2. 3 单位冲激/脉冲响应与 LTI系统性质

k＝-∞

x［k］u［n-k］

因为，当n-k＜0，即k＞n 时，u［n-k］＝0，而当n-k≥0，即k≤n 时，u［n-k］＝1，

故可得

x［n］＊u［n］＝

∑

k＝-∞

x［k］

证明了式（2-38）。式（2-38）表明任意信号x［n］与u［n］的卷积的结果，就是对 x［n］进行累加运算，因此，单位阶跃信号u［n］是离散时间累加器的单位脉冲响应。

根据上述结果可以推得以下结论（请读者自己证明）

x［n-n1］＊δ［n-n2］＝x［n-n1-n2］（2-39）

和

若 x［n］＊h［n］＝y［n］

则 x［n-n1］＊h［n-n2］＝y［n-n1-n2］（2-40）

2. 3 单位冲激/脉冲响应与 LTI系统性质

通过本章前几节的讨论，得到了 LTI系统时域分析的基本方法———卷积，由此也得到了 LTI系统的单位冲激/脉冲响应这一重要概念。任一 LTI系统完全可由其单位冲激/脉冲响应来描述或表征，即任意一个 LTI系统可等价为一信号———单位冲激/脉冲响应，这样就可以用信号分析方法去分析 LTI系统。本节将用 LTI的卷积方法和单位冲激/脉冲响应来进一步研究 LTI系统的性质，讨论 LTI系统的一些重要性质用在单位冲激/脉冲响应中的反映。

2. 3. 1 LT l系统的可逆性与可逆系统

系统的可逆性具有很强的工程应用背景，例如理想的信号传输系统、测量系统和无损信号压缩系统都应该具有可逆性，这样可以通过系统的输出信号，推算出被传输的信号、被测信号和原信号。根据系统可逆性的定义，可逆系统必存在着一个逆系统，与其原系统级联后

等效一恒等系统，即级联后系统的输出等于原系统的输入。如果一个 LTI系统 h（t）/h［n］

x［n］＊u［n］＝

∑

n＝-∞

x［n］

u［n］-u［n-1］＝δ［n］

式（2-42）可变为

y［n］＊δ［n］＝

∑

n＝-∞

x［n］

即 y［n］＝

∑

n＝-∞

x［n］

例2-9所表示的系统为一累加器。

因此，累加器的逆系统为一差分器。

2. 3. 2 LT l系统的稳定性

在实际应用中，只有稳定系统才是真正有用的系统。因此稳定性是系统分析中所涉及的一个很重要的问题。如果一个系统对于任何有界的输入，其输出都是有界的，则该系统是稳定的，即对于稳定的系统，有界的输入必产生有界的输出。下面将讨论稳定 LTI系统的单位冲激/脉冲响应应具备什么性质。

设一个具有单位冲激响应h（t）的稳定 LTI系统的输入信号为

x（t）＝

0， h（-t）＝0 h （-t）

h （-t），h（-t）≠

显然x（t）为一有界信号 x（t） ≤1，对所有t。

则系统输出为

y（t）＝

∫

^-∞^∞ ^h（^τ）^x（^t-τ）^d^τ

因此，t＝0时，输出y（0）为

y（0）＝

∫

^-∞^∞ ^h（^τ）^x（^-^τ）^d^{τ ＝}

∫

^-∞^∞ ^h（^τ）d^τ

因为y（0）为稳定系统在t＝0时刻上的输出，y（0）必有界，因此要求上式的右边积分值有界，即

∫

^-∞^∞ ^h（^τ）d^{τ ＜ ∞} ^（^2-43）

即系统的单位冲激响应绝对可积。这就证明了式（2-43）是连续 LTI系统稳定的必要条件。

设系统的输入x（t）为有界，即

x（t） ≤B，对所有t 则系统输出的绝对值为

｜y（t）｜＝

∫

^-∞^∞ ^h（^τ）^x（^t-τ）^d^{τ ≤}

∫

^-∞^∞ ^h（^{τ） x（}^t-τ）d^{τ ≤ B}

∫

^-∞^∞ ^h（^τ）d^τ

如式（2-43）成立，将保证输出有界，即

y（t） ≤ B

∫

^-∞^∞ ^h（^τ）d^{τ ＜ ∞}

因此，式（2-43）也是连续 LTI系统稳定的充分条件，即连续 LTI系统稳定的充要条件是其单位冲激响应绝对可积。

将积分改为累加，用完全类似的方法可得到离散 LTI系统稳定的充要条件为

∑

∞

n＝-∞

h［n］＜ ∞ （2-44）

即系统的单位脉冲响应绝对可和。

以上两个式子表明，连续时间 LTI系统的单位阶跃响应是其单位冲激响应的积分；离散时间 LTI系统的单位阶跃响应是其单位脉冲响应的求和。利用δ（t）与 u（t）、δ［n］与 u［n］之间的关系

