解題能力之內涵與相關研究

一、國外有關數學解題歷程之相關研究

一九八○年美國數學教師協會（NCTM）出版《行動綱領》（Agenda for Action），指出解題必須是學校數學教育的重心。一九八九年 NCTM 的學 校數學科課程與評鑑標準（curriculum and Evaluation standardrs for school Mathematics）(NCTM, 1989)再次強調數學即是解題、溝通和推理。NCTM 於 2000 年出版的《學校數學的原則和標準》(NCTM, 2000)說明數學教學 除了數學的知識的標準外，也包含解題、推理證明、溝通、連結、表徵等 數學能力的標準。同時也提出了解性教學和學習原則，強調了解性的學習 是必要的，可以使學生能夠解決將來必然會遇到的新問題。楊德清（2002）

認為數字常識是一種概念，亦是多種能力的組合；當學習者能夠將新訊息 與先前所獲得的經驗做邏輯性的連結，進而驅使學習者有形成這種連結的 能力（McIntosh, Reys, & Reys, 1992; Reys, 1994），這種可以將數學知識的 理解轉化與應用於解決問題中，此即為解題能力。Kilpatrick (1967）更以 下列三個不同觀點來敘述數學解題的意義（引自涂金堂，1995）﹕

1.從心理學層面而言，數學解題為「人為達成某種目的（情境）而做 的一些活動。

2.從社會-人類學的層面而言，數學問題是老師給學生的一項任務，在 此任務中，師生雙方根據自己所關注的焦點，而相互解釋對方的行 動和意圖，即是從自我觀點出發來解釋對方的行為。

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3.從數學的及數學教學的層面言之，數學問題是數學建構的泉源及數 學教學的工具，亦即透過數學解題的教學，學生便可從中建構自己 的數學知識。所以，數學解題也可說是讓學生搭起數學鷹架的重要 工具。

因此，數學解題的意義即為

在解題者面對問題時，因無法立即 由記憶中檢索出解答，而必須統合運用以往的數學先備知識、原理、

原則或方法，來產生策略與獲得解答的心理歷程。有關國外數學解題 歷程相關之研究，分述如下:

(一) Dewey (1910)談到「問題解決」的五個步驟為：

1. 暸解一個問題的存在─一種困難、挫折、興奮和懷疑的感覺。

2. 辨別問題─澄清問題、定義問題，包括指定目標、辨認被問題難 住之情境。

3. 使用先前的經驗，如相關資料，原先的解答，公式假設的概念以 及問題解決計畫的觀念。

4. 先試看看，再持續的思考，進而提出假設或可能的解答，甚至將 問題改變成其它型式。

5. 評估、解答，並在解題過程中定出結論。

(二) Polya (1957)強調解題的重要性，將解題過程歸納為四個階段：

1. 了解問題－必須清楚知道要尋找的解答是什麼，了解問題裡存在 的各個關係。

2. 擬定計畫－依據第一階段，構思或擬定出求得解答的計畫。

3. 執行計畫－確實檢查每一個步驟，動手來執行計畫，例如數學計

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算。

4. 驗算與回顧－最後回顧整個解答過程，驗算答案、探索問題或事 物之間關聯。

(三) Krulik 和 Rudnick (1984，1987)指示解題是一個過程，就是個體 利用先前所獲得的知識、技能及所理解的事物去滿足對於一個未知情境的 要求，其流程為：

1. 閱讀與思考－問題被轉化成讀者瞭解的語言，各部門搭起連結的 橋樑，思考後開始分析問題，檢視與評估事實真相。

2. 探索與計畫－問題解決者分析資料並判斷是否有足夠的資訊，發 展找出答案的計畫。

3. 選擇策略－依據前兩階段而選定，廣泛使用的策略可歸類區分為 八種：認識樣式、逆推法、推測與驗證、試驗與模擬、簡化╱變 形、有組織的列表╱詳盡的列表、邏輯演繹、分割與克服。

