國中生在文字符號的概念與運算上的主要錯誤類型及其補救教學之研究

全文

(1)國立臺灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文. 指導教授：曹博盛. 博士. 國中生在文字符號的概念與運算上的主要錯誤類型及其補救教學之研究. 研究生：蔡淑裕. 中華民國一百零四年六月.

(2) 致謝回想起這三年撰寫論文的過程，多虧了一些貴人適時的幫助，今年才能如期完成，因此在這完成的時刻，除了喜悅，心中更充滿了感謝。首先要感謝曹博盛老師，這三年來您不辭辛勞的指導我，給我許多建議，讓我在教學能力、教育理念及數學知識上獲益良多，也讓我能順利完成本論文。另外還要感謝鍾靜老師與楊凱琳老師，百忙之中還花費時間用心且仔細的審視我的論文，並且提供許多寶貴的建議，讓這篇論文的架構更加完善，價值性更高。另外要感謝一路上相互扶持的伙伴：政良、于真和玉華，感謝你們在討論時給我建議，陪伴我度過 meeting 的日子。也感謝支持與協助我的學校同事，尤其是雅芸，熱心提供實質上的幫忙，並在我低潮給我鼓勵，讓我能振作起來，真的非常感謝。另外也要感謝認真作答以及配合訪談的參與研究的學生們。最後要再次感謝所有對這篇論文有幫助的人，並將這小小的成果獻給你們。蔡淑裕. 謹誌. 2015 年 6 月. I.

(3) 摘要本研究目的在探討國中生在學習「文字符號的概念與運算」後，採用雙層式評量來診斷有哪些錯誤類型，並透過訪談整理歸納成為錯誤產生的原因類型，然後根據這些結果設計補救教學教材，並進行補救教學活動。本研究發現國中生在文字符號的概念與運算的錯誤類型有四大類，共 14 個：(一)不了解文字符號代表數的意義：(1)不了解 ax2 這個記號代表的意義； (2)錯誤使用省略運算符號的時機；(3)認為不同的文字符號代表不同的數；(4) 將文字符號用某個已知數代入代數式中，作為判斷式子是否正確的依據，忽略了未知數所代表的所有可能性。(二)使用文字符號列出代數式的錯誤：(1) 列式時搞錯數量之間的關係；(2)逆運算時，搞錯加減乘除的關係與先後順序。(三)利用分配律去括號以化簡代數式的錯誤：(1)括號外的數只與括號內的第一項相乘，忽略第二項；(2)計算過程中遺漏負號，造成正負性質處理錯誤；(3)括號前面沒有任何數或符號時，就不會去括號。(四)做代數式與數的加減運算與化簡的錯誤：(1)處理分數型代數式的加減運算時，同乘以分母的公倍數後變成沒有分數的型式才化簡；(2)不會處理分數型代數式的化簡；(3) 處理分數型代數式的加減運算時，未將後項加上括號再化簡；(4)處理 A＝ax ＋b，B＝cx＋d，代入化簡 A－B 的題型時，未將後項加上括號再化簡；(5) 同類項的係數合併錯誤。就補救教學的成效來說，經補救教學活動後，後測各題的答題正確率皆高於前測，且 13 題中有 12 題的答題正確率提高 30%以上。每位參與補救教學的學生，後測的答題正確率皆高於前測。就錯誤類型的變化情形來看，每位學生所犯錯誤類型數量皆低於前測，可見補救教學對於改善學生在文字符號的概念與運算常犯的錯誤類型有顯著成效。就學習保留情形來說，從後測和延後測的結果來看，13 題中有 11 題的答題正確率改變幅度在 20%以內，顯示經過補救教學活動一段時間後，仍有不錯的學習保留效果。關鍵字：文字符號、雙層式評量、錯誤類型、補救教學。 II.

(4) 目錄第壹章. 緒論. 第一節. 問題背景與研究動機----------------------------------1. 第二節. 研究目的與研究問題----------------------------------5. 第三節. 理論基礎--------------------------------------------6. 第四節. 名詞界定-------------------------------------------11. 第貳章文獻探討第一節. 文字符號的概念之相關研究---------------------------13. 第二節. 雙層式評量工具的發展與應用-------------------------22. 第三節. 錯誤類型及成因之相關研究---------------------------29. 第四節. 補救教學之相關研究---------------------------------39. 第參章研究方法第一節. 研究設計-------------------------------------------46. 第二節. 研究對象-------------------------------------------47. 第三節. 研究工具-------------------------------------------48. 第四節. 研究步驟與流程-------------------------------------85. 第五節. 研究限制-------------------------------------------89. 第肆章. 研究結果之分析與探討. 第一節. 文字符號的概念與運算主要錯誤類型及其成因-----------90. 第二節. 補救教學活動的歷程與學生前測、後測結果分析--------109. 第三節. 學生在補救教學活動的後測、延後測結果分析----------130. 第伍章. 結論與建議. 第一節. 結論----------------------------------------------144. 第二節. 檢討與建議----------------------------------------151. III.

(5) 參考文獻中文部分-------------------------------------------------157 英文部分-------------------------------------------------160 附錄附錄一. 「文字符號的概念與運算」第一次開放性試題---------164. 附錄二. 「文字符號的概念與運算」第二次開放性試題---------169. 附錄三. 「文字符號的概念與運算」第三次開放性試題---------174. 附錄四. 將開放性試題蒐集的理由編製成正式試題的理由選項---177. 附錄五. 「文字符號的概念與運算」前測試題-----------------192. 附錄六. 「文字符號的概念與運算」後測試題-----------------198. 附錄七. 「文字符號的概念與運算」補救教學教材-------------204. 附錄八. 「文字符號的概念與運算」補救教學教案設計---------239. IV.

(6) 表次表 3-1. 第一次開放性試題教學目標、評量目標與對應題號表---------48. 表 3-2. 第一次開放性試題評量主題內容與認知歷程向度雙項細目表---49. 表 3-3. 第一次開放性試題各題答對率-----------------------------49. 表 3-4. 第一次開放性試題歸納出的錯誤類型-----------------------51. 表 3-5. 第二次開放性試題教學目標、評量目標與對應題號表---------53. 表 3-6. 第二次開放性試題評量主題內容與認知歷程向度雙項細目表---53. 表 3-7. 第二次開放性試題各題答對率-----------------------------54. 表 3-8. 第二次開放試題歸納出的錯誤類型-------------------------55. 表 3-9. 第三次開放性試題教學目標、評量目標與對應題號表---------56. 表 3-10. 第三次開放性試題評量主題內容與認知歷程向度雙項細目表--57. 表 3-11. 第三次開放性試題各題答對率----------------------------57. 表 3-12. 第三次開放試題歸納出的錯誤類型------------------------58. 表 3-13 「文字符號的概念與運算」的正式試題雙向細目表-----------60 表 3-14. 各題一致率(以前測題號為準)----------------------------61. 表 3-15. 複本信度----------------------------------------------61. 表 3-16 「文字符號的概念與運算」正式試題選項與錯誤類型之對照表-62 表 3-17 「文字符號的概念與運算」錯誤類型及其形成原因-----------63 表 3-18. 文字符號的概念與運算補救教學活動設計表----------------79. 表 3-19. 十個教學活動與四個設計原則的雙向細目表----------------84. 表 4-1. 主要錯誤類型及學生在前測的錯誤類型犯錯率---------------92. 表 4-2. 前測、後測的各題答題正確率及 McNemar test 檢定結果-----109. 表 4-3. 後測答題正確率達 85%以上的題目------------------------111. 表 4-4. 後測答題正確率未達 75%的題目--------------------------112. 表 4-5. 前測、後測的各錯誤類型答題犯錯率及其差異情形----------117 V.

(7) 表 4-6(a). 前測、後測各個學生所犯的錯誤類型-------------------119. 表 4-6(b). 前測、後測各個學生所犯的錯誤類型-------------------120. 表 4-6(c). 前測、後測各個學生所犯的錯誤類型-------------------121. 表 4-6(d). 前測、後測各個學生所犯的錯誤類型-------------------122. 表 4-6(e). 前測、後測各個學生所犯的錯誤類型-------------------123. 表 4-7. 個人於前測、後測的答題正確率及差異情形----------------128. 表 4-8. 後測答題正確率低於 70%的 4 位學生在後測各題答錯之人數統計------------------------------129. 表 4-9 表 4-10. 後測、延後測的各題答題正確率及 McNemar test 檢定結果----130 第 6 和 12 題的後測、延後測答題正確率及 McNemar test 檢定結果-------------------------------131. 表 4-11. 後測、延後測的各錯誤類型犯錯率及及其差異情形---------135. 表 4-12(a). 後測、延後測各個學生所犯的錯誤類型----------------137. 表 4-12(b). 後測、延後測各個學生所犯的錯誤類型----------------138. 表 4-12(c). 後測、延後測各個學生所犯的錯誤類型----------------139. 表 4-12(d). 後測、延後測各個學生所犯的錯誤類型----------------140. 表 4-12(e). 後測、延後測各個學生所犯的錯誤類型----------------141. 表 4-13. 個人於後測、延後測的答題正確率及差異情形-------------142. 表 4-14. 後測答對但延後測答錯之題號次數分配表-----------------143. VI.