δ（t）＝du（t）

dt 和δ［n］＝u［n］-u［n-1］

再利用卷积有关性质，可得

h（t）＝ds（t）

dt （2-52）

h［n］＝s［n］-s［n-1］（2-53）

即单位阶跃响应s（t）的微分为连续时间 LTI系统的单位冲激响应，离散单位阶跃响应s［n］

的差分为离散时间 LTI系统的单位脉冲响应。由此可见，系统的单位阶跃响应和系统单位冲激/脉冲响应之间有着简单确定的一一对应关系。

对一连续时间 LTI系统h（t），利用卷积性质和上述关系，系统的输出y（t）可表示为 y（t）＝x（t）＊h（t）＝x（t）＊ds（t）

dt ＝dx（t）

dt ＊s（t）（2-54）

上式表明可用系统的单位阶跃响应s（t），求系统对输入信号的响应。因此，连续 LTI系统也可由其s（t）来表征，特别适合用于描述 LTI系统对突变输入信号的响应特性及系统的响应时间。

对一离散时间 LTI系统 h［n］，同样可以利用卷积性质和上述关系，将系统的输出表示为

y［n］＝x［n］＊h［n］＝x［n］＊ s［（n］-s［n-1］＝x［） n］（（δ［n］-δ［n-1］）＊s［n］）

＝（x［n］＊（δ［n］-δ［n-1］）＊s［） n］

＝（x［n］-x［n-1］＊s［） n］（2-55）

与连续时间 LTI系统相同，可用系统的单位阶跃响应s［n］，求解离散 LTI系统对输入 x［n］的响应。因此，离散 LTI系统也可由其s［n］来表征。

2. 3. 5 LT l系统的特征函数

（1）连续时间 LTI系统对复指数信号的响应

复指数信号e^s^t的重要性在于它是连续时间 LTI系统的特征函数，即一个连续时间 LTI 系统对复指数信号的响应，也同样是一个复指数信号，不同的只是在其幅度上的变化，其输出复指数信号的幅度被乘以了一个被称之为特征值的复常数，也就是说

e^s^t——→ 连续时间 LTI

h^（t^） ^—^—^→H^（s^）e^s^t （2-56）

这里特征值 H（s）是复变量s＝σ＋jω 的函数，也称之为系统函数。

为了证明复指数信号是 LTI系统函数这一事实，考虑一个单位冲激响应为h（t）的连续时间 LTI系统。若令该系统的输入信号x（t）＝e^s^t，根据卷积定理，有

y（t）＝e^s^t＊h（t）＝

∫

^-∞^∞ ^h（^τ）^e^s（^t-τ）^d^τ ^（^2-57）

上式中，注意以下关系e^s（^t-τ）＝e^s^t·e^-^s^τ，而e^s^t可从积分号内移出，这样式（2-57）可变成 y（t）＝e^s

∫

^t ^-∞^∞ ^h（^τ）^e^-s^τ^d^τ ^（^2-58）

如果积分

H（s）＝

∫

^-∞^∞ ^h（^τ）^e^-s^τ^d^τ ^（^2-59）

收敛，于是 LTI系统对e^s^t的响应就为

y（t）＝H（s）e^s^t （2-60）

至此，证明了复指数信号是 LTI系统的特征函数。对于某一个给定的s值，常数 H（s）

就是与特征函数e^s^t相对应的特征值。连续时间 LTI系统对复指数信号的响应形式十分简单，

根据这一特点，可以把复指数信号作为基本信号用来表示更一般的输入信号，以期获得 LTI 系统对输入信号的响应有一个方便的表示方式。上述思想可以用以下一个例子更清楚地表示出来。

令某一个 LTI系统h（t）的输入信号x（t）为三个复指数信号的线性组合 x（t）＝a1e^s¹^t＋a2e^s²^t＋a3e^s³^t

根据上述 LTI系统特征函数的性质，系统对每一个复指数信号分量的响应分别是 a1e^s¹^t——→a1H（s1）e^s¹^t

a2e^s²^t——→a2H（s2）e^s²^t a3e^s³^t——→a3H（s3）e^s³^t 再根据 LTI系统的叠加原理，有

y（t）＝a1H（s1）e^s¹^t＋a2H（s2）e^s²^t＋a3H（s3）e^s³^t （2-61）

将式（2-61）推广，可以得到一个更一般的结论。将式（2-60）与 LTI系统叠加性质结合在一起就意味着：将输入信号表示成复指数信号的线性组合就会使求系统的响应变的非常简单和方便，即输出也可表示为相同复指数信号的线性组合。若某一类输入信号可以表示成复指数信号的线性组合，即

