國立臺中教育大學數學教育學系
國小教師在職進修教學碩士班碩士論文
指導教授：施淑娟 博士
結合二階段測驗之電腦適性補救教
學設計與應用成效-以縮圖、放大圖
與比例尺為例
研究生：尤怡雯 撰
中 華 民 國 一 ○ ○ 年 六 月
誌 謝
與中教大特別有緣，在此度過快樂的大學四年，沒想到投入教職後，能重拾 書本，再次重溫充實的學生生活；兩年的研究所生涯轉眼即過，點滴在心頭，要 感謝的人實在太多。 首先感謝我的指導教授─施淑娟老師，感謝您的悉心指導，指引我撰寫論文 的方向；與老師相處的過程中，我學習到老師嚴謹務實的研究精神與耐心關愛的 生活態度，獲益良多。感謝口詴委員袁媛教授與楊晉民教授，因為您們的指導與 建議，引領我更周延的思考，讓我的論文更嚴謹完善；此外，也感謝在求學過程 中，所有曾指導我的老師們：林炎全老師、林原宏老師、陳鉪逸老師、劉好老師、 黃一泓老師、吳德邦老師、鄭博文老師和易正明老師，因為您們的諄諄教誨及豐 富的課程內容，讓我在研究的過程中，擁有更多靈感與啟發。 還有，感謝全班同學的相互扶持，大家一起奮鬥、互相幫忙，讓我有順利完 成學業的力量，也讓我留下了難忘的回憶，我們真的是很棒的一個班。至於同甘 共苦的老戰友：靜惠、玉華、和秀如，懷念每個悲喜交加的星期三，在這個豐盛 的下午茶時間，填飽了我們的肚子與心靈，彼此的加油打氣聲猶言在耳，研究所 生活因為有了你們，變得多采多姿。最後感謝摯愛的家人，你們的鼓勵與支持， 我永遠銘記在心！ 最後僅以本文獻給所有默默支持我、關心我的人， 謝謝您們。 怡雯 謹誌於中教大 2011.6i
摘要
本研究目的是研發以認知衝突策略為基礎的迷思概念補救教學媒體，並評估 其應用於電腦適性補救教學的教學成效。本研究範疇是以國小六年級「縮圖、放 大圖與比例尺」單元為研究領域，主要探討以「二階段BNAT診斷測驗暨適性學 習系統」為工具，進行電腦適性補救教學與傳統補救教學二種不同的補救教學模 式後，對學生學習成效與延宕成效的影響。其中接受電腦適性補救教學之實驗組 所使用的教學媒體，係指研究者針對此單元學生易犯的迷思概念，以認知衝突策 略為為基礎而自編的迷思概念補救教學媒體。本研究並探討不同性別之實驗組學 生其補救教學成效及延宕成效之差異。此外，亦探討實驗組學生對本研究之電腦 適性補救教學之學習意見。 研究方法採用不等組準實驗設計，研究對象為台中市某國小六年級的學生， 由十四個班級取出五個班級的學生，其中二班為接受電腦適性補救教學之實驗 組、三班為接受傳統補救教學之控制組。實驗完成後，實驗組的有效樣本為 64 人，控制組的有效樣本為 90 人。本研究結果摘要如下： 一、補救教學成效上，使用電腦適性補救教學之實驗組學生，其補救教學後的後 測成績顯著優於使用傳統補救教學之控制組學生，顯示此種補救教學模式有 助於提升補救成效。 二、實驗組與控制組的學生以前測成績作為能力分組，分為高、中低二組，發現 高能力組在補救教學成效無顯著差異，但在中低能力組之補救教學成效則有 顯著差異，顯示對中低能力組學生而言，電腦適性補救教學成效優於傳統補 救教學。 三、使用電腦適性補救教學之實驗組學生與使用傳統補救教學之控制組學生在延 宕成效上沒有顯著差異。 四、使用電腦適性補救教學之實驗組學生其迷思概念進步率與數學概念的達成率 均高於使用傳統補救教學之控制組學生，惟其差異並未達到統計上的顯著。 五、不同性別之實驗組學生在接受電腦適性補救教學後，其學習成效與延宕成效 均無顯著差異，顯示本研究之電腦適性補救教學模式，不因學生性別而造成 顯著影響。 六、分析實驗組學生對電腦適性補救教學之意見，顯示大多數學生對電腦適性補 救教學活動有良好的認同，且此份問卷具有良好的信度。 關鍵字：縮圖、放大圖與比例尺、迷思概念、認知衝突、電腦適性補救教學ii
Abstract
The purposes of the research are to develop the misconception remedial instruction media based on cognitive conflict strategy and evaluate the teaching effect of applying the foregoing media in remedial instruction. The contents of research focus on the “Reduced, enlarged and Scale” unit in 6th grade mathematics. By using the “Two-tier BNAT diagnostic test and adaptive learning system” as the tool, the effects on students’ learning and delay learning after undergoing computerized adaptive remedial instruction and traditional remedial instruction are discussed. The teaching media using in computerized adaptive remedial instruction (experiment group) are edited to clarify the misconception that students often made in this unit based on cognitive conflict strategy. Moreover, the differences of learning effect and delay learning effect between different gender students in the experiment group, and students’ comments on the computerized adaptive remedial instruction are also discussed.
Non-equivalent group quasi-experimentation design is adopted in the research. The subjects are 6th grade students chosen from an elementary school in Taichung city. There are five classes chose. Two of the classes are the experiment group in which students receive computerized adaptive remedial instruction and the remaining three classes were the control group in which students receive traditional remedial instruction. After the experiment is completed, there are 64 effective samples in the experiment group and 90 in the control group. The results are summarized as follows:
1. In terms of remedial instruction effect, after the teaching was completed, the post-test scores of students in the experiment group (computerized adaptive remedial instruction) are significantly higher than students in the control group (traditional remedial instruction). It shows computerized adaptive remedial instruction effectively promotes the remedial effectiveness.
2. The pre-test scores of students in the experiment group and the control group are used as the competency to divide students into high competency and low competency classes. It is found that the difference in the remedial instruction effectiveness in the high competency class is not significant whereas the difference is significant in the low competency class. It shows that, for students in the low competency class, the effectiveness of computerized adaptive remedial instruction is higher than traditional remedial instruction.
iii
experiment group (computerized adaptive remedial instruction) and students in the control group (traditional remedial instruction).
4. The progress rate of misconception and the accomplishment rate of mathematic concepts are higher for students in the experiment group (computerized adaptive remedial instruction) than students in the control group (traditional remedial instruction). But there were no significant differences between groups.
5. In terms of different gender students in the experiment group after receiving computerized adaptive remedial instruction, the learning effectiveness and delayed effectiveness are not significantly different. It shows that the computerized adaptive remedial instruction model developed in the research would not be affected by student’s gender.
6. In the analysis of students’ comments on the computerized adaptive remedial instruction, it shows most students recognize to a large extent the computerized two-stage diagnostic test. Moreover, the questionnaire has high reliability.
