電算器影響國小六年級學生計算能力與解題能力之實驗研究

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(1)國立臺中教育大學數學教育學系碩士班碩士論文. 指導教授：. 吳德邦博士陳彥廷博士. 電算器影響國小六年級學生計算能力與解題能力之實驗研究. 研究生：陳勝裕撰. 中華民國 104 年 6 月.

(2) 謝誌時光飛逝，兩年的研究所課程即將劃下句點。因為研究所的課程，讓我重拾書本，再次回到校園，重溫當學生的感覺。只是這次無法單純當個全職學生，必須事業、學業兩邊忙，忙碌的程度當然不是三言兩語就能說盡，雖然辛苦但也十分充實。在論文即將定稿與畢業之際，心情錯綜複雜，但內心卻是充滿感恩。首先，感謝指導教授吳德邦老師在研究所期間及論文寫作過程中給我的指導。您就像家人一樣的鼓勵我，每當我遇到困難或不解之處，您總是能夠適時提供寶貴意見，解開我心中的疑惑，更讓我對您的專業與敬業深感敬佩。也因為有您的提醒與督促，我的研討會論文才能順利完成，學位論文亦有雛型、漸漸修改完備。其次要感謝陳彥廷教授，有您的共同指導，讓我省思到許多不同的層次的問題，除了研討會論文的口頭報告得以順利圓滿外，在處理論文細節上亦更周延。同時，也要感謝口試委員任慶儀教授，因為您不吝提供國科會計畫資料讓我參與研究，以及在論文寫作上給我的協助，更讓我永銘在心。感謝口試委員馬秀蘭教授您國科會研究計畫發展出的解題評量工具，在我研討會論文及學位論文中都是不可或缺的元素。當然也要特別感謝口試委員柳賢教授、馬秀蘭教授、任慶儀教授於百忙之中撥空審閱論文，提供諸多寶貴意見，使的論文更臻完備與周延。同時也要感謝碩士班林原宏教授及黃馨儀老師在統計與評量測驗上給我的諸多指導，感謝我補習班的同仁芝菁、詩霈、鈺臻、旻瑜、奇珊、振豪、惟馨、子芸及玟如，因為您們堅持在工作崗位上，讓我研究所二年的求學生涯在事業上無後顧之憂。更感謝默默支持我的家人秀瓔、映汝及我的爸爸及二姊、小弟，家人的關心永遠是我堅持下去的動力。最後，感謝所有曾經幫助我、鼓勵我、激勵我的朋友們。謝謝您們! 因為有您們，我才得以有此成果，願您們與我共同分享這成果、喜悅!. 陳勝裕謹誌於臺中教育大學 104.07.

(3) 摘要本研究目的在探討以「電算器融入國小數學課程」對國小六年級學生計算能力與解題能力之影響。本研究採立意取樣方式，挑選台中市某國小六年級學生共 2 班，分為實驗組與對照組。實驗組 27 人，進行電算器融入數學課程解題活動；對照組 29 人，則依傳統教學方式以紙筆進行解題，全部樣本數為 56 人。教學實驗前後為期四週共 10 節課程。所蒐集的資料包含「生活情境的數學解題能力測驗」及「國小高年級學生計算能力測驗」前後測紙本資料、學習單、教學過程拍照及攝影等。收集的資料利用 IBM SPSS Statistics 20 和 R Studio 統計軟體進行獨立樣本 t 檢定、單因子共變數分析（ANCOVA）及單因子變異數分析（ANOVA），結果發現：一、實驗組與對照組在「國小高年級計算能力測驗」及「生活情境的數學解題能力測驗」的前測成績以獨立樣本 t 檢定考驗結果為，計算能力測驗 F=.002, p＞.05，解題能力測驗 F=1.064, p＞.05 均未達顯著，表示兩組學生在實驗教學前其計算能力與解題能力是沒有差異的。二、在實驗教學後，實驗組與對照組進行計算能力前、後測共變數分析發現，Levene 的變異數同質性檢定 F=8.01, p＞.001 未達顯著。組間效果考驗 F=1.80, p＞.05 亦未達顯著水準。但以試題答對率提升之幅度來看，實驗組提升 10.18%則高於對照組的 9.26%。顯示實驗組學生在使用電算器學習數學後，計算能力有提升之效果。三、針對實驗組與對照組之解題能力前、後測進行共變數分析發現， Levene 的變異數同質性檢定 F=.004, p＞.001 未達顯著。組間效果考驗 F=6.14, p＜.05 達顯著水準，表示將電算器融入數學課程學習後，實驗組和對照組二組學生的解題能力是有顯著差異。 I.

