一个连续时间信号x（t） 经过采样后成为由样本组成的离散序列x［n］＝x（nT）， 这 个 过
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图5-1 冲激串采样
图5-2 时域采样的各信号的频谱
序列x［n］ 保留了其原始信号的所有信息。
根据上述讨论的结果，可得到连续时间信号的采样定理。
采样定理 设x（t）是某一带限信号，即 X（jω）＝0，｜ω｜＞ωM。如果采样频率ωs＞2ωM，其 中ωs＝2π/T，T 为采样周期，那么x（t）就惟一地由其样本值序列x［n］＝x（nT），n＝0，±1，
±2，…所确定。
当连续信号x（t）的采样满足采样定理时，就能够用如图5-4所示的恢复系统精确恢复原 信号x（t）。可以用x（t）的样值序列x［n］＝x（nT）产生冲激串xp（t）＝
∑
∞
n＝-∞
x（nT）δ（t-nT），
然后将xp（t） 通过一个增益为 T，截止频率ωc满足ωM＜ωc＜ωs-ωM的理想低通滤波器，其 输出就是x（t）。一般将信号最高频率的2倍，即 2ωM， 称为 奈奎 斯 特率 （频 率）。 由于理 想 滤波器是非因果的，因此，在实际应用中，这样的滤波器必须被对理想滤波器足够近似的非 理想滤波器所代替。
图5-4 恢复系统
值得注意的是，在满足采样定理下，式（5-9） 建立起了连续时间信号和离散时间信号的 相互联系。这种联系的实质 是 用 某 一 离 散 时 间 信 号 去 完 全 等 价 表 示 任 意 带 限 的 连 续 时 间 信 号，为连续时间信号的离散时间化处理奠定了理论基础。
5. 1. 2 用样值序列重建或表示连续时间信号
在本节中将讨论如何在时域上，用样值序列重建信号。可用某一离 散 序 列 按 式（5-3） 来 表示它所对应的连续时间信号，然后，通过一 个 理 想 滤 波 器， 恢 复 出 对 应 的 连 续 时 间 信 号。
显然xp（t） 也是一 种 x（t） 的 时 域 表 示 式， 但 它 有 两 个 实 际 问 题： ① 实 际 中， 产 生 和 传 输 δ（t）信号是不可能的；②必须通过一个理想低通滤波器，才能获得实际的x（t）。从数 学 角 度 上说，用样本来重建某一连续时间 （某一变量） 函数的过程，就是内插。这一重建过程结果 既可以是近似的，也可以是精确的。可以用图5-4所示的恢复系统来考虑上述问题。如果图 5-4中的 H（jω） 为满足采样定 理 的 理 想 低 通 滤 波 器， 则 所 得 结 果 是 精 确 重 建； 如 果 H （jω）
是近似的非理想滤波器，则 所 得 结 果 是 近 似 的。 不 失 一 般 性， 假 设 图 5-4中 H（jω） 为 一 低 通滤波器，可以是理想 低 通， 也 可 以 是 非 理 想 低 通。 假 设 该 低 通 滤 波 器 的 单 位 冲 激 响 应 为 h［t］，以及系统的输出为xr（t）。
由图5-4所示，可得
xr（t）＝xp（t）＊h（t）＝
∑
∞
n＝-∞
x（nT）δ（t-nT
［
）＊h（］
t）＝∑
∞
n＝-∞
x（nT）h（t-nT） （5-10）
式（5-10） 表明可由某一基本信号h（t） 的移位信号h（t-nT） 的线 性 组 合 来 重 建 信 号， 而 线 性组合中的加权系数为信号的样值序列，该基本信号为恢复系统中低通滤波器的单位冲激响 应。因此，式（5-10） 为重建信号的内插公式。 选 择 不 同 的h（t）， 即 不 同 的 低 通 滤 波 器， 就 可获得不同的内插公式。
（1） 带限内插
当h（t）为理想滤波器时，即
h（t）＝ωcT
πSa（ωct） （5-11）
内插公式为
xr（t）＝
∑
∞
n＝-∞
x（nT）ωcT
πSa（ωc（t-nT）） （5-12）
