与连续时间 LTI系统相似，本节的目的 也 是 讨 论 求 解 离 散 时 间 LTI系 统 响 应 的 数 学 方 法———卷积和，并用一个所谓的离散 时 间 LTI系 统 的 单 位 脉 冲 响 应 来 完 全 表 征 系 统。 与 连 续时间 LTI系统一样，在离散时间情况下，导出卷积和的关键是离散时间的单位脉冲分解：
把一组移位单位脉冲函数的加权叠加作为某 一 个 信 号 的 数 学 表 示 式。 下 面 将 导 出 这 种 表 示，
并建立离散 LTI系统的卷积和表示。
2. 2. 1 离散时间信号的脉冲分解：用δ［ n］ 表示离散时间信号
根据单位脉冲δ［n］ 的取样性质、任意离散信号x［n］ 可以表示为x［n］＝
∑
∞
k＝-∞
x［k］δ［n-k］ （2-28）
利用δ［n］ 的性质
x［n］δ［n-n0］＝x［n0］δ［n-n0］ 因此，有 （将k 看成变量）
x［k］δ［n-k］＝x［n］δ［n-k］
2. 2. 2 离散时间 LT l系统的卷积和与单位脉冲响应
① n＜0时，因为仅当n-k＞0时，即k＜n＜0时，u［n-k］≠0；仅当k＞0时，u［k］＝
1≠0；所以aku［k］u［n-k］＝0，即x［k］与h［n-k］无重叠区。
当n＜0时，得
y［n］＝x［n］＊h［n］＝0
② n≥0时，由于k＜0时，u［k］＝0；k＞n 时，u［n-k］＝0，所以x［k］ 与h［n-k］ 的 重叠区为 ［0，n］，即求和区间应为0≤k≤n，故有
y［n］＝
∑
n
k＝0
ak＝1-an＋1 1-au［n］
综合上述结果，得
y［n］＝1-an＋1 1-au［n］
【例2-7】 已知
x［n］＝ 1，0≤n≤4 0，其他n
｛
值h［n］＝ 1，0≤n≤4 0，其他n
｛
值其波形如图2-18所示。求y［n］＝x［n］＊h［n］。
图2-18 例2-7中x［n］ 和h［n］ 的波形
解 由于x［k］ 和h［k］ 均 为 有 限 时 宽 信 号， 因 此 函 数 x［k］h［n-k］ 的 非 零 区 （重 叠 区） 将视参变量n 的取值不同而有所不同。因此，相乘与累加应随不同n 的取值范围分几个 区间进行。
① 当n＜0时，x［k］ 与h［n-k］ 无重叠，乘积x［k］h［n-k］ 为零，所以 y［n］＝x［n］＊h［n］＝0
② 当0≤n≤4时，由图2-19（c） 所示，知x［k］ 与h［n-k］ 的重叠区为 ［0，n］，即乘 积x［k］h［n-k］ 在区间 ［0，n］ 上非零，所以
y［n］＝
∑
n
k＝0
x［k］h［n-k］＝
∑
n
k＝0
1＝n＋1
③ 当4＜n≤8时，由图2-19（d） 所示，知x［k］ 与h［n-k］ 的重叠区为 ［-4＋n，4］，
所以
y［n］＝
∑
4
k＝-4＋n
x［k］h［n-k］＝
∑
4
k＝-4＋n
1＝9-n
④ 当n＞8时，由图2-19（e） 所示，知x［k］ 与h［n-k］ 的重叠区不存在，所以 y［x］＝x［n］＊h［n］＝0
将以上结果归纳在一起，得
y［n］ ＝
0， n＜0 n＋1， 0≤n≤4 9-n， 4＜n≤8 0， n＞
8
y［n］ 的波形如图2-19（f） 所示，为一三角 形， 即 两 个 相 同 的 矩 形 方 波 相 卷 积 的 结 果 是 一三角形函数。
图2-19 例2-7图解说明
2. 2. 3 卷积和的性质
（1） 卷积和的代数性质
可证明与连续时间的卷积积分一样，卷积和也满足代数性质
① 交换律 x［n］＊h［n］＝h［n］＊x［n］ （2-33）
② 结合律 x［n］＊ h（1［n］＊h2［n］ ＝ x［） （ n］＊h1［n］ ＊h） 2［n］ （2-34）