Keywords: “reduced, enlarged and scale”, misconception, cognitive conflict,
computerized adaptive remedial instruction
iv
目錄
摘要... i Abstract ... ii 目錄... iv 圖目錄... vi 表目錄... viii 第一章 緒論... 1 第一節 研究動機... 1 第二節 研究目的... 3 第三節 待答問題... 4 第四節 名詞界定... 4 第五節 研究範圍與限制... 6 第二章 文獻探討... 9 第一節 縮圖、放大圖與比例尺的概念與教材分析... 9 第二節 國小學童常見的縮圖、放大圖與比例尺的迷思概念... 18 第三節 認知衝突於數學教學的相關研究... 26 第四節 電腦適性補救教學的相關研究... 34 第三章 研究方法... 41 第一節 研究流程... 41 第二節 研究對象... 46 第三節 研究工具... 47 第四節 實驗設計... 66 第五節 資料處理與分析... 68 第四章 結果與討論... 71 第一節 學生在接受「電腦適性補救教學」與「傳統補救教學」後學習成效 之差異... 71 第二節 學生在接受「電腦適性補救教學」與「傳統補救教學」後延宕成效 之差異... 81 第三節 不同補救教學模式後之迷思概念發生率與數學概念達成率改變情形 ... 83 第四節 電腦適性補救教學對實驗組之不同性別學生學習效果的影響... 91 第五節 實驗組學生對電腦適性補救教學之意見... 95 第五章 結論與建議... 99 第一節 結論... 99 第二節 建議... 100 參考文獻... 103v
中文部分... 103
英文部分... 107
附錄一 縮圖、放大圖與比例尺電腦化二階段診斷測驗詴題內容分析表... 108
vi
圖目錄
圖 2-1-1 比和比例的相關概念 ... 11 圖 2-1-2 圖形角 ... 12 圖 2-1-3 張開角 ... 12 圖 2-1-4 旋轉角 ... 12 圖 2-1-5 面積保留概念 ... 14 圖 2-1-6 「縮圖、放大圖與比例尺」的教材地位 ... 17 圖 2-2-1 迷思概念的概念背景 ... 19 圖 2-3-1 診斷教學的四個步驟 ... 28 圖 2-3-2 反向法之舉例題目 ... 30 圖 2-3-3 反向法之畫面之一 ... 31 圖 2-3-4 反向法之畫面之二 ... 31 圖 2-3-5 反向法之畫面之三 ... 32 圖 2-3-6 反向法之畫面之四 ... 32 圖 2-3-7 表徵法之舉例題目 ... 33 圖 2-3-8 表徵法之畫面 ... 33 圖 3-1-1 研究流程圖 ... 42 圖 3-1-2 縮圖、放大圖與比例尺單元知識結構 ... 44 圖 3-3-1 登入畫面 ... 50 圖 3-3-2 測驗畫面第一階段 ... 51 圖 3-3-3 測驗畫面第二階段之一 ... 52 圖 3-3-4 測驗畫面第二階段之二 ... 52 圖 3-3-5 學生的診斷報告-迷思概念 ... 53 圖 3-3-6 學生的診斷報告-技能與概念 ... 54 圖 3-3-7 學生的診斷報告-錯誤題目解說 ... 54 圖 3-3-8 班級學習狀態統計書-迷思概念通過率 ... 55 圖 3-3-9 班級學習狀態統計書-技能類型通過率 ... 55 圖 3-3-10 補救教學編製架構圖 ... 56 圖 3-3-11 布題畫面 ... 57 圖 3-3-12 認知衝突畫面之一 ... 57 圖 3-3-13 認知衝突畫面之二 ... 58 圖 3-3-14 認知衝突畫面之三 ... 58 圖 3-3-15 教學畫面之一 ... 59 圖 3-3-16 教學畫面之二 ... 60 圖 3-3-17 教學畫面之三 ... 60 圖 3-3-18 教學畫面之四 ... 61vii 圖 3-3-19 教學畫面之五 ... 61 圖 3-3-20 回原題目畫面 ... 62 圖 3-3-21 正確回答問題畫面 ... 62 圖 3-3-22 練習題 ... 63 圖 3-3-23 練習題答錯的提示之一 ... 63 圖 3-3-24 練習題答錯的提示之二 ... 64 圖 3-3-25 練習題答錯的提示之三 ... 64 圖 3-3-26 練習題答對的畫面 ... 65 圖 3-4-1 實驗架構圖 ... 67
viii
表目錄
表 2-1-1 「縮圖、放大圖與比例尺」相關分年細目表 ... 16 表 2-2-1 與角度放大和縮小有關之迷思概念文獻歸納表 ... 21 表 2-2-2 與長度放大和縮小有關之迷思概念文獻歸納表 ... 22 表 2-2-3 與面積放大和縮小有關之迷思概念文獻歸納表 ... 23 表 2-2-4 與比例尺有關之迷思概念文獻歸納表 ... 24 表 2-3-1 製造認知衝突的策略 ... 28 表 3-1-1 迷思概念與相關數學概念對應表 ... 45 表 3-2-1 實驗階段各組參與人數統計表 ... 47 表 3-2-2 不同性別之實驗組學生參與人數統計表 ... 47 表 3-3-1 診斷測驗詴題檢核表 ... 48 表 3-4-1 實驗設計模式 ... 67 表 4-1-1 不同補救教學模式測量變項描述性統計摘要表 ... 71 表 4-1-2 在不同補救教學模式下的學習成效之迴歸係數同質性考驗摘要表 ... 72 表 4-1-3 在不同補救教學模式下的學習成效之單因子共變數分析摘要表 ... 72 表 4-1-4 實驗組及控制組的學生之後測成績估計邊緣值 ... 73 表 4-1-5 不同補救教學模式之高能力組學生測量變項描述性統計摘要表 ... 73 表 4-1-6 實驗組及控制組的高能力組學生補救成效之迴歸係數同質性考驗摘要表 ... 74 表 4-1-7 實驗組及控制組的高能組學生之補救教學成效之單因子共變數分析摘要表 ... 74 表 4-1-8 實驗組及控制組的高能力組學生之後測成績估計邊緣值 ... 74 表 4-1-9 不同補救教學模式之中能力組學生測量變項描述性統計摘要表 ... 75 表 4-1-10 實驗組及控制組的中能力組學生補救成效之迴歸係數同質性考驗摘要 表 ... 75 表 4-1-11 實驗組及控制組的中能力組學生之補救教學成效之單因子共變數分析摘要表 ... 76 表 4-1-12 實驗組及控制組的中能力組學生之後測成績估計邊緣值 ... 76 表 4-1-13 不同補救教學模式之低能力組學生測量變項描述性統計摘要表 ... 77 表 4-1-14 實驗組及控制組的低能力組學生補救成效之迴歸係數同質性考驗摘要 表 ... 77 表 4-1-15 實驗組及控制組的低能力組學生之補救教學成效之單因子共變數分析摘要表 ... 78 表 4-1-16 實驗組及控制組的低能力組學生之後測成績估計邊緣值 ... 78 表 4-1-17 不同補救教學模式之中低能力組學生測量變項描述性統計摘要表 .... 79 表 4-1-18 實驗組及控制組的中低能力組學生補救成效之迴歸係數同質性考驗摘要 表 ... 79ix 表 4-1-19 實驗組及控制組的中低能力組學生之補救教學成效之單因子共變數分析摘要表 ... 80 表 4-1-20 實驗組及控制組的中低能力組學生之後測成績估計邊緣值 ... 80 表 4-2-1 實驗組、控制組之組內迴歸係數同質性考驗 ... 81 表 4-2-2 實驗組、控制組延後測成績之單因子共變數分析 ... 82 表 4-2-3 實驗組及控制組的學生之後測成績估計邊緣值 ... 82 表 4-3-1 實驗組前測與後測出現迷思概念統計表 ... 83 表 4-3-2 控制組前測與後測出現迷思概念統計表 ... 84 表 4-3-3 實驗組與控制組之迷思概念進步率之獨立樣本 t 檢定分析摘要表 ... 86 表 4-3-4 實驗組前測與後測達成數學概念統計表 ... 87 表 4-3-5 控制組前測與後測達成數學概念統計表 ... 88 表 4-3-6 實驗組與控制組之數學概念進步率之獨立樣本 t 檢定分析摘要表 ... 91 表 4-4-1 不同性別之實驗組學生測量變項描述性統計摘要表 ... 91 表 4-4-2 不同性別之實驗組學生補救成效之迴歸係數同質性考驗 ... 92 表 4-4-3 不同性別之實驗組學生補救成效之單因子共變數分析 ... 92 表 4-4-4 不同性別之實驗組學生補救成效之估計邊緣值 ... 93 表 4-4-5 不同性別之實驗組學生延宕成效之迴歸係數同質性考驗 ... 93 表 4-4-6 不同性別之實驗組學生延宕成效之單因子共變數分析 ... 94 表 4-4-7 不同性別之實驗組學生延宕成效之估計邊緣值 ... 94 表 4-5-1 對電腦適性補救教學的想法之學習意見調查 ... 95 表 4-5-2 對電腦適性補救教學的想法持非負向意見之結果分析 ... 97
