第四章、 實驗結果與討論
第二節 質性分析
為瞭解學生在三種外部表徵測驗所呈現的結果，本節採用研究者編修之「三 種外部表徵系統相關知識架構」進行認知工作分析，藉由圖表瞭解表徵使用的相 對應的知識結構。進而以此方式，探討學童在使用這些表徵時需具備那些先備知 識。學生的表現依據高低分群組，從表徵與數概念的知識架構兩個面向進行分類 討論。
一、高分群組學生知識結構分類
(一)外部表徵知識結構之表現
1.圈圈圖表徵測驗，學生之表現分析：
(1)在圈圈圖表徵測驗當中，高分群組的學生都能做出符合「表徵認知結構」中 的編碼Ａ：假如有一列圈圈，能依其符號使用規則做判斷，一邊表示一個部分；
另一邊表示另一個部分。其主要作答方式有 5 種類型，如下圖表所示。解題策略 為：使用橫線將圈圈分成兩部分、分兩列、畫縱線隔開、畫一長條圖將圈圈分成 兩部分、使用數學符號的加號、畫出兩個方框填入圈圈並加註數字。
圖 4-2-1 高分群組學生在圈圈圖表徵編碼 A 的作答類型 高分群組學生在圈圈圖表徵編碼 A 的作答類型
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(2)高分群組學生在編碼Ｂ：全部的圈圈需分成兩個部分，表徵呈現的方式有以 下幾種：第一類型：畫一條橫線將圈圈分成下上兩個部分；第二類型：先畫一條 直線將圈圈分成左右兩個部分；第三類型：使用數學運算符號「+」將兩堆圈圈 連結，但在「0-10」分法卻改用畫橫線區隔；第四類型：畫出兩個框架，將圈圈 填入其中；第五類型：將圈圈分成兩列表示，但此種表示法在「0-10」分法，無 法明確辨識出兩部分。如圖 4-2-2 所示。
圖 4-2-2 高分群組學生在圈圈圖表徵編碼 B 的作答類型 高分群組學生在圈圈圖表徵編碼 B 的作答類型
第一類型 第二類型
第三類型 第四類型
(續下頁)
第五類型
2.盒圖表徵測驗，學生表現分析：
(1)在盒圖表徵測驗當中，高分群組的學生對於表徵的使用(編碼 ABC)都沒有錯 誤情形；作答方式皆以數學符號表示。如圖 4-2-3 所示：
圖 4-2-3 高分組使用盒圖表徵作答情形 高分組使用盒圖表徵作答情形
3.線段圖表徵測驗，學生表現分析：
(1)在線段圖表徵測驗當中，高分群組的學生都能做出符合「表徵認知結構」中 的編碼Ａ：從線段圖上標示的一個數字將此線段切分或區分為兩部分。其代表性 作答方式如下圖表所示，有四種解題策略類型： a.在切割的基準刻度線上劃粗 線；b.先從基準刻度線劃一分割線，以兩條弧線劃分兩部分；c.圈選基準刻度線，
劃兩條弧線區分兩部分；d.在基準刻度數字上作記號，並畫兩條弧線區分兩部 分。如圖 4-2-4 所示：
圖 4-2-4 高分群組學生在線段圖表徵編碼 A 的作答類型 高分群組學生在線段圖表徵編碼 A 的作答類型
1.