③ 分配律 x［n］＊ h（1［n］＋h2［n］ ＝x［） n］＊h1［n］＋x［n］＊h2［n］ （2-35）
x［n］——→ h1［n］ ——→ h2［n］ ——→y［n］
x［n］——→ h2［n］ ——→ h1［n］ ——→y［n］
x［n］——→ h［n］＝h1［n］＊h2［n］ ——→y［n］
图2-20 离散时间 LTI系统的级联 将上述性质应用于系统分析， 可 以 得 到 与 连 续 时 间 LTI系 统 情 况 相 同 的 结 果。 交 换 律 表明对离散 LTI系统而言，某一确 定 的 输 入 信 号 和 单 位 脉 冲 信 号 的 作 用 可 以 互 换。 结 合 律 与交换律表明任意级联的离散 时 间 LTI系 统 总 的 单 位 脉 冲 响 应 等 于 各 子 系 统 单 位 脉 冲 响 的 卷积和，子系统在级联系统中 的 顺 序 可 以 互 换， 如 图 2-20所 示 三 个 系统 是 完 全 相同 的 （假 设为两个子系统的级联）。同样分配律表明并联 系 统 的 单 位 脉 冲 响 应 等 于 各 子 系 统 单 位 脉 冲 响应之和。应该指出，上述结论也 是 仅 对 离 散 时 间 LTI系 统 成 立， 而 且 所 有 的 卷 积 和 应 该 收敛。
（2） 与冲激脉冲序列δ［n］ 和阶跃函数u［n］
的卷积
任意一信号x［n］ 与 冲 激 脉 冲δ［n］ 的 卷 积 和就等于信号x［n］ 的本身，即
x［n］＊δ［n］＝x［n］ （2-36）
利用卷积和的定义式（2-32），可将信号x［n］
的δ［n］ 信号的分 解 公 式 （2-28） 表 示 成 卷 积 和 的 表 示 形 式， 就 可 直 接 获 得 式 （2-36）。 进 一 步有
x［n］＊δ［n-n0］＝x［n-n0］ （2-37）
上式证明如下：根据卷积和的交换律，可将式（2-37） 的左边看成是δ［n-n0］ 通过一个 单位脉冲响应为h［n］＝x［n］ 的离散时间 LTI系统，利用时不变特性和式（2-36），LTI系 统 对移位δ［n-n0］ 的响应为
δ［n-n0］→h［n-n0］＝x［n-n0］ 因此，有
x［n］＊δ［n-n0］＝δ［n-n0］＊x［n］＝x［n-n0］ （证毕）
式（2-37） 表明，任何信号x［n］ 与δ［n-n0］ 信号相卷积的结果，相当于把信号本 身延 时n0，因此，离散系统中延时器的单位脉冲响应为δ［n-n0］。根据式（2-36），可得离散时间 LTI即时系统的单位脉冲响应为h［n］＝kδ［n］，即 输 出y［n］ 等 于 输 入 x［n］ 的k 倍：y［n］＝
kx［n］ 。
任意信号x［n］ 与单位阶跃信号u［n］ 的卷积和，可表示 x［n］＊u［n］＝
∑
n
k＝-∞
x［k］ （2-38）
根据卷积和的定义和u［n］ 信号性质，有 x［n］＊u［n］＝
∑
∞
k＝-∞
x［k］u［n-k］
因为，当n-k＜0，即k＞n 时，u［n-k］ ＝0， 而 当n-k≥0，即k≤n 时，u［n-k］ ＝1，
故可得
x［n］＊u［n］＝
∑
n
k＝-∞
x［k］
证明了式（2-38）。式（2-38） 表明任意信号x［n］ 与u［n］ 的 卷 积 的 结 果， 就 是 对 x［n］ 进 行 累加运算，因此，单位阶跃信号u［n］ 是离散时间累加器的单位脉冲响应。
根据上述结果可以推得以下结论 （请读者自己证明）
x［n-n1］＊δ［n-n2］＝x［n-n1-n2］ （2-39）
和
若 x［n］＊h［n］＝y［n］
则 x［n-n1］＊h［n-n2］＝y［n-n1-n2］ （2-40）