当ωc满足：ωM＜ωc＜ωs-ωM时，式（5-12） 的重建是精确的。通常将该重建方法称为带限内 插。对这种内插而言，只要x（t） 是带限的，且采样频率又满 足 采 样 定 理， 就 能 实 现 信 号 的 真正重建。由于h（t） 表示的是非因果的理想滤波器，因此，式（5-12） 所表示的是非 因果内 插，即要重建某一时刻的x（t） 值，就必须知道 该 时 刻 以 前 和 将 来 的 所 有 样 本 值。 对 无 限 长 的信号，这样做是有困难的，在实际中，通常的做法是截取h（t） 的一段用于式（5-12） 的计 算，即
xr（t）＝
∑
N
n＝-N
x（nT）ωcT
πSa（ωc（t-nT）） （5-13）
显然式（5-13） 是近似重建，只要 N 足够大，就可以获得足够精度。
图5-5 用带限内插公式重建信号 图5-5为按式（5-12） 用 Matlab实现信号的重建，其源程序为
％程序interpolation：用带限内 插 重 建 0.3＊sin（2＊pi＊t）＋0.4＊cos（2.5＊pi＊t＋pi/4）＋
％0.3＊cos（pi＊t＋pi/3）信号
tmin1＝-4；tmax1＝4；dt＝0.01； ％设置重建信号的区间 t＝tmin1：dt：tmax1；
x＝0.3＊sin（2＊pi＊t）＋0.4＊cos（2.5＊pi＊t＋pi/4）＋0.3＊cos（pi＊t＋pi/3）；
％获得原信号波形，仅用于显示
T＝0.25； ％设置采样周期 T，采样频率 ws＝2＊pi/T＝8＊pi tmin＝-500＊T；tmax＝500＊T； ％设置样值区间
wc＝pi/T； ％设置恢复滤波器的截止频率 wc＝ws/2
A＝wc＊T/pi；
t1＝tmin：T：tmax；
xn＝0.3＊sin（2＊pi＊t1）＋0.4＊cos（2.5＊pi＊t1＋pi/4）＋0.3＊cos（pi＊t1＋pi/3）；
％获得信号的样值 n1＝length（t）；
for m＝1：n1
y1＝A＊sinc（wc＊（t（m）-t1）/pi）；
y（m）＝xn＊y1'； ％用带限内插公式重建信号 end
subplot（3，1，1）；plot（t，x）；ylabel（'原信号'）；axis（［-4，4，-1.25 1.25］）；title（'用 带 限 内 插公式重建信号'）；grid on；
subplot（3，1，2）；stem（t1，xn）；ylabel（'样值'）；axis（［-4，4，-1.25 1.25］）；grid on；
subplot（3，1，3）；plot（t，y）；ylabel（'重建信号'）；axis（［-4，4，-1.25 1.25］）；grid on；
图5-6 零阶保持重 建时，低通的单
位冲激响应
（2） 零阶保持
如果h（t） 取以下的矩形窗函数，即
h（t）＝h0（t）＝ 1，0＜t＜τ和τ≤T
｛
0，其他 （5-14）式（5-14） 所 描 述 的 h（t） 如 图 5-6 所 示。 一 般 将 用 式 （5-14） 的 h（t），按公式（5-10） 所 得 到 的 重 建 方 法， 称 为 零 阶 保 持。 其 所 得 到的重建信 号 如 图 5-7 所 示。 从 图 中 可 知， 重 建 信 号 是 在 某 采 样 时刻上，将该 采 样 值 在 下 一 个 采 样 时 刻 到 来 之 前 保 持 一 段 时 刻。
因此，该重建方法 是 一 种 很 粗 糙 的 近 似， 通 过 和 理 想 滤 波 器 的 频 响比较就可 以 得 出 该 结 论， 如 图 5-8 所 示。 但 是， 这 种 方 法 用 于 表示和产生实际的连续时间信号 时，在 实 际 应 用 中 比 较 容 易 实 现，
图5-7 零阶保持
只需通过数模转换器 （即 D/A，用于将数字信 号变换为模拟信号） 直接输出就可。只要 T 足 够小，零阶保持也可以 获 得 足 够 高 的 精 度。 零 阶保持的另一应用是用 于 信 号 的 采 样， 即 零 阶 保持采样。