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(2)高分群組學生在編碼Ｂ：兩線段的值合為 10 的表現，有 1 位能將兩線段合 10 的結果，也就是六種分法成功全部表徵出來；有 4 位受試者在個人的答題表 現中，雖沒有完整表示所有分法，但其作答出來的分法都符合正確表徵，因此顯 示他們的數概念「全體─部分概念」表達不完整。如圖 4-2-5 所示：
圖 4-2-5高分群組學生在線段圖表徵編碼 B 的作答類型 高分群組學生在線段圖表徵編碼 B 的作答類型
第一類型 第二類型 第三類型
在編碼Ｂ之錯誤表徵，出現以下結果，如圖 4-2-6 所示：
a. 有 5 位受試者在線段上取兩個刻度數字作出兩條切割線，出現兩類情形：一 種是找能合為十的兩個刻度線作分割，例如：在 3 和 7 刻度分別作兩條切割 線；另一種是任意找兩個刻度線，也就是非十的子部分，作分割。例如：在 6 和 8 刻度分別作兩條切割線。此作法把一條線段總共切成三部分違反編碼 Ｂ兩線段原則。
b. 另一種情況是圈選刻度數字，這會造成數的表徵重點只代表一個數字點，而 看不出兩線段的值。
圖 4-2-6 線段圖編碼Ｂ錯誤類型 線段圖編碼Ｂ錯誤類型
(3)高分群組學生在編碼 D：兩部分線段區別要精準明確，表徵呈現的方式有以 下 2 種：類型一：從刻度線作切割，再畫出兩條弧線將線段區別；類型二：只在 刻度線作切割。有 2 位受試者表徵「0-10」分法將線段空白表示，未在 0 或 10 的刻度上作切割記號，無法循跡明確判別其表現，故歸類於表徵編碼Ｄ失敗。如 圖 4-2-7 所示：
圖 4-2-7 高分群組學生在線段圖表徵編碼 D 的作答類型 高分群組學生在線段圖表徵編碼 D 的作答類型
類型一 類型二
(4)線段圖錯誤表徵類型：
統整高分群組在線段圖表徵測驗的表現，研究者發現有以下錯誤表徵類型，
如下表所示：第一型錯誤：學生沒有精確的在刻度線上做分割；第二型錯誤：沒 有精準切割，並且把此線段分割為三部分；第三型錯誤：有精準切割，但線段分 割為三部分；第四型錯誤：圈選刻度線與刻度數字；第五型錯誤：在刻度數字上 做任意符號紀錄。如圖 4-2-8 所示：
圖 4-2-8 高分組學生在線段圖之錯誤表徵類型 高分組學生在線段圖之錯誤表徵類型
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二、低分群組學生知識結構分類
(一)三種外部表徵知識結構之表現 1.圈圈圖表徵測驗，學生之表現分析：
(1)在圈圈圖表徵測驗當中，低分群組的學生都能做出符合「表徵認知結構」中 的編碼 A：假如有一列圈圈，能依其符號使用規則做判斷，一邊表示一個部分；
另一邊表示另一個部分。其代表性作答方式有 6 種類型(如以下圖表所示)：學生 的解題策略有使用橫線將圈圈分成兩部分、分兩列、畫一條縱線區隔下面加註數 量解說、使用頓號隔開、使用數學符號的加號、畫一長條圖將圈圈分成兩部分。
如圖 4-2-9 所示：
圖 4-2-9 低分群組學生在圈圈圖表徵編碼 A 的作答類型 低分群組學生在圈圈圖表徵編碼 A 的作答類型
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(2)低分群組學生在編碼 B：全部的圈圈需分成兩個部分。其表徵方式有以下六種 類型：第一類型：畫橫線將圈圈分成上下兩個部分；第二類型：畫縱線將圈圈分
成左右兩個部分，有學生還會在下面補充說明；第三類型：畫出兩個框架，將圈 圈填入；第四類型：將圈圈分成兩列表示；第五類型：使用頓號將圈圈分成左右 兩個部分；第六類型：使用數學運算符號「+」將兩堆圈圈連結。如圖 4-2-10 所 示：
圖 4-2-10 低分群組學生在圈圈圖表徵編碼 B 的作答類型 低分群組學生在圈圈圖表徵編碼 B 的作答類型
第一類型 第二類型
第三類型 第四類型
第五類型 第六類型
2.盒圖表徵測驗，低分群組學生表現分析：
(1)在盒圖表徵測驗當中，低分群組的學生大致上對於該表徵的使用(編碼 ABC) 都沒有錯誤情形，只有 1 位於兩個小方格填入數量並不等於大方格之數量，且 兩個小方格數量不是大方格數量的子部分，因此在編碼 AC 表現錯誤。如圖 4-2-11 所示：
圖 4-2-11 盒圖表徵錯誤類型 盒圖表徵錯誤類型
3.線段圖表徵測驗，低分群組學生表現分析：
(1)在線段圖表徵測驗當中，低分群組符合編碼 A 的表徵，其代表性作答方式如 圖 4-2-12 所示：圈選刻度線數字並以兩條弧線劃分兩部分、從刻度線劃一分割
線再以兩條弧線劃分兩部分、在切割的刻度線上劃粗線。
圖 4-2-12 低分群組學生在線段圖表徵編碼 A 的作答類型 低分群組學生在線段圖表徵編碼 A 的作答類型
1.