(8) 圖次圖 2-1. 雙層式評量試題的型態----------------------------------23. 圖 3-1. 實驗設計的模式----------------------------------------46. 圖 3-2. 研究流程圖--------------------------------------------85. 圖 4-1. 前測、後測的各題答題正確率折線圖---------------------110. 圖 4-2. 前測、後測各錯誤類型犯錯率折線圖---------------------118. 圖 4-3. 個人於前測、後測答題正確率折線圖---------------------128. 圖 4-4. 後測、延後測的各題答題正確率折線圖-------------------131. 圖 4-5. 後測、延後測各錯誤類型犯錯率折線圖-------------------136. 圖 4-6. 個人於後測、延後測答題正確率折線圖-------------------144. VII.

(9) 第壹章. 緒論. 本章共分為四節，第一節為「問題背景與研究動機」；第二節為「研究目的與研究問題」；第三節為「理論基礎」；第四節為「名詞界定」。. 第一節. 問題背景與研究動機. 從師大畢業後，即投入國中數學教育的行列，任教多年來教過許多不同的學生，看著學生不斷的學習、進步與成長，帶給我許多感動與成就。從九年一貫的實施到十二年國教的推動，感受到教育環境的變遷，也發現學生的數學程度有下降的趨勢，常有同事感嘆學生越來越難教，雖然有時會有無力感，但仍期望自己能不斷的精進教學，找到改善的方法，以提升學生的數學程度。研究者所任教的學校，七到九年級都一樣，每個星期的數學課只有四堂，教學時數並不充裕。在教完數學教科書的內容後，往往沒有太多的時間針對學習落後的學生做補救，因此希望能夠找到系統化的方式，有效的發掘學生學習時迷思概念的成因，並從中找尋合適的補救方法。黃敏雄(2013)根據TIMSS的資料，分析同一屆學生在四年級與八年級的數學表現，結果發現臺灣學生從四年級升到八年級之後，學生之間的數學表現懸殊程度劇烈擴大。由於臺灣各班級之內學生數學表現差距較大，老師難以掌握適合班上所有學生的教學內容與進度，且成績好的學生比較積極參加校外補習，導致整體學生之間的學習表現差異更加擴大，因此若要補救成績落後的學生的學習表現，只能靠政府積極介入，在學校之內提供補救教學或相關措施。實施十二年國教的目的在促進教育機會均等，實現教育公平與正義，延長基本教育以提升國民素養，並提高學生學力，確保教育品質(教育部， 2011)，所以參照國中教育的現況，補救教學已經是國中必須要做的事。教育部國民及學前教育署在補救教學作業要點(教育部，2013)中指出，每學期由導師或學習領域任課教師（國語文、數學及英語三科）提報該科成績為原班 1.

(10) 級後百分之三十五之學生參加測驗，線上測驗未過的國七、國八學生必須上補救教學的課程，希望透過因材施教，實現「成就每一個孩子」的想法，弭平學習落差，帶好每一個孩子。研究者任教的學校已開始讓國語文、數學或英語任一科學習成就低落的學生接受測驗，測驗未過的學生須利用每天第八節的時間實施補救教學，但該如何補救卻成為許多老師心中的疑問。研究者從實施的方式中發現，補救教學的線上測驗只能測出學生是否達到及格標準，但對未達及格標準的學生犯錯的原因為何卻無從瞭解，所以老師無法針對參與補救教學的學生設計合適的教材，另外，參與補救教學的學生在上完補救教學課程後，並沒有根據課程內容實施後測來檢視學習的成效，使補救教學淪為一種形式上的工作，而教育部希望「成就每一個孩子」的想法也變成空談，因此如何有效進行補救教學是研究者想要努力的方向。當國小學生進入國中階段，在經過學習整數與分數的運算等算術課程後，便開始進入代數的領域，學習運用代數符號來處理更抽象的數學問題。雖然早在國小五、六年級的教材中，就已引入文字符號來代表數並解決問題，讓學生接觸代數的概念，但大多數的學生在國中的代數學習過程中，卻仍深感困難，無法理解抽象的代數概念，也無法順利的操作代數符號。在國中的數學領域中，代數扮演了非常重要的角色，根據過去的研究發現，學生在處理代數問題的過程中，發生錯誤的比例非常高，其中包括代數式的化簡問題、解方程式或解應用問題。由 Kuchemann (1981)所主持的 Concepts in Secondary Mathematics and Science (簡稱 CSMS)代數部分研究報告結果顯示，大部分 13 到 15 歲的學生會把文字符號當成具體的實物或具體實物的標記(label for concret objects)，如有些學生將文字符號 a 當作蘋果(apple)，文字符號 b 當作香蕉(banana)，而 3a＋2b 就表示 3 個蘋果加上 2 個香蕉。Booth (1986)研究指出學生先前的算術經驗會影響其對未知數的學習，如有些學生將 2＋x 化簡為 2x 是受到算術中 2＋. 1 1 ＝ 2 等類似經驗的影響。 2 2 2.

(11) 郭汾派(1988)參考英國 CSMS 小組所設計的題目，對全國分區抽樣測試國中生在文字符號概念的主要錯誤類型，發現其常見的錯誤有：不同類項擺在一起、認為不同文字代表不同數、將文字當作特定數處理等錯誤類型。郭汾派及林光賢(1989)以台灣地區的國中學生為研究對象，建立了國中學生文字符號概念的發展層次，他們發現半數左右的國中二、三年級的學生，只會做單一文字符號運算、處理文字符號只當特定數或只有數字計算等結構簡單的題目。綜合上述的文獻探討，發現學生對於文字符號的概念與運算，仍存在有待釐清的錯誤概念。根據研究者本身的教學經驗發現，學生學習文字符號的概念與運算時，常犯的錯誤有： (一)他們對文字符號的瞭解只在於他們所知道的結果，卻不知道其真正的意涵為何。例如：他們記得答案曾出現過 r 5 和 5r ，所以當在求. r  r  r  r  r  ? 時，就會開始拼湊答案，不知加法或乘法在文字符號中所代表的意義。 (二)使用文字符號列出代數式時發生錯誤。學生對於正向思考列出代數式時大部份都可以接受，但若將未知數的假設設計成需要反向思考時，學生就不知道該如何列式了，會在逆運算時搞錯加減乘除的關係與先後順序。例如：己知今年爸爸的年齡比小明的 3 倍少 2 歲，若爸爸今年的年齡為 y 歲，要將小明的年齡以 y 表示時，認為要先將爸爸的年齡先除以 y 3 再加上 2，則將小明今年的年齡表示為( ＋2)歲。 3. (三)用分配律去括號來化簡代數式時發生錯誤。括號外的數只和括號內的第一項相乘，忽略第二項。例如：－3(－x＋8)利用分配律展開後，得到 3 x ＋8，未將括號外的－3 乘上括號內的第二項。 (四)做代數式與數的加減運算與化簡時，將同類項的係數合併錯誤。尤其是當文字符號的係數由整數變成分數時，或加上負數的四則運算時，學生 3.

(12) 更容易犯錯。例如：將－5 y－4－2y＋1 化簡為－3y＋5。代數的學習是從文字符號的化簡與運算開始，此一概念牽涉到以後的一元一次方程式、一元二次方程式、二元一次聯立方程式以及多項式的運算、函數的學習等，若觀念正確有助於日後的學習，相反的，觀念混淆不清就會阻礙將來的發展，所以及早發現學生在文字符號的化簡與運算的錯誤，並做有效的補救是很重要的。基於上述種種原由，本研究將以「文字符號的概念與運算」為探討範圍，以研究者任職學校的學生為探討對象，發展出一套適合的診斷工具，藉由此工具找出學生的錯誤類型並加以分析，嘗試瞭解國中生學習「文字符號的概念與運算」可能產生的錯誤，再依據所得到的診斷資料設計一個合適且有效的補救教學課程模組，改善學生的犯錯情況，期許本研究的結果對於中學數學教育的研究上有所貢獻。. 4.

(13) 第二節. 研究目的與研究問題. 根據研究動機，本節分為兩個部分：研究目的及研究問題來說明。研究目的：本研究目的為發展出一套診斷學生學習「文字符號的概念與運算」上產生的錯誤的工具，藉由此工具找出國中生在學過「文字符號的概念與運算」課程後，出現哪些主要的錯誤類型及產生的原因。然後針對主要的錯誤類型及其錯誤的原因設計一套補救教學之教材，並進行補救教學活動，來改正學生對於文字符號的概念與運算所存在的錯誤類型。由此研究目的可以延伸出以下的研究問題: 1.國中生在學習文字符號的概念與運算單元之後，對於文字符號的概念與運算的學習，可能會出現哪些主要的錯誤類型？ 2.造成這些主要的錯誤類型的成因為何？ 3.改善這些主要的錯誤類型的補救教學教材，其設計原則為何？ 4.經過補救教學活動之後，是否能改善學生之前所犯的錯誤？ 5.經補救教學一段時間之後，學生對於文字符號的概念與運算的學習保留情形為何？. 5.