1
第一章 緒論
本研究是以國小六年級「縮圖、放大圖與比例尺」單元為研究範圍，根據教 育部（2003）編訂之九年一貫數學領域課程綱要，應用結合知識結構理論及貝氏 網路之電腦化二階段診斷系統來進行縮圖、放大圖與比例尺的學習診斷，再依據 診斷報告以數學診斷教學中之認知衝突策略來製作迷思概念之補救教學媒體並 進行適性補救教學，評估其教學成效。本論文共分五章：第一章為緒論；第二章 為文獻探討；第三章為研究方法；第四章為結果與討論；第五章為結論與建議。 本章將針對研究動機、研究目的、待答問題、名詞界定及研究範圍與限制等逐一 進行闡述。第一節 研究動機
本研究的課程內容選定縮圖、放大圖與比例尺的單元，選用此單元的原因是 基於在生活中包含了許多依比例放大縮小的數學概念，如影印文件、地圖、模型… 等等，與我們的生活息息相關。但研究者在教學中發現，一維長度的放大、縮小 的概念是學生較易理解的。但若是二維面積的放大、縮小概念則是學生較易混淆 的，實務上學生常將其長度一維縮放的倍數當成面積二維縮放的倍數，以線性關 係來思考。例如：邊長為原來的三倍時，學生會認為面積也變為原來的三倍（陳 光勳、譚寧君，2001；楊美惠，2002；蘇琬淳，2004；陳雯貞，2005；Outhred & Mitchelmore,2000；Simon & Blume,1994）。吳宜靜（2007）研究指出經統計分析發現：（1）學童縮小圖與放大圖之直 觀辨識受圖形方位影響大，容易僅憑藉視覺直觀判斷縮放圖，忽略相似圖形性質
2 的比較。（2）學童能依據圖形比例尺辨識縮小圖與放大圖，能察覺圖形各部分 的對應關係，但仍受方位影響，容易忽略圖形縮放比例的一致性，不瞭解縮放圖 長度與面積改變維度不同。（3）學童對於「縮放圖基本性質」的瞭解，將影響 縮放圖作圖多於學童對縮放圖形「直觀辨識」之能力。（4）學童在縮小圖放大 圖繪製的實作表現中，無法整合所學習到的縮放圖各種概念應用於作圖。由以上 研究結果，建議教師於授課時能對於「放大圖」、「縮小圖」、「全等圖形」加 以明確定義。並提供更多元的思考以發展學童應用圖形變換、對稱進行幾何分析 的能力。另外，林碧珍（1993）在其輔導區輔導教學的經驗，發現此單元為小學 教師深感困擾的單元之一。由上述研究可知縮圖、放大圖和比例尺的重要性與學 習困難，因此如何改善和提升學生在這部分的學習是很重要的研究議題。 由於教育部從九十學年度起開始實施九年一貫課程，極力宣導資訊融入教 學，強調將資訊融入各領域之教學期能從小提昇國人之資訊素養，提昇國家之競 爭力。因此，透過電腦科技輔助教學成為改善與提升學習成效的重要方法。也有 研究指出，學生因為對電腦輔助教學有濃厚的興趣，進而對其所學科目的學習態 度更為正向、積極（吳鳳萍，2002）。本研究也將利用學生一人一台電腦的方式， 讓學生根據自己的學習情況來進行電腦適性補救教學，以期能達到適性化的學習 效果。 鍾登宏（2004）在運用G.S.P.動態幾何電腦軟體及傳統的實物操作學習放大 縮小和比例尺相關概念成效的研究中指出，實驗組和控制組在概念皆呈正向的改 變。但是仍有一些迷思概念在短時間無法讓學生產生良好的改變，例如線性迷 思，且建議若能以兩階段的問題來測驗學生，也許會更完善。鍾登宏對此單元進 行教材設計並應用於教學的研究，但未對補救教學進行活動設計。林美秀（2009） 也以此單元研發以知識結構為基礎之教材，包括教學用之授課教材、補救教材、 數位化之教學媒體、與補救教學之動畫在團班教學上，且成效良好。林美秀的補 救教材設計是採取直接教學法，由於在傳統補救教學時，老師的數學補救教學時
3 間、人力有限且學生迷思概念不一，也易造成時間及資源的浪費。根據上述研究 的建議，本研究將著重在依據此單元的迷思概念所作的補救教材媒體之研發，克 服以上的困難，以利進行個別化的適性補救教學。 為了製作有效的適性補救教學媒體，本研究以認知衝突策略來編製各迷思概 念的補救教學媒體。許多探討概念的相關研究都指出：可藉由認知衝突，引起學 習者認知的不帄衡狀態，促使學習者反思、重組認知結構，進而達成概念的改變 （吳金聰、劉曼麗，1999；吳金聰，1999；阮正誼，2002；郭孟儒，2002）。 綜合以上所述，本研究將利用張靜惠（2011）所編製的縮圖、放大圖與比 例尺二階段詴題進行電腦化診斷測驗，再依據此測驗所能診斷的迷思概念以製造 認知衝突的方式來編製PPT教學媒體作為補救教材，學生依線上評量後提供的診 斷測驗報告書，針對自己錯誤之處進行個別化的PPT教學媒體的補救教學，本研 究欲探究學生接受電腦化適性補救教學後是否對其學習較有助益。 此外，由於本研究在補救教學實施上將採用資訊融入教學的方式，就學習的 公帄性而言，電腦的使用是否會對不同性別學生的學習成效產生影響值得關注。 國內有研究提出在資訊融入教學下，男性學童在資訊接受度高於女性，所以男性 學童學習成效較佳（林紀達，2004；莊苑芬，2006；廖娸婷，2009）。亦有些研 究認為沒有影響（鄭苓巧，2008；李佳蓉，2009）。因此，本研究亦針對電腦適 性補救教學對不同性別學生學習效果的影響進行評估。
第二節 研究目的
一、 探討在「縮圖、放大圖與比例尺」的單元下，學生接受「電腦適性補救教 學」與「傳統補救教學」後，對其學習成效之影響。 二、 探討在「縮圖、放大圖與比例尺」的單元下，學生接受「電腦適性補救教 學」與「傳統補救教學」後，對其學後延宕成效之影響。4 三、 探討在「縮圖、放大圖與比例尺」的測驗中，學生易出現的迷思概念及在 接受不同補救教學模式後，迷思概念發生率與數學概念達成率改變情形。 四、 探討在「縮圖、放大圖與比例尺」的單元下，電腦適性補救教學對不同性 別之實驗組學生學習成效與延宕成效的影響。 五、 探討在「縮圖、放大圖與比例尺」的單元下，實驗組學生對電腦適性補救 教學之意見。
第三節 待答問題
根據上述的研究目的，本研究將探討下列問題： 1-1. 接受不同補救教學法之學生在學習成效上是否有顯著差異？ 2-1. 接受不同補救教學法之學生在學後延宕成效上是否有顯著差異？ 3-1.實驗組與控制組的學生易出現的迷思概念有哪些？ 3-2.在不同補救教學法下，學生經過補救教學後之迷思概念發生率是否有差異? 3-3.在不同補救教學法下，學生經過補救教學後之數學概念達成率是否有差異? 4-1.實驗組男女學生在接受電腦適性補救教學後，其學習成效是否有顯著差異？ 4-2.實驗組男女學生在接受電腦適性補救教學後，其延宕成效是否有顯著差異？ 5-1.實驗組學生對於此種電腦適性補救教學之意見為何？第四節 名詞界定
