与连续时间情况相似，在一定条件下，离散时间信号也可由其样值来表示，而不会丢失 任何信息。
图5-15 离散时间脉冲串采样
5. 3. 1 脉冲串采样
离散时间信号的脉冲串采样系统如 图 5-15 所示。图中采样脉冲串信号p［n］ 为
p［n］＝
∑
∞
k＝-∞
δ［n-kN ］ （5-23）
已采信号xp［n］ 可表示为 xp［n］＝x［n］p［n］＝
∑
∞
k＝-∞
x［kN］δ［n-kN］
＝ x［n］，n ＝ N 的整倍数 0， 其余
｛
n （5-24）因此，xp［n］ 仅 与 x［n］ 的 样 值 x［kN］
有关。在频域就有 P（ejω）＝2π
N
∑
∞
k＝-∞
δ（ω-kωs），ωs＝2π N Xp（ejω）＝1
2π
∫
2πP（ejω）X（ej（ω-θ））dθ＝1N∑
N-1
k＝0
X（ej（ω-kωs）） （5-25）
式（5-25） 和连续时 间 采 样 中 的 Xp（jω） 十 分 相 似， 图 5-16 为 离 散 时 间 脉 冲 串 采 样 后 的 频 谱图。
在 图5-16（c） 中，由于ωs-ωM＞ωM，即ωs＞2ωM时，频域中不发生频谱混叠，Xp（ejω） 在以下频率点上重现原信号的频谱
ωsk＋2πm，k＝0，1，2，…，N-1；m＝0，±1，±2，… （5-26）
因而对信号的采样不会丢失任何信息。此时x［n］ 就能利用增益为 N，截止频率ωc大 于ωM
而小于ωs-ωM的低通滤波 器 从 xp［n］ 中 恢 复 出 来， 如 图 5-17 所 示。 图 5-16（d） 中， 由 于 ωs＜2ωM，频域中将发生混叠现象，所以不能精确恢复原信号。对图5-17（a）所示的恢复系统 而言，如果ωs＜2ωM，那么xr［n］就不等于x［n］。根据以上讨论，可得离散时间的采样定理：
图5-16 脉冲串采样后的频谱图
图5-17 从样本中精确重建x［n］的恢复系统 设x［n］是某一带限信号，即在 π≥｜ω｜＞
ωM时，X（ejω）＝0， 如 果 采 样 频 率 ωs＝ 2π
N＞2ωM，那么x［n］ 就惟一地 由 其 样 本 x［kN］，k＝0， ±1， ±2， … 所 确 定。
已知这些 样 本 值， 可 按 图 5-17（a） 所 示 的恢复系统重建x［n］。
如果 在 时 域 上 来 考 查 图 5-17（a） 所 示的恢复 系 统， 就 可 以 得 到 时 域 重 建 的 内插公式。设 恢 复 系 统 中 的 低 通 滤 波 器 的单 位 脉 冲 响 应 为 h［n］， 则 重 建 信 号 xr［n］为
xr［n］＝xp［n］＊h［n］
＝
∑
∞
k＝-∞
x［kN］·h［n-kN］ （5-27）
上式结果与连 续 时 间 情 况 是 完 全 一 致 的，
即信号 的 重 建 可 看 成 是 某 一 信 号 的 移 位 线性加权 叠 加， 而 该 信 号 为 恢 复 系 统 中 的低通滤 波 器 的 单 位 脉 冲 响 应， 各 加 权 系数则为信号的样值。如h［n］ 取图5-17
（d） 所示的理想低通滤波器 h［n］＝Nωc
π sinωcn
ωcn ，ωM＜ωc＜ωs-ωM （5-28）
则重建信号可表示为
xr［n］＝
∑
∞
k＝-∞
x［kN ］Nωc π
sinωc（n-kN ）
ωc（n-kN ） （5-29）
式（5-29） 所表示的 内 插 公 式 一 般 称 为 离 散 时 间 的 带 限 内 插。 当 满 足 采 样 定 理 时， 即 ωs＞ 2ωM时，式（5-29） 所 示 的 内 插 为 精 确 内 插， 此 时 xr［n］＝x［n］； 如 不 满 足 采 样 定 理， 即 ωs＜2ωM时，根据式（5-29） 可得， 当ωc＝ωs
2时， 图5-17所 示 恢 复 系 统 的重 建 信 号 xr［n］ 满 足以下关系
xr［kN］＝x［kN］，k＝0，±1，±2，… （5-30）
但xr［n］ 不等于x［n］。
在实际应用中，可以通过选择一个近似 的 低 通 滤 波 器h［n］，利 用 式（5-27） 所示 的 内 插 公式，获得满足一定精度要求的重 建 信 号。 只 要 使h［0］＝1，h［kN］＝0，k≠0， 重 建 信 号 都满足式（5-30） 所表示的关系，即
当h［0］＝1，h［kN］＝0，k≠0时，有xr［kN］＝x［kN］，k＝0，±1，±2，… （5-31）
5. 3. 2 离散时间信号的抽取与内插
离散时间信号的抽取与 内 插 在 通 信 系 统 和 多 速 率 数 字 系 统 中 有 广 泛 应 用。 考 虑 图 5-15 的已采样的序列xp［n］，其中真正有用的是其不为零的信号的采样 值， 其 余 的 零 值 是 可 以 丢 弃的。因此，往往将信号的样值序列xs［n］ 来代替xp［n］，这样可以大大降低系统所需存储 容量和传输速率。样值序列 （抽取序列）xs［n］ 可表示为
