上一节建立了周期信号的傅里叶级数表示方法，在这一节将把信号的复指数信号表示方 法推广应用到非周期信号中。将会看到，相当广泛的一类非周期信号，其中包括全部有限能 量的信号，也能够经由复指数信号的线性组合来表示。我们已知道，对周期信号而言这些复 指数信号分量全是成谐 波 关 系 的， 它 们 的 系 数 是 关 于kω0的 函 数， 是 离 散 的， 当 周 期 增 加 时，傅 立 叶 系 数 的 波 形 将 越 来 越 密 集 ， 例 如 图 3-3就说 明这一点。 而 对 非 周 期 信 号， 由 于 可 以 将 它 看 成 是 周 期 无 穷 大 的 周 期 信 号 ， 因 此 这 些 复 指 数 信 号 在 频 率 上 无 限 靠 近 ， 它 们 的 加 权 系 数 的 域 将 变 为 连 续 的 。 由 此 ， 可 以 得 到 一 个 用 以 描 述 频 谱 系 数 的 连 续 函 数 ， 该 函 数 被 称 为 傅 里 叶 变 换 ； 而 利 用 该 函 数 可 以 将 信 号 表 示 为 复 指 数 信 号 的 线 性 组 合 ， 被 称 为 傅 里 叶 反 变 换 。
3. 2. 1 非周期信号的傅里叶变换的导出
建立非周期信号复指数信号的表示，即信号的傅里叶变换，其基本思想是把一个非周期 信号当作是一个周期为无穷大的周期信号，并研究这样的周期信号傅里叶级数表示式的极限 情况。现在，考虑一个信号x（t），它具有 有 限 时 宽，即 满 足 条 件：当｜t｜＞T1时，x（t）＝0，
可以用图3-10（a）来表示这样的信号。
图3-10 非周期信号的周期延拓
可以将这个非周期信号x（t） 进行周期延拓，构造一个周期信号 ～x（t），如图3-10（b） 所
示，延拓构成的周期信号满足
和 x（t）＝1
2π
∫
-∞∞ X（jω）ejωt dω （3-45）式（3-44） 定 义 的 X（jω） 称 为 x（t） 的 傅 里 叶 变 换 或 频 谱 ， 而 式 （3-45） 称 为 傅 里 叶 反 变 换 。 与 傅 里 叶 级 数 相 比 ， 傅 里 叶 级 数 的 频 谱 系 数 ak表 示 了 级 数 中 各 谐 波 分 量 的 “绝 对 复 幅 度” 的 度 量 ， 而 非 周 期 信 号 的 频 谱 X（jω） 则 表 示 各 频 率 指 数 信 号 复 幅 度 的 相 对 度 量 ， 为 频 谱 密 度 （单 位 频 带 内 的 振 幅）。 用 X（jω） 综 合 可 以 把 x（t） 表 示 为 复 指 数 信 号 的 线 性 组 合 ， 具 体 形 式 为 式（3-45） 所 示 积 分 形 式 ； 用ak综 合 可 以 把 周 期 信 号 表 示 成 傅 里 叶 级 数 形 式 ， 由 成 谐 波 关 系 的 复 指 数 信 号 分 量 构 成 。 如 果 信 号 的 傅 里 叶 变 换 存 在 ， 式 （3-44） 和 式（3-45） 所 定 义 的 傅 里 叶 变 换 对 表 明 时 域 信 号 x（t） 与 其 频 谱 X（jω） 是 等 价 的 ， 而 且 频 谱 具 有 很 明 确 的 物 理 意 义 ， 给 信 号 分 析 和 LTI系 统 分 析 带 来 极 大 的 方 便 。 傅 里 叶 变 换 将 一 个 时 域 信 号 x（t） 等 价 映 射 为 一 个 频 域 信 号 X（jω）， 而 傅 里 叶 反 变 换 将 一 个 频 域 信 号 X
（jω） 映 射 为 等 价 的 时 域 信 号 x（t）。 将 频 谱 X（jω） 表 示 为 极 坐 标 形 式 X（jω）＝ X j（ ）ω ·ejθ（ω）
即用模和相位表示，其模｜X（jω）｜称为信号幅度谱，其相位θ（ω） 称为信号的相位谱。
3. 2. 2 连续时间傅里叶变换的收敛性
与周期信号的傅里叶级数相同，傅里叶变换对相当广泛的一类信号是适用的，特别是对 一些实际应用中的信号，但并不是对所有信号 都 是 适 用 的， 傅 里 叶 变 换 也 存 在 着 收 敛 条 件。
从上节的傅里叶变换推导过程看，傅里叶变换和傅里叶级数的本质是一样的，这 暗 示 了x（t）
