一、錯誤類型的探討
李芳樂(1993)認為錯誤有兩種：認為錯誤有兩種：1.疏忽(slips)：由於不 小心做錯而產生的錯誤。2.系統性錯誤(systematic errors)：由於學習了錯誤的 觀念或程序而產生的錯誤。疏忽是由於注意力被分散所導致的，它的產生被 認為是不規則的，所以沒有引起太大的注意。而系統性錯誤則被認為是由於 某種錯誤知識，或是缺乏某些必須知識而引起的，因此較受到研究者的重 視，透過對系統性錯誤的研究，可以了解學生在學習過程中產生錯誤的原 因，避免學生重複犯錯。
Engelhardt (1982)將學生運算的錯誤分成四種類型：1.機械性的錯誤：由 於知覺動作困難或動作困難所導致，例如：錯誤的符號或排列錯誤。2.粗心。
3.概念化的錯誤：因為缺乏或不正確的概念、原則所導致。4.過程性的錯誤：
因錯誤的順序或不適當的過程所導致。
Davis (1984)將一般日常生活或學習上的錯誤分為兩種類型：1.個體本身 因為過去習慣或概念養成，而產生的自有錯誤類型。此錯誤行為無論是在同 一問題或是在不同時日皆表現相當一致，藉此教師可以了解個體在思維上的 習慣錯誤，來幫助學生澄清錯誤之處進而消除之。2.一致性的錯誤不在個體 自己的行為，而是在不同的人有相同的行為，也就是說某些錯誤是許多不同 的人在學習過程中共同發生的現象。
Mayer (1985)將學生的解題錯誤分成三類：1.遺漏的錯誤(omission error)：指學生對命題的敘述或狀態沒有完整掌握。2.細節的錯誤(specification error)：指學生在運算中變數轉換等相關運算細節之錯誤，如單位換算。3.
轉換的錯誤(conversion error)：無法正確將命題陳述轉換成數學關係所犯的錯 誤，換句話說，是表徵轉換的錯誤。Mayer 指出，此三類錯誤中，以轉換的 錯誤最為嚴重，其原因是很多學生對關係的回憶，缺乏表徵的語言知識所導
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致。
在錯解辨析(九章出版社，1988)一書中將學生的錯誤類型區分為以下四 大類：1.由於概念不清產生的錯誤：包含概念實質模糊、混淆相似概念及循 環定義概念等產生的錯誤。2.由於推理無據產生的錯誤：包含臆造定理、濫 用法則、循環論證、論證不足及方法不對等產生的錯誤。3.由於忽視條件產 生的錯誤：包含忽視概念中的隱含條件、忽視所使用的定理、公式、法則的 適用條件、忽視取值範圍的變化、忽視約束條件中的隱含條件、忽視條件的 充分性與必要性、錯誤理解條件、遺漏或濫加條件、忽視結論特徵中的隱含 條件、把給定的一般條件特殊化等產生的錯誤。 4.由於考慮不周產生的錯 誤：包含審題馬虎、形式套用、顧此失彼、忽視特例、以偏概全及檢驗不當 等產生的錯誤。此分類方式將數學概念的錯誤細分成前兩類，而後兩類為疏 忽所產生的錯誤，也就是將計算上的細節錯誤加以分類，與前述 Mayer 的前 兩類類似。
二、錯誤類型成因的探討
由認知心理學的研究結果，得知學生會主動建構或「發明」知識，此一
「發明」會受到先前學習知識的影響。學生先前的學習對於其當前的學習，
可能有正向的影響，也可能產生干擾。學生的先前知識有時與正統概念相去 甚遠，此時，此種生手理論將會干擾課堂學習，不僅影響最後解答，也影響 思考過程，形成錯誤概念。以 Piaget 的認知發展來看，國小數學著重於具體 操作的教學，而國中數學卻以形式運思期的抽象思考和邏輯推理為主，在教 材和教法上都有明顯的不同。學生以其熟悉的數學學習方式改變成這種思考 的過程當中，除了常見的數學計算錯誤與困難外，會引發許多的錯誤概念（張 景媛，1994）。
