k＝-∞
δ（t-kT）
如图3-20（a） 所示。求出该信号的傅里叶级数系数 ak＝1
T
∫
T/2-T/2δ（t）e-jkω0tdt＝T1，ω0＝2πT （3-68）可得冲激串的傅里叶变换
δT（t）＝
∑
∞
k＝-∞
δ（t-kT）←——→F 2π T
∑
∞
k＝-∞
δ ω-2π
（
Tk）
＝ω0
∑
∞
k＝-∞
δ（ω-kω0）＝ω0δω0（ω） （3-69）
冲激串的频谱如图3-20（b） 所 示， 时 域 为 冲 激 串， 其 频 谱 也 为 冲 激 串。 这 里， 可 以 看 到时域和频域之间相反关系的一个例证：随 着 时 域 冲 激 时 间 间 隔 （即 周 期） 的 增 大 或 减 少，
在频域各冲激之间的间隔 （即基波频率） 相应变小或变大。
图3-20 冲激串频谱
3. 4 连续时间傅里叶变换的性质
这一节将讨论傅里叶变换的一些重要的基本性质，这些性质对傅里叶变换本身以及对一 个信号的时域描述和频域描述之间的关系都将给出更深入的认识。另外，许多性质对简化傅 里叶变换或反变换的求值也往 往 是 很 有 用 的， 特 别 是 傅 里 叶 变 换 的 卷 积 特 性 构 成 LTI系 统 频域分析的基本方法，而它的频域卷积特 性， 则 构 成 了 现 代 通 信 的 基 本 理 论 和 方 法。 因 此，
熟悉傅里叶变换的基本性质是十分必要的，也是本章学习的重要内容之一。本章所讨论的性 质，绝大多数都适用于傅里叶级数形式。
3. 4. 1 线性性质
若 x1（t）←——→F X1（jω）
和 x2（t）←——→F X2（jω）
则 ax1（t）＋bx2（t）←——→F aX1（jω）＋bX2（jω） （3-70）
式中，a，b为任意常数。将傅里叶变换公式（3-44） 应用于ax1（t）＋bx2（t）就 可 直 接 得 出 式
（3-70）。线性性质很容易推广到多个信号的线性组合中去。结合周期 信号的傅里叶变换， 不 难得出傅里叶级数的系数也具有线性特性。
3. 4. 2 时移性质
若 x（t）←——→F X（jω）
则 x（t-t0）←——→F e-jωt0X（jω） （3-71）
根据傅里叶反变换，有
x（t）＝1
2π
∫
-∞∞ X （jω）ejωt dω在上式中以t-t0取代t，可得 x（t-t0）＝1
2π
∫
-∞∞ X（jω）ejω（t-t0）dω＝2π1∫
-∞∞ ［e-jωt0X（jω）］ejωt dω显然，上式是x（t-t0） 的傅里叶反变换式，所以得 x（t-t0）←——→F e-jωt0X（jω）
从上式可以看出，信号在时域中延时t0等效于在频域中频谱乘以因子e-jωt0。 将信号的频谱用极坐标形式表示时
x（t）←——→F X（jω）＝｜X（jω）｜ejθ（ω）
那么 x（t-t0）←——→F ｜X（jω）｜ej［θ（ω）-ωt0］
因此，这个性质说明，信号相位谱包含的是信号在时间轴的位移信息，也就是各频率分 量ejωt的初始相位信息或时间位移信息；幅度谱 包 含 了 信 号 幅 度 大 小 信 息。结 合 周 期 信 号 的 傅里叶变换，很容易将该性质用于傅里叶级数，即对周期信号，有
若 x（t）←——→F ak
则 x（t-t0）←——→F e-j（T2π0）kt0ak （3-72）
【例3-4】 信号x（t）＝cos（ω0t＋θ）的频谱。
将信号x（t） 改写为
x（t）＝cosω0（t＋θ/ω0）＝cosω0（t＋t0），t0＝θ/ω0
已知 cosω0t←——→F πδ（［ω-ω0）＋δ（ω＋ω0）］ 根据延时性质，有
cosω0（t＋t0）←——→F ejωt0πδ（［ω-ω0）＋δ（ω＋ω0）］
＝π e［jω0t0δ（ω-ω0）＋e-jω0t0δ（ω＋ω0）］
＝π e［jθδ（ω-ω0）＋e-jθδ（ω＋ω0）］ （3-73）
3. 4. 3 频移性质
若 x（t）←——→F X（jω）
则 x（t）ejω0t←——→F X（j（ω-ω0）），ω0为实常数 （3-74）
