2. 1 连续时间 LTI系统的时域分析

2. 1. 1 信号的脉冲分解：用 δ（ t） 表示连续时间信号

为了能给出连续时间 LTI系统 时 域 的 一 般 分 析 方 法， 关 键 是 找 到 一 种 普 遍 适 用 的 信 号 时域分解方法：将任意信号分解为一组基本单元信号。信号的时域分解有多种形式，本节仅 讨论用δ（t） 表示任一连续时间信号。

根据δ（t） 的取样性质，任意信号x（t） 可以用δ（t） 表示为

x（t）＝

∫

^{-∞∞ x（τ）δ（t-τ）dτ （2-1）}

5

3

利用δ（t） 函数的性质

x（t）δ（t-t0）＝x（t0）δ（t-t0） 即有

x（τ）δ（t-τ）＝x（t）δ（t-τ）

根据上式，可以直接推得式（2-1），即

∫

^{-∞∞ x（τ）δ（t-τ）dτ ＝}

∫

^{-∞∞ x（t）δ（t-τ）dτ ＝x（t）}

∫

^{-∞∞ δ（t-τ）dt＝x（t）}

式（2-1） 表明，任意连续时间信号都可以分解为一系列加权的移位冲 激 函 数 之 和： 任 一信 号 x（t） 可用无穷多个单位冲激 函 数δ（t） 的 移 位、 加 权 之 “和” （即 积 分） 来表示。为了得到 式（2-1）清晰的几何解释，可以将式（2-1） 用 极 限 的 形 式 来 表 示， 即 表 示 为 某 一 个 近 似 信 号 x^（t） 的极限形式。将式（2-1） 用近似的累加和来表示，并将该累加和用x^（t）表示

x^（t）＝

∑

∞

k＝-∞

x（kΔ）δ（t-kΔ）·Δ （2-2）

x（t）＝lim

Δ→0x^（t）＝lim

Δ→0

∑

∞

k＝-∞

x（kΔ）δ（t-kΔ）·Δ ＝

∫

^{-∞∞ x（τ）δ（t-τ）·dτ （2-3）}

图2-1为式（2-2） 的图形 解 释， 由 图 可 知， 任 一 信 号 x（t） 可 用 移 位 的 冲 激 函 数δ（ t-kΔ）的线性组合来近似表示，每个移位冲激函数δ（t-kΔ）的加权值为x（kΔ）。当 Δ→0时，

式（2-2） 就能够精确表示任一信号x（t），即式（2-2） 演变为积分形式的式（2-3）。

图2-1 用移位冲激函数逼近x（t）

如用以下矩形脉冲 （如图2-2所示）近似表示δ（t） 函数

图2-2 δΔ（t） 波形

δΔ（t）＝

1

Δ，0＜t＜Δ 0，

　 　 　 其他

（2-4）

显然 δ（t）＝lim

Δ→0δΔ（t）

δ（t-Δk）＝lim

Δ→0δΔ（t-kΔ） （2-5）

将式（2-5） 代入式（2-2），就可以用一系列矩形脉冲来近似x（t），即可以得到x（t） 的以 下近似表达式x^（t）

x^（t）＝

∑

∞

k＝-∞

x（kΔ）δΔ（t-kΔ）·Δ （2-6）

上式中δΔ（t-kΔ）·Δ 是一移位的矩形脉冲，如图 2-3所示。 图 2-4 为式（2-6） 的图形解释， 图 中 的 阴 影 表 示 出 第k 个 加 权 的 矩 形 脉 冲 x（kΔ）δΔ （t-kΔ）·Δ，x^（t） 就 是 由 这 些 不 同 的 矩 形 脉 冲 相 加 而 成，而这些不同矩 形 脉 冲 的 相 加， 使 x^（t） 呈 现 阶 梯 状 的 形 式。 可 见，信号的矩形脉冲近 似， 也 可 以 等 价 表 示 为 用 一 阶 梯 状 信 号 近 似 表示x（t），这种表示方法可用 于 今 后 的 卷 积 的 数 值 计 算。 当 Δ→0，

式（2-6） 就可以获得其积分的表 示 形 式 如 式 （2-1）， 用 以 精 确 表 示 任 一 信 号 x（t）。 式 （2-3）

和式（2-6） 两种近似表示方法，其本质是相同的，最终都将信号分解为无穷多个 不同加权的 移位冲激函数x（kΔ）δ（t-kΔ）·Δ。

图2-3 δΔ（t-kΔ）·Δ 的波形 图2-4 用矩形脉冲逼近x（t）

2. 1. 2 连续时间 LT l系统的卷积积分与单位冲激响应

卷积方法是 LTI系统最基本的 分 析 方 法。近 代， 随 着 信 号 与 系 统 理 论 研 究 的 深 入 及 计 算机技术的高度发展，卷积方法在现代地震勘探、矿物勘探、超声诊断、光学成像、系统辨 识及其他诸多信号处理领 域 中 得 到 了 广 泛 的 应 用。 本 节 及 以 后 几 节 将 对 卷 积 积 分 的 物 理 意 义、运算方法和卷积的性质及其应用做一说明和阐述。