(14) 第三節理論基礎本研究根據數學教育錯誤診斷與補救教學發展的方法架構進行研究，其理論基礎主要包括：(1) Treagust 的雙層式診斷測驗理論、(2) Vygotsky 的鷹架理論、(3) Ausubel 的有意義學習理論、(4) Piaget 的認知發展理論、 (5) Henderson 的概念教學理論。各理論架構簡述如下：一、Treagust 的雙層式診斷測驗理論有許多學者(Odom & Barrow, 1995; Rollnick & Mahooana, 1999; Treagust & Haslam, 1986)認為 Treagust (1988)提出的雙層式診斷測驗(two-tier)，可以有效的偵測出學生的學習困難、先存概念、另有概念或迷思概念等。此種診斷測驗試題的結構分為兩層：第一層是核心概念的內容，題目提供一個情境脈絡讓學生做二選一或三選一的回答。第二層是探索第一層作答的理由，題目提供了幾個理由選項讓學生選擇，以瞭解學生做第一層回答的理由。這樣的好處除了兼具選擇題的測驗形式，可以收集到大量的樣本資料，同時也改正了無法獲得學生真正想法的缺點。這種測驗實施的方式，將在第貳章第二節做詳細的討論。. 二、Vygotsky 的鷹架理論 Vygotsky (1978)認為人類的認知發展過程是經由「內化」或「行動的遷移」，將社會意義及經驗轉變成個人內在的意義。Vygotsky 將認知的發展分成實際的發展層次以及潛在的發展層次，在這兩個層次之間的差距，Vygotsky 稱為「近側發展區(zone of proximal development，簡稱 ZPD)」。「鷹架 (scaffolding)」一詞，是由 ZPD 的理念發展而來，為了幫助處於實際發展層次的學習者，跨越近側發展區，進而達到潛在的發展層次，此時所提供的協助就稱為「鷹架」。 Vygotsky (1978)的鷹架理論的主要特徵有：1.交互性的：在近側發展區 6.

(15) 裡，鷹架提供者(教師)和接受者(學生)之間的關係是互惠的，所謂的互惠是指教師所要提供的學習支持和學習者的互動回饋應該是經由彼此協商所決定。2.責任的轉移：學習的責任應在過程中逐漸由教師轉移至學習者，而其轉移時機則應視學習的實際情況而定。3.以對話溝通做為橋樑：在教師與學生間的溝通語言是促進學習者反思與認知的橋樑。 Wood, Bruner, & Ross (1976)指出鷹架在學習上提供六種功能：1.引發參與；2.減輕學習負擔；3.目標方向的管理；4.指出事物的重要特徵；5. 挫折控制；6.示範。Stone(1998)根據 Wood、Bruner 等人所定義的鷹架，進一步說明「鷹架」的四個特徵：1.成人有責任在孩童現存的瞭解能力下，鼓勵孩童參與一個有意義而且具文化內涵的活動；2.成人在教學歷程中，必須小心診斷孩童的學習情況，以便隨時提供最適當的學習支援；3.成人必須提供多元化的、不同類型的學習支持，幫助孩童學習；4.這些學習支持是暫時性的，而且隨著時間逐漸拆除。在實際教學活動中，教師必須依據教材內容以及學習者特性，提供學習者在學習過程中所需的鷹架，並且該鷹架的支持程度會隨著學習者在實際學習的情況不斷調整修正。. 三、Ausubel 的有意義學習理論「有意義的學習」是 Ausubel 理論的主要理念之一：當學習者在所要學習的新知識與原本學習者本身就已經知道的舊有概念間找到有意義的命題連結時，即可產生有意義的學習(Ausubel, 1963, 1968)。為了達成有意義的學習，必須具備以下三種條件： (一)學習材料：針對所要學習的材料，在本質上必須是有意義的。也就是說這種學習材料本身，就可以提供學習者以有意義的方式聯結其知識結構。 (二)先備知識（prior knowledge）：學習者必須具備相關的知識或概念，也就. 7.

(16) 是所謂的「先備知識」，以供新學習概念的聯結。 (三)學習意向：學習者必須為自己的學習負起責任，願意主動嘗試將新知識與既存的概念架構作聯結，以建構起有意義的理解。因此，學習要能夠變成ㄧ項有意義的活動，學習者必須要有足夠的「先備知識」、具備有意義的學習意向，再加上使用有意義的教材，整個活動就容易被引導進入有意義的學習行為中。學習者也就容易將新學習的知識或概念，快速地與既有的舊知識與舊經驗作聯結，統整成為一個更大、更廣的知識結構，以作為後續學習的「先備知識」。. 四、Piaget 的認知發展理論在 Piaget 的認知發展理論中，有幾個主要的概念： (一)基模(schema)：Piaget 認為，嬰兒出生不久，便開始主動運用他與生俱來的一些基本行為模式對環境中的事物做出反應，獲取知識。此等以身體感官為基礎的基本行為模式，可視為個體用以了解周圍世界的認知結構 (cognitive structure)。每當遇到某事物時，便用既有的認知結構去核對、處理，而此認知結構為 Piaget 所謂的基模。Piaget 將基模視為人類吸收知識的基本架構，因而將認知發展或者智力發展，均解釋為個體的基模隨年齡增長而產生的改變。當基模與環境或基模與基模彼此之間經由交互作用後，就會再形成另一個認知的基模。 (二)適應(adaptation)：在 Piaget 的認知發展理論中，適應指的是個體的認知結構或基模因環境限制而主動改變的心理歷程。在此過程中會產生兩種彼此互補的心理，分別為「吸收同化(assimilation)」和「調適順應 (accommodation)」。「吸收同化」是指個體運用其既有基模解決問題時，將遇見的新事物吸納入既有基模，此一新事物及同化在他既有基模之內，成為新的知識。「調適順應」則是指外界的事物或知識與原來的認知. 8.

(17) 結構不一致時，個體就必須改變原來的認知結構，以順應外界新的環境。 (三)平衡化(equilibration)：當個體能輕易同化新知識經驗時，心理上自然會感到平衡。平衡有三種：(1)平衡是吸收同化和調適順應之間的聯繫；(2) 平衡是個體基模中子系統的平衡；(3)平衡是一種調節個體部分知識與整體知識之間關係的平衡。 (四)認知衝突(cognitive conflict)：當知識的傳入與學習者現有的認知結構不一致時，認知結構即失去平衡，造成認知衝突。此時學習者為了解決認知衝突會產生調適順應進而引起概念改變，讓認知結構達到新的平衡。. 五、Henderson 的概念教學理論 Henderson 認為概念教學有兩種策略： (一)例示化教學策略(E-move)：以正例和非例(nonexample)來進行，一般用於「概念的獲得」。 (二)屬性描述化教學策略(C-move)：在描述概念的屬性，一般用於「概念的同化」。上述這兩種教學策略在概念教學的過程中，如果能夠交替進行將會更有效。然而，在使用 C-move 之前，應先運用 E-move，而 C-move 也能促進 E-move 的達成，若在未使用 E-move 之前就直接使用 C-move，這可能會造成 C-move 沒有達成，E-move 也沒有達成的情況。因此本研究參酌上述理論，使用 Treagust 提出的雙層式診斷測驗，發展出雙層式評量試題來偵測出學生的錯誤概念。在學習過程中，藉由鷹架的功能，幫助處於實際發展層次的學習者，跨越近側發展區，進而達到潛在的發展層次；在重新學習正確概念時，根據 Ausubel 有意義學習理論，研究者以學生既有的舊知識與舊經驗為基礎，讓學生能夠將新學習的知識或概念與舊有的知識與經驗作聯結，使學生進行有意義的學習；在補救教學時，參考 Piaget. 9.

(18) 的說法，對於改正學生的迷思概念及錯誤類型的教學策略，採取讓學生產生認知衝突，使學生原有的認知結構失去平衡狀態，進而有機會進行吸收同化與調適順應，來達成新的平衡狀態；在教學策略上，先以例示化教學策略讓學生獲得正確的概念，再交替使用屬性描述化教學策略，讓學生學習更有成效。. 10.