利用傅里叶变换公式（3-44），有
F［x（t）ejω0t］＝
∫
-∞∞ f（t）ejω0te-jωt dt＝∫
-∞∞ f（t）e-j（ω-ω0）tdt所以 x（t）ejω0t←——→F X（j（ω-ω0））
同理 x（t）e-jω0t←——→F X j（（ω＋ω0）） （3-75）
可见，若时间信号x（t） 乘 以 e±jω0t， 等 效 于 x（t） 的 频 谱 X（jω） 沿 频 率 轴 移 位 ±ω0， 也就是说，具有频谱搬 移 功 能。 频 谱 搬 移 技 术 在 通 信 系 统 中 得 到 了 广 泛 应 用， 例 如 幅 度 调 制、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。实际应用中，频谱搬移是通过 将信号x（t） 与某一载波信号cosω0t或sinω0t相乘来完成的。
由 cosω0t＝1
2（ejω0t＋e-jω0t） sinω0t＝1
2j（ejω0t-e-jω0t）
x（t）←——→F X（jω）
可以导出
x（t）cosω0t←——→F 1
2［X j（（ω-ω0） ＋X j（） （ω＋ω0））］ （3-76）
x（t）sinω0t←——→F j
2［X j（（ω＋ω0） -X j（） （ω-ω0））］ （3-77）
所以，任何信号乘以cosω0t或 sinω0t， 可 以 实 现 频 谱 搬 移 功 能， 将 原 信 号 频 谱 一 分 为 二，沿频率轴向左和向右各平移ω0。
该性质也适用于傅里叶级数，见表3-2。
3. 4. 4 共轭性及共轭对称性
共轭性质指若 x（t）←——→F X（jω）
则 x＊（t）←——→F X＊（-jω） （3-78）
可以通过以下方法得出这一性质
因为 X（jω）＝
∫
-∞∞ x（t）e-jωt dt上式取共轭，有
X＊（jω）＝［
∫
-∞∞ x（t）e-jωt dt］＊＝∫
-∞∞ x＊（t）ejωt dt以-ω 替代ω，得
X＊（-jω）＝
∫
-∞∞ x＊（t）e-jωt dt于是就得到式（3-78） 的关系。
若x（t）为实数，即有
x（t）＝x＊（t）
结合式（3-78），有
X（jω）＝X＊（-jω），x（t）为实数 （3-79）
即 X（jω） 具有共轭对称性。
（1）x（t）为实信号
作为式（3-79） 的一个结果，若将 X（jω） 用直角坐标表示为 X（jω）＝Re X（｛ jω） ＋j｝ Im X（｛ jω）｝ 若x（t） 为实数，则有
Re｛X（jω）｝＝Re｛X（-jω）｝
Im X（｛ jω） ＝-Im X（-j｝ ｛ ω）｝
也就是说，实数信号 傅 里 叶 变 换 的 实 部 是 偶 函 数， 虚 部 是 奇 函 数。 类 似 地， 若 X（jω）
用极坐标表示为
X（jω）＝｜X（jω）｜ejθ（ω）
那么，根据式（3-79） 容易得出：信号 的 幅 度 谱｜X（jω）｜是 偶 函 数， 相 位 谱θ（ω） 是 奇 函 数。
因此，对于实数信号的频谱表示， 只 需 给 出 ω＞0 部 分 的 频 谱 就 可 以 了， 因 为 对ω＜0的 值，
可以利用上面导出的对称关系，可直接从ω＞0时的值导出。
（2）x（t） 为实值偶函数
根据信号傅里叶变换，可以写出
X（-jω）＝
∫
-∞∞ x（t）ejωt dt用τ＝-t替换，可得
X（-jω）＝
∫
-∞∞ x（-τ）e-jωτdτ因为x（-τ）＝x（τ），所以有
X（-jω）＝
∫
-∞∞ x（τ）e-jωτdτ＝X（jω）因此，X（jω） 为偶函数。对式（3-79） 两边取共轭，可得关系 X＊（jω）＝X（-jω）
结合上面两式，有
X＊（jω）＝X（jω）
根据上式，X（jω） 只能是 实 值 函 数， 虚 部 为 零。 因 此， 当 x（t）为 实 且 为 偶 函 数 时， 其 频 谱 为实值偶函数。
（3）x（t）为实且奇函数
