4. 6. 1 离散时间 LT l系统的频率响应
根据离散时间傅里叶变换的时域卷积性质，一个单位脉冲响 应 为h［n］ 的 离 散 时 间 LTI
X（ejω）—————→ H（ejω） —————→Y（ejω）
图4-17 离散时间 LTI系统的频域表示 系统，如图4-17所示。
其中 H （ejω） 为 单 位 脉 冲 响 应 h［n］ 的 傅 里 叶 变 换，即
h［n］———←——F→H（ejω） （4-112）
通常将式（4-112） 所定义的 H（ejω） 称为离散时间 LTI系统频率响应，显然系统的频率响应 也是特征函数ejωn的特征值。
根据卷积性质，输出信号y［n］ 的频谱Y（ejω） 满足以下关系
Y（ejω）＝X（ejω）H（ejω） （4-113）
式（4-113） 表明，某一稳定的离 散 LTI系 统 的 作 用 可 理 解 为 按 其 频 率 响 应 H（ejω） 的 特 性，
改变输入信号中各频率分量的幅度大小和初始相位。例如，在频率选择性滤波器中，系统可 以在某一频率范围内使 H（ejω） ＝1，以便让该频率范围内 （带通内） 的输入信号的各频率 分量几乎不受任何衰减或变化通过系统；而在其他频率范围 内， 使 H（ejω）＝0，以便将该频 率范围内的各频率分量消除或显著衰减掉。
根据式（4-113），离散 LTI系统的频率响应另一种定义可表示为 H（ejω）＝Y（ejω）
X（ejω） （4-114）
式（4-114） 表明，离散时间 LTI系 统 的 频 率 响 应 也 可 表 示 为 输 出 信 号 的 频 谱 与 输 入 信 号 的 频谱的比值。上述两个定义是 完 全 等 价 的。 与 连 续 时 间 情 况 相 同， 在 离 散 时 间 LTI系 统 分 析中，频率响应 H（ejω） 所起的作用与其原信号———单位脉冲 响应h［n］ 所 起 的 作 用 是 等 价 的。因此，频率响应 H（ejω） 也可 以 完 全 表 征 它 所 对 应 的 LTI系 统。 另 外， 离 散 LTI系 统
的许多性质也能够很方便地借助于 H（ejω） 反映出来。
通常将系统的频率响应表示为极坐标形式
H（ejω）＝ H（ejω）ejθ（ω） （4-115）
其中，H（ejω） 的模 H（ejω） 称为系统的幅频特性，H（ejω）的 相 位θ（ω） 称 为 系 统 的 相 频 特 性。幅频特性 H（ejω） 表征了系统对 输 入 信 号 的 放 大 特 性， 而 相 频 特 性 表 征 对 输 入 信 号 的 延时特性。离散时间系统的群延时也可定义为
τ（ω）＝-dθ（ω）
dω （4-116）
它表征了系统对输入信号的有效公共延时。
需 要 指 出 的 是 利 用 频 域 分 析 方 法 分 析 系 统 时 ， 一 般 适 用 于 系 统 的 单 位 脉 冲 响 应 存 在 傅 里 叶 变 换 的 情 况 。 对 于 稳 定 的 离 散 LTI系 统 ， 由 于 其 单 位 脉 冲 响 应 h［n］ 满 足 绝 对 可 和 ， 即
∑
∞
n＝-∞
h［n］ ＜ ∞ （4-117）
也就是说，稳定系统的单位脉冲响应h［n］ 满足傅里叶变换的 收 敛 条 件， 因 此， 系 统 的 频 率 响应存在。一般来说，频域分析法适用于稳定的离散 LTI系统。已知 LTI系统的频率响应，
可以借助卷积性质，在频域上求解对任何输入信号的零状态响应，这将在以后的章节中详细 讨论。
【例4-11】 试求差分器的频率响应 H（ejω）。
解 描述差分器的输入x［n］ 和输出y［n］ 的差分方程为 y［n］＝x［n］-x［n-1］
根据差分性质有
Y（ejω）＝（1-e-jω）X（ejω） （4-118）
于是由式（4-114），可得差分器的频率响应为 H（ejω）＝Y（ejω）
X（ejω）＝1-e-jω （4-119）
相应可知差分器的单位脉冲响应为
h［n］＝δ［n］-δ［n-1］ （4-120）
【例4-12】 试求累加器的频率响应 H（ejω）。
解 累加器的输入信号x［n］ 与输出信号y［n］ 满足以下关系 y［n］＝
∑
n
m＝-∞
x［m］
根据u［n］ 的卷积性质，上式可重新写为
y［n］＝x［n］＊u［n］
即累加器的单位脉冲响应为
h［n］＝u［n］
因此，累加器的频率响应为u［n］ 的傅里叶变换，即 H（ejω）＝ 1
1-e-jω＋π
∑
∞
k＝-∞
δ（ω-2πk） （4-121）
【例4-13】 试求延时器的频率响应 H（ejω）。
解 离散时间延时器的输入x［n］和输出y［n］ 满足如下关系 y［n］＝x［n-n0］，n0为整数 根据时域平移性质有
Y（ejω）＝e-jωn0X（ejω）
因此，延时器的频率响应为
H（ejω）＝Y（ejω）
X（ejω）＝e-jωn0 （4-122）
相应可知，离散时间的延时器的单位脉冲响应为
h［n］＝δ［n-n0］ （4-123）
4. 6. 2 离散时间 LT l系统的零状态响应的频域求解
