本章旨在闡述本研究相關之動機、目的、名詞釋意、研究範圍與限制，分為 四節：第一節為研究動機；第二節為研究目的；第三節為研究設計與實施；第四 節為名詞解釋；第五節為研究範圍與限制。
第一節 研究動機
「數學」這門科目是被公認為科學、技術及思想發展的基石，數學結構之美 除了體現在科學理論的內在結構中，各文明的建築、工藝技術、千古流傳的藝術 作品更是處處留跡。數學，也是一種語言、一種共通的母語，精鍊的數學語句是 人類理性對話最精確的語言。日常生活或是職場生涯裡，數學知識與能力更是不 可或缺。在在顯示，數學舉足輕重的地位。因此，九年一貫課程綱要中指出數學 能力是國民素質的一個重要指標，也是基礎科學的工具；國民教育數學課程的目 標，希冀培養學生正向的數學態度，數學的教學應配合學童不同階段的需求，協 助數學智慧的發展，最後讓數學作為往後更高一層研究的基礎。
國家教育政策強調學生有權利受到良好的數學訓練，並充分認識重要的數學 概念及提升厚實數學能力，讓學生習得「帶著走」的能力。學生能力的發展始於 流利的基礎運算和推演，對數學概念的理解，之後懂得利用推論去解決數學問 題，包括理解和解決日常問題，以及在不熟悉解答方式時，懂得自尋解決問題的 途徑(教育部，2008)。
學生面對數學問題，必須先暸解問題，數學的敘述是一種抽象形式的語言，
開始解題時除了回憶相關問題的知識架構，建構出問題的表徵模式，這種抽象性 的本質更是一般人學習數學的最大障礙。問題解決往往是數學領域最困難的部 分，而許多學者研究發現解題者對問題所形成的表徵是解題的關鍵。美國數學課 程原則與標準(NCTM，2000)提到，表徵是數學學習過程中很重要的一部分，數
學表徵提供學習者有效的解題工具，可以幫助孩子達成數學知識的理解、和他人 溝通以及推理的目的(Greeno & Roger, 1997)。學生在數學學習的過程中，對於 抽象的數學概念，若是沒有適當的媒介幫助他們思考以建構自我知識，學生可能 會因此而無法理解算則的意義而發生學習困難，更甚者對數學失去信心而放棄學 習。因此，適當的表徵輔助學習者學習甚至是教學者教學，能促使理解別人使用 表徵所欲表達的數學資訊、自己能夠運用表徵表達想法，也提供教學者傳達概念 以及瞭解學童學習狀況的途徑。
在數學學習中，蔣治邦(1994)提到表徵是用某一種形式(物理或心理)，將一 種事、物或想法，重新表現，以達成溝通目的。因此，「表徵」在數學中所扮演 的角色，就是作為內心的想法和外在世界間溝通的媒介。Lesh等人(1987)提出數 學學習與解題五種表徵類型，不僅要瞭解各種表徵系統的意義與運用，還要能在 不同表徵系統間進行轉譯。所以，真正對數學概念暸若指掌，是指能運用多種表 徵來表示同一概念，並在各系統間將概念轉譯。因為在他們能夠掌握這些知識的 意義之後，不管表徵是以其他符號或抽象的形式出現，學生依然可以在之間自由 選擇、運用和轉譯，以達成解題的目的。其他學者相關研究也說明此重要性(遊 自達，1995；謝孟姍，2000；劉曼麗，2003；鄭寰文，2005；Davis, 1984；Putman, Lampert & Peterson, 1990)。所以老師在數學教學時，應該善用各種表徵，為學生 搭起思考的鷹架，使他們在運思階段的過渡能更為順利。學生在學習數個同一系 統的表徵之後，應嘗試依據數個表徵的共通性，將新活動用數學符號系統表徵出 來，倘若學生能夠使用多種不同形式的表徵來代表某一特定的數學概念，或是能 在不同形式的表徵之間進行自由轉換，則代表已經充分的「理解」、「掌握」此 一數概念所代表的意義了。
從小學開始，加減法文字題是學生最早接觸的應用問題，把生活中有關數字 的問題用文字表述，且會在往後課程中不斷反覆出現。加減法概念一向被視為相 關數學概念的基礎，因此，解題教學時應優先以加減法文字題進行訓練。而Riley、
Greeno 和Heller(1983)根據「語意結構」把加減法文字題分為改變、合併和比較
三類，每一類又依未知數性質再細分十四種題型。綜合許多研究發現「合併類」
最簡單；「比較類」最困難(古明峰，1999；蔣治邦、鍾思嘉，1991；Riley, Greeno,