的傅里叶变换的收敛条件应该与傅里叶级数收敛条件所要求的是非常相似的，事实上也确实 如此。下面将考虑当满足什么条件时，信号的傅里叶变换存在，其傅里叶反变换可以并是在 什么意义上表示原信号。
令x^ （t） 表示利用 X（jω） 按式（3-45） 右边的积分得到的信号，即 x^（t）＝1
2π
∫
-∞∞ X（jω）ejωt dω （3-46）现用e（t） 表示x^ （t） 和x（t） 之间的误差
e（t）＝x^（t）-x（t） （3-47）
均方误差定义为
E（t）＝
∫
-∞∞ ｜e（t）｜2dt （3-48）与周期信号的傅里叶级数相类似，傅里叶变换通常有两个收敛条件。
条件1 若x（t）能量有限，也即x（t）平方可积
∫
-∞∞ ｜x（t）｜2dt＜∞ （3-49）那么就保证 X（jω） 是有限的， 即 式 （3-44） 收 敛， 以 及 E（t）＝0。 因 此， 与 周 期 信 号 相 似，
如果x（t） 能量有限，那么x（t） 和它的 傅 里 叶 表 示 式 x^（t），也 就 是 傅 里 叶 反 变 换， 仅 表 示 在均方误差 E（t）＝0意义上的等价表示，两者在能量上没有任何差别，但不能保证两者在时 域上处处相等。
傅里叶变换的另一组条件为狄里赫利条件。该条件保证了傅里叶反变换除了那些不连续 点外，在任何其他的t值上都 等 于x（t）， 而 在 不 连 续 点 处， 它 等 于 x（t）在 不 连 续 点 两 侧 值 的平均值。
条件2 狄里赫利条件
① x（t） 绝对可积，即
∫
-∞∞ ｜x（t）｜dt＜∞ （3-50）② 在任何有限区间内，x（t） 只有有限个最大值和最小值；
③ 在任何有限区间内，x（t） 只有有限个不连续点，并且 在 每 个 不 连 续 点 上 信 号 都 必 须 是有限值。
从该收敛条件可以得出，本身是连续的或者只有有限个不连续点的绝对可积信号都存在 着傅里叶变换。
尽 管 这 两 组 条 件 都 给 出 了 一 个 信 号 存 在 傅 里 叶 变 换 的 充 分 条 件 ， 实 际 上 在 傅 里 叶 变 换 对 中 ， 真 正 关 心 的 是 傅 里 叶 反 变 换， 即 信 号 能 用 复 指 数 信 号 来 表 示， 因 为 只 有 这 样 傅 里 叶变换才有意义。例如周期信号显然不满足上述两组收敛条件，其频谱是无穷大的，但绝大 部分的周期信号可以用成谐波关系的复指数信号的线性组合来表示，该结果暗示周期信号的 傅里叶反变换应该是存在，因此认为周期信号不具有傅里叶变换显然是不合理的。一般只要 使其傅里叶反变换积分存在或收敛，即信号可 以 表 示 为 复 指 数 信 号 的 线 性 组 合， 也 就 是 说，
尽管信号的傅里叶正变换积分式（3-44） 不收 敛， 只 要 该 积 分 的 无 穷 大 值 可 用 函 数 （如 冲 激 函数） 表示，并代入傅里叶反变换式（3-45），使该积分收敛于原信号， 都 可以 认 为 这 样的信 号具有傅里叶变换。这样就可以将傅里叶变换和 傅 里 叶 级 数 统 一 在 傅 里 叶 变 换 的 框 架 之 下。
在以后的周期信号的傅里叶变换章节及其他地方中，将解决这一问题。此外，当傅里叶变换 综合公式（3-45） 用有限频宽来近似表示原信号，即x^（t）＝1
2π
∫
ω-ωX （jω）ejωt dω， 同 样 存 在 吉 布斯现象。3. 2. 3 典型连续时间信号的傅里叶变换对
（1） 单边指数信号
已知单边指数信号的表示式为
x（t）＝e-at u（t），a＞0 由式（3-44），有
X（jω）＝
∫
-∞∞ x（t）e-jωt dt＝∫
0∞e-ate-jωt dt＝- 1
a＋jωe-（a＋jω）t
∞
0
得
e-at u（t ←——） →——F
X（jω）＝ 1
a＋jω，a＞0 （3-51）
其模和相位表示为
X（jω）＝｜X（jω）｜ejθ（ω）
｜X（jω）｜＝ 1 a2＋ω
2 θ（ω）＝-arctan ω
（ ）
a单边指数信号的波形x（t）、幅度谱｜X（jω）｜和相位谱θ（ω） 如图3-11所示。