4. 找出答案－應用合適的數學技巧找出答案。

5. 反省與擴展－檢查答案的正確性，找尋和討論替代的解法，將過 程擴展到能發現問題中所歸納出的數學概念。

(四) Schonfeld (1985)相信解題過程就像故事情節一樣，按照閱讀階段

（reading）、分析歷程（analysis）、探究過程（exploration）、計劃階段

（planning）、施行階段（implementation）、驗證階段（verification）

(五) Garofalo和Lester (1985)解題體制包括四個範疇：

1. 定向（orientation）：解題者需評估並了解問題。

2. 組織（organization）：解題者需擬定解題計畫並選擇解題策略。

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3. 執行（execution）：解題者必須監控自己的解題行為並配合計畫。

4. 驗証（verification）：解題者必須評鑑前三項歷程是否正確。

(六) Mayer (1992)從認知取向的觀點，將解數學問題分為「問題表徵」

（problem representation）和「問題解決」（problem solving）兩個階段，

需要「問題轉譯」、「問題整合」、「解題計畫及監控」和「解題執行」

等四個成分，以下將各階段、解題成分加以說明：

1. 問 題 轉 譯 － 問 題 轉 譯 是 指 將 每 一 個 陳 述 句 轉 譯 為 內 在 表 徵

（internal representation）之處理階段。在轉譯的過程中，必須了 解句子的意義（也就是「語文知識」），也需要知道某些事實，

也就是需要「語意知識」之輔助。

2. 問題整合－問題整合是指將問題的每個陳述句整合成連貫一致的 問題表徵之處理過程，以決定解答問題所需的資料。為了要瞭解 及整合問題，必須能有某些相關問題類型的知識背景（也就是「基 模知識」）。以便在問題整合同時，能夠區分哪些資料是與解答 有關，哪些資料是與解答無關。

3. 解題計畫及監控－解題計畫及監控是指能夠以「數字語句」或「方 程式」或「必須的運算列式」來表示問題，是數學解題上頗具決 定性的因素。解題計畫歷程是屬於「問題解決」階段之「解題計 畫及監控」步驟，需要用到「策略性知識」，包括以「數字語句」

或「方程式」或「必須的運算列式」來表示問題、建立次目標、

下結論等。

4. 解題執行－解題執行是指已了解問題本質，而且也擬出解題計畫 及監控細節，準備以正確和有效方式去執行計畫。解題執行要能 夠應用算術法則及代數程序，以「程序性知識」和「策略性知識」

為背景，執行加減乘除運算或解代數式的過程。

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以下，研究者以林清山譯（2004），簡單整理說明 Mayer (1992)的數 學解題階段、成分、知識類型，說明如表 2-2-1 所示。

資料來源：林清山譯（2004）。教育心理學：認知取向（頁 390-418）。

二、國內有關 Mayer 數學解題之研究

以下，茲陳述國內有關數學解題的相關研究：

(一) 林珮如（2002）「國小學童因數解題與迷思概念之研究」：以質 的研究為主，依據Mayer (1992)及Brainbridge (1981)解題理論和直觀法則理

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論基礎，依自編的因數迷思概念診斷工具分析歸納學童在因數方面的解題 策略，探討學童的因數迷思概念和成因。

(二) 吳雅琪（2004）「電腦融入解題策略教學對國小數學學習困難學 生解題成效之研究」：參考Mayer (1992)的解題歷程提出解題策略包括六步 驟：唸題目、理解題意、畫圖表示、列出算式、計算和檢查，探討電腦融 入解題策略教學，對於增進國小數學學習困難學生一步驟基本加減乘除法 文字題的解題成效，以及對解題歷程錯誤與解題態度的影響。

(三) 陳桂英（2005）「數學乘法應用問題類型解題歷程之研究~以國 小二年級學童為例~」：探討數學乘法應用問題類型解題歷程。並依據Mayer (1992)的解題理論為基礎：問題轉譯、問題整合、解題計畫與監控、解題 執行四個歷程。