同样可以证明，此时，x（t）的频谱是纯虚虚数且为奇函数。
（4） 作为进一步结果，若一个实函数用其偶部和奇部表示，即 x（t）＝xe（t）＋xo（t）
其中 xe（t）＝εv｛x（t） ＝｝ x（t）＋x（-t）
2 xo（t）＝θd｛x（t） ＝｝ x（t）-x（-t）
2 根据傅里叶变换的线性，有
F x（｛t） ＝F x｝ ｛e（t） ＋F x｝ ｛o（t） ＝Re X（｝ ｛ jω） ＋j｝ Im X（｛ jω）｝
并且，根据上面的讨论，F x｛e（t） 是 一 实 值 偶 函 数，F x｝ ｛o（t） 是 一 个 纯 虚 虚 数 且 为 奇 函｝ 数，于是可得出以下结论
x（t）←——→F X（jω）＝X（jω）＝Re X（｛ jω） ＋j｝ Im X（｛ jω） ，x（｝ t）为实值函数 εv｛x（t）｝←——→F Re X（｛ jω）｝
θd｛x（t）｝←——→F jIm X（｛ jω）｝ （3-80）
也就是说，一个实值信号x（t） 的频谱的实部是由其偶部 贡 献， 而 频 谱 的 虚 部 是 由 其 奇 部贡献。上述结果，完全适用于周期信号的傅里叶级数，见表3-2。
3. 4. 5 微分与积分
若x（t） 的傅里叶变换是 X（jω），将傅里叶变换综合公 式（3-45） 两 边 对t进行 微 分， 并 变换微分与积分的次序，可得
dx（t）
dt ＝1
2π
∫
-∞∞ jωX（jω）ejωt dω也就是
dx（t）
dt ←——→F jωX（jω） （3-81）
这是一个重要性质，因为它将 时 域 的 微 分 运 算 等 效 于 在 频 域 内 乘 以jω 因 子， 据 此 性 质 可以将时域的微分运算转变为频域的代数运算，这为用傅里叶变换在频域上分析由微分方程 描述的 LTI系统提供一简单有 效 的 方 法，在 今 后 的 章 节 中， 将 详 细 讨 论 这 一 问 题。 将 微 分 性质进一步推广，有
dnx（t）
dtn ←——→F （jω）nX（jω） （3-82）
对应于微分性质，时域内的积分则相应有
∫
t-∞x（τ）dτ←——→F j1ωX（jω）＋πX（0）δ（ω）上式中右边 的 冲 激 函 数 项 反 映 了 由 积 分 所 产 生 的 直 流 分 量， 当 原 信 号 的 频 谱 的 直 流 分 量 X（jω）ω＝0＝0时，积分就不产生直流分量， 那 么 上 式 右 边 的 冲 激 函 数 项 就 等 于 零。 周 期 信
号也有类似的积分和微分性质，见表3-2。
【例3-5】 求单位阶跃信号x（t）＝u（t） 的傅里叶变换。
已知
δ（t）←——→F 1 因为 u（t）＝
∫
t-∞δ（t）dt利用时域积分特性，有
u（t）←——→F 1
jω＋πδ（ω） （3-83）
作为时域积分性质的一个结果，在频域上，可得 若 jωY（jω）＝X（jω）
则 Y（jω）＝X（jω）
jω ＋πX（0）δ（ω） （3-84）
某一频谱在频域上被jω 所除， 表 示 对 该 频 谱 的 原 信 号 在 时 域 上 进 行 积 分， 因 此 可 运 用 时域积分性质。
【例3-6】 求三角脉冲的傅里叶变换。
已知三角脉冲信号的表达式
x（t）＝ E（1-2
τ｜t｜），t ＜τ 2 0，
其他
如图3-21所示。
将x（t） 取二阶导数，得
d2 x（t）
dt2 ＝2E
τ δ（t＋τ
2）＋δ（t-τ
2）-2δ（t
［
）］
图3-21 三角脉冲信号的波形和频谱
令 X（jω），X1（jω） 和 X2（jω） 分别表示x（t） 及其一、二阶导数的傅里叶变换，则它们有以 下关系
X1（jω）＝jωX（jω）
图3-22 符号函数波形和频谱
3. 4. 6 时间与频率的尺度变换
若 x（t）←——→F X（jω）
则 x（at）←——→F 1
｜a｜X（jω
a） （3-87）
或 1
｜a｜x t
（ ）
a ←——→F X（jaω） （3-88）式中，a 是一个实常数。该性质可以直接利用傅里叶变换公式得到，即 x（at）←——→F
