（DTFT）
4. 2. 1 离散时间傅里叶变换的导出
根据上一节例4-2的结果，离散时间周期方波信号的傅里叶级数可以看作是一个连续的 包络函数的采样值，并且 随 周 期 方 波 的 周 期 N 的 增 大，该 采 样 变 得 愈 来 愈 密。 当 N → ∞，
傅 里 叶 级 数 的 系 数 就 趋 近 于 这 个 包 络 函 数 。 而 当 N→ ∞ 时， 原 来 的 离 散 时 间 周 期 方 波，
就 趋 于 一 个 离 散 时 间 的 矩 形 窗 ， 即 在 -N1≤n≤N1上 的 矩 形 窗 。 这 个 例 子 说 明 ， 对 离 散 时 间 非 周 期 信 号 ， 为 了 建 立 它 的 傅 里 叶 变 换 表 示 ， 可 采 用 与 连 续 时 间 情 况 完 全 类 似 的 思 路 进 行 。
考 虑 某 一 离 散 时 间 信 号 x［n］， 它 具 有 有 限 的 持 续 时 间 （有 限 长 离 散 时 间 信 号 ）， 即 存 在 着 某 个 整 数 N1和 N2， 在 -N1≤n≤N2以 外 ，x［n］＝0。 图 4-3（a） 给 出 了 一 个 这 种 类 型 的 离 散 时 间 信 号 。 由 这 个 离 散 时 间 非 周 期 信 号 进 行 周 期 延 拓 构 造 出 一 个 离 散 时 间 周 期 信 号 x～［n］， 使 得 x［n］ 是 它 的 一 个 周 期 内 的 部 分 ， 如 图 4-3（b） 所 示 。 随 着 延 拓 周 期 N 的 增 大 ，x～［n］ 就 能 够 在 一 个 更 长 的 时 间 间 隔 内 与 x［n］ 一 样 ， 而 当 N → ∞ 时 ， 则 有
lim
N→ ∞x～［n］＝x［n］ （4-20）
此时，对于任意有限的n 值来说，有x～［n］＝x［n］。这 样 就 可 以 通 过 x～［n］ 的 傅 里 叶 级 数在 N→∞时的极限来获得离散时间非周期信号的傅里叶变换 （DTFT）。
图4-3 离散时间的有限长信号与周期信号 利用式（4-12） 和式（4-13），将x～［n］ 表示成傅里叶级数形式
x～［n］＝
∑
各复指数信号的加权系 数 为X（ejω）
2π dω， 而 且 这 些 复 指 数 信 号 在 频 率 上 是 无 限 靠 近 的。 这 时 已经将一离散时间非周 期 信 号 x［n］ 表 示 成 复 指 数 信 号 的 线 性 组 合， 即 式 （4-31）。 综 上 所 述，可以得到离散时间傅里叶变换的两个公式
x［n］＝ 1
2π
∫
2πX（ejω）ejωndω （4-32）X（ejω）＝
∑
∞
n＝-∞
x［n］e-jωn （4-33）
式（4-32） 与 式（4-33） 就 是 离 散 时 间 傅 里 叶 变 换 对 。X（ejω） 称 为 离 散 时 间 信 号 x［n］ 的 傅 里 叶 变 换 ， 或 者 称 之 为 x［n］ 的 频 谱 。 它 表 示 了 离 散 时 间 信 号 x［n］ 中 各 复 指 数 号 的 相 对 复 幅 度（幅 度 与 相 位）的 信 息 ， 也 就 是 给 出 了 x［n］ 是 如 何 由 这 些 不 同 频 率 的 复 指 数 信 号 构 成 的 。 式（4-32） 称 为 离 散 时 间 傅 里 叶 反 变 换 （IDTFT）， 是 傅 里 叶 变 换 的 综 合 公 式 ， 而 式（4-33） 则 是 分 析 公 式 。x［n］ 与 X（ejω） 的 关 系 可 以 表 示 为
x［n］———←——F→X（ejω）
离散时间傅里叶变换和连续时间傅里叶变换相比具有许多类似之处，而两者的主要区别 在于：①离散时间信号的频谱 X（ejω）是周期为2π的周期函数；②综合方程中的积分区间长 度为2π。
图4-4 离散时间低频信号与高频信号的频谱
这两者均来自于这 样 一 个 事 实： 在 角 频 率 上 相 差 2π 的 复 指 数 信 号 ejωn是 完 全 一 样 的。