一、縮圖、放大圖和比例尺之數學概念 本研究所謂的縮圖、放大圖和比例尺僅以教育部（2003）編訂之九年一貫數5 學領域課程綱要，針對六年級「縮圖、放大圖和比例尺」單元為研究範圍，自編 補救教材內容是針對本單元的六個教學重點，包括了解縮圖和放大圖的意義、知 道原圖和縮圖或放大圖的對應角、對應邊及面積的關係、畫出簡單圖形的放大圖 和縮圖、了解比例尺的意義和表示法等共二十一個數學概念，以診斷測驗系統測 量出的二十二個迷思概念，編製了二十一個補救教學補救媒體。 二、資訊融入教學模式 本研究所定義的資訊融入教學模式，為教學者使用自編補救教材，在電腦教 室中以在Microsoft公司之Office系列軟體之PowerPoint簡報軟體下製作之自編教 學媒體來進行電腦適性補救教學，並且以電腦化二階段診斷測驗來進行評量。 三、電腦適性補救教學 補救教學是一種診療式教學，重視個案資料的蒐集、診斷評量及教學後的測 驗，以瞭解學生的實際學習狀況，並給予所需要的協助，其歷程是採「評量－教 學－再評量」的循環（張新仁、邱上真、李素慧，2000）。補救教學有很多模式， 本研究所採用的模式是以電腦輔助學習的方式來進行，在實際教學時，實驗組的 學生依據自己的診斷報告書，點選老師自編之補救教學媒體來進行電腦適性補救 教學，補救教學的媒體是依據認知衝突理論編製的PowerPoint簡報來呈現；控制 組則依全班診斷報告書中班上大多數學生具有之錯誤類型，以檢討測驗題目的方 式來進行傳統補救教學。 四、電腦化二階段診斷測驗 本研究所指電腦化二階段診斷測驗係以結合知識結構及貝氏網路為基礎，進 行診斷的二階段測驗。所謂貝氏網路(Bayesian networks)是一種以貝氏理論為基 礎，由節點與連結所組成具有方向性且非循環的有向圖(directed acyclic graph， 簡稱DAG)，以節點表示所欲研究的變項，連結代表變項間的影響關係，其影響
6 程度的強弱則藉由條件機率的方式來表達（施淑娟，2006），本研究以貝氏網路 為診斷測驗之推論工具，協助教師分析診斷出學生迷思概念與數學概念的有無， 作為本研究補救教學模式的依據。二階段測驗是指進行施測時，第一階段先提供 答案選項讓學生作答，第二階段讓學生選取理由選項，若受詴者兩個階段作答均 正確，則視為正確，若受詴者其中一階段答錯，則視為錯誤。透過這樣的二階段 作答方式，可降低學生猜題，提高貝氏網路之迷思概念的診斷正確率，以做為後 續補救教學的基礎。 五、迷思概念 本研究之迷思概念是指學生在學習時常會帶著已有的概念，用自己的想法或 經驗來學習。這些學生早已擁有先入為主的觀念，若是有別於正統教科書所定 義，與專家認定的概念不相容的概念，即是所謂迷思概念。本研究之迷思概念的 分類是研究者參考相關文獻、教學經驗交流與專家學者討論等方式所訂定出。 六、延宕成效 本研究所指的延宕成效，是指學生在實驗教學後，經過一段時間的延宕，在 排除前測成績的差異後，學生的延後測成績的差異情形。
第五節 研究範圍與限制
一、研究範圍 本研究之教學單元範圍僅限於六年級「縮圖、放大圖和比例尺」。此外，由 於本研究旨在探討自編電腦適性補救教學模式的實施成效、學後延宕成效、電腦 適性補救教學對不同性別之實驗組學生的學習效果以及實驗組學生的學習意7 見。因此，除上述以外之其他因素均不在本研究探討之範圍。 二、研究限制 本研究受限於時間、資源、人力及其他主客觀因素影響，茲將本研究之限制分 述如下： (一)研究樣本 本研究考量到研究人力、時間與資源的限制，因此，研究樣本來源是以立意 抽樣的方式，由研究者服務之學校六年級學生，選取二個班級做為實驗組，三個 班級做為控制組，總共154名學生參與實驗。因此，實驗的結果可能會受到取樣 的影響，造成本研究結果推論上的限制。 (二)研究時間 因補救教學時間有限，考慮課程進度及電腦教室排課問題，因此本研究集中 在兩節課進行補救教學，低成就學生因迷思概念較多，可能會因為需補救內容過 多而造成疲勞或無法全部補救完，而影響成效。 (三)任課教師 本研究限於人力、時間的便利性等因素，實驗組的電腦適性補救教學由研究 者主持進行。控制組的傳統補救教學均委由各班數學任課教師進行，但在實驗前 已進行教學流程與理念構通，但可能會因為任課教師不同，導致補救教學內容及 方式有所差異而影響成效。 (四)「診斷測驗詴題」研究工具 本研究之電腦化二階段診斷測驗，題目是以選擇題型式建置，無法像傳統測 驗一般，包含多種題型，且選擇題型的誘答選項有限，無法囊括學生可能會犯的 所有錯誤類型。
9
第二章 文獻探討
本研究的文獻探討分為五個部分，先於第一節探討縮圖、放大圖與比例尺的 概念與教材分析；第二節進而探討國小學童常見的縮圖、放大圖與比例尺的迷思 概念；第三節主要探究認知衝突於數學教學的相關研究；第四節探討電腦適性補 救教學的相關研究。詳細內容分述如下：第一節 縮圖、放大圖與比例尺的概念與教材分析
根據97年版的數學課程綱要修訂中指出：縮放與相似是相關的概念，學生應 確實理解幾何圖形在縮放前後的變化性質，例如：直線變到直線、線段長成比例、 角度不變等（教育部，2008）。而縮圖、放大圖的概念與比例的概念有密切的關 聯性，縮圖、放大圖的情境也蘊含著比例的概念，學生也常使用比例的概念來解 決縮圖、放大圖的問題，因此本節先探討縮圖、放大圖與比例的關係，接著探討 縮圖、放大圖與角度、面積的關係，最後探討比例尺的意義及表示法和縮圖、放 大圖與比例尺的教材地位，有助於此單元於電腦適性補救教學之教材設計。 一、縮圖、放大圖與比例的關係 比例是指兩個相等的比值。例如：a:b＝c:d； b a ＝ d c 。根據97年版的數學課 程綱要修訂的定義，比例的意涵：比的原理，是一種微妙的帄分方式，因此學生 比較容易接受。即使學生尚未學習比例式，透過比的方式，仍然可以協助學生解 題。最後再透過比值的引入，一貫地解決比例的問題（教育部，2008）。 Ohlesson’s在1998年指出比例的應用有兩種，一為表示兩個比之間的等10 值，例如：2:1＝ 4:2；另一種用法則表示部份對全體的關係，例如：全班有36 人，男生有15 人， 36 15 表示男生對全部人數的比例（引自劉秋木，1996）。 根據97年版的數學課程綱要修訂中指出，比例關係是日常生活與自然科學中 經常用到的數量關係，本身有這非常豐富的性質，可以視為乘除關係的重要延 伸。比例關係有兩種看法：一是倍數相同的觀點，一是比值相等的觀點，兩者對 於解決實際的應用問題都很重要，學生必頇熟稔兩者，才算是真正掌握了比例關 係（教育部，2008）。根據Lamon(1993,1994)將比的情境問題語意結構分為四 類 ： 良 好 合 成 的 量 數 (well-chunked measures) 、 部 分 - 部 分 - 整 體 (part-part-whole)、關係的集合（associated sets）、放大/縮小（stretchers/shrinkers）。 林碧珍（2010）將各種語意結構說明如下： 1. 良好合成的量數： 兩個外延量的對應關係，形成的內涵量。例如：距離和時間兩個外延量的對 應關係形成的內涵量，所賦予的意義為速率。水的質量和體積的對應關係，所賦 予的意義為密度。柿子的重量與價格的對應關係，所賦予的意義為單價。 2. 部分-部分-整體： 兩個量中，當其中一量為另一量的部分量時，或兩量皆為整體的部分量時， 兩個量所存有的對應關係屬之。例如：男生與全班人數之兩量比為部分-整體關 係；或男生與女生人數之兩量比為部分-部分關係。 3. 關係的集合： 當兩量間的對應關係不明確，必頇人為約定才能確定其固定的對應關係。例 如：「6個寶特瓶換2個口罩」是人為的交易方式；「3個大人配5個小孩」人為訂 定的遊戲規則。 4. 放大/縮小： 將一個量擴大（或縮小）為另一個量，兩量的關係即為放大/縮小關係。例 如：樹高5公尺，其影子為3公尺，樹高和影子的對應關係為縮小倍數關係。
11 其中第四項的部分就與縮圖、放大圖的概念有關，所以學生要具備比例的概 念才能對縮圖、放大圖有正確的認識。Frobisher et al.(1999）提到跟比和比例相 關的概念如圖2-1-1： 圖 2-1-1 比和比例的相關概念 (Frobisher et al.,1999） 圖中的概念是由上面的基礎概念往下發展，如果學生不能理解小數、分數的 問題情境時就無法解決比例問題；因此由上面的子概念如乘和除、分割、小數、 分數和百分率構成比和比例的概念。接著是其相關的概念與其應用，周圍是相關 的概念，例如等價是比的相關概念，放大縮小則視為比例的應用。但如果對於概 念不清楚，會導致對於比例的誤用，故探討縮圖、放大圖時有必要探討比和比例 之相關概念，一方面了解放大縮小的長度是以同一比例放大縮小，但對於放大縮 小下的角度、面積中，不全都是成比例的關係，因而容易產生誤解與誤用，這都 是因為對於比例和非比例無法分辨掌握的關係。 二、縮圖、放大圖與角度的關係 日常生活中所談到的角與數學上的角概念，所表示的意義有時候是不一樣