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Brown and VanLehn (1980)提出修補理論(Repair Theory)：認為學生在答 題的過程中，發現自我知識不足遇到困難時，學生通常不會立刻放棄，而會 對此難題做出一種問題解決的過程(problem solving process)，去找到一個自 認為較能接受的解決辦法來作答。若學生在學習上本來就存有錯誤概念，便 會因此發生錯誤。例如：演算過程中，就可能產生系統的錯誤演算規則，而 這些錯誤並不是學生疏忽所造成的。
Matz(1982)認為學生學習代數時，有時會因為能力不足，常會退回去用 舊經驗去解決新的問題，許多錯誤的規則都是由於學生對正確的規則做出錯 誤類化(misgeneralization)或過度類化(overgeneralization)而產生的。根據 Matz 的分析，學生學過適用於某種情境下的規則，如果把此規則不當的應用於不 同的情境，便會造成錯誤。
Resnick (1989)的研究指出，錯誤演算規則的產生主要有兩個原因：1.學 習者把學過的演算規則類化並外推到其他的情境。例如：將負數乘以負數等 於正數的規則運用到加、減法的運算，學生的錯誤算式：－A－B＝A＋B。
2.遺忘演算公式或規則的限制(constraints)。例如：去括號時忘了運算規則，
直接將括號拿掉，學生的錯誤算式：A－(B＋C)＝A－B＋C，這類形之錯誤 可能來自概念偏差或是粗心所產生之錯誤。
石函早與胡俊山(2007)提出數學錯誤概念產生的原因有：1.學生認知方 面：在生活經驗中的日常概念上，與抽象化之數學概念產生衝突，導致對抽 象層次較高的數學概念有錯誤理解，也因此產生錯誤地推論過程。2.教師教 學方面：教學僅提供概念的某些面向，容易造成學生斷章取義，因此要注意 全面展示概念的本質屬性，不論內含或外顯部份。3.教材編寫方面：編寫不 夠嚴謹，需要降低教材編寫之侷限，以免造成學生錯誤概念之形成。由此可 知在學習上，除了因為學生過往認知所造成的迷思外，錯誤亦可能會來自於 教師教學的過程。
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三、文字符號的概念與運算的錯誤類型
過去許多研究曾經對於文字符號的概念的數學習學生的錯誤迷思有所 探討，kuchemann (1981)對 3000 位年齡約 13 至 15 歲的英國學生實施代數的 紙筆測驗，將題目分為文字符號的求值、文字符號的忽略、文字符號當作物 件、文字符號當作特定未知數、文字符號當作一般數與文字符號當作變數共 六類，以瞭解學生對文字符號的理解。結果顯示 13、14、15 歲的學生，約 有 73％、59％、53％無法將文字符號的使用當作未知數。
Booth (1988)根據該次的研究結果，整理出英國中學生在有關文字符號 之理解上常見的錯誤：
(一)把文字符號視為單字開頭的字母。
Booth 認為在學生的觀念裡，字母代表物品或是一個字的起頭字母是源 自於經驗的類化，例如：通常把 6 meters 寫成 6 m，面積表示成 A(Area)
＝l (length)×b (breadth)，時間(time)以 t 表示，速度(velocity)以 v 表示等。
(二)不同的文字符號一定代表不同的數。
(三)學生看到「＋」的反應就是必須做些運算（do something），許多學生以 為數學就是要求出答案，而且答案必須是一個數或單項式。
(四)學生以為括號是可以省略的，有無括號所得到的答案都一樣。學生在做 數學時著重的是答案而非方法。
(五)學生做題目較喜歡使用自己的方法，但自己的方法比較沒有一般性，當 遇到較困難的題目時就無法推廣。
張素鎔(1987)提到學生解出代數問題容易犯 2a＋5b＝7ab 的錯誤，主要 原因可能有下列三種：