卷积积分用于 LTI系统求解对激励信号的响应，为了说明其基本原理，考虑以下 LTI系统 x（t）——→ LTI系统 ——→y（t）

并设该系统对冲激信号δ（t） 的响应为h（t）

δ（t）→h（t） （2-7）

根据 LTI系统的时不变特性，系统对移位冲激信号δ（t-t0） 的响应为

δ（t-t0）→h（t-t0） （2-8）

LTI系统对冲激信号δ（t） 的响应h（t） 被称之为单位冲激响应，式（2-7） 可作为单位冲 激响应的定义式。

利用上节所得到的结果，将输入信号x（t） 分解为移位冲激信号的线性组合 x（t）＝

∫

^{-∞∞ x（τ）h（t-τ）dτ ＝lΔ→0im}

^∑

∞

k＝-∞

x（kΔ）δ（t-kΔ）·Δ

根据式（2-8） 可知系统对移位δ（t-t0） 的 响 应， 再 依 据 LTI系 统 的 齐 次 性 可 得 出， 如 果输入的移位冲激信号的强度为x（kΔ）·Δ，则系统的输出即为

x（kΔ）·Δ·δ（t-kΔ）→x（kΔ）·Δ·h（t-kΔ）x（kΔ）δ（t-kΔ）·Δ→x（kΔ）h（t-kΔ）·Δ 再根据 LTI系统的叠加性，即有

∑

∞

k＝-∞

x（kΔ）δ（t-kΔ）·Δ →

∑

∞

k＝-∞

x（kΔ）h（t-kΔ）·Δ （2-9）

式（2-9） 表明：将不同延时和强度的冲激信号叠加起来作为系统的输入， 则 系统的 输出 就 是 对应各种不同延时和强度的单位冲激响应的叠加。

对式（2-9） 取极限，即有 lim

Δ→0

∑

∞

k＝-∞

x（kΔ）δ（t-kΔ）·Δ →lim

Δ→0

∑

∞

k＝-∞

x（kΔ）h（t-kΔ）·Δ 上式可以表示为积分形式

x（t）＝

∫

^{-∞∞ x（τ）δ（t-τ）dτ →}

∫

^{-∞∞ x（τ）h（t-τ）dτ （2-10）}

上式表示系统对x（t） 的响应y（t） 为

y（t）＝

∫

^{-∞∞ x（τ）h（t-τ）dτ （2-11）}

式（2-11） 的数学运算称为卷积积分，简称卷积，通常记为

y（t）＝x（t）＊h（t） （2-12）

式（2-11）表明了卷积积分的原理，就是将信号分解为移位冲激信号δ（t-τ）的线性组合，借助 系统的单位冲激响应h（t），就可获得 LTI系统对激励x（t）的响应解。由此可得，一个连续时 间的 LTI系统，对某一已知输入信号x（t）的响应仅与该系统的单位冲激响应h（t） 和输入信 号有关，可表示为以上两个信号的卷积运算。因此，LTI系统对输入信号x（t）的响应过程可 以看作是x（t）和h（t）两个信号相互作用的过程：卷积积分运算。以上分析说明，LTI系统的 单位冲激响应h（t）可以完全表征系统的特性，因而，一个连续时间 LTI系统能够等价表示为

x^（t^）——→ h^（t） ——→y^（t）＝x^（t）＊h^（t）

图2-5 LTI系统的单位冲激响应表示

该系统的单位冲激响应，即可以用单位冲激响应来描 述一个连续时间 LTI系统，如图2-5所示。

根据 图 2-5， 可 以 给 出 连 续 时 间 LTI系 统 更 一 般的描述方法，即给 出 表 征 该 系 统 基 本 特 性 的 单 位 冲激响应h（t），系统对输入 信 号 的 响 应 过 程 就 可 以 表 示 为 卷 积 积 分 的 运 算。 卷 积 积 分 为 信 号与系统的分析，提供了极大的方便和有力的分析工具。

