一、樣本數較少，推論有限
本研究僅以新北市立某國中的八年級學生作為研究樣本，故所得之結果 只能推論到相同地區或類似樣本而已，至於本研究之結果是否能推論到其他 地區的學生，則應特別謹慎考慮。
二、補救教學時間的限制
在學期中，因部分學生在放學後及例假日仍有其他的活動安排，因此採 用平日中午的午休時間來進行補救教學。
三、訪談時間的限制
學生完成測驗後，研究者批閱試卷，分析學生的答題結果，再從中挑選 訪談對象。惟學生忙於課業，能利用的下課時間短暫，以致於訪談的時機常 有耽誤之情形。而在訪談的過程中，部分學生對於其先前作答的結果與想 法，印象已經有點模糊，因此在訪談時，研究者準備該生的原應答試卷，讓 學生參考自己的原始作答結果，請他們回想當下作答時的想法，再予以訪談 和紀錄。
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第肆章 研究結果之分析與探討
本章主要呈現本研究所蒐集到資料分析的結果與討論，全章共分為三 節，第一節為「文字符號的概念與運算主要錯誤類型及其成因」，第二節為
「學生在補救教學活動的前測、後測結果」，第三節為「學生在補救教學活 動的後測、延後測結果」。
第一節 文字符號的概念與運算主要錯誤類型及其成因
研究者利用自編之「文字符號的概念與運算」開放性試題，對 60 名國 八學生與 60 名國七學生分別進行施測，根據學生的答題情形進行統整、分 析、訪談、歸納，整理出所有受試學生在文字符號的概念與運算所犯的錯誤 類型，共有 14 個錯誤類型，分述如下：
A.不了解文字符號代表數的意義 1.不了解 ax2這個記號代表的意義。
2.錯誤使用省略運算符號的時機。
3.認為不同的文字符號代表不同的數。
4.將文字符號用某個已知數代入代數式中，作為判斷式子是否正確的依 據，忽略了未知數所代表的所有可能性。
B.使用文字符號列出代數式的錯誤 1.列式時搞錯數量之間的關係。
2.逆運算時，搞錯加減乘除的關係與先後順序。
C.利用分配律去括號以化簡代數式的錯誤
1.括號外的數只與括號內的第一項相乘，忽略第二項。
2.計算過程中遺漏負號，造成正負性質處理錯誤。
3.括號前面沒有任何數或符號時，就不會去括號。
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D.做代數式與數的加減運算與化簡的錯誤
1.處理分數型代數式的加減運算時，同乘以分母的公倍數後變成沒有分數 的型式才化簡。
2.不會處理分數型代數式的化簡。
3.處理分數型代數式的加減運算時，未將後項加上括號再化簡。
4.處理 A＝ax＋b，B＝cx＋d，代入化簡 A－B 的題型時，未將後項加上括 號再化簡。
5.同類項的係數合併錯誤。
每一個錯誤類型所形成的原因都不只有一個，所以研究者在「文字符號 的概念與運算」正式評量中，設計了多個理由選項，且分布在各題中，若學 生選擇到錯誤類型的選項占 50%以上（包含 50%），研究者就認定該生有犯 這一類的錯誤類型。而犯此類之人數達受施測人數的 15%（包含 15%），即 認定此錯誤類型為本研究的主要錯誤類型。
研究者將 59 名國八學生在「文字符號的概念與運算」的前測結果，進 行分析、統整、歸納出所有參加前測的學生作答狀況得到表 4-1，並將前測 的結果和開放性試題的結果進行比較，發現在類型 A4「將文字符號用某個 已知數代入代數式中，作為判斷式子是否正確的依據，忽略了未知數所代表 的所有可能性」，這種錯誤類型學生犯錯的情形未達受測人數的 15%以上(包 含 15%)，因此不列入本研究的主要錯誤類型。
為了瞭解學生犯錯的原因，除了分析學生所作答的部份，也將進行訪 談，透過這兩種方式來了解學生解題時的想法。以下為前測時學生所犯的 13 個主要錯誤類型及其成因：
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表 4-1
