1. 4. 1 信号的组合运算
实际工程应用时，常需分析信号的组成，将其分解成基本的时间信号，有时也需要将某 些信号变换成便于应用的形式，或构成其他形 式 的 信 号， 这 就 需 要 对 信 号 进 行 处 理 或 运 算，
本节主要讨论信号处理中的一些基本运算。
（1） 信号的组合运算
描述信号有时只要用一个数学表达式，如正弦波，但大部分情形下，一个信号往往要用 几个信号的组合来描述。这些组合可以是几个信号之间的相加、相减、相乘和相除。组合后 的信号值就是几个信号在同一 时 刻t时 的 相 应 数 值 的 相 加、 相 减、 相 乘 和 相 除。 图 1-45 表 示了一些信号组合的例子。
图1-45 信号的组合
信 号 的 组 合 运 算 与 自 变 量 变 换 都 可 用 Matlab 语 言 实 现 ， 下 面 举 例 说 明 信 号 的 组 合 运 算 。
【例1-7】 使用 Matlab语言画出以下函数。
解 x（t）＝e-tsin（20πt）＋e-t/2sin（19πt）
％画图表示连续时间信号组合的程序
t＝0：1/120：6；x＝exp（-t）.＊sin（20＊pi＊t）＋exp（-t/2）.＊sin（19＊pi＊t）；
p＝plot（t，x）；grid on；
xlable（'t'）；ylable（'x（t）'）；
程序运行后的波形如图1-46所示。
（2） 信号的微分与积分运算
图1-46 连续时间信号组合 （例1-7图）
对信号进行微分、积分也是实 际 系 统 中 常 用 的 信 号 处 理 运 算。Matlab 中 可 以 用 diff和 int命令直接求信号的微分和积分。
信号的微分与积分运算，只对连续时间信号有效，运算符号如图1-47所示。
x（t）——→ d d ——→
t y（t）＝dx
dt＝x′（t） x（t）——→
∫
——→g（t）＝∫
t-∞x（t）dτ＝x-1（t）（a） 微分器 （b） 积分器 图1-47 微分、积分运算符号
【例1-8】 已知信号x（t） 如图1-48（a） 所示，求它的微分、积分信号。
图1-48 例1-8图
解 由定义可求得x（t） 的微分和积分信号分别如图1-48（b）、（c） 所示。
由于引入了奇异信号的概念，不仅使普通连续时间信号可以微分，具有第一类间断点的 信号也可以微分，它们在间断点的一阶微分是 一 个 冲 激， 强 度 为 原 信 号 在 该 时 刻 的 跳 变 量，
在其他连续区间的微分就是常规意义上的导数。
图1-49 例1-9图
【例1-9】 求如图1-49所示信号x（t） 的微分信号。
解 由于t＝0是间断点，故x（t） 在 此 应 出 现 一 个 冲 激， 由 于 x（0-）＝0，x（0＋）＝1，
故冲激强度为1。
x′（t）＝δ（t）＋g（t）
g（t）＝ -1，0＜t＜1
｛
0， 其他1. 4. 2 信号的自变量变换
信号与系统分析中一个重要的概念是关于 信 号 的 变 换 概 念， 如 在 高 保 真 度 音 频 系 统 中，
为了增强所要求的特性，要除去录制噪声，对录 制 在 磁 带 或 唱 片 上 的 音 乐 信 号 也 要 作 变 换。
本节讨论的变换只涉及自变量的简单变换也就是时间轴的变换，实现信号的平移、反褶、尺 度等变换。
（1） 信号的时移
信号的时移对应的实际应用就是信号的延时，如闪电与雷声之间的延时。在远距离双向 通信中延时是一个难题，但有时却很有用，如在前面提到的雷达就是利用了发射脉冲和反射 脉冲到达之间的延时才能测定出一架飞机离发送点的距离。
设t0＞0，则连续时间信号x（t-t0） 就是将x（t） 沿t轴正方向即向右平移t0；x（t＋t0） 是把x（t） 沿t轴负方 向 即 向 左 平 移t0， 如 图 1-50所示。对离散信号，如n0为 正 整 数， 则 x［n-n0］是将x［n］ 沿n 轴正方向平移n0个序号，如图1-51所示；x［n＋n0］ 是将x［n］ 沿 n 轴负方向平移n0个序号。
图1-50 连续时间信号的平移 图1-51 离散信号的平移
（2） 信号的反褶
连续时间信 号 x（-t） 是 x（t） 以 纵 轴 （t＝0 为 轴 ） 的 反 褶， 如 图 1-52， 离 散 信 号 x［-n］是将x［n］ 以n＝0 为 轴 反 褶 后 得 到 的， 如 图 1-53。如 果 x（t） 是 代 表 一 盘 录 制 的 声
