數概念知識架構關係。
一、高低分群組受試者在三種表徵測驗的得分與作答表現：
(一)三種表徵測驗之得分表現
由表 4-3-1，高分群組受試者表徵六種分法有 6 位、五種分法有 6 位，四種 分法則有 1 位，總得分為 70 分，平均數為 5.38 分；低分群組受試者表徵六種分 法有 1 位、五種分法有 10 位，表徵失敗則有 3 位，總得分為 56 分，平均數為 4 分。高分群組在圈圈圖表徵完整表徵人數多於低分群組，且低分群組也出現不會 使用表徵答題的情況。
表 4-3-1 高低分群組在圈圈圖表徵表現之人數與得分統計表 高低分群組在圈圈圖表徵表現之人數與得分統計表
高分群組 低分群組
六種分法 五種分法 四種分法 六種分法 五種分法 不會表示
人數 6 6 1 1 10 3
得分 36 30 4 6 50 0
總分 70 56
平均 5.38 4
由表 4-3-2，高分群組受試者表徵六種分法有 9 位、五種分法有 4 位，總得 分為 74 分，平均數為 5.69 分；低分群組受試者表徵六種分法有 10 位、五種分 法有 2 位、一種分法有 1 位，表徵失敗則有 1 位，總得分為 71 分，平均數為 5.01 分。高分群組在盒圖表徵完整表徵人數少於低分群組，然低分群組仍有 1 位不會 使用表徵答題的情況。
表 4-3-2 高低分群組在盒圖表徵表現之人數與得分統計表
數明顯低於其他兩種表徵表現。蔣治邦(1994)認為表徵與解題能力，有其不可分 離的關係。由於表徵是運思的材料，其形式自然會影響下一個運思活動，進而影 響到整個解題方式，或解題速度。此階段學生被要求以線段(長度量)來表示情境 中的數量，並透過線段的空間關係(視覺線索)來表現各數量間的關係，代表長度 合成與分解的學習活動學生尚未精熟。
(二)三種表徵測驗與數概念之作答表現
根據表 3-3-1「三種外部表徵系統相關知識結構表」來進行作答表現之分類，
統計出各類人數，結果如表 4-3-4 所列。
高分組受試者在圈圈圖測驗當中表徵概念與數概念知識全對的有 6 位，高於 低分群組的 1 位。表徵使用錯誤有 4 位，低分組有 2 位，皆是表徵「0-10」失敗。
數概念表徵錯誤有 2 位，低分組有 8 位，皆是遺漏「0-10」分法。兩者皆錯分別 為高分組的 1 位，因圖形表徵「0-10」失敗且遺漏「1-9」分法；低分組錯誤類 型有三：無圖形表徵，且數概念不完整、使用圖形表徵但答題內容與題目無關、
有使用圖形表徵但看不出分堆情形以及「0-10」分法的遺漏。
盒圖表徵測驗當中高分群組表徵概念與數概念知識全對的有 9 位，低分群組 有 8 位，且兩組別皆無使用錯誤表徵。表徵正確但數概念錯誤高分組有 4 位，其 中 3 位遺漏「0-10」分法，1 位遺漏「5-5」分法；低分組則有 5 位，其中 4 位遺 漏「0-10」分法，1 位雖然使用正確的盒圖表徵規則，然而並非作出正確的數概 念「十的分解與合成」二個子部分合為 10 的活動。兩者皆錯只有低分組的 1 位，
將兩個小方格視為二位數的個位與十位位值，在小方格與大方格作序詞數數。
相較於前兩項測驗，在線段圖測驗中兩群組表現都不佳，但低分組在使用表 徵與數概念正確的人數略高於高分組。數概念正確但表徵使用錯誤者，高分群組 有 2 位，在表示「0-10」分法中沒有明確以符號區別出兩部分線段；低分群組有 5 位，其中 2 位是在數線上圈選數字；1 位在同一條數線畫了兩條切割線，將之 分為三部分；2 位在表示「0-10」分法中沒有明確以符號區別出兩部分線段。正
確使用表徵但數概念無完整表示者，在高分組中有 4 位，這 4 位都出現「0-10」
2.相關性分析
使用Pearson積差相關檢定將資料作相關性分析，測量兩個數值變數間的線 性關係。結果得到：學生在加減文字題測驗得分表現與三種表徵測驗得分之間皆 達顯著差異。
3.小結：
由簡單描述統計分析結果觀察，相同的問題使用不同的表徵系統，而不同的 表徵系統也將會影響到學生的表現程度。
從相關性分析探討，當兩變數有相關存在，並不代表兩者一定存在因果關 係，但是當相關程度高的時候，彼此的預測能力也高。雖然加減文字題之得分表 現與外部表徵測驗不一定存在因果關係，但是我們卻能藉由兩者之ㄧ的得分表現 去預測評估學生在解題或表徵方面的得分表現。
二、根據認知結構分析表徵的使用，有哪些策略或步驟?