主要錯誤類型及學生在前測的錯誤類型犯錯率
主要錯誤類型 錯誤類型犯錯率(%)
A1 不了解 ax2這個記號代表的意義 50.9
A2 錯誤使用省略運算符號的時機 61.0
A3 認為不同的文字符號代表不同的數 47.5
B1 列式時搞錯數量之間的關係 55.9
B2 逆運算時，搞錯加減乘除的關係與先後順序 55.9 C1 括號外的數只與括號內的第一項相乘，忽略第
二項 20.0
C2 計算過程中遺漏負號，造成正負性質處理錯誤。 20.3 C3 括號前面沒有任何數或符號時，就不會去括號 32.2 D1 處理分數型代數式的加減運算時，同乘以分母
的公倍數變成沒有分數的型式才化簡 37.3
D2 不會處理分數型代數式的化簡 45.8
D3 處理分數型代數式的加減運算時，未將後項加
上括號再化簡 27.1
D4 處理 A＝ax＋b，B＝cx＋d，代入化簡 A－B 的
題型時，未將後項加上括號再化簡 33.9
D5 同類項的係數合併錯誤 23.7
註：犯錯率＝(犯此錯誤的學生人數/參與前測的學生人數)×100%。
茲將學生於學習文字符號的概念與運算時所犯的 13 個主要錯誤類型及 其類型的成因分述如下：
類型 A1.不了解 ax2這個記號代表的意義
在「文字符號的概念與運算」前測試題統計結果，所有參與前測的 59 名學生的犯錯率為 50.9％，其中參與補救教學的 16 名學生有 13 位學生犯此 錯誤類型，犯錯率為 81.3％，以下為這 13 位學生作答的情況。
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題號 選項 人數
1 (A) a2代表 a 乘以 a。 12 1 (B) 2x2代表 2x＋2x。 1
此錯誤類型的成因為：
1.混淆連加與連乘的簡記方式，誤以為某數的平方就表示某數連加兩次。
《訪談實例 A1-1》學生編號 s14
師：第 01 題你認為答案是(B)對不對？
生：對！
師：所以你認為 2x2是代表 2x＋2x，是不是？
生：嗯…我現在不這麼認為！
師：為什麼？
生：因為怪怪的！
師：那你認為平方的意思是什麼？
生：兩個一樣的。
師：兩個一樣的什麼？
生：兩個一樣的 2x！
師：兩個一樣的 2x 要相加嗎？
生：相乘啊！
師：那你之前為什麼認為要相加？
生：之前不太確定！
師：所以你之前只知道平方是兩個一樣的，但是不知道要相加還是相乘？
生：嗯！
103 年 11 月 11 日 12:35 開始訪談學生 s14
2.知道某數的平方就表示某數連乘兩次，但指數和底數之間的對應錯誤，所 以把 ax2當作(ax)2，認為 ax2表示 ax × ax，而忽略了有沒有括號表示不同的 意義。
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《訪談實例 A1-2》學生編號 s10
師：第 01 題你認為答案是(B)，為什麼？
生：因為 a2表示 a 乘以 a，就像 52表示 5 乘以 5 師：所以你認為平方是指什麼？
生：自己和自己乘。
師：老師以前教過 52中的 5 是什麼？
生：是底數！
師：那 2 是什麼？
生：嗯…好像是…忘了！
師：那你認為 2x2的底數是什麼？
生：2x！
師：你認為底數是 2x，所以平方要把底數連乘兩次？
生：對！
103 年 11 月 11 日 10:10 開始訪談學生 s10
林信宏(2013)發現學生不了解指數為正整數的乘方意義，其成因是「忽 視連加與連乘的不同，誤以為有 n 個 a 相加就可以簡記為 an」；陳盈言(2000) 發現學生以為如同乘法般，相同符號可以指數來表示（e × e × e＝e3），故符 號相加也可如法炮製(e＋e＋e＝e3)，與本研究錯誤類型 A1 的成因之一「混 淆連加與連乘的簡記方式，誤以為某數的平方就表示某數連加兩次」相似。