(19) 第四節名詞界定一、文字符號：本研究所指的文字符號，係指利用符號來代表未知數或量。例如：符號( □、( )、…)、文字(甲、乙、…)以及英文字母(a、b、…) 二、開放性試題：本研究的開放性試題乃是依各主題的教學目標訂定其評量目標，依評量目標並且參考不同版本的數學課本、教師手冊等資料，再與專家教師及指導教授討論修訂後編製而成。其試題型態與前面雙層式評量類似，第一層為是非題，先讓學生選擇題目敘述正確與否，但第二層並未提供任何理由敘述讓學生選擇，而是讓學生自己寫下判斷題目敘述正確與否的理由。三、雙層式評量：本研究所指的雙層式評量由 Treagust 所提出的雙層式診斷測驗(two-tier)，試題結構分為兩層：第一層是核心概念的內容讓學生選擇正確與不正確兩個選項，第二層是有五個理由選項的選擇題，前四個選項含誘答選項與正確選項，第五個選項為「其他＿＿＿」，如果學生所想的理由不在前四個選項中，可以填寫在第五個選項的空格中。四、錯誤類型：本研究所提出的錯誤類型，是依據自編「文字符號的概念與運算」雙層式評量學生作答情形，所分析出的錯誤類型。在「文字符號的概念與運算」雙層式評量中，因每一個錯誤類型常出現在不只一個選項，若一個學生有選其中 50%以上(包含 50%)的選項，我們就認定該生有犯這樣的錯誤類型。而當一個錯誤類型的犯錯人數有超過 15%的受測學生，我們就把此錯誤類型認定為主要的錯誤類型。五、補救教學：本研究之補救教學是指根據「文字符號的概念與運算」的雙層式評量所篩選出學生的主要錯誤類型，根據其錯誤的原因設計合適且有效的補救教學教材，並進行一連串積極性的補救教學活動，其目的在改正學生對於文字符號的概念與運算所存在的迷思概念，達成該階段的學習目標。 11.

(20) 六、互動的圖文教材：本研究所指的互動的圖文教材，是指在教材中以兩個不同的卡通圖像來代表老師和學生的角色，並在圖像旁加上對話框，再將對話的文字放在對話框裡，營造師生互動的對話模式。如下圖。. 我有問題！上面例子(3)的式子(10 × x)中，那個 x 和×也太像了吧！看久了會分不清楚，怎麼辦呢？. 可以把「×」改寫成「．」，在不會產生誤解的情況下，我們甚至連「．」也省略了。所以 10 × x 可以記為 10．x 或簡記為 10x。. 12.

(21) 第貳章文獻探討本章共分為四節，第一節為「文字符號的概念之相關研究」，第二節為「雙層式評量工具的發展與應用」，第三節為「錯誤類型及成因之相關研究」，第四節為「補救教學之相關研究」。. 第一節文字符號的概念之相關研究一、概念的形成所謂概念，是指對具有相關共同屬性一類事物獲得的概括性的認識。例如兒童吃過、看過、拿過不同形狀、顏色、大小的蘋果之後，在他的意識中將形成一種概括此類水果屬性的認識，此一超越具體事物的認識即為概念。狹義一點講，以單一概括性的名稱或符號，代表具有共同屬性的一類事物的全體時，此名稱或符號所代表者即為概念(張春興，2011)。 Merrill & Wood (1974)主張概念是一個包含物體或是符號的集合，因為有共同的屬性而聚集在一起。Mervis & Hupp (1981)認為概念就是把個人經驗加以歸納整理建立起來的範疇跟類目。Henderson (1970)將數學概念分成具體概念(concrete concept)和抽象概念(abstract concept)，具體概念是具有物理上實質的例子，例如：圓規、尺、三角板；而抽象概念是不具上述物理實質的例子，例如：數學上會遇到的分數、複數、無限大、多項式、機率等都屬於抽象概念。至於概念的形成，乃是根據學得經驗，辨別事物所具屬性，予以歸類處理(類化)，並抽取其共同之點(抽象化)，綜合歸納從而獲得對同類事物概括認識(概念)的心理歷程(張春興，2011)。Pines (1980)說明人類概念的形成有如一個圓錐形的結構，圓錐的底部稱之為延伸，表示概念延伸的部份，包含所有屬於此概念的事例。圓錐的頂部稱之為內涵，代表粹取出此概念的特質、共同性、或定義等規律性。 13.

(22) Skemp (1979)則是認為概念就是將具有相似性、共通性的經驗歸類在一起，概念形成的過程一般稱為抽象化。很多概念都是先來自我們實際經驗所抽象化所形成的初級概念，再根據這些初級概念抽象形成次級概念，往往要經歷多次的抽象才形成。而「抽象化」是一種心智活動的過程，使我們可以用已經分類好的舊經驗和相似性、共通性來認知新經驗。因此，概念形成過程分為五個主要的狀態： 1.意識(realization)：指一個新的概念，透過環境經由感官輸入概念結構，此時新的概念與概念結構中的任一概念都沒有聯繫上。 2.同化(assimilation)：指在概念結構中找出與新概念相類似的概念。 3.擴張(expansion)：指從既有概念結構中已有的概念來領悟這新的概念，使其成為概念結構中的一部分。 4.分化(differentiation)：指分辨新的概念與ㄧ些已有概念之間的異同處。 5.重建(re-construction)：重建過程是指當問題的情境改變時，已建立的概念結構雖具有相關性，卻不適用於此情境，此時必須重建個體的概念結構。 Sfard (1991)把數學概念分成操作性概念（或稱過程觀點）與結構性概念（或稱物件觀點），操作性概念是動態的、序列性的、詳細的，結構性概念是靜態的、同時的、整合的。對多數人而言都是先獲得操作性概念，然後再發展成一種可操弄，不須再涉及過程或行動的結構性概念。Sfard 提出數學概念發展的三階段論，認為透過此三階段的演進，才能把操作性概念轉化成結構性概念，此三階段為： 1.內化(interiorization)：指學習者藉由熟悉、操作屬於較低層次具體物的過程中，獲得新的概念。在此階段中，操作的技巧會提升。例如：操作 2＋3＝ 3＋2 的過程，漸漸理解加法交換律。 2.壓縮(condensation)：指把冗長的操作過程壓縮成為更可操作的單位。在這個階段中，不須考慮過程中細節的部分，而是將它是為一個整體、一個輸. 14.

(23) 入與輸出的關係。此階段的發展會使概念在不同表徵間的轉換變得比較容易，經壓縮階段後新概念才確實產生。例如：簡化 2x＋3－x－2＝x＋1。 3.物化(reification)：內化和壓縮都是漸進發生的，都是在量上長期改變的結果，而物化則是將過程或概念凝結成為整體的物件，使之成為靜態的結構，並且可以保有其特徵以便與提它概念比較。它可用來當作更高階層次概念內化階段的具體物。例如：長方體的面積以 A=WL 涵蓋。二、文字符號的概念與發展代數符號的發展，最早可以追溯到巴比倫和埃及時期。約在西元前 3000 年左右，那時的巴比倫人，只用文字來描述步驟，未提及驗證的手續，這使數學史家判定此時期的代數，得自表徵嘗試錯誤與頓悟。到了西元前 2500 年，發現了埃及人使用「符號記數系統」的史實。當時的「代數」與「算術」並無相異處，問題都是以文字敘述，並直接提出答案。(李宜蓉，2010) 約西元 250 年，希臘數學家丟番圖(Diophantus)沿用了古巴比倫的方法，引入了符號，他將未知數稱為「問題的數」(the number of the problem)，其代數被稱為精簡代數，而在丟番圖之前的那些巴比倫、埃及等的代數，因為大多都是敘述的狀態，沒有使用各種符號，被稱為修辭代數。約西元 830 年天文學家阿爾．花剌子模(Al-Khwarizmi)使用 shai 這個字來代表未知量，翻成拉丁文時變成了 res，即是「某物」的意思，很清楚的已有代數的概念。(洪萬生，2008) 代數符號的彈性與一般性的突破性發展，是由韋達(François Vieta)在十六世紀最後十年所達成，韋達的數學作品聚焦在解代數方程式的方法，為了使作品更清晰與一般化，他引入一種革命性的記號設計，以母音字母表示未知量，而用子音字母來表示已知量，他是第一個將符號當成代數的整體部分來使用的人。而韋達的符號系統，由笛卡兒(Rene Descartes)加以改進，他用英文字母中前面的幾個表示已知數，後面的幾個表示未知數，是如今標準化. 15.

(24) 的記號設計的來源，此時的代數，進入了符號時代。(洪萬生，2008) Kieran (1992)以歷史發展的觀點，整理出代數發展的三個重要階段： 1.修辭代數階段(rhetorical algebra stage)：此階段的特徵是以使用一般語言描述來解決特定類型的問題，但是缺乏使用符號或特殊記號(sign)來表徵未知數。 2.精簡代數階段(syncopated algebra stage)：此階段使用簡縮文字表徵未知量，此時期的代數學家們只關心文字符號的一致性（identity），而未企圖去表達文字符號的通則性（general）。 3.符號代數階段(symbolic)：此階段使用文字符號代替已知及未知的數和量，開始進入符號化階段，不但可以使用文字符號代表通解，並且將代數視為處理數字關係以證明規則的工具。 Harper (1987)認為學生使用代數符號的能力發展，經歷了歷史上符號發展的三個階段歷程：第一階段：用語言(不用符號)描述各類特殊問題。第二階段：利用符號(簡單記號)代表未知數或量，並算出未知的數量。第三階段：同時利用符號代表已知及未知的數和量。學生經歷了這三個階段，才有可能用一般化的代數方式，透過符號代表數值，來處理一般的代數數值關係。當學生逐漸形成使用符號代表已知及未知數量的同時，他們在解題計算時的注意力，會慢慢的由獲得數值解，轉變到考慮使用的方法或程序，並逐漸注意到數學運算的本質。 Collis (1975)從學生的觀點，將文字符號的概念分類成六種不同的使用層次： 1.文字符號為可算出的值(letter evaluated)：指文字符號代表一個設定的數值。例如：n＋5＝8 中的 n。 2.文字符號可忽略而不用(letter ignored)：指文字符號雖然出現在題目中，但. 16.

