2. 4 LTI系统的微分、差分方程描述

k＝-∞

h［k］z^n-k＝zⁿ

∑

∞

k＝-∞

h［k］z^-k＝ H（z）zⁿ （2-65）

式中，H（z） 为zⁿ的特征值，仅与复数变量z 有关，表征了系统对复指数信号的响应特性。

H（z）＝

∑

∞

k＝-∞

h［k］z^-k＜ ∞ （2-66）

式（2-65） 证明了离散时间复指数信号zⁿ是离散时间 LTI系统的特征函数，即离散时间 LTI 系统对复指数信号的响应，仍为同样的复指数信号，系统的作用仅仅改变了该复指数信号的 复幅度，其复幅度的 “增益” 为 H（z）。

类似于连续时间系统情况，若一 个 离 散 时 间 LTI系 统 的 输 入 可 表 示 为 复 指 数 信 号 的 线 性组合，即

x［n］＝

∑

根据式（2-65），则输出就一定是

y［n］＝

∑

也是相同复指数信号zⁿk的线性 组 合， 并 且 在 输 出 表 示 式 中 的 每 一 个 系 数 为 输 入 信 号 中 的 系 数ak与相应的特征值 H （zk） 相乘。对 于 如 式 （2-67） 所 示 的 复 指 数 信 号 线 性 组 合 形 式 的 输 入信号，离散时间 LTI系统的卷 积 和 作 用 就 转 变 为 简 单 的 乘 法 运 算， 即 在 系 数 域 上， 系 统 对输入信号的响应可描述为

｛ak｝→｛akH （zk）｝ （2-69）

因此，与连续时间 LTI系统分 析 思 路 相 同， 将 在 第 4、7 章 研 究 复 指 数 信 号zⁿ 如 何 表 示一般信号，这样就可以设法将任意信号分解为复指数信号的线性组合，获得一种有效的离 散时间 LTI系统的分析方法：变换域分析。第4章仅考虑z＝e^jω情 况 下 e^jωn形 式 的 复 指 数 信 号：离散时间的傅里叶变换。

2. 4 LTI系统的微分、差分方程描述

通常可用微分方程来描述连续时间系统，用差分方程来描述离散时间系统，即通过输出 与输入间的方程关系来描述系统。这种描述系统的方法称为输入输出法或端口描述法，它关 心的是系统输出与输入相互之间的关系，而不去研究系统内部其他信号的变化。除了用卷积 法求解系统的响应方法外，另一种方法是求解表征 LTI系统的方程。

连续 LTI系统的数学模型通常 是 常 系 数 线 性 微 分 方 程， 它 可 以 描 述 极 为 广 泛 的 一 类 连 续时间系统；离散 LTI系数的数学 模 型 通 常 是 常 系 数 线 性 差 分 方 程， 它 也 可 以 描 述 极 为 广 泛的一类离散时 间 系 统。 本 节 将 讨 论 由 微 分 方 程 和 差 分 方 程 描 述 的 LTI系 统 分 析 的 一 般 方法。

2. 4. 1 连续时间 LT l系统微分方程描述及其经典解法

利 用 方 程 求 解 方 法 进 行 连 续 时 间 系 统 分 析 ， 必 须 首 先 要 列 出 描 述 系 统 特 性 的 微 分 方 程 表 示 式 。 可 根 据 实 际 系 统 的 结 构 、 元 件 特 性 ， 利 用 有 关 基 本 定 律 来 建 立 对 应 的 微 分 方 程 。