x（t）＝

∑

_k^a^k^e^s^k^t ^（^2-62）

根据叠加性，其输出一定是

y（t）＝

∑

_k^a^k^{H （}^s^k^）^e^s^k^t ^（^2-63）

通过以上的论述，阐明了一种 LTI系统分析的方法：将输入信号表示成某一类基本信号的线性组合，这样可以充分利用 LTI系统的叠加性和时不变性质。但是，这些用于信号和系统分析的基本信号应该具有以下两个基本性质。

① 能够表示相当广泛的一类有用信号，特别是实际应用中常碰到的一些信号。

② LTI系统对这些基本信号的响应应该十分简单，以便使系统的响应有一个很方便、

简单的数学表示形式，建立用于 LTI系统分析的数学工具。

显然作为特征函数的复指数信号满足上述第二个条件，从式（2-63）中可以看出这一点。式（2-63）表明：如果一个 LTI系统的输入信号能够表示成复指数信号的线性组合，那么系统的输出也能够表示成相同复指数信号的线性组合，所不同的是输入信号不同复指数信号项的加权系统｛ak｝变为输出信号的加权系数｛akH （sk）｝，即输出信号的加权系数为ak和特征值 H（sk）相乘。上述结果揭示了一个很重要的性质，即在式（2-63）所示的系数域上来考查 LTI系统卷积作用，可简化成为一个简单的代数运算：相乘。这样使得 LTI系统分析变得更为简单和有效，特别是给系统的综合提供了一种非常有效的数学工具。

第3、6章将详细研究复指数信号e^s^t如何表示一般信号，以及连续时间 LTI系统变换域分析方法。第3章将涉及复指数信号e^s^t的特殊形式，即s为纯虚部值，也就是s＝jω，仅考虑e^j^ωt的复指数信号的形式。此时，系统对e^j^ωt信号的特征值为

H（jω）＝ H（s）s＝jω＝

∫

^-∞^∞ ^h（^τ）^e^-j^ω^τ^d^τ ^（^2-64）

（2）离散时间 LTI系统对复指数信号的响应

与连续时间 LTI系统相似，离散时间复指数信号zⁿ是离散时间 LTI系统的特征函数，

即离散时间 LTI系统对复指数信号zⁿ有着特别简单的响应形式。

设离散时间 LTI系统，其单位脉冲响应为 h［n］，系统的输入信号为 x［n］＝zⁿ，其中 z＝re^j^ω为一复数。可以通过卷积和求得系统的响应y［n］，即

y［n］＝x［n］＊h［n］＝

∑

∞

k＝-∞

h［k］z^n-k＝zⁿ

∑

∞

k＝-∞

h［k］z^-k＝ H（z）zⁿ （2-65）

式中，H（z）为zⁿ的特征值，仅与复数变量z 有关，表征了系统对复指数信号的响应特性。

H（z）＝

∑

∞

k＝-∞

h［k］z^-k＜ ∞ （2-66）

式（2-65）证明了离散时间复指数信号zⁿ是离散时间 LTI系统的特征函数，即离散时间 LTI 系统对复指数信号的响应，仍为同样的复指数信号，系统的作用仅仅改变了该复指数信号的复幅度，其复幅度的 “增益” 为 H（z）。

类似于连续时间系统情况，若一个离散时间 LTI系统的输入可表示为复指数信号的线性组合，即

x［n］＝

∑

_k^a^k^zⁿ^k ^（^2-67）

根据式（2-65），则输出就一定是

y［n］＝

∑

_k^a^k^{H （}^z^k^）^zⁿ^k ^（^2-68）

也是相同复指数信号zⁿk的线性组合，并且在输出表示式中的每一个系数为输入信号中的系数ak与相应的特征值 H （zk）相乘。对于如式（2-67）所示的复指数信号线性组合形式的输入信号，离散时间 LTI系统的卷积和作用就转变为简单的乘法运算，即在系数域上，系统对输入信号的响应可描述为

｛ak｝→｛akH （zk）｝（2-69）

因此，与连续时间 LTI系统分析思路相同，将在第 4、7 章研究复指数信号zⁿ 如何表示一般信号，这样就可以设法将任意信号分解为复指数信号的线性组合，获得一种有效的离散时间 LTI系统的分析方法：变换域分析。第4章仅考虑z＝e^j^ω情况下 e^j^ωⁿ形式的复指数信号：离散时间的傅里叶变换。

在文檔中信号与系统 (頁 59-65)