∫
-∞∞ x（at）e-jωt dt置换τ＝at，可得
x（at）←——→F F x（｛ at） ＝｝ 1
a
∫
＋∞-∞x（τ）e-j（ω/a）dτ， a＞0-1
a
∫
-∞∞ x（τ）e-j（ω/a）dτ，a＜
0
上式中，由于a＜0时，-1
a＞0，因此，综合两种情况，上式可化简为 x（at）←——→F 1
｜a｜
∫
-∞∞ x（τ）e-j（ωa）dτ＝｜a｜1X（jaω）即为式（3-87）。可以证明，从式（3-87） 可直接推得（3-88） 式。
作为一个特例，如果a ＝ -1，则有
x（-t）←——→F X（-jω） （3-89）
【例3-8】 证明δ（at）＝ 1
｜a｜δ（t），a 为实数。
证明 因为 δ（t）←——→F 1 所以，根据尺度变换性质，有
δ（at）←——→F 1
｜a｜
｜a｜δ（at）←——→F 1 因此，可得
｜a｜δ（at）＝δ（t）
即 δ（at）＝1
｜a｜δ（t） （3-90）
当a＝-1时，根据以上所证明的结果，有
δ（-t）＝δ（t） （3-91）
也就是说δ（t）是偶函数。
尺度变换性质说明，信号在时域中扩展 （收缩），则在频域中为收缩 （扩展）。该性质又 一次说明了时间和频率之间的相反关系，这种相 反 关 系 在 信 号 与 系 统 的 各 个 方 面 都 有 体 现，
例如滤波器设计中的上升时间与频带的关系。利用傅里叶级数的定义式或将该性质直接用周 期信号 的 傅 里 叶 变 换， 就 可 得 到 傅 里 叶 级 数 的 尺 度 变 换 性 质， 见 表 3-2；当尺度系数a＞0，
时间的尺度变换仅改变了周期信号的基波周期，并没有改变谐波分量的组成成分，因此，其 傅里叶级数系数将保持不变。
3. 4. 7 对偶性
比较傅里叶变换中的正变换和反变换关系式（3-44） 和式（3-45）
X（jω）＝
∫
-∞∞ x（t）e-jωt dt和 x（t）＝1
2π
∫
-∞∞ X（jω）ejωt dω从 中 可 以 发 现 ， 这 两 个 式 子 在 形 式 上 是 很 相 似 。 这 一 相 似 性 导 致 了 傅 里 叶 变 换 的 一 个 被 称 之 为 对 偶 性 的 性 质 。 回 顾 一 下 所 得 到 的 以 下 几 对 典 型 信 号 的 变 换 对 ， 它 们 显 示 了 这 种 关 系 。
①
和
② δ（t）←——→F 1 和 1←——→F 2πδ（ω）
在上述的变换对中，可以看到，时域为矩形脉冲，则频域为抽样函数，反过来，时域为 抽样函数，则频域为矩形窗函数。同样，冲激信号频谱为一常数，而常数信号的频谱为一频 域上的冲激函数。傅里叶变换的这种对偶关系可描述如下。
如果 x（t）←——→F X（jω）＝X（ω）
则 X（t）←——→F 2πx（-ω） （3-92）
傅里叶变换的对偶性说明，可以通过傅里叶正变换来求值傅里叶反变换。这就暗示了对 偶性也能用来确定或联想 到 傅 里 叶 变 换 的 其 他 性 质， 即 时 域 和 频 域 上 的 性 质 也 应 具 有 对 偶 性，具体说，如时域上某一种运算对应频域上的某一种运算，反之也应有相似的关系。考查 时域微分性质
dx（t）
dt ←——→F jωX（jω）＝jωX（ω）
可以证明它存在着对偶性质，即频域微分性质
-jtx（t）←——→F dX（jω）
dω （3-93）
证明 因为 x（t）←——→F X（jω）＝X（ω）
根据对偶性，则有
X（t）←——→F 2πx（-ω）
根据微分性质，有
dX（t）
dt ←——→F 2πjωx -（ω） 再次运用对偶性，有
2πjtx（-t）←——→F 2πdX（ω）
dω ω＝ -ω
上式改写为
-j（-t）x（-t）←——→F dX（ω）
dω ω＝ -ω
利用尺度变换性质 （取a＝-1，对左边时域信号进行反转操作），则有 -jtx（t）←——→F dX（ω）
dω ω＝ -（-ω）＝dX（ω）