图2-22 LC 并联电路

在特征根各不相同，即无重根的情况下，微分方程的齐次解为 yh（t）＝ C1e^λ1t＋C2e^λ2t＋ … ＋Cne^λnt＝

∑

n

i＝1

Cie^λit （2-76）

其中常数 C1，C2，…，Cn由系统的初始条件决定。

若特征根有实重根的情况下，则相应于k 阶重根λi的部分将有k 项，形如 C1t^k-1＋ … ＋Ck-1t＋C

（ ^k）e^λit＝

∑

k

i＝1

Cit

k-（

）

式中，常数 C1，C2，…，Ck连同其他特征根所对应的项的系数，由系统的初始条件确定。

（2） 特解

特解的函数形式与激励信号的函数形式有关，通常将激励x（t） 代入方程式（2-71） 的右 端，化简后方程右端函数式称为 “自由项”。一般 可 根 据 自 由 项 的 函 数 形 式 来 选 定 特 解 的 函 数形式，代入方程后求得特解函数式中的待 定 系 数， 即 可 给 出 特 解 yp（t）。 表 2-2 列 出 了 几 种常见的激励信号所对应特解的函数形式。

表2-2 几种典型激励函数所对应特解的函数形式 激励函数x^（t^{） 响应函数}y^（t）的特解yp（t）的函数形式

E^（常数） B

t^m B1t^m＋B2t^m-1＋…＋Bmt＋Bm＋1，所有特征根不等于0 t^r（B1t^m＋B2t^m-1＋…＋Bmt＋Bm^＋1），有r重等于0的特征根

e^at Be^at，a^{不等于特征根}

B1t^re^at＋B2t^r-1e^at＋…＋Brte^at＋Br＋1e^at，a^等于r^{重特征根，}r＝1时为单根

cosβt或sinβt B1cosβt＋B2sinβt^或Acos（βt＋θ^），Ae^jθ＝B1＋jB2

所有特征根不等于±jβ t^me^atcost

或t^me^atsint

B1t^m＋…＋Bmt＋Bm

（ ^＋1）e^atcost＋（D1t^m＋…＋Dmt＋Dm^＋1）e^atsinβt 所有特征极不等于a±jβ

注：1.表中B^，D是特定系数；2.若x^（t） 是几种激励函数的组合，则特解也为其相应的组合。

（3） 全解

方程式（2-71） 的完全解为

y（t）＝yh（t）＋yp（t） （2-78）

若微分方程特征根互不相同，则其全解可表示为 y（t）＝

∑

n

i＝1

Cie^λit＋yp（t） （2-79）

一般情况下，激励信号x（t） 是在t＝0时刻接入的，因果系统对应的微分方程的全解式

（2-78） 适合于时间区间 （0，＋∞）。由高等数 学可 知， 给 定 微 分 方 程 和 激 励 信 号 x（t）， 必 须有一组求解区间的边 界 条 件 （用 于 确 定 齐 次 解 中 的 待 定 系 数 ）， 才 能 求 得 方 程 的 惟 一 解。

一组边界条件可以给定为在此区间内任一时刻t0，要求方程满足y（t0），d

dty（t0），…，d^n-1 dt^n-1y（t0） 的n 个 值 。 对 于 因 果 系 统 ， 若 x（t） 是t＝0 时 刻 加 入 ， 则 把 求 解 区 间 定 为 （0，＋ ∞ ）， 如 果 输 出 包 含δ（t） 信 号 及 其 高 阶 导 数 ， 则 求 解 区 间 应 定 为 ［0， ＋ ∞ ）。 通 常 取t＝0＋的 n 个边界条件来确定完全解中的待定系数。t＝0＋的n 个 边 界 条 件y^（k）（0＋） （k＝0，1，…， n-1，表示k 阶导数），被称为方 程 （系 统） 的 初 始 条 件。 把t＝0-的n 个 边 界 条 件y^（k）（0-）

（k＝0，1，…，n-1） 称为方程 （系统） 的 起 始 条 件。对 因 果 系 统 而 言， 可 以 认 为 起 始 条 件 是

系统在t≤0-时间内，对系统输入信号 的 响 应 在t＝0-时 刻 上 的n 个 条 件 值， 即 系 统 对t≤

起始条件i（0-）＝2，di（0-）

所以，冲激响应h（t）的特解hp（t）＝Bδ（t）代入方程使方程两边的δ″（t）项的系数相同，得

表2-4 不同激励所对应的特解

已知初始条件为y［-1］＝-2，y［-2］＝8，激励x［n］＝u［n］，求y［n］。

解 ① 齐次解

求得 C1＝-4