(25) 在解題過程中可不加以考慮。例如：a＋b＝43，求 a＋b＋2＝？本例中，前後兩式只在於加 2 的不同， a＋b 可加以忽略，而直接求出答案為 43＋2＝45。 3.文字符號當作物體(letter as object)：指文字符號為某一代表物的簡寫或標記 (label)。例如：以 h 代表某一多邊形的一邊，而不是數字(邊長)。 4.文字符號當作特定的未知數(letter as special unknown)：可直接加以運算。例如：若一多邊形有 n 個邊，而且每個邊的長度為 2，則周長為 2n。 5.文字符號當作一般化的數(letter as generalized number)：即視文字符號代表一組數字而非單一數值。例如：若 c＋d＝l0，且 c＜d 中，則 c 代表小於 5 的數。 6.文字符號當作變數(letter as variable)：即文字符號代表一未定的數值。例如：比較 n 和 2n 的大小。(引自袁媛，1993) Küchemann (1981)以 3000 名 13 到 15 歲的英國中學生為研究對象，透過紙筆測驗調查這些學生代數的學習成就，將他們對文字符號的成就分為四個認知層次：層次一：學生能進行文字符號的求值(可用嘗試錯誤或具體的方法，不須具備解方程式的能力)、忽略文字符號。層次二：能作較為複雜的文字符號問題，但無法一貫地處理特定未知數、一般數及變數的問題。層次三：能將文字符號視為特定未知數、一般數或變數，但僅限於結構簡單的問題。層次四：能將文字符號視為特定未知數、一般數或變數，且能處理結構較為複雜的問題。在 Küchemann (1981)的研究中，英國僅有 40％的 15 歲孩童能到層次三，. 17.

(26) 而能達到層次四的更僅有 9％。這個結果與國內的研究十分類似（郭汾派等， 1989），換句話說，在九年一貫第四階段的孩童要將文字符號視為特定未知數、一般數或變數，有其困難度，這不只是教學上的問題，更可能是認知上的問題。三、文字符號的課程安排文字符號的使用只是進入代數思維的第一步，但要真正進入代數思維，憑藉的是支撐在符號背後的代數想法。曹亮吉(2003)指出學習代數常常從未知數開始，然後直接跳到抽象的一般數，他認為不要從算術一下子就跳到代數，能夠類化變數才是學習代數的重心。也就是說，學生要能夠進入一般化的階段，並且能將一般化的想法用回到特殊化的情境上，才能順利地運用代數思維，避免代數思維成為一種無意義的符號遊戲。數學與符號有著密不可分的關係，符號表徵的使用是國中七年級學生學習的重點之一，而學生對於符號的操弄會影響到往後的數學學習。謝佳叡 (2002)認為從國民教育的數學內容來看，符號化是學生跨入代數思維的第一步，而符號化絕不是學生的自然、直觀的想法，這也是為何九年一貫數學領域代數主題中，要安排長的時間來培養學生對於符號理解與使用，且針對不同認知層次的學生採用循環、螺旋的方式，以期學生能在足夠且成熟的經驗後，順利進入符號化的代數領域。民國九十七年實施的「九年一貫課程綱要」(教育部，2003)中，修訂了國小階段的代數課程，在國小高年級部分，加入一些題材，包括運用未知數做數學表示式、理解等量公理等，希望能協助銜接國中的代數教學。由於算術的學習仍然是國小數學學習的主體，所以在解題策略的發展上，應儘量讓學生做多方探索，避免讓代數工具過早抑制學生的想像力，因此國小的代數主題，幾乎都是為了國中的代數學做前置鋪陳。在 97 課綱(教育部，2003)中，國小代數題材安排的特色分成 A、B、C、. 18.

(27) D、E 五點敘述如下： A.能理解常用算術符號的使用方式，並用來列出日常問題的算式，以進行解題。 B.從最基本的加減問題開始，詳細安排兩步驟至多步驟的教學次序，並依序安排四則運算規律的教學，從整數到分數、小數，在具體情境中，瞭解各基本運算之性質，並應用於不同教學目標的教學。 C.從最基本的加減問題開始，到四則混合計算，讓學生最後能獨立於生活與具體情境，在形式與程序上，流暢進行整數計算，其中包括併式演算的能力，並活用運算律於簡化計算。橫式演算與運算律都是國中代數符號演算的重要基礎。 D.協助發展對數學問題之解題策略。 E.能理解等量公理。(p.190). 97 課綱已在國小鋪陳代數預備經驗，到國中引入「以符號代表數」的想法，正式進入代數學習的世界，包括代數演算、運算律、解方程式、函數關係以及和幾何連結的直角坐標。代數的能力包含邏輯與符號的推演，可培養學生的抽象思考能力，即使是幾何推理的素材，也經常需要藉由代數方法來導出新觀念或新性質。在 97 課綱(教育部，2003)中，國中代數題材安排的特色分成 A、B、C、 D 四點敘述如下： A.以符號代表數以符號代表數，是學習代數學的關鍵與難關。這裡有四個層次：首先是國小綱要已要求使用符號來記錄常用的公式，由熟悉的公式入手，可以減輕學生對抽象符號的恐懼；其次，是用符號來表示運算律(包括指數律)，學生在此可體認符號簡化並釐清數學敘述的威力；第三，是解題時，用符號來表達問題中的數量關係，作為解方程式的準備，這裡符號所代表的是特別的數，而不是一般的數，因此認知上更困難；最後，是用一些符號來表示一般的數量關係或函數關係，這不只是用符號代表數，而是用符號來表示關係，屬於更抽象的層次。 B.代數演算與分配律 19.

(28) 以國小高年級的橫式計算與化簡為基礎，國中要開始學習代數演算，作為所有代數計算的基礎，其中最關鍵的就是分配律。在併項演算、乘法公式、分解因式、配方法這些重要的代數課題中，使用分配律的成熟度都是學習的核心。 C.解方程式解決應用問題是數學教育的重要目標，而解方程式則是解題活動中，既重要又較有系統的一環。整個國中的代數教學，應養成學生解題的習慣：觀察題意、以符號將問題中的數量關係列成方程式，最後在解出方程式，並觀察解是否符合題意。國中會遇到的方程式，包括主要的一元一次方程式、二元一次方程組、一元二次方程式，以及較次要一元一次不等式與二元一次方程式。 D.函數關係與函數圖形由國小至國中，很多常用的數量關係最後會總結為函數關係，學生應理解當一組數 x 能決定另一組數 y 時，就決定了一種函數關係。學生能從個例中，先熟悉常數函數、一次函數與二次函數的種種計算、性質與圖形，到國中引入 y=f(x)的符號。理解函數的重要環節是看到坐標平面上的函數圖形，另一方面，要能有效率繪製函數的圖形，則又需要更深入理解函數的性質。(pp.190-191). 九年一貫強調培養學生帶著走的基本能力，重視學生的基本能力培養，學到知識後，能應用於生活中。代數主題中包含五點學習目標： (一)讓學生能掌握代數符號、代數方法的概念與使用方式。 (二)培養學生觀察生活周遭數量樣式、數量關係與情境，並用未知數或變數的概念描述其規律能力。 (三)讓學生能掌握解決數與量、幾何、機率與統計及其他相關學習領域中問題所需要的代數方法。 (四)發展學生以符號化、一般化、系統化的代數思維進行解決生活周遭問題的能力。 (五)培養學生欣賞代數方法的能力。. 20.

(29) 從上述多位學者的理論可以知道，概念的形成是相當不容易的，需要經過一連串的抽象化，找出共同屬性，並經由意識、同化、擴張、分化與重建後方能形成數學概念。學生學習代數的概念是有程序性的發展階段的，由於每個學生對文字符號的認知層次都不盡相同，瞭解了不同的認知層次後，當學生進行以文字符號代表數或是進行文字符號的運算時，可以多補充多分析其內部的算術想法，讓學生知道自己在做什麼事情，每個列式都有其背後意義，而不是盲目操作，只要代數想法成熟，技術自然就會跟著落實。此外，也要多了解學生的想法，了解他是用什麼樣的方式在理解問題。在引入文字符號時，研究者能夠從算術來暸解運算的意義和性質，發展出抽象符號表示，進而用抽象思維進行代數運算，幫助學生藉由舊經驗來認知新經驗，建立正確的概念。. 21.