根據表 3-3-1 分析三種外部表徵系統相關之知識架構，歸納本研究受試者在 三種表徵使用上之表現：
(一)圈圈圖表徵測驗：
在解答圈圈圖表徵的策略，也就是將十個圈圈分成兩堆的活動，高分群組有 六種解題策略類型：1.使用橫線區隔；2.分成兩列；3.畫縱線隔開；4.使用數學 符號的「+」號；5.畫一長條圖將圈圈分成兩部分；6.畫出兩個方框填入圈圈並 加註數字。
低分群組有六種解題策略類型：1.使用橫線區隔；2.分成兩列；3.畫縱線隔 開並附註數字解說；4.使用頓號區隔；5.使用數學符號的「+」號；6.畫一長條圖 將圈圈分成兩部分。
上述六種類型中，高低分群組共同於「分成兩列」策略進行「0-10」分法，
此種呈現方式易造成無法明確辨識「0」的表徵。
(二)盒圖表徵測驗：
高分群組在盒圖表徵測驗當中，表徵的使用皆無問題；低分群組大致上對於 該表徵的使用沒有錯誤情形；只有 1 位受試者於兩個小方格填入數量並不等於大 方格之數量，且兩個小方格數量(部分)不是大方格數量(整體)的子部分，故為錯 誤的表徵類型。
(三)線段圖表徵測驗
使用線段圖來表徵數概念「十的合成與分解」對於本研究之學生而言是初次 的答題經驗，故在解題過程與作答情形做較為深入的探討：
1.編碼 A 的解題策略：
在解答線段圖表徵的策略，也就是從線段圖上標示的一個數字將此線段切分 或區分為兩部分的活動，高分群組有四種解題策略類型：
(1)在切割的基準刻度線上劃粗線；
(2)先從基準刻度線劃一分割線，以兩條弧線劃分兩部分；
(3)圈選基準刻度線，劃兩條弧線區分兩部分；
(4)在基準刻度數字上作記號，並畫兩條弧線區分兩部分。
低分群組有三種解題策略類型：
(1)在切割的刻度線上劃粗線；
(2)先從基準刻度線劃一分割線，以兩條弧線劃分兩部分；
(3)圈選刻度線數字並以兩條弧線劃分兩部分。
基本上，兩群組在解題策略上大致相同。
2.編碼 B 的答題情形：
高分群組學生若能成功將線段一分為二，其「兩線段的值合為 10」的表徵 知識表現也能成功；只有 1 位能將兩線段合 10 的結果，也就是六種分法成功全
部表徵出來；其餘受試者在個人的答題表現中，雖沒有完整表示所有分法，但其 作答出來的分法都符合正確表徵，因此只能判斷他們在使用線段圖表達數概念
「全體─部分概念」不完整。但是，在錯誤表徵類型，有以下幾種：
(1)找能合為十的兩個刻度數字作切割線，例如：在 3 和 7 刻度分別作兩條切 割線。
(2)任意找兩個刻度線，也就是非十的子部分，作分割線。例如：在 6 和 8 刻 度分別作兩條切割線。然而此作法把一條線段切分成三部分違反編碼Ｂ兩線段原 則。
(3)圈選刻度數字，這會造成數的表徵重點只代表一個數字點，而看不出兩線 段的值。
低分群組學生在編碼Ｂ的表現，其作答方式：有 2 位能將兩線段合 10 的結 果，也就是六種分法成功全部表徵出來；其餘受試者在個人的答題表現中，雖未 完整表示所有分法，但其作答出來的分法都能符合正確表徵，因此，只能判斷他 們在使用線段圖表達數概念的「全體─部分」概念不完整。在錯誤表徵類型，有 以下幾種：
(1)任意找兩個刻度線，也就是非十的子部分，作分割線。例如：在 6 和 9 刻 度分別作兩條切割線。然而此作法把一條線段總共切成三部分並不符合編碼Ｂ兩 線段原則。
(2)圈選刻度數字，這會造成數的表徵重點只代表一個數字點，而看不出兩線 段的值。
線段圖是長度概念，高分群組學生會將線上的刻度當成一個量，而忽略每個 間隔代表 1，出現圈選兩個刻度數字能合為 10 的解題表徵。低分群組沒有此類 錯誤，可能與他們使用積木輔助解題有關；在嘗試解題時，發現一個小白積木剛 好等於一個間隔，前兩次表徵測驗有操作小白積木分堆的經驗，所以沒有出現這 類錯誤表徵類型。
3.編碼 D 的答題情形：
高分群組學生在編碼 D：兩部分線段區別要精準明確，其表徵呈現的方式有 以下 2 種：
(1)類型一：從刻度線作切割，再畫出兩條弧線將線段區別；
(2)類型二：只在刻度線作切割。
低分群組學生表徵呈現的方式有以下 3 種：
(1)類型一：從刻度線作切割，再畫出兩條弧線將線段區別；
(2)類型二：只在刻度線作切割。
(3)類型三：圈出切割點的刻度數字再畫出兩條弧線區別。
高分群組受試者表徵「0-10」分法將線段空白表示，未在 0 或 10 的刻度上 作切割記號，無法循跡明確判別其表現，故歸類於表徵編碼 D 失敗。低分群組 則主要錯誤類型為圈出切割點的刻度數字。
(四)小結
本研究之表徵測驗如 Schnotz et al.(2010)提出兩種表徵形式之描繪，測驗內 容由圖示來組成，這些圖示藉由類似或結構上的相似性來表達數概念。在推論時 可以直接從表徵讀出訊息，因此，此模式用來研究從外部表徵來建構內部表徵的 過程。知識的外部化可以用來溝通，例如教學者會藉由畫圖來輔助講解題意，個 人可以將產生的外部表徵視為認知工具來輔助問題解決，將運思及問題解決過程 中所需的認知需求卸載到情境當中。
本研究之表徵測驗如 Schnotz et al.(2010)提出兩種表徵形式之描繪，測驗內 容由圖示來組成，這些圖示藉由類似或結構上的相似性來表達數概念。在推論時 可以直接從表徵讀出訊息，因此，此模式用來研究從外部表徵來建構內部表徵的 過程。知識的外部化可以用來溝通，例如教學者會藉由畫圖來輔助講解題意，個 人可以將產生的外部表徵視為認知工具來輔助問題解決，將運思及問題解決過程 中所需的認知需求卸載到情境當中。