（2） 双边指数信号
已知双边指数信号的表示式为
x（t）＝e-a｜t｜，a＞0 如图3-12所示，该信号可表示为
x（t）＝eat u（-t）＋e-at u（t）
该信号的傅里叶变换是
X（jω）＝
∫
-∞∞ e-a｜t｜e-jωt dt＝∫
0-∞eate-jωt dt＋∫
0∞e-ate-jωt dt图3-11 单边指数信号的波形及频谱
图3-12 双边指数信号的波形及频谱
＝ 1
a-jω＋ 1
a＋jω＝ 2a a2＋ω2 得
e-a｜t｜←——→F 2a
a2＋ω2 （3-52）
双边指数信号的波形、频谱如图3-12所示。
（3） 单位冲激信号δ（t）
单位冲激信号δ（t） 的傅里叶变换是
X（jω）＝
∫
-∞∞ δ（t）e-jωt dt＝1得
δ（t）←——→F 1 （3-53）
也就是说，单位冲激信号的频谱在所有频 率 上 都 是 相 同 的， 即δ（t） 所 包 含 各 种 频 率 分 量是相等的。δ（t） 的频谱如图3-13所示。
图3-13 单位冲激信号的频谱
（4） 求冲激偶δ′（t） 的傅里叶变换
因为 δ（t）←——→F 1
所以，可得 δ（t）＝1
2π
∫
-∞∞ ejωt dω上式两边对t求微分，得 δ′（t）＝dδ（t）
dt ＝1
2π
∫
-∞∞ jωejωt dω上式表示为δ′（t） 的傅里叶反变换，所以得
δ′（t）←——→F jω （3-54）
图3-14 抽样函数的傅里叶变换对
高斯脉冲信号的表示式为
x（t）＝Ee-（ ）tτ 2 其傅里叶变换为
X（jω）＝
∫
-∞∞ x（t）e-jωt dt＝∫
-∞∞ Ee-（ ）τt 2［cosωt-jsinωt］dt＝2E
∫
∞
0 e-（ ）tτ 2cosωtdt 积分后得
Ee-（ ）tτ 2←——→F
πEτe-（ ）ω2τ 2 （3-58）
高斯脉冲信号的波形及频谱如图3-16所示。
图3-16 高斯脉冲信号的波形及频谱
（9） 利用 Matlab计算信号的傅里叶变换
下面是计算傅里叶变换的 Matlab程序和运算结果 （如图3-17所示
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）。
％程序signal.m：定义求傅里叶变换的被积函数：y＝x（t）.＊exp（-j＊w＊t）
function y＝signal（t，w，T）％［-T，T］为信号时宽，t为时间变量，w 为频域变量 x＝（t＞＝0）.＊1.0； ％ ［0，T］ 方波
％对称三角形可定义为：x＝（abs（t）＜＝T）.＊（1-abs（t））
％对称斜波可定义为：x＝（abs（t）＜＝T）.＊t
％斜波可定义为：x＝（t＞＝0）.＊t
％对称方波可定义为：x＝（abs（t）＜＝T）.＊1.0 y＝x.＊exp（-j＊w＊t
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）；
％程序spectrum.m：求信号的傅里叶变换 T＝1；％设置信号时宽
w＝linspace（-10＊pi，10＊pi，1024）；％设置频域变量取值范围 N＝length（w）；F＝zeros（1，N）；
fork＝1∶N
F（k）＝quadl（＠signal，-T，T，［］，［］，w（k），T）；
end
A＝abs（F）；％计算傅里叶变换的幅值
subplot（3，1，1）；plot（w，A）；ylabel（'幅频特性'）；axis（［w（1）w（N）min（A）-0.05 max（real
（A））＋0.05］）；
subplot（3，1，2）；plot（w，real（F））；ylabel（'实部'）；axis（［w（1）w（N）min（real（F））-0.05max
（real（F））＋0.05 ］）；
subplot（3，1，3）；plot（w，imag（F））；xlabel（'\omega'）；ylabel（'虚 部'）；axis（［w（1）w（N）min
（imag（F））-0.05max（imag（F））＋0.05 ］）；
图 3-17 方波的频谱