(30) 第二節雙層式評量工具的發展與應用一、診斷測驗的發展：在教學現場中常可以看到，同樣的一個知識或想法，經由教師傳授給學生之後，容易產生不同的結果，出現相當大的落差。這種學生在學習數學與科學課題時，透過其本身的思維方式所建構出與教師教學不一樣的概念的現象，就稱為迷思概念(misconceptions) (Helm, 1980)、先有概念(preconceptions) (Novak, 1977)、另有架構(alternative frameworks) (Driver, 1981)、孩童的科學 (children’ science) (Gilbert, 1982)。張惠博(1999)指出，想要瞭解迷思概念的成因，主要有以下六種診斷方法： 1.診斷式傳統測驗題：常用來大量施測，其缺點是難以詮釋學生的想法。 2.概念圖法：由 Novak (1977)所提出，最常用來表現概念關係的測量方式。 3.晤談法：對於個案進行事例或事件訪談，用於了解個案想法或作法。 4.關係圖法：如單字聯想、樹狀圖、圖形建構、網狀圖、語意分析等，表示彼此之間的關係。 5.Vee 圖：利用集合關係圖來推論根據何種觀念、原理、理論來支持其想法。 6.雙層式測驗：Treagust (1988)所提出的雙層式(two-tier)診斷測驗，此種診斷測驗試題的結構分為兩層：第一層用選擇題診斷學生對概念的理解，第二層再以問題來根據學生之說明來探究學生對概念的真正想法。在這些方法中，比較常被使用的有診斷式傳統測驗題、晤談法與概念圖法。診斷式傳統測驗題可以普遍性施測，取得大量的樣本資料，但是取得資料後，卻無法從中了解學生作答的真正原因為何。晤談法則是需要耗費相當大的人力與時間。而概念圖對於學生來說也需要花費很長的時間來回答，甚至需要對教師進行專門訓練(Odom & Barrow, 1995)，因此這些方式並不適合 22.

(31) 用於大規模的實施來探究學生的科學概念。針對這些診斷評量工具的缺點，Treagust & Haslam (1986；1987)提出雙層式評量診斷(Two-tier diagnostic assessment)工具，來診斷學生概念，並幫助教師了解學生在概念學習的狀態。也就是將將學習診斷分為兩層，第一層是核心概念的內容，題目提供了一個情境脈絡讓學生做二選一或三選一的回答。第二層是探索第一層做答的理由，題目提供了幾個理由選項讓學生選擇，主要是用來瞭解學生所選擇的理由敘述是否為正確概念，進而瞭解學生在第一層回答的理由正確性。5 個理由選項中的最後一個選項為「其他，我的理由是_______________」，也就是當學生的理由有別於前四個理由選項時，還可以將自己的理由自由地表達出來。雙層式評量試題的形態如圖 2-1 所示：圖 2-1 雙層式評量試題的型態題目： ………………………………………………… ………………………………………………… □是. 第一層. □否. 理由：(A) ………………………………………… (B) ………………………………………… (C) …………………………………………. 第二層. (D) ………………………………………… (E) 其他，我的理由是. 二、雙層式評量工具的編製：依據 Treagust (1988)的研究，雙層式評量工具的編製程序可以分成：定義內容、獲得學生概念之相關證據，以及發展診斷工具等三大部分。根據此三大部分可再細分成十個步驟，說明如下： 23.

(32) (一)定義內容(Defining the content) 前四個步驟是定義主題的概念範圍和相關內容知識的敘述，並發展概念圖。步驟 1：確立命題知識敘述就研究主題內容，找出包含在此領域內的知識，並將其中的概念逐項條列出來，以確定命題的範圍。確定命題知識的敘述，在課程發展及教學上具有很重要的地位。步驟 2：發展概念圖對研究主題相關之概念，畫出階層式的概念圖，研究者可利用概念之間彼此的關聯性，仔細思考所選擇的教學內容之本質及範圍。而步驟 1 和步驟 2 可說是同時發展出來的，當命題敘述確立時，所對應的概念圖也已成形，或是當概念圖確定時，所對應之命題敘述也已成形，兩者是相輔相成的。步驟 3：將命題知識敘述與概念圖連結比對每個命題知識的敘述皆要與概念圖中所對應之概念直接相關，確保被檢測的內容具有其內部一致性，且彼此要能涵蓋整個主題。這一種信度檢核，看兩者是否真正能檢測和覆蓋於相同主題區域。步驟 4：將試題內容效度化命題敘述和概念圖是由學科學者、學科教師和學科專家檢核進行內容效度化，並經由這些專家、學者針對命題的敘述和概念圖之中有任何矛盾或不適當之內容進行刪除或修訂。當命題敘述及概念圖都確定之後，在發展診斷工具的題幹時就會更加明確。 (二)獲得學生概念之相關證據(Obtaining information about students’ conceptions) 第二部分是發展診斷式的評量工具來偵測出學生的迷思概念，首先透過對先前研究文獻的檢視，以及利用紙筆測驗一些開放性的問題後， 24.

(33) 再和學生進行訪談，得到學生作答情形的資料，來瞭解學生對該研究之學科內容的理解，如此該主題的學生概念之典型範例就可以被確定。步驟 5：探索相關研究文獻在開始定義相關的學科問題或是探討學生的某種學科概念時，必須對於一些研究學生之學科概念的相關文獻進行探討，以便獲得學生的迷思概念，以及學習時若發現有困難的概念時，可以適時藉此用來發展診斷工具。步驟 6：與學生進行非結構性訪談利用非結構性開放式的問題與學生進行訪談，在訪談過程中可以廣泛地獲得學生的知識結構或迷思概念，並藉此瞭解學生對此概念理解的程度。步驟 7：發展開放性試題，讓學生可以自由回答每一個選擇題的設計都是依照命題的敘述而來，而且每一題選擇題的選項都是用來偵測學生的迷思概念。每一題選擇題的最後選項都包括了一個空白位置，讓學生可以自由填答他所選擇此答案的理由，藉此來蒐集學生的潛在概念。 (三)發展診斷工具(Developing a diagnostic instrument) 第三部分診斷工具的建構包含了雙層式題目的發展，第一層要求學生對核心概念的內容進行作答，第二層則在探索學生在第一層作答的理由為何。根據步驟 5、6、7 來發展題目的第二層—理由選項。步驟 8：發展雙層式的診斷工具每一道測驗題中的第一層選擇的是內容問題，且通常設計有二到三個選項；第二層是選擇第一層的理由，通常包含四個可能的理由選項，選項為綜合上述文獻、訪談和開放性紙筆測驗所獲得學生該題作答的理由、想法，其中包含了迷思概念、正確概念或是完全錯誤的答案。然而. 25.

(34) 學生必須兩層都答對，那麼此題才算答對。步驟 9：設計雙向細目表將所有題目的命題敘述整理成雙向細目表，以此表來檢視診斷性試題的題目可公平地包含主題上的命題知識和概念圖上的概念。步驟 10：持續精鍊透過不同的班級或是不同群的學生來進行施測，透過不斷地修正診斷工具，來確保該診斷工具可以有效地偵測出學生的迷思概念。三、雙層式評量工具的優點：以 Treagust (1988)所提出的雙層式評量診斷工具來診斷學生的錯誤概念，其優點如下： (一)兼具晤談法之質性的優點與傳統測驗法之量化的優點：晤談法或概念圖法，雖然也可以得知學生的概念，但是卻必須花費相當多的時間，在有限的教學時間中並不適宜。而傳統測驗法雖然可以大量施測，但只能單純了解是否有達到某一個層次，並沒有辦法找出學生的概念和原理的學習發展層級，也無法診斷出學生的迷思概念。雙層式評量診斷工具的理由選項，是透過文獻探討、開放性試題施測，以及學生晤談的結果歸納編製而成，因此雙層式診斷工具結合了學生選擇答案的推理過程。再加上這兩層都是以選擇題的形式呈現，可以很順利的在短時間內大規模探究學生的概念。 (二)可以降低學生猜對的機率，提高題目評量的效果：在含有四個選項的典型選擇題測驗中，亂猜而猜對答案的機率是 25%，而在雙層式評量中，學生必須要先對題目的第一層－核心概念內容(內容知識的部份)進行選答，之後再從第二層－理由選項中進行選答，兩個階段都需要答對，才算學生對於該題有正確的認知。由於第一層有 2 個選項，第二層有 5 個選項，兩層都同時猜對的機率就只剩下 10%. 26.

(35) 了。因此可見雙層式的評量工具可以減低猜對之機率，相對的也提高了本研究題目評量的效果。 (三)改良傳統選擇題的僵化模式，引導學生改變只重視死背知識而不求理解的嚴重缺點：在考試領導教學與傳統選擇題的考試模式之下，學生在學習時很常見的現象就是只想追求最後的答案，認為只要將答案記下來就好，問題背後的真正重要的概念往往容易被忽略。而雙層式評量試題的設計強調概念的理解，重視以學生的理由及包括已知的另有概念為基礎而設計的雙層式試題，近幾年來已成為許多研究學者所認同的研究工具，學生本身可以在作答的過程中學習、澄清自我概念並幫助原有概念間的連結(林鴻成，2009)。因此雙層式評量試題對本研究來說，除了可以幫助教師瞭解學生在學習上的困難，還可以進一步解決教學中的盲點，提升學生的學習效果。 (四)可以偵測出學生的錯誤概念，並提供教師作為擬定教學策略或補救教學的重要依據：張賴妙理與鄭湧涇(2000)指出，雙層式作答方式的概念診斷工具確實能夠偵測出學生的錯誤概念。柳賢(2000)針對高一學生進行開放式雙層式評量測驗之後提出，經由這種開放式雙層式評量的方式，教師可以瞭解學生是否真正理解所學的知識而非一知半解。因此，設計成紙筆式、選擇題型的雙層式診斷評量能診斷出學生的錯誤概念，幫助教師對學生學習情況能更進一步的深層瞭解其內涵，同時教師能針對學生的錯誤概念擬定合宜的教學步驟及策略，適時修正教學目標，進行補救教學(楊坤原、張賴妙理，2001). 27.