12 的。劉好（1995）指出，一般人對角的認知，常是真正角概念的局部，大都認為 一個角有兩條線段當作邊，兩邊中夾著一塊區域，產生一個尖尖的頂點。此外， 也常以角的頂點或頂點的鄰近區域來描述角，如桌角、牆角、三角形上的角、四 邊形上的角、……等。賴文正（2005）歸納多位學者對於角的定義分別以「張開 程度」、「帄面區域」及「旋轉量」來描述；對於角的邊之描述，則可分為「直線」、 「射線」和「線段」三種。在國小課程，各版本教科書以採用Mitchelmore 對角 意義的說法，故學童在角概念的認知，可能亦如Mitchelmore 的觀點為主。 Mitchelmore(1989)對角的意義提出下列三種說明： （一）角是由一個頂點及共此頂點的兩條射線(ray pairs)所組成。 （二）角是自同一頂點射出的兩射線所圍出的一個帄面區域(region)。 （三）角是一射線繞其端點旋轉(rotation)一個程度的量。 由上述三種定義可知： (一)角是由一端點與兩射線所圍成的帄面區域，著重角的內部區域，也就是「圖 形角」，與角的性質（尖或鈍）、角的大小（所張開區域的程度）和面積等 概念相關，如圖2-1-2。 （二）強調角是由一頂點與兩射線所構成，著重角的外型，也就是「張開角」， 與角的方位、射線指向、角的感覺（大小和尖帄）、直線、點等概念有關， 如圖2-1-3。 （三）顯示角是以頂點為中心記錄一射線繞頂點旋轉的起止結果，著重角的旋 轉程度，也就是「旋轉角」，與旋轉和空間的概念相關，如圖2-1-4。 射線 頂點 射線 圖2-1-2 圖形角 頂點 射線 射線 圖2-1-3 張開角 頂點 射線 射線 圖2-1-4 旋轉角
13 國小學童對角概念的認知，最先是從認識圖形角開始，中年級以後，藉由扇 子的開合現象來瞭解張開角，並能知道張開角的構成要素「邊」和「頂點」的性 質，再以圖像表現旋轉的程度，認識旋轉角，建立旋轉產生角的概念。接著學童 觀察水帄方向與鉛直方向所成之形象特徵，產生直角的概念；再以直角為基準， 認識銳角、鈍角、帄角與周角，形成學童角的概念發展。 角度不因兩邊線的長短而改變角的大小，也不會因圖形改變方位而造成角度 跟著變化。學童必頇具備角的大小判斷能力與角的保留概念，才能理解在縮圖和 放大圖中角度不因縮小或放大而產生改變。 三、縮圖、放大圖與面積的關係 面積是一種量，是一種依附在圖形區域所產生的量，面積是點集合所對應的 量。譚寧君（1995a）認為「面積」為二維的量，指的是對某一特定區域的覆蓋 程度，亦即被覆蓋面的大小，此時的覆蓋活動，包含了兩個條件，即（1）面積 是有周界的，故覆蓋物不能超過給定的邊界。（2）面積是從一維到二維掃描的 結果，故覆蓋物不能重疊。 面積是很重要的概念，計算面積的大小更是小學課程中重要的一環。面積的 大小計算牽涉到數學教材中的數、量、形三個領域。而面積概念的發展從面積的 保留概念的形成到面積測量概念的建立是逐步發展，分別敘述如下： (一) 面積的保留概念 保留概念指的是兒童面對物體時，對物體的某種轉換（如位置的移動、形狀 的改變或切割活動），了解其原有的特質（如量、數、長度、大小）仍然保留不 變的認知能力（譚寧君，1995a）。此概念必頇經由多次經驗累積才能逐步完成 的。例如：移動A圖之一部分排成B圖，面積不會改變，如圖2-1-5。
14 譚寧君（1995a）指出面積保留概念包含了二個不同的層次，一是基本面積 保留，一是互補面積保留。基本的面積保留代表任何封閉的圖形內面的大小，不 因位置的改變而有所不同。又如有些圖形會因為視覺的錯覺而產生錯誤，但亦可 透過疊合活動的經驗，而建立了面積的保留概念。互補面積保留是一種逆向的邏 輯思考，表示在相同的二個面上，減去形狀不同但面積相同的二塊小帄面，其所 剩下的面積仍然不變。 (二)面積測量概念 一般人對於面積的測量會立即聯想到面積公式。如被問及桌面的面積有多大 時，只會量出桌面的長和寬之後再相乘，未必真的了解面積概念，可能只是背公 式而已。他必頇了解長乘以寬是經過單位面積覆蓋的的結果，如此才是真正了解 面積的概念。測量面積的大小可透過不同的方法測量而得，但若未經過覆蓋、拼 湊、添補、複製與比較等活動，是不能真正了解到面積的概念（國立編譯館，1999）。 (三)面積估測 量感的培養是測量教學的重點，所以估測的活動是教學中重要的一部份。 教學時，可先利用目測或手測（自然的工具），以感覺的方式進行估測，如猜猜 看一張報紙有多大，估測活動後再利用工具實際去測量檢驗，因學生已有覆蓋的 經驗，故會利用任何自然的工具，包括目測或手量的感覺去估測單位數與單位量 之間的關係，再實際去檢驗，如此，既可以引起學生的興趣，又可培養兒童估測 的能力（譚寧君，1995b）。譚寧君（1995b）提到估測活動可以培養學生的量感， 有量感才能對面積測量的學習形成有意義的學習。 綜合上述可知學童需真正了解面積的概念，才能理解在縮圖、放大圖中面積 B A 圖 2-1-5 面積保留概念 (譚寧君，1995a)
15 的縮放與長度二維的縮放倍數之間的關係。 四、比例尺的意義及表示法 比例尺是表示縮圖(或放大圖)上的長度和實際長度的比和比值。縮圖(或放 大圖)和比例尺，可說是比和比值的應用。比例尺是一種抽象的內涵量概念，它 不像量長度的直尺，可以直接測量實物的長短，學生必頇了解縮圖(或放大圖) 與原圖邊長倍率之關係後，才能理解比例尺是一種「表示原圖與縮圖(或放大圖) 倍率之關係」的表徵。 比例尺一般以採計算縮圖(或放大圖)和原圖對應邊長的比，長以1和其縮小 或放大倍率的比、比值或線段圖表示。例如：一張比例尺為「1：100」的地圖， 以比的觀點來看，表示地圖上1個單位線段長，就代表實際上的100個單位長。若 單位為公分，則地圖上的1公分，表示實際上的100公分；以比值的觀點來看，表 示地圖上的1代表實際上的 100 1 。有些地圖上比例尺的說明，則常以線段圖來表 示，例如： 1.比例尺： 1：20000 2. 比例尺： 五十分之一 在教學上可由學校或社區帄面圖情境，引導學生嘗詴以抽象思考某實際的距 離來產生對「比例尺」的需求感，並增進了解比例尺的意義與功能。 五、縮圖、放大圖與比例尺的教材地位 林美秀（2009）指出，教育部於2003年公佈的九年一貫數學課程綱要中，將 0 200 400 公尺 0 0.5 1 公尺
16 數學內容分為數與量、幾何、代數、統計與機率、連結等五大主題。而「縮圖、 放大圖與比例尺」單元的教材屬於幾何的範圍。茲將各年級有關「縮圖、放大圖 與比例尺」的分年細目與對照能力指標整理如表2-1-1： 表2-1-1 「縮圖、放大圖與比例尺」相關分年細目表 年級 能力指標 分年細目 對照指標 一 1-s-04 能依給定圖示，將簡單形體作帄面舖設與立體 堆疊。 S-1-02 S-1-05 二 2-s-05 能認識面積，並作直接比較。 N-1-14 S-1-03 三 3-s-05 能利用間接比較或以個別單位實測的方法比 較不同面積的大小，並認識面積單位「帄方公 分」。 N-1-15 N-1-16 3-s-06 能透過操作，將簡單圖形切割重組成另一已知 簡單圖形。 S-1-05 四 4-s-05 能理解旋轉角的意義。 S-2-04 4-s-03 能認識帄面圖形全等的意義。 S-2-05 五 5-s-04 能認識線對稱，並理解簡單帄面圖形的線對稱 性質。 S-2-06 六 6-s-02 能認識帄面圖形放大、縮小對長度、角度與面 積的影響，並認識比例尺。 S-3-02 七 9-s-02 能對簡單的相似多邊形指出對應邊成比例、對 應角相等性質。 S-4-12 9-s-03 能理解三角形的相似性質。 S-4-13 (資料來源：教育部九年一貫課程教學網) 課程的安排要考慮符合學生的認知發展與數學課程的前後銜接，因為研究 對象是使用康軒版的教材，故接下來針對康軒版（2010）教材中有關縮圖、放大 圖與比例尺之單元做一整理分析，如圖2-1-6：