【例2-1】 已知一线性时不变系统的单位冲激响应为 h（t）＝e^-at u（t）

系统的输入信号为一单边指数信号x（t）＝e^-btu（t），a≠b，求系统对输入信号的响应输出y（t）。 解 根据卷积积分公式（2-11），系统的输出y（t） 为

y（t）＝x（t）＊h（t）＝

∫

^{-∞∞ e-bτu（τ）e-a（t-τ）u（t-τ）dτ}

注意式中，τ为积分变量，t为参变量。积分式中，由于τ＜0时，u（τ）＝0；以及τ＞t时，

u（t-τ）＝0，所以积分变量τ的取值区间应为0≤τ≤t，在此区间内，u（τ）＝u（t-τ）＝1，故有 y（t）＝

∫

t

0e^-bτ·e^-a（t-τ）dτ ＝

∫

^{t0e-at·e（a-b）τdτ}

＝e^-a

∫

^{tt0e（a-b）τdτ ＝e-ate}

（a-b）τ

a -b

t

τ＝0

＝ 1

a-be^-bt- 1 a-be

-（

^at

）

^u（t）

从上 面 例 子 可 以 看 出， 尽 管 作 为 卷 积 积 分 的 一 般 表 示 式， 式 （2-11） 的 积 分 区 间 是

（-∞，＋∞），但针对不同的具体信号，其卷积积分真正有效的上、下限是有所不同的。因 而，准确地确定卷积积分的上、下限，在卷积的运算中是非常关键的一步。

如t＜0时，h（t）＝0，所以在式（2-11） 中，t-τ＜0， 即τ＞t时，h（t-τ）＝0。 故 卷 积 积分的上限可改为t，可得

y（t）＝x（t）＊h（t）＝

∫

^{t-∞x（τ）h（t-τ）dτ （2-13）}

如果输入信号是在t＝0接入系统，即t＜0时，x（t）＝0。对 应 于 式（2-11）， 即 有τ＜0，

x（τ）＝0，此时式（2-13） 又可表示为

y（t）＝x（t）＊h（t）＝

∫

^{t0x（τ）h（t-τ）dτ （2-14）}

2. 1. 3 卷积积分的图示法

卷积积分是一种重要的数学方法，有必要了解其运算的过程和特点。卷积积分的图形解释能直 观地表明卷积的含义，有助于对卷积概念的理解和掌握，同时，也提供了一种卷积积分的计算方法。

可以进一步观察式（2-11）

x（t）＊h（t）＝

∫

^{-∞∞ x（τ）h（t-τ）dτ}

图2-6 x（t） 和h（t） 的波形 其几何解释 就 是 求 x（τ） 与 h（t-τ） 相 乘

后，该曲线下的面积，这一面 积 就 是 卷 积 积 分在t时刻的值。 在 进 行 数 值 计 算 时， 为 了 求得不同时刻的系统输出y（t），要反复计算 对应不同时刻t的 卷 积 积 分。 当 信 号 不 规 则 时，为了计算出 完 整 的 系 统 响 应，计 算 量 是 很大的。知道 了 卷 积 积 分 中 两 个 信 号 的 波 形 或表达式 （如图2-6所示），一般可以利用图 示法求出x（t）＊h（t）在任意时刻的值，卷积 积分计算的一般步骤如下。

① 翻转 卷积积分中τ 为积分变量，t为参变量，将函数x（t） 和h（t） 的自变量用τ代 换，将h（τ） 以纵坐标轴为轴线翻转得到h（-τ），见图2-7（a） 和图2-7（b）。

② 平移 为了计算t时刻的卷积值，将h（-τ） 随参变量t平移，得h（t-τ）。若t＞0，

则h（-τ）沿τ轴向右平移t，如图2-7（c） 所示，若t＜0，则h（-τ）沿τ轴向左平移t。

图2-7 卷积x（t）＊h（t） 的图示

③ 相乘 将 x（τ） 与 h（t-τ） 相 乘，

得函数x（τ）h（t-τ）， 如 图 2-7（d） 所 示，

图中的阴影部分为其非零部分。

④ 积分 求x（τ） 与 h（t-τ） 乘 积 曲 线下的 面 积， 即 为t 时 刻 的 卷 积 积 分 值。

如图2-7（d） 所示，对应的卷积积分为 y（t）＝

∫

^{t0x（τ）h（t-τ）dτ}

【例2-2】 已 知 信 号 x（t） 和 h（t） 如 图2-8（a），（b） 所 示， 求 卷 积 积 分y（t）＝

x（t）＊h（t）。

解 先将x（t） 和h（t） 的 自 变 量 更 换 为τ，得x（τ） 和h（τ）；再 将h（τ） 反 转 为 h（-τ）， 如 图 2-8（c） 所 示；h（-τ） 沿τ