dω ＝dX（jω）
dω （证毕）
用同样方法，可以从时域积分性质推出频域积分性质 -1
jtx（t）＋πx（0）δ（t）←——→F
∫
ω-∞X（jτ）dτ （3-94）熟悉常用信号的变换对，利用对偶性质往往可简化傅里叶变换正变换和反变换的求值。
【例3-9】 求下面信号的傅里叶变换
x（t）＝ 2 t2＋1 已知双边指数信号的傅里叶变换为
e-a｜t｜←——→F 2a a2＋ω2 取a＝1，并利用对偶性质，则有
2
1＋t2←——→F 2πe-｜-ω｜＝2πe-｜ω｜
【例3-10】 求下面频谱的反变换
X（jω）＝ 1
（a＋jω）2 已知指数信号傅里叶变换对
e-at u（t）←——→F 1 a＋jω 利用频域微分性质，则有
-jte-at u（t）←——→F d 1
a＋jω
dω ＝ -j
（a＋jω）2 所以得
te-at u（t）←——→F 1
（a＋jω）2 因此，X（jω） 的反变换为te-at u（t）。
作为该例题的推广，可得下面更一般关系 tn-1
（n-1）！e-at u（t）←——→F 1
（a＋jω）n （3-95）
3. 4. 8 帕斯瓦尔 （ Pa s e v a l） 定理
若 x（t）←——→F X（jω）
则
∫
-∞∞ ｜x（t）｜2dt＝2π1∫
-∞∞ ｜X（jω）｜2dω （3-96）该式称为帕斯瓦尔定理。这个定理证明如下
∫
-∞∞ ｜x（t）｜2dt＝∫
-∞∞ x（t）x＊（t）dt＝2π1∫
-∞∞ x（t）∫ ［
-∞∞ X＊（jω）e-jωtdω d］
t变换右边的积分次序有
∫
-∞∞ ｜x（t）｜2dt＝2π1∫
-∞∞ X＊（jω）∫ ［
-∞∞ x（t）e-jωt dt dω］
＝1
2π
∫
-∞∞ X＊ （jω）X（jω）dω＝1
2π
∫
-∞∞ ｜X（jω）｜2dω式（3-96） 左边是信号x（t） 的总能量，帕斯瓦尔定理指出，信号在时域拥有的总能量等于其 频谱在单位频率内能量 ｜X（（ jω）｜2/2π 的总和，因此｜X（） jω）｜2常 称 为 信 号 x（t） 的 能 量 谱 密 度，表示信号在频域上能量分布情况。以下 是 利 用 Matlab 符 号 处 理 功 能， 求 指 数 信 号 的 能 量密度谱。结果如图3-23所示。
％ 利用 Matlab符号处理功能，求指数信号的能量密度谱
x＝sym（'（exp（-1＊t）-2＊exp（-2＊t））＊Heaviside（t）'）；％定义指数信号 X＝fourier（x）； ％求傅里叶变换 X＿conj＝subs（X，'i'，'-i'）； ％取傅里叶变换共轭 G＝X＊X＿conj； ％计算能量密度谱 ezplot（G）；
图3-23 两相加指数信号的能量密度谱
周期信号也有相应的帕斯瓦尔定理，由于周期信号能量是无限的，因此它是用信号平均 功率来描述的。周期信号的帕斯瓦尔定理为
1
T0
∫
T0｜x（t）｜2dt＝∑
∞
k＝-∞
｜ak｜2 （3-97）
式中，T0是信号的基波周期，ak是其傅里叶级数系数。 式（3-97） 表明周期信号 平均功率 等 于其各 谐 波 频 率 分 量 平 均 功 率 之 和， 因 此 也 将
｜ak｜2称为 周 期 信 号 的 功 率 谱， 表 明 周 期 信 号 的功率在频域上的分布情况。
3. 4. 9 时域卷积性质
若x（t）←——→F X（jω）和h（t）←——→F H（jω）
则 x（t）＊h（t）←——→F X（jω）H（jω） （3-98）
如同该 式 所 表 达 的， 卷 积 定 理 将 时 域 上 的 卷 积 转化为频域 上 频 谱 相 乘。 事 实 上， 卷 积 性 质 是 傅里叶变换和est作 为 LTI系 统 特 征 函 数 这 两 方 面结合的必然结果。重 新 回 到 式（3-45），x（t）的 傅里叶反变换可 理 解 为 复 指 数 信 号 的 线 性 组 合，
即将x（t） 作为一个和的极限来表示