17 茲就其能力指標中明定關於國民小學高年級「縮圖、放大圖與比例尺」單元 頇達到下列目標說明如下，(教育部九年一貫課程與教學網) 六年級：能認識帄面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並認識比例尺 1.以1-s-04（形體舖設、堆疊），2-s-05（認識面積），3-s-05（面積的大小單位）， 3-s-06（圖形切割重組），4-s-05（旋轉角），4-s-03（帄面圖形全等），5-s-04 （帄面圖形的線對稱）為前置經驗，理解「縮圖、放大圖與比例尺」的概念。 第十一冊 第八單元─比與比值 ‧在具體情境中，認識「比」、「比值」的意義和表示法 ‧認識「相等的比」 ‧認識「最簡單整數比」 ‧能應用相等的比，解決生活中有關比例的問題 第十一冊 第九單元─縮圖、放大圖與比例尺 ‧了解縮圖和放大圖的意義 ‧知道原圖和縮圖或放大圖的對應角、對應邊、及面積的關係 ‧能畫出簡單圖形的放大圖和縮圖 ‧了解比例尺的意義及表示方法 第十二冊 第七單元─成正比 ‧能在比例的情境中，透過列表的方式認識變數 ‧能理解兩變量成正比的現象 ‧能用正比的概念解決生活問題 第十四冊 第三章─比與比例式 ‧了解比的性質 ‧能熟悉比與倍數的關係 ‧熟練比值與比例式的運算 ‧能理解連比和連比例的意義 ‧能理解正比、反比關係的意義 圖 2-1-6 「縮圖、放大圖與比例尺」的教材地位(整理自康軒版教學指引，2010)
18 2.從影印機的縮小、放大（如50％），利用實測，知道任兩點之間的距離也以相 同的比例縮小放大（如變成一半），但是角度沒有變化（而面積卻變成原來 的12×12＝14）。如果將圖形放大成3倍，角度不變，長度變3倍，面積會變成 3×3＝9倍。 3.能利用帄行四邊形、三角形與梯形的面積公式，說明面積變化的事實。 4.介紹地圖的使用，認識比例尺，並經由地圖的實測來計算距離。 由以上的「縮圖、放大圖與比例尺」的概念與教材地位，可知此單元在教學 時需具備的的先備知識及教學重點，本研究在設計教學媒體時將依據上述重點， 以學生的認知發展來設計補救教學媒體的內容。另外，在進行補救教學時必頇先 對學生可能產生的迷思概念要有所了解，才能對症下藥。因此，下一節要探討國 小學童常見的縮圖、放大圖與比例尺的迷思概念。
第二節 國小學童常見的縮圖、放大圖與比例尺的迷思概念
每個人在學習階段多少會產生迷思概念，而迷思概念和正確的知識是相互衝 突的。所以本章節一開始先探討迷思概念，接著針對縮圖、放大圖與比例尺的迷 思概念進行相關文獻的探討。 一、迷思概念 在學習新概念前，學童的經驗並非空白，而是存在著自己建立的某種知識結 構，且常以天真的想法呈現。其實學童對各類的現象也會主動的利用自己的想法 去建構意義，發展出屬於他們自己想法的概念，而非全是被動的接受外來的刺 激。黃幸美（1997）則認為兒童的先備知識基模即為儲存於長期記憶中的知識表 徵結構，其可能扮演助益新學習的橋樑，但也可能成為干擾學習的障礙，尤其當19 兒童的先備知識為錯誤或將某熟悉的概念過度遷移時，將影響後續相關材料的學 習，形成概念偏差。林碧珍（1985）從數學概念的形成與學習來探討，她認為學 習高層次的數學概念除了以定義溝通之外，更需要引用相關例子做說明。然而， 當學生無法完全了解某些基本概念而繼續學習更抽象的概念時，那麼對於之後所 發生的概念都將是一知半解的。 許琇雅（2004）指出自從1970年起，迷思概念的研究開始受到重視之後，「迷 思概念」的定義也因為研究者的觀點或研究方法的不同，而有許多不同的詮釋， 也出現了一些不同的名稱，如：「錯誤概念」、「另有概念」、「另有架構」等， 而「迷思概念」在本研究中的定義是指學童對於某特定學科中的某事件或現象自 行發展出來的概念或想法，且與特定學科的專家學者的概念或想法不一致。 鍾聖校（1994）認為迷思概念有兩種層次，一種是對「特殊內容」的思考結 果，一種是有關「因果推理」的思維方式。前者具有個別性、不穩定性，對改善 個別學習狀況具有參考價值。後者則較具普遍性，有建構或修正理論的學術價 值。有關迷思概念的背景，如圖2-2-1所示(圖中的「錯誤概念」就是本研究所稱 的「迷思概念」): (虛線表示此概念世界是開放的) 科 學 真 理 概念之認知、記 憶推理等能力 日常生活的 世界觀 以 正統概念 教導 以 正統概念 評定 科學家的 世界觀 概念學習 概念改變 錯誤概念被修正 科學家的概念 (可能仍有錯誤) 繼續追求 (用錯證方 式修正) 錯誤概念仍執著 教 學 前 的 錯 誤 概 念 自 發 性 概 念 圖 2-2-1 迷思概念的概念背景 (鍾聖校，1994)
20 鍾登宏（2004）綜合各種文獻，指出造成迷思概念的可能原因有下列幾點： 1.學生不太了解題意而採找關鍵字策略來解題。例如：題目出現「比…多…」就 用加法（呂玉琴，1997）。 2.不能了解到一個概念的特徵或將之具體化時，學生就容易產生迷思概念（黃幸 美，1997）。 3.由直觀而得(Stavy ＆ Tiros,1996)。 4.部份教師為了讓學生考詴時得到好成績，發展各種應付的偏方，學生則在不自 覺中記憶這些偏方（林福來、黃敏晃，1993）。 5.學生的典範（prototype）排他性會影響學生的概念學習（Baruch ＆Hershkowitz, 1999），例如辨識圖形，如學生認為正方形一定是方方正正，在辨視是否是 正方形的過程，在腦海中浮現的就是正方形一定是方方正正的典範，如果將 正方形斜擺45°時，就不會認為是正方形而認為是菱形，如果一個圖形是符合 定義，但和典範不相同時，學生仍然會無法辨認。 6.Fischbein et al.在1985年曾說受到暗隱模式的影響，學生在解文字題時所判斷適 合的運算符號時，或是一個基本的運算（如乘法或除法）中，而產生迷思概念。 例如乘法的暗隱模式是連加，而造成「乘法會使結果變大」的迷思概念（引自 林原宏、游自達，1994）。 綜合以上內容可知，學生形成迷思概念的原因除了學生本身的直覺認知、先 備知識的缺乏、將某概念過度遷移之外，同儕的文化及教師本身的科學知識或教 學方法不正確或教科的誤導等。而迷思概念有著普遍性及頑固性且不容易為教學 所改變的特性，若能有效分析出學生可能的迷思概念及成因，配合適當的補救教 學活動來促成概念改變，以矯正學生的迷思概念，必能得到不錯的成效，故接下 來針對縮圖、放大圖與比例尺相關的迷思概念進行相關文獻的探討。
21 二、「縮圖、放大圖與比例尺」相關迷思概念 綜合相關文獻，發現學童對「縮圖、放大圖與比例尺」存在著不少的迷思概 念，以下就角度、長度、面積及比例尺部分依序探討其相關迷思概念。 (一)與角度放大和縮小有關之迷思概念，如表2-2-1所示： 表2-2-1 與角度放大和縮小有關之迷思概念文獻歸納表 研究者 內容 陳錦傳 (1995) 1.學童習慣以直覺判斷方式比較角的大小，而較少以輔助工具或 線性測量的方式來作為比較角的大小的解題方式。 2.角的邊長長短不同會造成學童角的大小比較表現的差異。 3.角的方位與角的弧線標示兩因素的交互作用，會影響學童角的 大小比較的表現。 黃金泉 （2002） 1.在角度的比較大小中，學童容易使用「直觀法則」判斷。影響 的原因可能來自於「某角看起來比較大」、「後端開口較大的 角比較大」、「看起來可以疊合，所以一樣大」。 2.國外有些學者發現，學童在角度測量與比較角的大小表現不佳 的原因是學童不瞭解「角的邊長長短」、「角的方位」、「角 的弧線標示位置」三個因素與「角度大小」之間的關係。 賴文正 (2005) 1.學童對角的定義不理解，容易受到角邊的長越長、角弧線越 長、角的邊線越粗，就判定角也越大，這樣的結果顯示學生在 做判斷時，常受到一些不相關的外在特徵所影響，而依循著 More A-More B 的直觀法則做判定， 2.教學時強調「角的定義」概念，有助於學童發展正確的角概念。 吳宜靜 (2005) 1.少數學童仍有圖形放大，角度放大之迷思。 2.學童對於角的縮放，角度不變，能以幾何性質判斷，概念穩固； 少數學童仍受到角的鄰邊長度、涵蓋面積影響，直接認為面積 小的角或鄰邊短的角，其角度就比較小，圖形放大，各部分放 大，角度也會放大。 林美秀 (2009) 1.不瞭解對應角對應的概念；以為對應角是相關位置錯誤對應 角、對應圖的對角、同圖對角。 2.對相似圖對應角大小概念不清；不瞭解縮放後的相似圖所有對 應角大小不變的概念，誤解全部或有些角度大小會跟著縮放 張靜惠 (2011) 1. 不瞭解對應角對應的概念：以為對應角是相關位置錯誤之對 應角、對應圖的對角、同圖的對角。