(36) 四、使用雙層式評量來診斷學生數學概念的研究自雙層式評量方式提出以來，此評量方式大量及普遍地被應用於在科學與數學教育上，做為診斷學生迷思概念的ㄧ主要工具。近幾年有越來越多的研究者，也使用雙層式評量來診斷學生的數學概念，例如：吳秀玲(2008)採用雙層式評量診斷國中八年級學生因倍數單元的概念學習狀況，藉以發展教學診斷工具，做為提供學生自我檢測與改進學習方式的依據。林鴻成(2009)採用雙層式評量來診斷國中八年級學生學習二次方根後，出現哪些錯誤類型及成因，再根據成因設計補救教學教材，並進行補救教學活動來改正學生的錯誤。張嵐雄(2011)採用雙層式評量來診斷國中八年級學生學習多項式乘法與除法後，出現哪些錯誤類型及成因，再根據成因設計補救教學教材，並進行補救教學活動來改正學生的錯誤。徐敏媛(2012)採用雙層式評量來診斷國中九年級學生在學習二次函數單元後，出現哪些錯誤類型，再進行成因分析，然後根據成因設計補救教學教材，並進行補救教學活動來改正學生的錯誤。鐘文傑(2013)採用雙層式評量來診斷國中八年級學生對於分數概念及加減法的錯誤概念，並整理歸納錯誤類型，分析錯誤類型的成因，然後根據成因設計補救教學教材，並進行補救教學活動來改正學生的錯誤。根據上述文獻可知，使用雙層式評量來診斷學生的迷思概念可以說是一個相當適合的工具，因此本研究採用雙層式評量工具來診斷國中八年級的學生對文字符號的概念與運算有哪些迷思概念，並整理歸納錯誤類型，分析錯誤類型的成因，設計補救教學教材，並進行補救教學活動。. 28.

(37) 第三節錯誤類型及成因之相關研究一、錯誤類型的探討李芳樂(1993)認為錯誤有兩種：認為錯誤有兩種：1.疏忽(slips)：由於不小心做錯而產生的錯誤。2.系統性錯誤(systematic errors)：由於學習了錯誤的觀念或程序而產生的錯誤。疏忽是由於注意力被分散所導致的，它的產生被認為是不規則的，所以沒有引起太大的注意。而系統性錯誤則被認為是由於某種錯誤知識，或是缺乏某些必須知識而引起的，因此較受到研究者的重視，透過對系統性錯誤的研究，可以了解學生在學習過程中產生錯誤的原因，避免學生重複犯錯。 Engelhardt (1982)將學生運算的錯誤分成四種類型：1.機械性的錯誤：由於知覺動作困難或動作困難所導致，例如：錯誤的符號或排列錯誤。2.粗心。 3.概念化的錯誤：因為缺乏或不正確的概念、原則所導致。4.過程性的錯誤：因錯誤的順序或不適當的過程所導致。 Davis (1984)將一般日常生活或學習上的錯誤分為兩種類型：1.個體本身因為過去習慣或概念養成，而產生的自有錯誤類型。此錯誤行為無論是在同一問題或是在不同時日皆表現相當一致，藉此教師可以了解個體在思維上的習慣錯誤，來幫助學生澄清錯誤之處進而消除之。2.一致性的錯誤不在個體自己的行為，而是在不同的人有相同的行為，也就是說某些錯誤是許多不同的人在學習過程中共同發生的現象。 Mayer (1985)將學生的解題錯誤分成三類：1.遺漏的錯誤(omission error)：指學生對命題的敘述或狀態沒有完整掌握。2.細節的錯誤(specification error)：指學生在運算中變數轉換等相關運算細節之錯誤，如單位換算。3. 轉換的錯誤(conversion error)：無法正確將命題陳述轉換成數學關係所犯的錯誤，換句話說，是表徵轉換的錯誤。Mayer 指出，此三類錯誤中，以轉換的錯誤最為嚴重，其原因是很多學生對關係的回憶，缺乏表徵的語言知識所導 29.

(38) 致。在錯解辨析(九章出版社，1988)一書中將學生的錯誤類型區分為以下四大類：1.由於概念不清產生的錯誤：包含概念實質模糊、混淆相似概念及循環定義概念等產生的錯誤。2.由於推理無據產生的錯誤：包含臆造定理、濫用法則、循環論證、論證不足及方法不對等產生的錯誤。3.由於忽視條件產生的錯誤：包含忽視概念中的隱含條件、忽視所使用的定理、公式、法則的適用條件、忽視取值範圍的變化、忽視約束條件中的隱含條件、忽視條件的充分性與必要性、錯誤理解條件、遺漏或濫加條件、忽視結論特徵中的隱含條件、把給定的一般條件特殊化等產生的錯誤。 4.由於考慮不周產生的錯誤：包含審題馬虎、形式套用、顧此失彼、忽視特例、以偏概全及檢驗不當等產生的錯誤。此分類方式將數學概念的錯誤細分成前兩類，而後兩類為疏忽所產生的錯誤，也就是將計算上的細節錯誤加以分類，與前述 Mayer 的前兩類類似。. 二、錯誤類型成因的探討由認知心理學的研究結果，得知學生會主動建構或「發明」知識，此一「發明」會受到先前學習知識的影響。學生先前的學習對於其當前的學習，可能有正向的影響，也可能產生干擾。學生的先前知識有時與正統概念相去甚遠，此時，此種生手理論將會干擾課堂學習，不僅影響最後解答，也影響思考過程，形成錯誤概念。以 Piaget 的認知發展來看，國小數學著重於具體操作的教學，而國中數學卻以形式運思期的抽象思考和邏輯推理為主，在教材和教法上都有明顯的不同。學生以其熟悉的數學學習方式改變成這種思考的過程當中，除了常見的數學計算錯誤與困難外，會引發許多的錯誤概念（張景媛，1994）。. 30.

(39) Brown and VanLehn (1980)提出修補理論(Repair Theory)：認為學生在答題的過程中，發現自我知識不足遇到困難時，學生通常不會立刻放棄，而會對此難題做出一種問題解決的過程(problem solving process)，去找到一個自認為較能接受的解決辦法來作答。若學生在學習上本來就存有錯誤概念，便會因此發生錯誤。例如：演算過程中，就可能產生系統的錯誤演算規則，而這些錯誤並不是學生疏忽所造成的。 Matz(1982)認為學生學習代數時，有時會因為能力不足，常會退回去用舊經驗去解決新的問題，許多錯誤的規則都是由於學生對正確的規則做出錯誤類化(misgeneralization)或過度類化(overgeneralization)而產生的。根據 Matz 的分析，學生學過適用於某種情境下的規則，如果把此規則不當的應用於不同的情境，便會造成錯誤。 Resnick (1989)的研究指出，錯誤演算規則的產生主要有兩個原因：1.學習者把學過的演算規則類化並外推到其他的情境。例如：將負數乘以負數等於正數的規則運用到加、減法的運算，學生的錯誤算式：－A－B＝A＋B。 2.遺忘演算公式或規則的限制(constraints)。例如：去括號時忘了運算規則，直接將括號拿掉，學生的錯誤算式：A－(B＋C)＝A－B＋C，這類形之錯誤可能來自概念偏差或是粗心所產生之錯誤。石函早與胡俊山(2007)提出數學錯誤概念產生的原因有：1.學生認知方面：在生活經驗中的日常概念上，與抽象化之數學概念產生衝突，導致對抽象層次較高的數學概念有錯誤理解，也因此產生錯誤地推論過程。2.教師教學方面：教學僅提供概念的某些面向，容易造成學生斷章取義，因此要注意全面展示概念的本質屬性，不論內含或外顯部份。3.教材編寫方面：編寫不夠嚴謹，需要降低教材編寫之侷限，以免造成學生錯誤概念之形成。由此可知在學習上，除了因為學生過往認知所造成的迷思外，錯誤亦可能會來自於教師教學的過程。. 31.