零阶保持的 优 点 是 工 程 上 很 容 易 实 现，下 面进一步讨论如何从零阶保持精确恢复原信号。
重建x（t）仍然可用低通滤波方法来实现。假设 用于重建 的 滤 波 器 的 单 位 冲 激 响 应 为hr（t），频 率响应 为 Hr（jω），恢 复 系 统 如 图 5-9 所 示。图 中，x0（t） 为 零 阶 保 持 输 出，xr（t）为 恢 复 系 统 输出。将图5-9所示的恢复系统同图5-4的恢复 系统相 比 较，可 以 发 现，如 果h0（t）和hr（t） 级 联后等效的h（t） 或 H（（ jω） 的特性是一个图5-） 4中所用的理想低通滤波器的话，即
H（jω）＝H0（jω）Hr（jω）
＝ T，ωM＜ωc＜ωs-ωM
｛
0， 其他 （5-15）图5-8 零阶保持和理想滤波器的频响特性
那么xr（t）＝x（t）。因为
H0（jω）＝e-jωτ/2 2sin（ωτ/2）
［
ω］
（5-16）根据式（5-15），有 Hr（jω）＝ ejωτ/2
2sin（ωτ/2）
ω
·H（jω） （5-17）
例如，若 H（jω） 的 截 止 频 率 等 于ωs
2和τ＝T，
则零阶保持系统的重建滤波器的理想频率响应特性如图5-10所示。
实际上式（5-17） 的频率响应 是 很 难 实 现 的， 因 此 为 了 得 到 很 好 的 重 建 效 果， 就 必 须 对 它作一近似的设计。在实际应用中，只要采样频率足够大，从图5-8中可以看出，此时零阶 保持的频率响应特性在零 频 附 近 （或 信 号 有 效 频 带 内） 与 理 想 内 插 滤 波 器 的 频 响 特 性 很 接 近，这样通过一个非理想的低通滤波器，例如 RC 低通滤波器，对x0（t） 进行平滑，就 可 以 得到较满意的重建信号。如果对 零 阶 保 持 所 给 出 的 粗 糙 内 插 不 够 满 意， 可 以 通 过 选 择 h（t）
使用其他各种平滑的内插手段。当h（t） 取如图5-11所示的三角脉冲时，可求得被称为一阶 保持或线性内插的重建信号xr（t），如图5-11所示。
图5-9 零阶保持的恢复系统
图5-10 零阶保持输出信号的 重建滤波器的模和相位特性
图5-11 线性内插 （一阶保持）
图5-12 利用零阶保持采样
5. 1. 3 零阶保持采样
冲激串采样的数学模型在实际工程应用中是无法实现的，其重要意义是在于理论上建立
图5-13 零阶保持采样的数学模型 采样定理。 在 实 际 工 程 应 用 中， 往 往 采 用 零 阶 保 持
的方法来 获 取 采 样 信 号。 利 用 零 阶 保 持 方 法 的 采 样 系统如图 5-12 所 示，在 该 系 统 中，对 某 一 采 样 时 刻 上信号x（t） 的 采 样 值 将 保 持 到 下 一 个 采 样 时 刻 为 止。信号的零 阶 保 持 系 统 可 由 商 用 的 保 持 采 样 电 路
（S/H） 来完成， 因 此， 实 现 起 来 很 方 便。 如 在 信 号 的保持期间，对 采 样 值 进 行 量 化， 就 可 以 获 得 x（t）
的数字信号。
借助于冲激 串 采 样 的 数 学 模 型 和 连 续 时 间 信 号 的样值重 建 方 法， 零 阶 保 持 采 样 的 数 学 模 型 可 用 图 5-13来描 述。 利 用 图 5-13 或 式 （5-10） 和 h0（t）， 可
获得零阶保持采样的输出为 x0（t）＝
∑
∞
n＝-∞
x（nT）h0（t-nT） （5-18）
与冲激串采样相同，信 号 的 采 样 序 列 x［n］＝x（nT）
与x0（t） 具 有 一 一 对 应 关 系。 可 采 用 图 5-9 所 示 零 阶保持恢复系统从x0（t） 精确重建x（t）。