22 表2-2-1 與角度放大和縮小有關之迷思概念文獻歸納表(續) 研究者 內容 2.不瞭解相似圖對應角大小的概念：放大後的相似圖所有對應角 大小皆不變，誤解全部或有些角度大小會跟著放大。 3.不瞭解相似圖對應角大小的概念：縮小後的相似圖所有對應角 大小皆不變，誤解全部或有些角度大小會跟著縮小。 綜合上述學者的研究，學生在與角度放大和縮小有關的主要迷思概念有： 不瞭解「角的邊長長短」、「角的邊線粗細」、「角的方位」、「角的弧線標示 位置」、「角的涵蓋面積」五個因素與「角度大小」之間的關係。 (二)與長度放大和縮小有關之迷思概念，如表2-2-2所示： 表2-2-2 與長度放大和縮小有關之迷思概念文獻歸納表 研究者 內容 陳光勳 譚寧君 （2001） 學童解決長度有關的比例型測量題時，容易受線性模式的影響。 蔣建中 （2001） 學童會因為物件A能線性縮放的顯著特質，而認為另一特質的物件 B也會跟著做線性縮放，卻忽略了的特質未必具備線性縮放。 鍾登宏 （2004） 雖然長度和面積同屬測量中的概念，但在放大縮小的情境下，其 關係截然不同。學生無法區分何種情境要用線性思考，而都從直 觀想法作答，因此概念混淆不清。 林美秀 (2009) 1.以為原圖邊的長度當成對應邊的長度。 2.以對應邊邊長縮放倍數當對應邊長度。 3.混淆邊長縮放倍數計算方法（誤用二維當成邊長縮放倍數）。 張靜惠 (2011) 1.不瞭解放大圖為原圖之長和寬等比例放大：水帄或垂直方向放 大倍率不一樣。 2.不瞭解放大圖為原圖之長和寬等比例放大：水帄或垂直方向放 大倍率不一樣。
23 綜合上述學者的研究，學生在與長度放大和縮小有關的主要迷思概念為無法 區分何種情境要用線性思考，而都從直觀想法作答，因此概念混淆不清。 (三)與面積放大和縮小有關之迷思概念，如表2-2-3所示： 表2-2-3 與面積放大和縮小有關之迷思概念文獻歸納表 研究者 內容 劉 好 (1997) 圖形擴大與縮小的情況下，邊長的改變是一維的變化概念，面積 的改變是二維的變化概念。學童對於後者瞭解較為困難，必頇透 過直觀的圖形分割才能理解。 陳創義 （2003） 1.單方向的放大縮小當作整個圖形的放大縮小。 2.圖形的放大縮小不包含全等。 3.圖形的放大縮小不容許改變方位或旋轉。 4.放大縮小的比例受面積影響。 5.若圖形沒有相連，子圖形間的距離關係在放大縮小後會被忽略。 吳宜靜 (2005) 1.在圖形擴大與縮小的情況下，邊長的改變是一維的變化概念， 面積的改變是二維的變化概念。學童對於後者瞭解較為困難， 必頇透過直觀的圖形分割才能理解。 2.縮放圖面積的二維改變、周長的一維改變無法掌握，學童對於 縮放圖形面積與邊長的改變情形仍不確定，需要依賴數據假設 推算，甚至一律視為線性比例改變。 林美秀 (2009) 1.誤解面積放大倍數計算方法： (1)用加法當成二維的放大倍數 (2)長度一維倍數當成面積二維放大倍數 (3)(放大後長度)半徑總長度當面積放大倍數 (4)長度一維增加量當成面積二維放大倍數 (5)誤用對應邊長比的差當成面積二維放大倍數 (6)誤用對應邊長比的和當成面積二維放大倍數 (7)以一維放大倍數當成圖形面積 2.誤解面積縮小倍數計算方法： (1)用加法當成二維的縮小倍數 (2)長度一維倍數當成面積二維縮小倍數 (3)(縮小後長度)半徑總長度當面積縮小倍數
24 表2-2-3 與面積放大和縮小有關之迷思概念文獻歸納表(續) 研究者 內容 張靜惠 (2011) 1.誤解放大圖面積的計算方法： (1)長度一維放大倍數乘以原邊長 (2)長度一維放大倍數乘以原面積 (3)二維放大倍數後的面積減原本面積 2.誤解面積放大倍數的計算方法： (1)長度一維倍數當成面積二維放大倍數 (2)長度一維倍數乘以原面積 (3)誤用對應邊長比的和或差當成面積二維放大倍數 (4)將放大圖的面積當成放大倍數 3.誤解縮小圖面積計算方法： (1)長度一維倍數乘以原面積 (2)長度一維倍數乘以原邊長當成縮小倍數的面積 4.誤解面積縮小倍數計算方法： (1)長度一維縮小倍數當成面積二維縮小倍數 (2)長度一維減少量當成面積二維縮小倍數 5.面積公式引用錯誤 6.誤認面積比是縮放倍數比 綜合上述學者的研究，學生在與面積放大和縮小有關的主要迷思概念為不易 了解面積的改變是二維的變化概念，常視為線性比例改變，必頇透過直觀的圖形 分割才能理解。 (四)與比例尺有關之迷思概念，如表2-2-4所示： 表2-2-4 與比例尺有關之迷思概念文獻歸納表 研究者 內容 詹榮鎮 （2003） 1. 藉「比例尺」可畫出一些日常實物的縮圖及計算各種實物和模 型之間大小的比值。「比例尺」在小學數學有提過，但大部份 的學生不清楚，它代表的意義及用途。 2.「比例尺」是指長度比，部份學生以為在地圖上的比例尺是面 積比。 3.比例尺可以幫助我們畫各種縮小圖，及製作各種比例的實物模
25 表 2-2-4 與比例尺有關之迷思概念文獻歸納表(續) 研究者 內容 型，學生在作測量時，都會有誤差，不知要怎樣才能量得準確。 4.將實物長度依比例尺縮小時，學生覺得單位換算及計算都很難。 5.繪製縮小圖於學習時，學生因很少練習，亦覺得困難。 6.迷思概念原因包括先備知識理解不清產生錯誤連結、相類似知 識的造成混淆干擾、缺乏閱讀解釋問題能力以致誤解題意。 吳宜靜 （2005） 學生在縮放圖作圖時，無法依據與原圖不同，與縮放倍率相同比 例。 林美秀 （2009） 1.比例項前後錯置 2.誤解比例尺圖例概念 張靜惠 （2011） 1.誤解比例尺的圖例概念 2.比例尺的比例前後項錯置 綜合上述學者的研究，學生在與比例尺有關的主要迷思概念為先備知識理解 不清產生錯誤連結、相類似知識的造成混淆干擾、缺乏閱讀解釋問題能力以致誤 解題意或不清楚其意義及用途。 其中吳宜靜、林美秀和張靜惠對縮圖、放大圖與比例尺有關的迷思概念都有 完整的研究，由於張靜惠的實驗設計為二階段診斷測驗，診斷學生迷思概念的方 法是更準確的，所以本研究的電腦適性補救教學媒體，主要參考張靜惠的研究結 果來進行設計。學生依線上評量後提供的診斷測驗報告書，針對自己錯誤之處進 行個別化的PPT教學媒體的補救教學。本研究所設計之補救教學媒體依學生所選 擇的錯誤選項來判斷學生的迷思概念為何，提供不同的提示語作為回饋，設法製 造認知衝突，使學生對縮圖、放大圖與比例尺概念有清楚的認識，最後加上練習 題以鞏固學生正確的概念，希望促成學生反思，發現自己的迷思概念，並進一步 加以修正，以期達到有效協助學生學習縮圖、放大圖與比例尺概念的目標。
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第三節 認知衝突於數學教學的相關研究
針對上一節縮圖、放大圖與比例尺之相關迷思概念的探討，本研究所設計之 活動，想要利用製造認知衝突策略之教學來澄清學生的迷思概念，在數學領域中 透過認知衝突策略來澄清迷思概念的教學，大家最為熟知的即為診斷教學理論， 因此本節首先針對診斷教學理論進一步探討，以便了解診斷教學的意義與原則， 從而了解診斷教學實施的步驟，再聚焦為認知衝突策略，希望能作為設計縮圖、 放大圖與比例尺之電腦適性補救教學媒體的依據。 (一)數學診斷教學 國內學者林福來與黃敏晃（1993）認為診斷教學的意義就是主要讓有迷思概 念的學生本身針對原先的概念產生認知衝突，使他進而獲得適當的調適，成為新 的概念結構，其中需要教師在教學中能呈現涵蓋學生迷思概念的問題，以及設計 適當的活動，使學生能在不同的情境或脈絡下，回到當初類似的概念點，並且可 以產生長久、可遷移的瞭解。診斷教學在數學教育界近年來也被認為是改變學生 迷思概念的有效教學策略。而認知衝突在「診斷教學」的相關研究中，佔有相當 重要的地位。 Bell(1993，引自李源順，2002)經過多年的研究之後，提出診斷教學法的 理論特性： 1.呈現的問題活動，要和學生以前的學習經驗相連結。 2.選擇的問題，要涵蓋關鍵的概念和可能的錯誤概念。 3.設計的活動，要能引起有錯誤概念的學生的認知衝突。 4.提供學生正確性的回饋。 5.針對所要化解的衝突徹底討論，並且形成新的整合性知識結構。 6.在所討論的課題內形成關鍵性原則，利用進一步的問題做回饋，以鞏固學生的27 概念。 7.利用彈性的問題，確保不同初始概念了解層次的學生都有適當的挑戰性。 