第三章 研究設計與實施
第三節 研究方法
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第三節 研究方法
為探討我國高級中學學校評鑑指標能正確且適當反應我國高級中學 學校評鑑之面貌，本研究以模糊權重來進行指標選定。
壹、模糊理論與模糊數
模糊理論之所以能形成一股風潮被廣泛地研究且成功地應用在多種 領域上，主要原因有兩點， 一是簡單性，另一則是它帶動了人類科學思 想的革新。本文中所使用的符號，以大寫英文字母表模糊集合( Fuzzy Set ) 或模糊數，如 A、B 或 C；以小寫斜體的英文字母表變數或常數，如 a、b 或 x。研究上常用之模糊數有三角型模糊數、梯形模糊數及常態型模糊數，
尤其以三角型模糊數使用最為普遍，因此本研究擬採取模糊德菲術中之三 角形模糊數來解決專家意見之整合。
一 、傳統的集合論
傳統集合論從全集 X 上任意給定一個元素 x 及任意一個子集合 A，則 元素 x 與子集合 A 之間的關係就是, 要麼 x 屬於 A (即 x ∈ A), 不然就是 x 不屬於 A (即
x A
), 二者有一且僅有一關係成立。基於這種基本關係，集合上的包含、聯集、交集、補集以及有名的 De-Morgan 定律等就構成一 套完整的理論架構。我們也可以將 x ∈ A 及
x A
對等地(equivalently)用數 學上的特徵函數λ
A來表示: 若 x ∈ A，則λ
A (x) = 1；若x A
，則λ
A (x)= 0。也就是特徵函數
λ
A的值只有 0 或 1 兩種狀況，其定義如下：【定義3.3.1】令X為整個論域，A為論域中的一個明確集合，x 為論域中的 元素，則特徵函數
λ
A (x)，定義如下：傳統的集合論發展出二值邏輯理論，二值邏輯思想，使得科學建立明確且 精確的研究與發展，更帶動了整個科技的蓬勃發展。
二 、模糊集合論
近 30 年來，由於個人電腦的普及，資訊與人類之間的關係更形緊密，
使得科學研究開始注意到以人為導向，關注人類本身的個體性，人類主觀
( ) 1,
A
0,
x A
x x A
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及情感世界的不確定性也開始被學術界注意，這種不確定性往往不是隨機 性所涵蓋的，反而以模糊性來表達會更為適切。如何使用明確且不模糊的 數學方式來表達存在的模糊特性呢?美國自動控制學家 Zadeh(1965)創立了 模糊理論，提供一個描述現實生活中模糊現象的方法。所謂的模糊現象是 指客觀事物的差異在中介過渡時所呈現的「亦此亦彼」性。Zadeh 用隸屬 程度來描述差異的中間過渡，是用精確的數學語言對模糊性的一種描述。
簡單地將具有 0 及 1 兩個值的特徵函數
λ
A (x)擴展成[0,1] 區間連續值函 數μA(x), 即對 x ∈ X, μA (x) ∈ [0, 1], 而稱此函數為隸屬函數(membership function)，隸屬函數的值正可表示元素 x 隸屬於集合 A 的程度，如此一來，就可將介於“是”與“不是”之間的所有“中間”值表示出來,換言之, 從“是”到
“不是”之中介過渡沒有明確的概念都可被隸屬函數表示出來,這就是模糊 理論,其目的就是使用明確且嚴緊的數學方法來描述模糊的現象。有關傳統 集合與模糊集合之差異比較整理如表 3-1：
表 3- 1
傳統集合與模糊集合之差異比較
傳統集合 模糊集合
使用0，1二值的特徵函數 使用[ ]區間的隸屬函數 強調非此即彼的二分關係 強調亦此亦彼的灰色關係 只接受明確且不模糊的資訊 接受模糊且不明確的資訊 資料來源：研究者自行整理
有關模糊集合的聯集(Union)、交集(Intersection)、補集(Complement) 及正規化(Normalization)，Zadeh 將其對應的隸屬函數(membership function) 定義如下，定義中“
”表最大值的運算符號，“
”表最小值的運算符 號，並以“X”表示宇集合(Universal Set)。(1) 模糊集合A和B的聯集，以A∪B表示，是包含A或B的模糊集合，而 隸屬函數
A B ( )x
定義如下：( ) ( ) ( )
A B
x
Ax
Bx
max
A( ),x
B( )x x X
(2) 模糊集合A和B的交集，以A∩B表示，是包含A及B的模糊集合，而 隸屬函數
A B( )x
定義如下：( ) ( ) ( )
A B
x
Ax
Bx
min
A( ),x
B( )x x X
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(3) 模糊集合A的補集
