縮圖、放大圖與比例尺的概念與教材分析

第二章 文獻探討

本研究的文獻探討分為五個部分，先於第一節探討縮圖、放大圖與比例尺的 概念與教材分析；第二節進而探討國小學童常見的縮圖、放大圖與比例尺的迷思 概念；第三節主要探究認知衝突於數學教學的相關研究；第四節探討電腦適性補 救教學的相關研究。詳細內容分述如下：

第一節 縮圖、放大圖與比例尺的概念與教材分析

根據97年版的數學課程綱要修訂中指出：縮放與相似是相關的概念，學生應 確實理解幾何圖形在縮放前後的變化性質，例如：直線變到直線、線段長成比例、

角度不變等（教育部，2008）。而縮圖、放大圖的概念與比例的概念有密切的關 聯性，縮圖、放大圖的情境也蘊含著比例的概念，學生也常使用比例的概念來解 決縮圖、放大圖的問題，因此本節先探討縮圖、放大圖與比例的關係，接著探討 縮圖、放大圖與角度、面積的關係，最後探討比例尺的意義及表示法和縮圖、放 大圖與比例尺的教材地位，有助於此單元於電腦適性補救教學之教材設計。

一、縮圖、放大圖與比例的關係

比例是指兩個相等的比值。例如：a:b＝c:d；

b a＝

d

c。根據97年版的數學課

程綱要修訂的定義，比例的意涵：比的原理，是一種微妙的帄分方式，因此學生 比較容易接受。即使學生尚未學習比例式，透過比的方式，仍然可以協助學生解 題。最後再透過比值的引入，一貫地解決比例的問題（教育部，2008）。

Ohlesson’s在1998年指出比例的應用有兩種，一為表示兩個比之間的等

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值，例如：2:1＝ 4:2；另一種用法則表示部份對全體的關係，例如：全班有36 人，男生有15 人，

36

15表示男生對全部人數的比例（引自劉秋木，1996）。

根據97年版的數學課程綱要修訂中指出，比例關係是日常生活與自然科學中 經常用到的數量關係，本身有這非常豐富的性質，可以視為乘除關係的重要延 伸。比例關係有兩種看法：一是倍數相同的觀點，一是比值相等的觀點，兩者對 於解決實際的應用問題都很重要，學生必頇熟稔兩者，才算是真正掌握了比例關 係（教育部，2008）。根據Lamon(1993,1994)將比的情境問題語意結構分為四 類 ： 良 好 合 成 的 量 數 (well-chunked measures) 、 部 分 - 部 分 - 整 體 (part-part-whole)、關係的集合（associated sets）、放大/縮小（stretchers/shrinkers）。 林碧珍（2010）將各種語意結構說明如下：

1. 良好合成的量數：

兩個外延量的對應關係，形成的內涵量。例如：距離和時間兩個外延量的對 應關係形成的內涵量，所賦予的意義為速率。水的質量和體積的對應關係，所賦 予的意義為密度。柿子的重量與價格的對應關係，所賦予的意義為單價。

2. 部分-部分-整體：

兩個量中，當其中一量為另一量的部分量時，或兩量皆為整體的部分量時，

兩個量所存有的對應關係屬之。例如：男生與全班人數之兩量比為部分-整體關 係；或男生與女生人數之兩量比為部分-部分關係。

3. 關係的集合：

當兩量間的對應關係不明確，必頇人為約定才能確定其固定的對應關係。例 如：「6個寶特瓶換2個口罩」是人為的交易方式；「3個大人配5個小孩」人為訂 定的遊戲規則。

4. 放大/縮小：

將一個量擴大（或縮小）為另一個量，兩量的關係即為放大/縮小關係。例 如：樹高5公尺，其影子為3公尺，樹高和影子的對應關係為縮小倍數關係。

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其中第四項的部分就與縮圖、放大圖的概念有關，所以學生要具備比例的概 念才能對縮圖、放大圖有正確的認識。Frobisher et al.(1999）提到跟比和比例相 關的概念如圖2-1-1：

圖 2-1-1 比和比例的相關概念 (Frobisher et al.,1999）

圖中的概念是由上面的基礎概念往下發展，如果學生不能理解小數、分數的 問題情境時就無法解決比例問題；因此由上面的子概念如乘和除、分割、小數、

分數和百分率構成比和比例的概念。接著是其相關的概念與其應用，周圍是相關 的概念，例如等價是比的相關概念，放大縮小則視為比例的應用。但如果對於概 念不清楚，會導致對於比例的誤用，故探討縮圖、放大圖時有必要探討比和比例 之相關概念，一方面了解放大縮小的長度是以同一比例放大縮小，但對於放大縮 小下的角度、面積中，不全都是成比例的關係，因而容易產生誤解與誤用，這都 是因為對於比例和非比例無法分辨掌握的關係。

二、縮圖、放大圖與角度的關係

日常生活中所談到的角與數學上的角概念，所表示的意義有時候是不一樣

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的。劉好（1995）指出，一般人對角的認知，常是真正角概念的局部，大都認為 一個角有兩條線段當作邊，兩邊中夾著一塊區域，產生一個尖尖的頂點。此外，