& Heller, 1983)，雖然國內研究國小學生加減法文字解題之相關研究，多著重「比 較類」(江美娟、周台傑，2003；林淑玲，1999；楊淑芬，2001；鄭人豪，2004)，
但考量本研究對象之認知學習能力以及相關數概念，僅採加減法文字題中「合併」
及「改變」兩類題目。
美國人工智慧與心理學專家Anderson提出ACT-R理論中兩類知識的形成，用 於描述個體已有的認知結構，是學習與問題解決的基礎。有關事實性或資料性知 識為陳述性知識(declarative knowledge)；一種個體沒有明確提取線索，因而只能 借 助 某 種 活 動 形 式 間 接 推 測 出 來 的 知 識 ， 稱 為 程 式 性 知 識 (procedural knowledge)。學習的過程可視為一種「條件─行動規則」，生成規則(production rules) 就是針對問題所給的條件，進行某種特定的認知操作過程。
當個體存在的生成規則不能解決問題時，ACT-R會先搜尋相關舊經驗，以此 作為類比的開始，形成解決新問題的新生成規則；對舊經驗的理解程度影響著舊 經驗的選取和類比的過程，當知識由陳述性形式轉化為程式性形式時，練習在此 過程發揮著重要的作用，經由重複的練習，程式知識漸漸自動化，條件和動作之 間的反應也會隨著精熟而縮短時間並且變得更加準確。
Anderson(2000)透過ACT-R的理論基礎來分析學童表徵使用的知識結構，正 可被用來達成認知工作分析之目的。認知工作分析從認知層面分析個人在完成一 件任務(task)時，腦海中衍生的決策過程、知識，以及目標結構(Schraagen，2002)。
教學者可藉由認知工作分析去擬定個人的教學計畫，分析課程內容，以及學生的 陳述性知識與程式性知識在學習與問題解決過程中交互作用情形，當陳述性知識 發現問題，教學者可以從「學習內容本身的知識」探究；當程式性知識產生混淆 時，可從「問題要怎麼做的知識」把解題步驟具體描述出來，進而加強練習促使 程式性知識的習成。
總體而論，我們嘗試測試概念知識與外部表徵對轉譯能力的影響；其次，我
們想知道：藉由ACT-R理論進行認知工作分析，探討對於10這個數字合理分割的 表達過程，概念是如何被解加減法文字題以及外部表徵類型的知識所引導。最 後，外部表徵的轉譯過程，建構出哪些任務結構，這些知識成分的本質，也是本 研究的目標。
第二節 研究目的與研究問題
基於上述研究動機，本研究之目的在於透過此次研究結果，瞭解外部表徵對 數概念學習之成效。其具體目的分述如下：
ㄧ、藉由「認知工作分析」剖析三種外部表徵的知識架構，作為判斷學生使用表 徵歷程的工具。
二、探討加減文字題表現分別在外部表徵測驗的表現上有無相關性？
三、探討學生在三種外部表徵測驗的答題表現，並歸納結果作為往後教學的建議。
第三節 名詞界定
為便於本研究之分析與討論，僅就研究中涉及之重要名詞加以界定如下：
一、三種外部表徵
外在表徵：是指解題者利用外在的數學符號、圖形、數表、物體等，做為輔 助或說明解題的工具。
(一)圈圈圖表徵：
本研究圈圈圖是指在計數過程中，保留問題具體物的意義，用「○」模擬實 物變化狀態，形成一個具體的刺激。
(二)盒圖表徵：
本研究盒圖是指在教科書的編排，安排三個方框，讓學生判斷部分─整體關 係，並將一數(整體)拆解兩數(部分)在方框內表示。
(三)線段圖表徵：
本研究線段圖是指以直線段來表達數或量及其運算的方式。
二、整數加減法文字題
本研究之整數加減法文字題，主要是依照Fuson(1992)依語意結構及數量運 作方向，將整數加減法文字題歸納分類，分為改變類(起始量未知、改變量未知) 與合併類(部分量未知)。
三、十的合成與分解：
本研究界定「十的合成與分解」概念涵括：1.能完成任意兩數結合為一數的 工作；2.能將十拆解成為兩數的和的理解。
四、認知工作分析：
本研究的認知工作分析是指從認知層面分析個人在完成一個外部表徵時，腦 海中衍生的決策過程、知識，以及目標結構。
第四節 研究限制
本研究採臺中市北區某國小二年級一個班級27人為樣本，研究之樣本人數有 限。研究範圍以國小一年級上學期「分與合」、「加與減」、二年級「二位數的 加減」為範圍，研究結果不宜做過度推論。
第五節 章節簡介
以下研究者將分別於第二章文獻探討介紹表徵的相關理論、運用在教學的研