(40) 三、文字符號的概念與運算的錯誤類型過去許多研究曾經對於文字符號的概念的數學習學生的錯誤迷思有所探討，kuchemann (1981)對 3000 位年齡約 13 至 15 歲的英國學生實施代數的紙筆測驗，將題目分為文字符號的求值、文字符號的忽略、文字符號當作物件、文字符號當作特定未知數、文字符號當作一般數與文字符號當作變數共六類，以瞭解學生對文字符號的理解。結果顯示 13、14、15 歲的學生，約有 73％、59％、53％無法將文字符號的使用當作未知數。 Booth (1988)根據該次的研究結果，整理出英國中學生在有關文字符號之理解上常見的錯誤： (一)把文字符號視為單字開頭的字母。 Booth 認為在學生的觀念裡，字母代表物品或是一個字的起頭字母是源自於經驗的類化，例如：通常把 6 meters 寫成 6 m，面積表示成 A(Area) ＝l (length)×b (breadth)，時間(time)以 t 表示，速度(velocity)以 v 表示等。 (二)不同的文字符號一定代表不同的數。 (三)學生看到「＋」的反應就是必須做些運算（do something），許多學生以為數學就是要求出答案，而且答案必須是一個數或單項式。 (四)學生以為括號是可以省略的，有無括號所得到的答案都一樣。學生在做數學時著重的是答案而非方法。 (五)學生做題目較喜歡使用自己的方法，但自己的方法比較沒有一般性，當遇到較困難的題目時就無法推廣。張素鎔(1987)提到學生解出代數問題容易犯 2a＋5b＝7ab 的錯誤，主要原因可能有下列三種： (一)學生認為數學就是要求答案，而答案通常是「數」，如果不是「數」，最好也是單項式。 (二)學生看到「＋」認為就是要做點事，結果就是 7ab。. 32.

(41) (三)學生認為相加就是「合併起來」的意思，把能加的加起來，不能加的就合併擺著；且學生在過去的學習中已有將「＋」看成合併的經驗。又如求矩形的面積問題，如右圖. 5. e. 2. 學生的錯誤答案為 5e2、10e、e10、e＋10，探究其產生錯誤的原因，學生都知道求面積的方法，但忽略括號寫出 5×e＋2 這樣求面積的式子，主要原因可能有下列三種： 1.學生認為運算式都是由左算到右，所以不必括號。 2.從問題的圖中，就知道先後計算的次序。 3.運算的結果與次序無關，不必括號。而經過進一步的驗證，發現學生並不是忽略括號，而是學生根本認為不需要括號，也就是他們並不了解 5×e＋2 不同於 5×(e＋2)。郭汾派、林光賢和林福來(1989)參考英國 CSMS 小組所設計的題目對全國分區抽樣測試國中生在文字符號概念的主要錯誤類型，發現其常見的錯誤有： (一)受到帶分數模式 7 . 1 1  7 之影響，而有 8＋g＝8g 之迷思。 2 2. (二)係數、文字分別處理。例如：2a＋5b＝7ab，4×(n＋5)＝4n＋20＝24n。 (三)不同類項擺在一起。例如：h＋h＋h＋h＋t＝4ht。 (四)不知如何使用符號。例如：5×(e＋2)=5e＋2 或 5×e＋2。 (五)忽略數據資料。例如：設 c＋d＝10 且 c＜d，求 c 時，答案多為 c＝10－d，而忽略 c＜d 之條件。 33.

(42) (六)認為不同文字代表不同數。例如：K＋M＋N＝K＋P＋N 之題目要回答 M＝P 之答案感到困難，認為不同文字沒有相等之可能性存在。 (七)將文字當作特定數處理。學生易認為答案一定是一個已知數的錯誤觀念，尚未能建立好公式一般化的觀念。 (八)受定義影響。學生有時會誤解題意或不明白題意，以致作出錯誤的答案。 (九)重新設定未知數。習慣以 x、y、z 表示未知數，換成 a、b、c 或其他符號，其認知就會不同，也尚未能體會文字符號只是 “符號”，不管以什麼來代替都可以的地步。 (十)不能辨別符號與物品。例如：對甲牌鉛筆每枝 7 元，那甲支甲牌鉛筆是 7 甲元感到困難。 (十一)文字符號當有次序的特定數。學生隱約會把 a、b、c…當成 1、2、3 之順序來處理。例如：若甲＋2＝丙，那麼會把甲＋4 回答為『戊』。 (十二)文字符號只當不為負數的數字處理。例如：設 c＋d＝10，且 c＜d，求 c＝？很高比例的學生會回答為 1、2、3、4 或 0、1、2、3、4。戴文賓、邱守榕(1999)研究國一學生由算術領域進入代數領域時發現的迷思概念為： (一)有關代數式的意義： 1.在代數式求值問題中，學生會把 3x 當作 3＋x。 (二)有關同類項的意義與合併規則： 1.只處理含 x 的同類項，常數項則不合併處理。. 34.

(43) 例如：3x＋4＋5x＋3＝8x＋4＋3 2.不接受含有加號的式子當作答案。例如：不接受 3x＋4 為答案，會再將不同類合併處理變成 7x 或 7。 3.不確定 x＝1x，而把 x 看作「0x」計算，將係數忽略不計。例如：3x＋x＝3x。 (三)含括號的化簡問題： 1.括號外的數字只和括號內的第一項相乘，忽略第二項。 2.括號外的數字如果是負數時，沒有隨著變號。 3.不知道括號內的算式是要和括號外的那一項進行運算。陳盈言(2000)探討國二學生變數概念的成熟度對其函數概念發展的影響，發現學生在代數上的迷思為： (一)文字符號與數字混合運算上的錯誤，包括： 1.帶分數模式。這種錯誤類型發生的原因主要有兩個： (1)學生仿照分數加法 2 . 1 1  2 的方式，因而有 8＋g＝8g 的迷思。 4 4. (2)學生認為如同符號相乘時乘號可省略(8×g＝8g)，故符號相加時加號也可省略，因而出現 8＋g＝8g 的錯誤。 2.加法指數模式。學生以為如同乘法般，相同符號可以指數來表示（e × e × e＝e3），故符號相加也可如法炮製(e＋e＋e＝e3)。 3.不同類項擺在一起。文字符號相加減時，學生雖能區分同類項與非同類項，並將同類項加以合併，但遇到不同類項時卻不知如何處理，因而將其並排在一起。例如：2a＋5b＋a＝3a5b。 4.係數與文字符號分開處理。 35.

(44) 文字符號相加減時，將係數與文字符號各自抽離並分開處理。例如： 2a＋5b＋a＝8ab。上述的四種錯誤類型顯示學生不瞭解符號的正確表示法。 (二)未有符號代表未知數的概念。有些學生未能接受解題最後以代數型態作為答案，經常企圖將數字代入文字符號中，使最後答案可以數值型態出現，顯然其未有符號代表未知數的概念。 (三)未能以符號表示一般化。學生在代數上的一大障礙就是以符號表示一般化，雖然有些學生已有一般化的概念，也能以文字敘述表達其一般關係，但卻無法以數學符號表示之。 (四)不同符號代表不同數的迷思。許多教師在列同一題的方程式時，常會提醒學生「不同的數一定要用不同的符號來表示」，而這句話常被學生進一步解讀成「不同符號一定代表不同的數」，顯然這是學生的邏輯錯誤所造成。因此在該單元的教學上，教師應當適時的向學生澄清此觀念。 Clement, Lochhead and Monk (1981)研究指出，即使是大學生，在轉譯簡單句子成方程式方面，也出現很大的失敗比例。像「某大學中的學生人數是教授人數的 6 倍」的轉譯問題，主修科學的學生所出現的錯誤率是 37%，非主修科學的學生所出現的錯誤比率則提高至 57%。他們同時也發現，產生這種錯誤的原因有二： 1.不了解題目的意義，只是根據句子中文字出現的順序把文字符號加以順序的表示出來，即所謂的字序的配對(word order match). 2.由句子意義的了解，再使用代數的圖形表徵，即所謂的靜態比較(static comparison)。. 36.

(45) 郭輝煌(2014)發現國中生在學習一元一次方程式時的錯誤類型為： (一)文字符號的意義 1.學生對於數學計算的結果，大部分都能解題，只有少部分的學生對於文字符號缺乏有意義的了解，他們對文字符號的記憶只在於他們所知的結果，卻不知當時的用意為何。例如，他們記得答案曾出現過 5r 和 r5，所以當在求 r＋r＋r＋r＋r＝？，就會開始拼湊答案，不知加法或乘法在文字符號中所代表的意義。 (二)文字符號的列式 1.學生對於正向思考列出文字式時大部份都可以接受，如運用到乘、加較無問題，題目意思也都能了解，但若將未知數的假設設計成需要反向思考時，學生就顯得己經不知道題目要他如何列式了，如先減再除的步驟，對他們而言困難的。對於相同的問題用兩種不同的方式出題時，學生的反應落差很大。 2.對於將文字敘述將成數學符號，對某些學生來說是有困難的，有些是因題意不懂，而有些學生是無法將文字敘述和數學符號連結在一起。 (三)文字符號的簡記（合併） 1.當文字符號的係數由整數變成分數時，或加上負數的四則運算時，學生的錯誤機率便高了許多。很明顯學生過去的經驗影響到對文字符號的運算。 2.對於算出來的答案中，係數為－1 的答案，仍將－1 寫上而不知省略。 3.不論是否牽涉到整數或分數的運算，只要有括號，就不知道括號的用意，更甚者有些學生認為有括號或無括號本身對答案沒有影響。 4.對於去括號的錯誤有下列幾種情形： (1)去括號時，括號前若是－1，學生往往只將括號中第一項變號，但後面的項數則忘記了。. 37.