这个特点一方面反映在离散时间周期信号的 傅 里 叶 系 数ak是 周 期 的 （周 期 为 N） 以 及 离 散 时间非周期信号的傅里叶变换 X（ejω）是周期的 （周期为2π）；另一方面反映在离散傅里叶级 数的展开式为有限项和式与离散时间傅里叶逆变换为有限积分区间上的积分。在离散时间傅 里叶逆变换的积分区 间 2π 上，产 生 出 了 所 有 不 同 角 频 率 的 复 指 数 信 号 ejωn。 因 此， 位 于 π 偶数倍附近的这些频率的复指数信号都是缓慢变化的，属于低频信号，且π偶数倍所对应的 复指数信号为最低频信号 （常 数 信 号）； 而 位 于 π 的 奇 数 倍 附 近 的 这 些 频 率 的 复 指 数 信 号，
变化较为剧 烈， 属 于 高 频 信 号， 且 π 奇 数 倍 所 对 应 的 复 指 数 信 号 为 最 高 频 率 信 号。 例 如 图4-4（a） 中的离散时间信号其变化比 图 4-4（c） 的 离 散 时 间 信 号 要 缓 慢 一 些， 反 映 在 频 谱
上，x1［n］的频谱分布于低频段，而x2［n］的频谱分布于高频段。
最后，如果在频域中引入 关 于 ω 的 冲 激 函 数， 则 对 于 某 些 非 平 方 可 和 的 离 散 时 间 信 号 也可以求傅里叶变换。比较典型的例子有，常数信号x［n］＝1，纯虚指 数 信 号 ejω0n， 单位 阶 跃信号u［n］ 以及所有的离散时间周期信号。这些信号的离散时间 傅 里 叶 变 换 一 般 都 需 通 过 傅里叶变换的性质或傅里叶逆变换来计算，相关内容会在后面的章节中介绍。
4. 2. 3 典型离散时间非周期信号的傅里叶变换对
（1） 单位脉冲信号δ［n］
由分析方程式（4-33） 可求得
X（ejω）＝
∑
∞
n＝-∞
δ［n］e-jωn＝1 （4-39）
所以单位脉冲信号的傅里叶变换对为
δ［n］———←——F→1 （4-40）
单 位 脉 冲 信 号 的 频 谱 等 于 1， 这 表 明δ［n］ 包 含 了 所 有 频 率 的 分 量 ， 而 且 这 些 频 率 分 量 都 具 有 相 同 的 幅 度 与 相 位 。 因 此 ， 离 散 时 间 LTI系 统 对 于δ［n］ 的 响 应 ， 即 单 位 脉 冲 响 应h［n］， 反 映 了 系 统 对 于 所 有 频 率 信 号 的 响 应 特 征 ， 也 就 是 说h［n］ 完 全 反 映 了 系 统 本 身 的 特 性 。 因 此 ，h［n］ 能 够 完 全 表 征 LTI系 统 。
（2） 单边指数衰减信号x［n］＝anu［n］， a ＜1 由式（4-33） 可以直接求得该信号的频谱为
X（ejω）＝
∑
∞
n＝0
ane-jωn＝ 1
1-ae-jω （4-41）
图4-5给出了a＞0与a＜0时，单边指数衰减信号的幅度谱与相位谱。由于离散时间傅里叶 变换是以2π为周期的，也就是说离散时间信号频谱的有效范围是长度为2π的区间。通常我 们习惯于将0～2π或-π～π作为离散时间信号频谱的有效范围。
图4-5 单边指数衰减信号的幅度谱与相位谱
（3） 双边指数衰减信号x［n］＝an ，a ＜1 可以将x［n］ 分解为两个离散时间信号之和，即
x［n］＝a-nu［-n-1］＋anu［n］
图4-6 双边指数衰减信号及其频谱 由式（4-33） 可以求得
X（ejω）＝
∑
∞
n＝-∞
an e-jωn＝
∑
∞
n＝0
ane-jωn＋
∑
-1
n＝-∞
a-ne-jωn＝
∑
∞
n＝0
（ae-jω）n＋
∑
∞
n＝1
（aejω）n
＝ 1
1-ae-jω＋ aejω
1-aejω ＝ 1-a2
1-2acosω＋a2 （4-42）
由于双边指数衰减信号是实偶对称的，因此它的频谱是关于频 率ω 的实偶函数。当0＜
a＜1时，X（ejω） 如图4-6所示。
（4） 矩形脉冲信号x［n］＝ 1，n ≤N1
0，n ＞N
｛
1如图4-7（a） 所示，根据离散时间傅里叶变换的定义可以直接求得
X（ejω）＝
∑
N1
N＝-N1
e-jωn＝
sin N
（
1＋12）
ωsin（ω/2） （4-43）
图4-7 矩形脉冲序列及其频谱
该 式 与 周 期 方 波 的 傅 里 叶 级 数 系 数 相 比 较 ， 可 以 看 到 式 （4-43） 为 周 期 方 波 傅 里 叶 级
X（ejω）＝