(一)學生認為數學就是要求答案，而答案通常是「數」，如果不是「數」，最 好也是單項式。
(二)學生看到「＋」認為就是要做點事，結果就是 7ab。
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e 2 5
(三)學生認為相加就是「合併起來」的意思，把能加的加起來，不能加的就 合併擺著；且學生在過去的學習中已有將「＋」看成合併的經驗。
又如求矩形的面積問題，如右圖
學生的錯誤答案為 5e2、10e、e10、e＋10，探究其產生錯誤的原因，學 生都知道求面積的方法，但忽略括號寫出 5×e＋2 這樣求面積的式子，主 要原因可能有下列三種：
1.學生認為運算式都是由左算到右，所以不必括號。
2.從問題的圖中，就知道先後計算的次序。
3.運算的結果與次序無關，不必括號。
而經過進一步的驗證，發現學生並不是忽略括號，而是學生根本認 為不需要括號，也就是他們並不了解 5×e＋2 不同於 5×(e＋2)。
郭汾派、林光賢和林福來(1989)參考英國 CSMS 小組所設計的題目對全 國分區抽樣測試國中生在文字符號概念的主要錯誤類型，發現其常見的錯誤 有：
(一)受到帶分數模式
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1
之影響，而有 8＋g＝8g 之迷思。(二)係數、文字分別處理。
例如：2a＋5b＝7ab，4×(n＋5)＝4n＋20＝24n。
(三)不同類項擺在一起。
例如：h＋h＋h＋h＋t＝4ht。
(四)不知如何使用符號。
例如：5×(e＋2)=5e＋2 或 5×e＋2。
(五)忽略數據資料。
例如：設 c＋d＝10 且 c＜d，求 c 時，答案多為 c＝10－d，而忽略 c＜d 之條件。
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(六)認為不同文字代表不同數。
例如：K＋M＋N＝K＋P＋N 之題目要回答 M＝P 之答案感到困難，認為 不同文字沒有相等之可能性存在。
(七)將文字當作特定數處理。
學生易認為答案一定是一個已知數的錯誤觀念，尚未能建立好公式一般 化的觀念。
(八)受定義影響。
學生有時會誤解題意或不明白題意，以致作出錯誤的答案。
(九)重新設定未知數。
習慣以 x、y、z 表示未知數，換成 a、b、c 或其他符號，其認知就會不同，
也尚未能體會文字符號只是 “符號”，不管以什麼來代替都可以的地步。
(十)不能辨別符號與物品。
例如：對甲牌鉛筆每枝 7 元，那甲支甲牌鉛筆是 7 甲元感到困難。
(十一)文字符號當有次序的特定數。
學生隱約會把 a、b、c…當成 1、2、3 之順序來處理。
例如：若甲＋2＝丙，那麼會把甲＋4 回答為『戊』。 (十二)文字符號只當不為負數的數字處理。
例如：設 c＋d＝10，且 c＜d，求 c＝？
很高比例的學生會回答為 1、2、3、4 或 0、1、2、3、4。
戴文賓、邱守榕(1999)研究國一學生由算術領域進入代數領域時發現的 迷思概念為：
(一)有關代數式的意義：
1.在代數式求值問題中，學生會把 3x 當作 3＋x。
(二)有關同類項的意義與合併規則：
1.只處理含 x 的同類項，常數項則不合併處理。
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例如：3x＋4＋5x＋3＝8x＋4＋3 2.不接受含有加號的式子當作答案。
例如：不接受 3x＋4 為答案，會再將不同類合併處理變成 7x 或 7。
3.不確定 x＝1x，而把 x 看作「0x」計算，將係數忽略不計。
例如：3x＋x＝3x。
(三)含括號的化簡問題：
(三)含括號的化簡問題：