轴平移得h（t-τ）， 如 图 2-8（d） 所 示； 将 x（τ） 与h（t-τ）相乘， 得 曲 线 x（τ）h（ t-τ）。由于x（τ） 和h（τ） 均为有限时 宽 信 号，因 此 曲 线 x（τ）h（t-τ） 的 非 零 区 （重 叠 区） 将

视t的取值不同而有所不同，因此相乘与积分应随不同t的取值范围分几个区间进行。

① 当t＜-1时，如图2-8（e） 所示，知x（τ） 与h（t-τ）无重叠部分，乘积为零，所以 y（t）＝x（t）＊h（t）＝0，t＜-1

② 当-1≤t＜1时，如图2-8（f） 所 示，知x（τ） 与h（t-τ） 的 重 叠 区 为 ［-1，t］，即 乘积x（τ）h（t-τ）在区间 ［-1，t］上非零，所以

y（t）＝

∫

^{t-1x（τ）h（t-τ）dτ ＝}

∫

^{t-12dτ ＝2（t＋1）}

③ 当1≤t＜2时，如图2-8（g） 所示，知x（τ） 与h（t-τ）的重叠区为 ［-1，1］，所以 y（t）＝

∫

^{1-1x（τ）h（t-τ）dτ ＝}

∫

^{1-12dτ ＝4}

④ 当2≤t＜4时，如图 2-8（h） 所 示， 知x（τ） 与 h（t-τ） 的 重 叠 区 为 ［-3＋t，1］，

所以

y（t）＝

∫

^{1-3＋tx（τ）h（t-τ）dτ ＝}

∫

^{1-3＋t2dτ ＝2（4-t）}

⑤ 当t≥4时，如图2-8（i） 所示，知x（τ） 与h（t-τ）无重叠区，所以

图2-8 例2-2卷积的图解示意图 综合以上几种情况，得 y（t）＝x（t）＊h（t）＝0

y（t） ＝

0， t＜-1 2（t＋1）， -1≤t＜1 4， 1≤t＜2 2（4-t），2≤t＜4 0， t≥

　 　

　 4

y（t） 的波形如图2-8（j） 所示。

2. 1. 4 卷积积分的性质

作为一种数学运算，卷积积分有一些有用的性质，掌握这些有用的性质可以简化卷积运

算，同时也给信号与系统的分析提供了非常有用的方法，从而可得出不少重要的结果。

（1） 卷积代数

卷积运算遵从交换律、结合律和分配律等运算中的代数定律。

① 交换律

x（t）＊h（t）＝h（t）＊x（t） （2-15a）

即

∫

^{-∞∞ x（τ）h（t-τ）dτ ＝}

∫

^{-∞∞ h（τ）x（t-τ）dτ （2-15b）}

该性质的证明，只需将卷积积分的 积 分 变 量τ 作 变 量 替 换：τ＝t-λ， 代 入 原 卷 积 积 分 中去就可完成，即

x（t）＊h（t）＝

∫

^{-∞∞ x（τ）h（t-τ）dτ ＝}

∫

^{-∞∞ x（t-λ）h（λ）d（-λ）}

＝

∫

^{-∞∞ h（λ）x（t-λ）dλ ＝h（t）＊x（t）}

卷积积分的交换律表明：卷积与两个信号的顺序无关。在卷积运 算 中， 可 以 选 择 式 （ 2-15b） 中运算简单的一个积分，用于卷积积分的具体计 算。 在 LTI系 统 的 分 析 中， 卷 积 的 交 换律意味着一个单 位 冲 激 响 应 为 h（t） 的 系 统 对 输 入 x（t） 的 响 应 与 一 个 单 位 冲 激 响 应 为 x（t）的系统对输入h（t） 的响应是完全一样的，上述结论可以用图2-9表示。