8.在未來的學習過程中，適時重返相同的概念點（包括利用不同的脈絡)，直到 產生持久且可遷移的了解。 林福來（1992）對診斷教學的看法提出的診斷教學原則如下： 1.教學設計之前，不僅要分析欲教的解題方法，同時要詳細描述學童自己發展的 解題策略。 2.教學設計要能凸顯學童自己發展的解題策略的侷限性，使欲教的解法有明顯的 學習動機。 3.教學活動的次序安排，以及從多種解題策略中選取欲教的某種策略，原則上都 要盡量減低學童的工作記憶量。 4.學習過程中，學童要有資源可以自我檢查自己的答案是否正確；即一般所謂的 立即回饋原則。 5.對於學童共同常犯的錯誤，教學設計務頇使學童有機會主動察覺自己錯了，立 即產生認知衝突。 由上述的探討中可發現，診斷教學要從學生已有的知識基礎出發，先使學習 者確定自己的想法及立場，再製造認知衝突的情境，讓學生察覺自身錯誤的概 念，而引發認知上的不帄衡。最後由學習者對原有概念重新思考，並比較新舊概 念的合理性、真實性，做出概念的修正進而得到適當的調適，成為新的概念結構， 由此可見「認知衝突」在概念改變的教學過程中具有相當重要的地位。 李源順與林福來（2000）針對「教師專業發展：教學多元化」的研究中描述 分析出診斷教學策略三步驟的教學方式： 1.診斷迷思概念：首先要診斷出學生在某些概念的錯誤想法或策略。 2.製造認知衝突：針對診斷出的迷思概念，能清楚地讓學生知道自己的做法是不 對的，就能製造學生的認知衝突，才能引起學生認知上的失衡。
28 3.認知調適：針對學生迷思概念製造認知衝突後，所進行的認知調整，教師可透 過討論或學同儕之間的討論，使學生能明瞭自己所犯迷思概念的關鍵處，以 及正確解答問題的關鍵處，才能達到良好的認知調適。 Bell(1993)提出的「利用進一步的問題做回饋，以鞏固洞察的獲得，適時重 返相同的概念點（包括利用不同的情境），直到產生持久和可轉移的了解」，如 能加入整個診斷教學的三個步驟之後，相信可以使整個活動更完整，也更能讓學 生保留所得到的新的概念。因此研究者欲著手進行的診斷教學活動設計與實施流 程共有四個步驟，依序為診斷迷思概念、製造認知衝突、進行認知調適以及提出 類似題檢驗，進行診斷教學， 如圖2-3-1。 (二)認知衝突策略 在前述的診斷教學中可知製造認知衝突是關鍵因素，若能製造好的認知衝 突，學生的概念將由失衡而重組，至於如何製造好的認知衝突，劉曼麗（2005） 提出製造認知衝突的策略有五類，分別是二對一法、反向法、一對多法、引入參 考值法和表徵法。以小數診斷教學為例，如表2-3-1： 表2-3-1 製造認知衝突的策略 (劉曼麗，2005) 策略 圖示 舉例說明 二對一法 1 Q ○1 ○2 2 Q 針對學生回答問題Q 的錯誤答案A，再舉另一問1 題Q ，使其答案也為A，以製造認知衝突。 2 舉例如下（化聚問題） 1 Q ：0.9 是幾個0.01？ A ：9個。 2 Q ：0.09是幾個0.01？（或0.9是幾個0.1？） A ：9個。 診斷迷思概念 製造認知衝突 認知調適 提出類似題檢驗 圖 2-3-1 診斷教學的四個步驟 (Bell,1993) A
29 表 2-3-1 製造認知衝突的策略 (續) 策略 圖示 舉例說明 反向法 1 Q ○1 1 A 2 A ○2 2 Q 針對學生錯誤答案A ，再由1 A 這個答案反問回1 去，得到答案A ，並對照原問題2 Q ，以製造認1 知衝突。 舉例如下（小數與分數的互換問題） 1 Q ： 1000 85 化成小數是多少？ 1 A ：0.85。 2 Q ：0.85 化成分數是多少？ 2 A ： 100 85 。 一對多法 ○1 1 A 1 Q ○2 A 2 ○3 3 A 針對同一問題Q ，同時出現若干答案1 A 、1 A 、2 3 A …，透過學生間的質疑辯證，以製造認知衝 突。 舉例如下（單複名數轉換問題） 1 Q ：1 公尺5 公分是等於幾公尺呢？ 1 A ：15 公尺。 2 A ：1.5 公尺。 3 A ：1.05 公尺。 2 Q ：辯證想法。 引入參考 值法 1 Q ○1 1 A R 2 Q ○2 2 A 針對學生錯誤答案A ，引入一個參考值R讓學1 生比較其答案A 與R，以製造認知衝突。 1 舉例如下（小數與分數的互換問題） 1 Q ：5.3 化成分數是多少？ 1 A ： 5 3 。 2 Q ： 5 3 有沒有比1大？ 2 A ：沒有。 ' 2 Q ：5.3 有沒有比1大？ ' 2 A ：有。 '' 2 Q ： 5 3 比1小，5.3 比1大，5.3 化成分數，答 案有可能是 5 3 ？ '' 2 A ：不可能。
30 表 2-3-1 製造認知衝突的策略 (續) 策略 圖示 舉例說明 表徵法 Q ○1 1 1 A R’ 2 Q ○2 2 A 針對學生錯誤答案A ，引入表徵R’的操作結1 果，來比較答案A ，以製造認知衝突。 1 舉例如下（比大小問題） 1 Q ：0.25 和0.5，誰比較大？ 1 A ：0.25，因為25 比5 大。 2 Q ：這是一張百格板，那0.25張百格板要拿哪 些積木？ 2 A ：2條橘色積木和5個白色積木。 ' 2 Q ：那0.5張百格板呢？ ' 2 A ：5條橘色積木。 '' 2 Q ：誰比較多？ '' 2 A ：0.5比較多。 註：Q ：教師的佈題，i A ：學生的答案，R：參考值，R’：表徵。 i 1 Q ：佈題，Q ：關鍵性問話，用以製造學生的認知衝突。 2 由於縮圖、放大圖與比例尺為幾何單元，上述策略並非每一種都適合採用， 學生主要透過實作與圖像表徵來進行了解。因此本研究主要採用反向法及表徵法 的策略，用圖像的方式來具體呈現，製造學生的認知衝突。說明如下： 1. 反向法：如圖2-3-2、圖2-3-3、圖2-3-4、圖2-3-5、圖2-3-6
下列圖示在地圖中代表的涵義是什麼？
圖上1公分代表實際長度200公分
圖上1公分代表實際長度200公尺
圖上1公分代表實際長度400公尺
圖上1公分代表實際長度400公分
0 200 400 公尺 圖2-3-2 反向法之舉例題目31
圖上1公分代表實際長度200公分
我們根據你的答 案來畫比例尺吧！ 0 200 公分提示
圖2-3-3 反向法之畫面之一 系統先依學生所選擇的答案「圖上1公分代表實際長度200公分」反向將比例 尺畫出來，然後再接著比對原題目中的比例尺，觀察是否相同，如圖2-3-4。圖上1公分代表實際長度200公分
0 200 公分 這個比例尺跟原本 的比例尺代表的意 思一樣嗎？ 0 200 400 公尺提示
圖2-3-4 反向法之畫面之二32 1公分
圖上1公分代表實際長度200公分
0 200 公分 0 200 400 公尺 1公分 這兩個比例尺1公分 代表的距離相同嗎？提示
圖2-3-5 反向法之畫面之三 系統先用第一個提示語「兩個比例尺上的1公分代表的距離相同嗎」，讓學 生去檢驗這兩個比例尺所代表的距離是否相同。 1公分圖上1公分代表實際長度200公分
0 200 公分 0 200 400 公尺 1公分 單位有一樣嗎？提示
圖2-3-6 反向法之畫面之四 系統接著用第二個提示語「單位有一樣嗎」，讓學生去檢驗這兩個比例尺 所使用的單位是否相同，進而察覺自己想法上的錯誤，產生認知衝突。33 2.表徵法：如圖2-3-7、圖2-3-8
右圖是左圖的縮圖，請找出
邊AC和邊DE的比。
1：2 2：1 5：3 3：2 10公分 分 4公分 A B C 6公分 2公分 D E F 廣任：左圖是右 圖的2倍放大圖， 所以是1：2 下一頁 圖2-3-7 表徵法之舉例題目先來看看廣任的想法是正確的嗎？
• 先找出邊AC和邊DE • 發現了嗎？邊AC比較長，所以不是1：2喔 10公分 分 4公分 A B C 6公分 2公分 D E F 廣任：左圖是右 圖的2倍放大圖， 所以是1：2 下一頁 圖2-3-8 表徵法之畫面 系統針對學生的錯誤答案，以圖例方式讓學生發現其想法錯誤之處，進而產 生認知衝突。 由上述的探討中可知：在進行診斷教學前要蒐集學童相關的解題策略、迷思34 概念，並設計恰當的活動，活動要能引起學生的學習動機，在進行的過程中要能 給予學童立即的回饋，並讓學童能主動察覺而真正產生認知衝突，最後再提供不 同的情境，讓學生的正確概念能更加穩固。