另外，本研究發現錯誤類型 A1 另一個成因是學生知道某數的平方就表示某 數連乘兩次，但指數和底數之間的對應錯誤，所以把 ax2當作(ax)2，認為 ax2 表示 ax × ax，忽略了有沒有括號表示不同的意義，此錯誤類型的成因是其他 研究者所沒有提到的。
類型 A2.錯誤使用省略運算符號的時機
在「文字符號的概念與運算」前測試題統計結果，所有參與前測的 59 名學生的犯錯率為 61.0％，其中參與補救教學的 16 名學生有 12 位學生犯此 錯誤類型，犯錯率為 75.0％，以下為這 12 位學生作答的情況。
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A3.認為不同的文字符號代表不同的數
在「文字符號的概念與運算」前測試題統計結果，所有參與前測的 59 名學生的犯錯率為 47.5％，其中參與補救教學的 16 名學生有 11 位學生犯此 錯誤類型，犯錯率為 68.8％，以下為這 11 位學生作答的情況。
題號 選項 人數
4 (A) 如果是相同的價錢就要用相同的代號。 4
4 (B) 未知數的符號不同。 5
4 (D) 餅乾和飲料的種類不同，所以 a 和 b 不相同。 2 此錯誤類型的成因為：
1.受生活經驗影響，不同的實物習慣用不同的符號表示，例如甲班和乙班就 是代表不同的班級，所以認為文字符號不一樣，所代表的數就不一樣。《訪 談實例 A3-1》學生編號 s15
師：第 04 題你認為答案是(B)對不對？
生：嗯！
師：為什麼選這個答案呢？
生：因為符號不一樣，價錢就不一樣啊！
師：為什麼符號不一樣，它所代表的價錢就不一樣？
生：嗯……
師：還是你認為不同的東西要用不同的符號？
生：嗯，因為一種東西就是一個符號，不可能兩個東西都是同一種符號吧！
師：不同的東西用同一種符號你認為會產生什麼問題嗎？
生：就是…如果同一種符號表示兩種東西，別人可能會不知道你在講哪一種東西。
師：就是會產生混亂是不是？
生：嗯！
師：所以最好一個東西就是一個符號？
生：嗯！
師：你是從哪邊得到這樣的概念？ 可以舉一個例子嗎？
生：嗯…就是…醬油有很多品牌呀！如果把醬油的品牌全部用同一個符號，就不知道要 買哪個品牌了！
103 年 11 月 11 日 11:14 開始訪談學生 s15
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學者(Booth, 1988；郭汾派，1989；陳盈言，2000 )在研究中發現學生有 不同文字符號代表不同數的迷思，與本研究有相同發現。Booth(1988)認為這 是因為在算術上，代表量的符號經常是指單一值，如符號「3」，故學生在代 數上也以類似的方式處理這些代表量的新符號。陳盈言(2000)認為許多教師 在列同一題的方程式時，常會提醒學生「不同的數一定要用不同的符號來表 示」，而這句話常被學生進一步解讀成「不同符號一定代表不同的數」，顯然 這是學生的邏輯錯誤所造成。本研究發現學生受生活經驗影響，不同的實物 習慣用不同的符號表示，例如甲班和乙班就是代表不同的班級，所以認為文 字符號不一樣，所代表的數就不一樣，此錯誤類型的成因與其他研究者不同。
學者(Booth, 1988；郭汾派，1989；陳盈言，2000 )在研究中發現學生有 不同文字符號代表不同數的迷思，與本研究有相同發現。Booth(1988)認為這 是因為在算術上，代表量的符號經常是指單一值，如符號「3」，故學生在代 數上也以類似的方式處理這些代表量的新符號。陳盈言(2000)認為許多教師 在列同一題的方程式時，常會提醒學生「不同的數一定要用不同的符號來表 示」，而這句話常被學生進一步解讀成「不同符號一定代表不同的數」，顯然 這是學生的邏輯錯誤所造成。本研究發現學生受生活經驗影響，不同的實物 習慣用不同的符號表示，例如甲班和乙班就是代表不同的班級，所以認為文 字符號不一樣，所代表的數就不一樣，此錯誤類型的成因與其他研究者不同。