音磁带的话，那么x（-t）就代表同样一盘磁带倒过来放的结果。
（3） 信号的尺度变换
信号的尺度变换是指自变量由t变为at，a 为任意实数。
若a＞1，则x（at） 是将x（t） 在时间轴线性压缩a 倍，如0＜a＜1，则x（at） 是将x（t）
在时间轴线性展宽1/a 倍。图1-54表示了这种尺度变换。
一般情况下，信号的时移和 时 间 尺 度 变 换 可 以 同 时 进 行。 当 已 知 x（t） 求 x（at＋b） 的 波形时，如a＞0，则只要进行尺度与平移变换；如a＜0，则要同时进行反褶、平移等变换。
一般可写成x a t±b
（ ）
［
a］
的形式，可以先展缩再平移，最后反 褶。 也 可 以 先 将 x（t） 延 时 或超前，然后根据a 值进行尺度变换或时间反转。同样也可从已知的x（at＋b） 波形求出x（t）
图1-52 连续信号的反褶 图1-53 离散信号的反褶
图1-54 信号的尺度变换
波形，两者是可逆变换的。
需指出的是，由于冲激信号只出现在某一孤立时刻，而不是一个时间区间，故对观察者 而言，δ（t） 的扩展和压缩并不是很直观。但可以证明
δ（at）＝1
｜a｜δ（t） （1-82）
【例1-10】 已知x（t） 波形如图1-55（a） 所示，画出x（3t＋6），x（-3t＋6） 波形。
解 变换过程如图1-55所示。
以下举例说明用 Matlab程序实现信号的运算及尺寸变换过程。
【例1-11】 使用 Matlab程序画出以下信号的波形
x（t）＝
0， t＜-2
-4-2t， -2＜t＜0 -4＋3t， 0＜t＜4 16-2t， 4＜t＜8
0， t＞
8
然后画出x（t＋1），x（3t），x（-3t） 的波形。
解 首先为画图选择一个合适的t的范围和时间之间的间隔，使产生的曲线能接近实际
图1-55 例1-10图
图1-56 变换函数的波形 （例1-11图）
的函数。选择时间范围是-5＜t＜20，两点的间隔为0.1，先创建一个 Matlab程序 （test.m 文件） 来定义函数x（t）。在画函数变换后 的 图 形 时， 只 要 调 用 这 个 m 文 件 就 可 以 了， 变 换 函数的波形如图1-56所示。程序如下。
---
---％程序test.m：产生 x（t）函数 function y＝x（t）
％计算每个t范围的函数值
y1＝-4-2＊t；y2＝-4＋3＊t；y3＝16-2＊t；
％将各个函数根据它们的区间结合起来
y＝y1.＊（-2＜t＆t＜＝0）＋y2.＊（0＜t ＆t＜＝4）＋y3.＊（4＜t＆t＜＝8）；
---
---％程序：调用程序test.m，画 x（t）函数及 x（t＋1），x（3t），x（-3t）的波形 tmin＝-4；tmax＝10；dt＝0.1
t＝tmin：dt：tmax；
x＝y（t）；
x1＝y（t＋1）；
x2＝y（3＊t）；
x3＝y（-3＊t）；
subplot（4，1，1），plot（t，x）；ylabel（'x（t）'）；grid on；
subplot（4，1，2），plot（t，x1）；ylabel（'x（t＋1）'）；grid on；
subplot（4，1，3），plot（t，x2）；ylabel（'x（3＊t）'）；grid on；
subplot（4，1，4），plot（t，x3）；ylabel（'x（-3＊t）'）；xlabel（'t'）；grid on；
对离散时间序列，由于其自变量只能取整数值，严格地说不能像连续时间信号那样进行 尺度变换。如果要将信号x［n］ 变换成
x1［n］＝x［N·n］，N 为正整数 （1-83）
则表示x1［n］ 是以 N-1个点为间隔从x［n］ 中选取相应的序列点，并将所选出的序列点上 的信号值重新依次排序所构成的信号，这个过程称为对信号的抽取。
如果把序列x［n］ 变换成
x2［n］＝ x［n/N］，n 为 N 的整倍数 0， 其他
｛
N （1-84）则表示序列x2［n］ 是在x［n］ 序列相邻两序号之间插入 N-1个零值后所构成的序列，这个 过程称为对信号的内插，图1-57（b） 和 （c） 分别表示了当N＝2 时， 对 离 散 时 间 信 号 x［n］
的抽取、内插过程的例子。图1-57表 明，对 离散时 间序 列抽 取的 过 程 会 使 原 序 列 的 长 度 缩 短，而内插过程则使原序列的长度加长。
图1-57 离散时间序列抽取和内插过程