(四) 黃于真（2005）「國小四年級數學低成就學生除法解題歷程與補 教教學之研究」：研究者參考Mayer (1992)之解題理論，探討數學低成就學 生除法解題歷程中錯誤概念，做為補救教學之參考，並探討補救教學成 效。

(五) 陳國雄（2006）「國小四年級學童整數四則運算問題的解題策略 與錯誤類型之研究」：以Mayer (1992)的解題理論為基礎，探討國小四年級 學童整數四則運算問題的解題表現、策略及錯誤類型與原因。

(六) 鄭惠萍（2007）「國小三年級學童在比較型加減文字題的解題表 現及錯誤類型之研究~以屏東地區為例」：將比較型加減文字題分成六種題 型，並以Mayer (1992)的理論為基礎，分析三年級學童在比較型加減文字 題的解題表現和錯誤類型，並探討母親國籍和題型兩個因素對解題表現的

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影響。

(七) 莊其臻（2008）「電腦圖示表徵教學對國中學習障礙學生數學文 字題解題學習成效之研究」：研究參考Mayer (1992)的文字解題歷程的解題 策略，包括五步驟：唸題目、理解題意、畫圖表示、列出算式、計算，並 探討電腦圖示表徵教學對國中學習障礙學生的乘除法文字題解題（等組題 型與矩形題型）的學習成效，和其解題歷程錯誤分析與學習態度的評估。

(八) 楊招謨（2008）「數學低成就學生除法解題錯誤類型分析及補救 教學效果之研究」：以Mayer (1992)之解題理論，探討數學低成就學生除法 文字題之解題歷程，分析其解題錯誤類型，並依據錯誤類型設計與進行結 合模式補救教學，探討結合模式補救教學對除法能力之影響。

(九) 謝旻虔（2009）「國小四年級學童解乘除文字題表現之研究」：

以Mayer (1992)的解題理論及Greer (1992)的乘除情境分類來探討學童解9 種單步驟乘、除文字題時的正確率，及產生的錯誤類型，並以試題關聯結 構分析法（IRS）進行分析，以瞭解學童解題的知識結構。

(十) 楊玉如（2010）「電腦輔助教學對國小數學低成就學生加減法文 字題解題成效之研究」：參考Mayer (1992)的解題歷程提出解題策略，以自 編電腦輔助教學軟體進行解題教學，並透過視覺分析、C統計、評分者信 度等方式進行資料分析，探討電腦輔助教學對國小數學低成就學生加減法 文字題解題能力的成效。

(十一) Wu和Ma (2010, 2010a, 2010b, 2011)使用Grey Model (GM)分 析問題解決能力測驗工具，A、B測驗工具題目各有10題，其工具的編製是 依據Mayer (1992)解題步驟（二階段、四成分）所設計。研究結果顯示使

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用GM確實可以分析解題能力測驗工具的難易。

(十二) Ma和Wu (2012)利用Grey Relational Analysis (GRA)分析多元 表徵圖形樣式的代數推理測驗，其測驗題目依據Mayer (1992)解題步驟設 計，結果發現題目為5n形式最簡單。Ma和Wu也推測非線性圖形樣式較困 難的原因之一可能是：非線性圖形樣式較少出現在教科書或日常生活中。

從學生發展的問題中也可反應學生的認知結構，馬秀蘭（2007）修改 Mayer(1992)的解題知識成「發展乘除問題知識」，她指出針對乘除法算式，

學生必須具有以下四種知識才能成功的發展問題：

（一）策略性知識：檢視列式一些程序的知識，如直接檢視列式、或 改變運算列式、或制定子目標。

（二）基模知識：考量到以哪一種情境物件或結構類型去發展問題的

（二）基模知識：考量到以哪一種情境物件或結構類型去發展問題的