图2-9 从系统分析的观点解释卷积的交换律

② 结合律

x（t）＊h1（t

［ ） ＊h］ 2（t）＝x（t）＊ h［1（t）＊h2（t）］ （2-16）

该性质的证明如下 x（t）＊h1（t

［ ） ＊h］ 2（t）＝

∫

^-∞∞

∫ ［

^{-∞∞ x（τ）h1（λ-τ）dτ ·h}

］

^{2（t-λ）dλ}

＝

∫

^{-∞∞ x（τ）}

∫ ［

^{-∞∞ h1（λ-τ）h2（t-λ）dλ d}

］

τ （交换积分顺序）

＝

∫

^{-∞∞ x（τ）}

∫ ［

^{-∞∞ h1（z）h2（t-τ-z）dz d}

］

^{τ （}变量替换：λ＝τ＋z）

＝

∫

^{-∞∞ x（τ）h（t-τ）dτ ＝x（t）＊h（t）}

式中 h（t-τ）＝

∫

^{-∞∞ h1（z）h2（t-τ-z）dz}

也就是 h（t）＝

∫

^{-∞∞ h1（z）h2（t-z）dz ＝h1（t）＊h2（t）}

所以，可得

x（t）＊h1（t

［ ） ＊h］ 2（t）＝x（t）＊ h［1（t）＊h2（t）］ 考查如图2-10所示的级联系统

根据卷积积分，有

ω（t）＝x（t）＊h1（t）

y（t）＝ω（t）＊h2（t）＝［x（t）＊h1（t）］＊h2（t）

由结合律有

y（t）＝x（t）＊ h［1（t）＊h2（t） ＝x（］ t）＊h（t） （2-17）

再根据交换律，可得

y（t）＝x（t）＊ h［1（t）＊h2（t） ＝x（］ t）＊ h［2（t）＊h1（t） ＝ x（］ ［t）＊h2（t） ＊h］ 1（t） （2-18）

上述结果中，式（2-17） 表明，两个级联 （串 联） 系 统， 等 效 为 一 个 总 的 系 统h（t）， 其

图2-10 卷积结合律及交换律的系统意义

单位冲激响应h（t）等于其子系统单位冲激响应的卷积。式（2-18）的卷积表示式等价于图2-10

（b）所示的级联系统，即图2-10（a）和图2-10（b）所表示的二种级联系统是完全等价的，从中 给出了 LTI系统分析中的一个重要结论：LTI系统的级联，与各子系统的次序无关，即各子系 统连接的顺序可以调换。上述结果，对子系统数目大于2的 LTI级联系统是同样适用的。

③ 分配律

x（t）＊ h［¹（t）＋h2（t） ＝x（］ t）＊h¹（t）＋x（t）＊h²（t）

直接利用卷积积分定义证明如下

x（t）＊［h1（t）＋h2（t）］＝

∫

^{-∞∞ x（τ）h［1（t-τ）＋h2（t-τ）d］τ}

＝

∫

^{-∞∞ x（τ）h1（t-τ）dτ＋}

∫

^{-∞∞ x（τ）h2（t-τ）dτ}

＝x（t）＊h1（t）＋x（t）＊h2（t）

考查图2-11所示的并联 LTI系统

图2-11 分配律的系统意义

即有

y1（t）＝x（t）＊h1（t）

y²（t）＝x（t）＊h²（t）

y（t）＝y1（t）＋y2（t）

＝x（t）＊h1（t）＋x（t）＊h2（t）

根据分配律有

y（t）＝x（t）＊ h［1（t）＋h2（t） ＝x（］ t）＊h（t）

（2-19）

分配律性质表明，并联 LTI系统总的单位冲 激响应等于各子系统单位冲激响应之和。

（2） 卷积的微分与积分特性

利用上述的卷积代数性质，可很容易得到有关卷积的微分与积分的性质。不难证明系统 中的微分器 ［如图2-12（a） 所示］ 和积分器 ［如图2-12（b） 所示］ 都是 LTI系统。

x^（t）——→ d

— d

— t y^（t）＝dx^（t^）

→ d

—

— t x^（t）——→——

∫

^{t-∞ ——→y（t）＝}

∫

^{t-∞x（t）dt}

（a） （b）

图2-12 微分器与积分器

① 卷积的微分性质 从上述的卷积的代数性质可知，图2-13所示的两个级联系统完全等 价，故它们的输出应该相等，即y1（t）＝y²（t）。根据图2-13所示，结合卷积的代数性质，即有

ω1（t）＝x（t）＊h（t）

y1（t）＝dω1（t）

dt ＝d

dt［x（t）＊h（t）］

图2-13 卷积微分的图解说明y1（t）＝y2（t）

ω2（t）＝dx（t）

dt

y2（t）＝ω2（t）＊h（t）＝dx（t）

dt ＊h（t）

由于 y1（t）＝y2（t）

因此有

d

dt［x（t）＊h（t） ＝］ dx（t）

dt ＊h（t） （2-20）

利用交换律及式（2-20） 的结果，可得 d

dt［x（t）＊h（t） ＝］ d

dt［h（t）＊x（t） ＝］ dh（t）

dt ＊x（t） （2-21）

结合式（2-20） 和式（2-21），可 得 到 卷 积 的 微 分 性 质， 两 个 信 号 相 卷 积 后 的 微 分 等 于 其

结合式（2-20） 和式（2-21），可 得 到 卷 积 的 微 分 性 质， 两 个 信 号 相 卷 积 后 的 微 分 等 于 其

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