A
的隸屬函數
A( ) x
定義如下：( ) 1
A( )
A
x x x X
(4) 模糊集合A若正規化，則
max
A( ) 1 x x A
【定義3.3.2】設X為一論域(Universe of Discourse)， 為X的一個模糊子集，
若對每個
x X
都指定一個數 ( ) [ ]，用它表示x對 的隸屬程度，簡稱為x的隸屬度，即 ( ) [ ]，而
A x
被稱為 的隸屬函數。【定義3.3.3】模糊集合 是論域U上的正規(Normal)且凸(Convex)之模糊子 集。
「正規」意即：
x
0X ,
使得
A x
0 =1「凸」意即：
1
,
2, 0,1
x x X
11
2
1,
2
A
x x Min
Ax
Ax
【定義3.3.4】正規化且凸集合，並具有區段性連續的隸數函數的模糊集合，
稱為模糊數。亦即模糊數需滿足下列條件(Dubois & Prade, 1980)：
模糊數 為一模糊集，其隸屬函數為 ( ) [ ] (1)
A x
為區段連續(2)
A x
為一凸模糊集合(convex fuzzy subset)(3)
A x
為正規化模糊子集(norrnality of a fuzzy subset)，即存在一實數 m，使得
A m 1
【定義3.3.5】模糊集合 是論域X上的 之模糊子集，即
|
A ,
A
x x x X
α稱為信心水準(Confidence Level)， 的主要功用是，它可以從模糊 集合中決定一明確集合(Crisp Set)。
當模糊集合內的元素為數值時，則此模糊集合亦可稱之為模糊數，例 如模糊集合
A R
，即 A 為一實數域之子集合，所以稱 A 為一模糊數。本 研究以三角模糊數來表示專家學者對高中評鑑指標共識的相關值，例如 A 為三角模糊數，代表專家們對某一指標的共識值，其可用 A=(a, b, c)，即‧ 國
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表示該專家們對此一指標的認同值在 a 和 c 之間，其中 a 為專家們共識的 最小值，c 為專家們共識的最大值，此兩點為極端值，其所對應的隸屬度 (membership grade)為 0，即表示專家對此一指標小於 a 和大於 c 的共識不 可能存在；b 所對應的隸屬度為 1，即表示專家對此一指標共識值 b 的可 能性最大。另外，本研究根據幾何平均數較不易受極端值影響，因此採用 幾何平均數 b 為隸屬度 1 之代表。進一步觀察，a 到 b 之間的隸屬度為由 0 到 1 呈線性遞增，b 到 c 之間的隸屬度為由 1 到 0 呈線性遞減，滿足上述 條件之三角模糊數其圖形(圖 3-2)和隸屬函數定義如下：
【定義3.3.6】三角模糊數 定義為一個三元組(a, b, c)，其隸屬函數定義為
0, ,
, 0,
A
x a
x a a x b x b a
c x b x c c b
x c
由三角模糊數 之隸屬函數，其 定義為
̅̅̅̅=[ ] [ ( ) ( ) ]
三 模糊德菲術(Fuzzy Delphi Method)
經由文獻探討所歸納出之高級中學學校評鑑指標，須針對學者專家與
a b c
1
x
圖 3- 2 三角模糊數
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相關利害關係人進行「高級中學學校評鑑指標」之德菲術意見調查，以修 正或篩選本研究初擬之「高級中學學校評鑑指標」，使其更臻完整，本研 究採用新近被許多學者專家用來從事政策評估或指標建構之模糊德菲術 來加以統計分析，茲將模糊德菲術之發展背景、優缺點及使用方式簡介如 下：
(一) 德菲術(Delphi Method)：
德菲術係針對會議討論之缺點而設計，它將面對面的溝通，改為匿名 式的溝通方式，讓所有參與者都能在無威脅的情境中表達自己的意見，並 參考其他人的意見決定是否修正自己的意見，且為求取意見一致性，可實 施至意見沒有太大變化為止，德菲術近年來在教育指標建構的應用上已相 當廣泛(郭工賓，2001；黃政傑，1993；游家政，1994)。
傳統德菲術在求取學者專家意見之一致性過程中，必須反覆詢問專家 學者意見，並要求根據前一次預測結之中位數，來調整及修正自己的意見。
若經不斷測試後專家評定值(中位數)落在圖 3-3 的(a,b)矩形區域時，則表示 專家之意見已達一致。
惟落在圖 3-3 之矩形區域是表示一個決策者或協調者可接受的評定值 範圍，但實際的評定值落在何處並不明確；因此，傳統德菲術中確實具有 其模糊性，惟在歸納處理過程中並未將模糊性列入考量(吳明雲，1998)。