也常以角的頂點或頂點的鄰近區域來描述角，如桌角、牆角、三角形上的角、四 邊形上的角、……等。賴文正（2005）歸納多位學者對於角的定義分別以「張開 程度」、「帄面區域」及「旋轉量」來描述；對於角的邊之描述，則可分為「直線」、

「射線」和「線段」三種。在國小課程，各版本教科書以採用Mitchelmore 對角 意義的說法，故學童在角概念的認知，可能亦如Mitchelmore 的觀點為主。

Mitchelmore(1989)對角的意義提出下列三種說明：

（一）角是由一個頂點及共此頂點的兩條射線(ray pairs)所組成。

（二）角是自同一頂點射出的兩射線所圍出的一個帄面區域(region)。

（三）角是一射線繞其端點旋轉(rotation)一個程度的量。

由上述三種定義可知：

(一)角是由一端點與兩射線所圍成的帄面區域，著重角的內部區域，也就是「圖 形角」，與角的性質（尖或鈍）、角的大小（所張開區域的程度）和面積等 概念相關，如圖2-1-2。

（二）強調角是由一頂點與兩射線所構成，著重角的外型，也就是「張開角」， 與角的方位、射線指向、角的感覺（大小和尖帄）、直線、點等概念有關，

如圖2-1-3。

（三）顯示角是以頂點為中心記錄一射線繞頂點旋轉的起止結果，著重角的旋 轉程度，也就是「旋轉角」，與旋轉和空間的概念相關，如圖2-1-4。

射線 頂點

射線 圖2-1-2 圖形角

頂點 射線

射線 圖2-1-3 張開角

頂點 射線

射線 圖2-1-4 旋轉角

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國小學童對角概念的認知，最先是從認識圖形角開始，中年級以後，藉由扇 子的開合現象來瞭解張開角，並能知道張開角的構成要素「邊」和「頂點」的性 質，再以圖像表現旋轉的程度，認識旋轉角，建立旋轉產生角的概念。接著學童 觀察水帄方向與鉛直方向所成之形象特徵，產生直角的概念；再以直角為基準，

認識銳角、鈍角、帄角與周角，形成學童角的概念發展。

角度不因兩邊線的長短而改變角的大小，也不會因圖形改變方位而造成角度 跟著變化。學童必頇具備角的大小判斷能力與角的保留概念，才能理解在縮圖和 放大圖中角度不因縮小或放大而產生改變。

三、縮圖、放大圖與面積的關係

面積是一種量，是一種依附在圖形區域所產生的量，面積是點集合所對應的 量。譚寧君（1995a）認為「面積」為二維的量，指的是對某一特定區域的覆蓋 程度，亦即被覆蓋面的大小，此時的覆蓋活動，包含了兩個條件，即（1）面積 是有周界的，故覆蓋物不能超過給定的邊界。（2）面積是從一維到二維掃描的 結果，故覆蓋物不能重疊。

面積是很重要的概念，計算面積的大小更是小學課程中重要的一環。面積的 大小計算牽涉到數學教材中的數、量、形三個領域。而面積概念的發展從面積的 保留概念的形成到面積測量概念的建立是逐步發展，分別敘述如下：

(一) 面積的保留概念

保留概念指的是兒童面對物體時，對物體的某種轉換（如位置的移動、形狀 的改變或切割活動），了解其原有的特質（如量、數、長度、大小）仍然保留不 變的認知能力（譚寧君，1995a）。此概念必頇經由多次經驗累積才能逐步完成 的。例如：移動A圖之一部分排成B圖，面積不會改變，如圖2-1-5。

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譚寧君（1995a）指出面積保留概念包含了二個不同的層次，一是基本面積 保留，一是互補面積保留。基本的面積保留代表任何封閉的圖形內面的大小，不 因位置的改變而有所不同。又如有些圖形會因為視覺的錯覺而產生錯誤，但亦可 透過疊合活動的經驗，而建立了面積的保留概念。互補面積保留是一種逆向的邏 輯思考，表示在相同的二個面上，減去形狀不同但面積相同的二塊小帄面，其所 剩下的面積仍然不變。

(二)面積測量概念

一般人對於面積的測量會立即聯想到面積公式。如被問及桌面的面積有多大 時，只會量出桌面的長和寬之後再相乘，未必真的了解面積概念，可能只是背公 式而已。他必頇了解長乘以寬是經過單位面積覆蓋的的結果，如此才是真正了解 面積的概念。測量面積的大小可透過不同的方法測量而得，但若未經過覆蓋、拼 湊、添補、複製與比較等活動，是不能真正了解到面積的概念（國立編譯館，1999）。 (三)面積估測

量感的培養是測量教學的重點，所以估測的活動是教學中重要的一部份。

教學時，可先利用目測或手測（自然的工具），以感覺的方式進行估測，如猜猜 看一張報紙有多大，估測活動後再利用工具實際去測量檢驗，因學生已有覆蓋的 經驗，故會利用任何自然的工具，包括目測或手量的感覺去估測單位數與單位量 之間的關係，再實際去檢驗，如此，既可以引起學生的興趣，又可培養兒童估測 的能力（譚寧君，1995b）。譚寧君（1995b）提到估測活動可以培養學生的量感，

有量感才能對面積測量的學習形成有意義的學習。

綜合上述可知學童需真正了解面積的概念，才能理解在縮圖、放大圖中面積 A B

圖 2-1-5 面積保留概念 (譚寧君，1995a)