图5-18 信号的抽取
xs［n］＝xp［nN］＝x［nN］ （5-32）
即xs［n］就是用 xp［nN］ 中 每 隔 N 点 上 的 序 列 值所构成，或对x［n］每隔 N 点抽取一个样点而 构成的样本值序列。一般将式（5-32）所表示 的，
对信号 N 点 抽 取 的 过 程 称 为 抽 取 （decimation）
或减采 样 （downsampling），通 常 用 图 5-18 中 的 框图表示x［n］的 N 点抽取。
下面，将进一步考 查 xs［n］ 信 号 的 频 谱 特 性。由于
Xs（ejω）＝
∑
∞
k＝-∞
xs［k］e-jωk
＝
∑
∞
k＝-∞
xp［kN ］e-jωk （5-33）
如果作变量替换n＝kN，上式可写成 Xs（ejω）＝
∑
n＝kN
xp［n］e-jωn/N （5-34）
上式累加式中，n 只能取 N 的整数倍。考虑到当n 不为 N 的整数倍时，xp［n］＝0， 所 以n 只能取 N 的整数倍的限制可取消，这样上式可以简单表示为
Xs（ejω）＝
∑
∞
n＝-∞
xp［n］e-jωn/N （5-35）
比较 Xp（ejω）＝
∑
∞
n＝-∞
xp［n］e-jωn （5-36）
有 Xs（ejω）＝Xp（ejω/N） （5-37）
这一关系如图5-19所示，从中可以看出，抽取序列xs［n］ 与xp［n］ 的频 谱 差 别 只 在 频 率尺度上，即xs［n］ 的频谱将 Xp（ejω） 扩展了 N 倍。由于抽取本质和信号的脉冲串采样是 一致的，当抽取周期 N （或抽取频率ωs＝2π
N） 满 足 采 样 定 理 时， 上 述 的 频 谱 扩 展 将 不 会 发 生混叠。此时，在｜ω｜≤π内，采样序列xs［n］ 的频谱相当于将x［n］ 的 频 谱 扩 展 N 倍。 在 工程上，通过抽取，可以使信号扩展至整个频带，提高频带利用率，使系统达到最大的减采 样，这样就可有效降低离散时间系统所要求的处理速度和规模。
在 工 程 应 用 中 ， 往 往 通 过 抽 取 ， 在 不 发 生 频 谱 混 叠 情 况 ， 可 以 把 一 个 序 列 等 效 转 换 到 一个较 低 速 率 的 抽 取 序 列 。 同 样 也 可 通 过 内 插 方 法 ， 将 一 个 序 列 等 效 转 换 到 一 个 较 高 速 率
图5-19 抽取的频域关系
图5-20 信号的增采样 （内插）
的序列，内插过程也称为增采样 （upsampling）。内插的原理实质就是图 5-17所示的脉冲 串 采样的恢复系统，也可以用上一章所提及的离散时间傅里叶变换的时域扩展性质来描述。图 5-20所示为信号内插过程及其频谱关系。通过对 信 号 xs［n］ 内 插 （N-1） 个 零 点， 形 成 xp
［n］ 序列 （对xp［n］ 进 行 N 点 抽 取 就 可 生 成xs［n］）， 然 后 将 xp［n］ 通 过 一 低 通 滤 波 器，
就可获取已被内插的序列x［n］。从图5-20所示的频谱关系中，可看出，在｜ω｜≤π内，内插 序列x［n］ 的频谱是将xs［n］ 频谱收缩 N 倍，而xp［n］ 的频谱 Xp（ejω） 是将xs［n］ 的频谱 Xs（ejω） 在整个频域上收缩了 N 倍。下 面 将 通 过 一 个 例 子 来 说 明， 如 何 运 用 抽 取 和 内 插 来
达到信号的最大抽取。
【例5-1】 如图5-21所示为一抽取系统，图中 H1（ejω） 为一抗混叠滤波器，滤去了信号 无用的高频分量，并将信号的最大频率限制为ωM＝2π
9，试问此 时系统 所能达到 的最大 抽 取 N （不一定量整数） 是多少？
图5-21 信号的最大抽取 要获得最大的 抽 取， 就 必 须 使xs［n］
的频 谱 占 据 整 个 频 带。 由 于 信 号 x1［n］
的最高频率ωM＝2π
9，如对信号直 接进行 抽取，要不产生混叠，必须满足2π
N＞2×
2π
9，所 以 N ＜9
2， 取 N ＝4。 对 x1［n］
进行 N＝4的抽取，就得到x2［n］， 它 的 频谱如图5-22（b） 所示，其中，在8π
9≤｜ω｜≤π 这 段 频 带 内 频 谱 还 是 零，因 此， 仍 有 进 一 步 抽取的余地。具体作法可 以 是 这 样 的， 首 先 对 信 号 进 N ＝2 的 内 插， 获 得 相 应 的 内 插 序 列 x3［n］，其频谱如图5-22（c）所示，其最高频率为π
9，然后对x3［n］ 信号进行 N＝9的抽取，