傳統德菲術雖已廣泛應用於建構各項教育指標或評估各項教育政策 之可行性，但是仍有以下幾項缺點(吳政達，2001；Hwang & Lin,1987)：
1
a b
圖 3- 3 傳統德菲術一致性範圍 資料來源：陳曉玲，1995，頁 37。
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1、耗費較多時間；2、易受少數人掌握指使；3、從眾的壓力(Shermerhorn, Hunt, & Osborn, 1985)；4、至少需實施三輪的問卷調查及修訂，不但頗 為費時，並且專家意見的收斂效果不大，加上重覆調查的次數愈多，其成 本就愈高；5、決策者或協調者在歸納專家意見時，可能已有先入為主的 觀念，導致過濾專家意見時，產生系統性的消弱與抑制不同的想法；6、
以中位數及中間50%的資料分布來綜合各專家意見的範圍，其隸屬度不是0 就是1，此種以傳統的二值邏輯分析，可能會忽略其他50%專家的意見；7、
重覆進行預測的次數愈多，所需時間將拉長，因此樣本也極有可流失，造 成調查之失真。
(二) 模糊德菲術(Fuzzy Delphi Method)：
傳統德菲術對意見的整合方式，仍採傳統的二值邏輯非此即彼的概念，
其應用統計量數(如中位數或算術平均數)仍無法解決意見歧異的問題。近 年來，已有不少學者專家在團體決策的過程中引進模糊理論，進而提出整 合每位參與決策者的意見或評估值的整合方法( Bardossy, Duckstein, &
Bogardi, 1993；Fedrizzi & Kacprzky, 1988；Kacprzky, Fedrizzi, & Nurmri, 1992；Nurmri, 1981；Tanino, 1984；Xu & Zhai, 1992 )。
上述所提的整合方法中，Fedrizzi 與 Kacprzky ( 1988 )、Kacprzky、
Fedrizz 與 Nurmri ( 1992 )、Nurmri ( 1981 ) 和Tanino ( 1984 ) 根據每位參 與決策者的偏好判斷(preference judgement)，建構每位參與決策者的的模糊 偏好關係( individual fuzzy preferencerelation )，進而求得團體的偏好關係，
再進一步利用團體的偏好關係來進行最佳方案選擇；Xu 與 Zhai ( 1992 ) 則利用區間值表示每位參與決策者的評估值，為解決傳統德菲術忽略人類 模糊性之限制及改善其缺點，藉由模糊理論中隸屬函數的觀念來整合專家 的意見，此一方式較能真實處理人類思維的模糊性，亦較不易損失因歸納 意見者主觀認定的不重要訊息(Klir & Folger, 1988)。
在模糊理論提出後，便有學者嘗試將模糊的概念導入「德菲術」中，
經過許多的實證研究及分析，提出使用模糊德菲術之結果將能達到與傳統 德菲術相近的結果，且可以有效改善傳統德菲術之限制及缺點(陳曉玲，
1994；Ishikawa, et al.1993)：
1. 使用模糊德菲術之結果與傳統德菲術相近。
2. 可有效減少問卷調查的重複次數。
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德菲術刪除資料的缺失。此模糊數的總值(total score)採取Chen與Hwang(1992)所提之模糊集合反模糊化(defuzzify)的方法，再由專家給定一 門檻值γ，以篩選出適合的指標。有關Chen-Hwang法係先假設最大集與最 小集的隸屬函數概念，求出實際受測指標的總隸屬值。其計算步驟如下（吳 政達，2008）：
1. 建立各初選指標之適宜性程度的三角模糊數A。
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2. 建立最大集與最小集的隸屬函數 ( ) 及 ( )。令：
最大集的隸屬函數： ( ) {
最小集的隸屬函數： ( ) {
( ) 及 ( ) 將分別與三角模糊數A的右界與左界產生交集，如圖 3-4，已知A=(l, m, u)代表三個點座標(l, 0)、(m, 1)，(u, 0)，由(l, 0)、(m, 1) 兩點可建立模糊函數 ；由(m, 1)、(u, 0)兩點可建立模糊函數 。
3. 由最大隸屬函數與A的模糊函數求出右界值，如下式：
𝑅( ) 𝑝[ ( ) ∧ ( )]
將 A 的模糊函數 y = {
與最大隸屬函數 y = x 產生交集，可得兩點
μ
𝑚𝑎𝑥(𝑥)
1.0 .9 .8 .7 .6 .5 .4 .3 .2 .1
隸屬度
隸屬度