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(2)低分群組學生在編碼Ｂ：兩線段的值合為 10 的表現，其作答方式如圖表 4-2-13 所列。有 2 位能將兩線段合 10 的結果，也就是六種分法成功全部表徵出來；有 8 位受試者在個人的答題表現中，雖未完整表示所有分法，但其作答出來的分法 都符合正確表徵，顯示他們在數概念的「全體─部分」概念表達不完整。如圖 4-2-13 所示：
圖 4-2-13 低分群組學生在線段圖表徵編碼 B 的作答類型 低分群組學生在線段圖表徵編碼 B 的作答類型
完整表示類型一 完整表示類型二 表達不完整
在編碼Ｂ之錯誤表徵，出現以下結果，如圖 4-2-14 所示：
a. 有 1 位受試者在線段上取兩個刻度數字作出兩條切割線，隨意從兩個刻度線 作分割，例如：在 6 和 9 刻度分別作兩條切割線。然而此作法把一條線段總 共切成三部分並不符合編碼 B 兩線段原則。
b. 有 2 位受試者同高分群組學生採取圈選刻度數線策略，同樣造成數的表徵重 點只代表一個數字點，而看不出兩線段的值。
圖 4-2-14 低分群組線段圖編碼Ｂ錯誤類型 低分群組線段圖編碼Ｂ錯誤類型
(3)低分群組學生在編碼 D：兩部分線段區別要精準明確，表徵呈現的方式有以 下 3 種：類型一：從刻度線作切割，再畫出兩條弧線將線段區別；類型二：只在 刻度線作切割。類型三：圈出切割點的刻度數字再畫出兩條弧線區別。如圖 4-2-15 所示：
圖 4-2-15 低分群組學生在線段圖表徵編碼 D 的表示類型 低分群組學生在線段圖表徵編碼 D 的表示類型
類型一
類型二
類型三
(4)線段圖錯誤表徵類型：
統整低分群組在線段圖表徵測驗的表現，研究者發現有以下錯誤類型：圈選 刻度數字、沒有做任何表徵處理，僅在線段圖前標示序詞數列、在一條線段圖上
做兩個切割線。如圖 4-2-16 所示：
圖 4-2-16 低分群組學生在線段圖表徵編碼 A 的作答錯誤類型 低分群組學生在線段圖表徵編碼 A 的作答錯誤類型
三、數概念與表徵的連結
從認知工作分析知識架構，
「十的合成與分解」數概念知識有以下相關概念：十的數知識概念、二個子部分的組合概念知識，以及二個子部分合為十。依據此 規則探討高低分兩群組學生在三種外部表徵測驗之數概念知識表現，分述如下：
(一)高分群組學生在三種表徵測驗之數概念表現：
1.「十的合成與分解活動」在圈圈圖表徵測驗當中，高分群組學生皆能掌握
「十的數知識概念」進行合成分解活動；大致上能表徵分解後的「兩個子部分組 合概念知識」且「二個子部分合為 10」之數概念知識編碼； 有 3 位受試者在「兩
「十的數知識概念」進行合成分解活動；大致上能表徵分解後的「兩個子部分組 合概念知識」且「二個子部分合為 10」之數概念知識編碼； 有 3 位受試者在「兩