与连续时间情况相同，在频域 上 也 可 求 解 离 散 时 间 LTI系 统 的 零 状 态 响 应。 其 一 般 思 路是：通过卷积性质求得输出序列y［n］ 的频谱，然后对该频谱作反变换求得时域解y［n］。
【例4-14】 考虑一 LTI系统，其单位脉冲响应为h［n］＝αnu［n］， α ＜1，系统的 输入 为x［n］＝βnu［n］， β ＜1，求系统的零状态响应。
解 系统的频率响应为
H（ejω）＝ 1 1-αe-jω 输入信号频谱为
X（ejω）＝ 1 1-βe-jω 由卷积性质可得输出信号y［n］（零状态响应） 的频谱为
Y（ejω）＝X（ejω）H（ejω）＝ 1
（1-αe-jω）（1-βe-jω） （4-124）
如将式（4-124） 中的e-jω作为一变量，则该可看成是关于e-jω的有理函数。因 此， 求Y（ejω） 的反变换，通常最简单的方法是将其展开为以e-jω为变量的部分分式，部分分式展开的具体 方法可查阅附录。
①α≠β时，Y（ejω） 的部分分式展开为 Y（ejω）＝ A
1-αe-jω＋ B
1-βe-jω （4-125）
其中
A＝Y（ejω）（1-αe-jω）e-jω＝1α＝ α α-β B＝Y（ejω）（1-βe-jω）e-jω＝1
β＝- β α-β 因此，可求得y［n］为
y［n］＝Aαnu［n］＋Bβnu［n］＝ α
α-βαnu［n］- β
α-ββnu［n］ （4-126）
②α＝β时，有
Y（ejω）＝ 1
（1-αe-jω）2 根据例4-7的结果，可得y［n］为
y［n］＝（n＋1）αnu［n］ （4-127）
【例4-15】 已知某因果 LTI系统对输入信号x［n］＝
（ ）
12 nu［n］ 的零状态响应为y［n］＝3
（ ）
12 nu［n］-2（ ）
13 nu［n］，试求该系统的频率响应 H（ejω）和单位脉冲响应h［n］。解 分别求出x［n］和y［n］ 的频谱为
X（ejω）＝ 1 1-1
2e-jω
Y（ejω）＝ 3
与连续时间情况相比较，H（ejω） 是关于变量 e-jω的 两 个 多 项 式 的 比。 分 子 多 项 式 的 系 数 就
4. 6. 4 离散时间信号的滤波与理想滤波器
与连续时间情况相似，离散时间 LTI系 统 频 率 响 应 的 另 一 重 要 应 用 在 于 建 立 离 散 时 间 的滤波和滤波器的概念。有关连续时间信号滤波器的概念已在第3章介绍过，它同样适用于 离散时间信号。
图4-18 离散时间理想低通滤波器的频率响应
一个离 散 时 间 理 想 低 通 滤 波 器 的 频 率 响应为
H（ejω）＝ 1，｜ω｜＜ωc 0，ωc＜｜ω｜≤
｛
π （4-135）如图4-18所示，它是以2π周期的，图中只 给出了 ［-π，π］区间上的取值情况。
由式（4-49） 的 结 果， 可 求 得 离 散 时 间 理想低通滤波器的单位脉冲响应为
h［n］＝sinωcn
πn （4-136）
如图4-19所示，图中ωc＝π 4。
图4-19 离散时间理想低通滤波器的单位脉冲响应（ωc＝π 4）
观察式（4-136） 可得，当n＜0时，h［n］≠0，因此，离散时间理想低通滤波器是非因果 的，在时域中，物理上是无法实 现 的。 滤 波 器 的 带 宽 正 比 于 ωc， 而 单 位 脉 冲 响 应 的 主 瓣 宽 度正比于1
ωc
。当滤波 器 的 带 宽 增 加 时， 单 位 脉 冲 响 应 就 变 得 愈 来 愈 窄； 反 之 亦 然， 该 结 果 与在连续时间情况下所讨论过的时间和频率之间的相反关系是一致的。
离散时间理想低通滤波 器 的 单 位 阶 跃 响 应s［n］ 如 图 4-20 所 示。 从 图 4-20 中 可 看 到，
单位阶跃响应s［n］ 也有比最后稳态值大 的 超 量，并 且 呈 现 出 称 为 振 铃 的 振 荡 行 为。单 位 阶 跃响应就是单位脉冲响应的累加，即可通过下式求得
s［n］＝
∑
n
m＝-∞
h［m］ （4-137）
图4-20 离散时间理想低通滤波器的单位阶跃响应
式（4-137） 描述了s［n］与 h［n］ 的 关 系， 实 际 上 该 关 系 即 为s［n］＝u［n］＊h［n］。 在 Matlab中，可以通过调用函数conv计算两个信号的卷 积 和， 下 面 给 出 了 基 于 卷 积 和 运 算 求 s［n］ 的 Matlab代码。
％基于卷积和运算求离散时间理想递推滤波器的单位阶跃响应 n＝-80：80；
hn＝0.25＊sinc（n/4）； ％离散时间连续递推滤波器的单位冲激响应 xn＝［zeros（1，80），ones（1，81）］； ％设定 u［n］，观察范围-80～80
sn＝conv（xn，hn）； ％卷积和运算：s［n］＝x［n］＊h［n］
s＿n＝［-160：-161＋length（sn）］； ％设定s［n］的时域范围 stem（s＿n，sn，‘filled’，‘k’）； ％显示单位阶跃响应s［n］
axis（［-30，30，-0.4，1.4］）；