(4) 四、以單因子變異數分析之方式來考驗實驗組不同背景變項之男女生群及不同計算能力的高中低分群在計算能力前、後測的得分發現，組間效果考驗男女生群未達顯著水準，不同計算能力的高中低分群亦未達顯著水準，表示經過實驗教學實驗組男女生及不同計算能力的高中低分群之間，其計算能力並無顯著差異。五、針對實驗組不同解題能力的高中低分群學生進行前、後測單因子變異數分析發現，Levene 的變異數同質性檢定 F=.912, p＞.001 未達顯著。組間效果考驗及單變量檢定 F=4.789, p <.05 達顯著水準，表示利用電算器學習數學是會影響到各分群間學生的解題能力。事後 LSD 的多重比較檢驗結果亦達顯著水準，且效果量（η2 ）=.29 為高度關聯強度，顯示各分群學生受電算器而影響解. 題能力的關聯性頗高，其中又以高分群顯著較中分群與低分群的學生影響較多。六、針對實驗組男女生群進行解題能力前、後測單因子變異數分析發現，Levene 的變異數同質性檢定 F=.281, p＞.001 未達顯著。組間效果考驗及單變量檢定 F=.048, p＞.05 未達顯著水準，表示經過實驗教學實驗組男女生之間的解題能力並無顯著差異。本研究建議課程制定者在課綱編製時，應在課程中審慎規劃各分年細目中可以使用電算器活動之單元，並在教學適當時機，規劃使用電算器的活動，讓電算器真正融入數學課程活動中，以提升學生計算及解題能力。. 關鍵字：計算能力、國小數學、電算器、解題能力、實驗研究. II.

(5) An experimental study of sixth grade students of calculating and problem-solving ability by using calculator. Summary The purpose of this research aimed at studying effects of integrating calculators into mathematics curriculum on calculation and problem solving abilities of the sixth graders. By purposive sampling, 56 subjects were selected from the 6th graders (2 classes) in an elementary school in Taichung, Taiwan. The experimental group (27 subjects) used calculators and the comparison group (29 subjects) used traditional paper-and-pencil method to solve mathematic problems. Both groups took 10 class sessions in four weeks and paper-and-pencil posttests at the end of the experiment. Data was collected from both pretests and posttests of Life-situation Mathematics Problem Solving Test, Calculation Test for Senior Graders of Elementary Schools, and working sheet. Data was analyzed by the SPSS Statistics 20 and R Studio for independent t test, ANOVA and ANCOVA. The results were: 1 、 The pretests of Calculation Test F=.002, p ＞ .05, the pretests of Life-SituationProblem-Solving Test F=1.064, p ＞ .05.The analysis of independent t test showed no significant differences in the pretests of Life-Situation Problem-Solving Test and Calculation Test between the experimental and comparison groups. 2、The analysis of ANCOVA showed homogeneity of variance existed between the experimental and comparison groups in the pretest and posttest of calculation (F=8.01, p ＞ .001). The post-hoc comparison showed no significant difference in calculation between these two groups (F = 1.80, p ＞.05). However, the passing rate of the calculation posttest for the experimental group was elevated to 10.18%, which was higher than that of the comparison group (9.26%). After the experimental group used calculators, it showed a positive impact on student calculation ability. 3、The analysis of ANCOVA showed homogeneity of variance existed between III.

(6) the experimental and comparison groups in the pretest and posttest of the problem-solving (F=.004, p＞.001). The post-hoc comparison showed no significant difference in problem-solving between these two groups (F = 6.14, p＜.05). It indicated that using calculator had most significantly positive impact on students of problem-solving ability, respectively.. 4、The one-way ANOVA showed homogeneity of variance existed in calculation between male and female students in the experimental group and students of high, medium and low on their calculation ability. It indicated negative impact on student calculation ability.. 5. The one-way ANOVA showed homogeneity of variance existed in problem-solving among different problem-solving ability groups (high, medium, and low) in the experimental group (F= .912, p＞.001). The post-hoc analysis showed a significant difference in problem-solving among different ability groups of the experimental group (F= 4.789, p＜.05). It indicated that using calculator had most significantly positive impact on students of high, medium and low problem-solving ability, respectively. Also , it presented much more significantly positive impact on on students of high than those of high, medium.. 6. The one-way ANOVA showed homogeneity of variance existed in problem-solving among male and female students in the experimental group (F= .281, p＞.001). The post-hoc analysis showed no significant difference in problem-solving between female and male students of the experimental group (F= .048, p＞.05). It indicated that using calculator did not impact male and female students on their problem-solving ability. This research suggests that mathematics curriculum developers should consider using the calculators into mathematics curriculum activities in order to enhance students'calculation and problem-solving ability. It can be conducted better with well planned schedules through the elementary school years. Keywords: calculation、primary mathematics、calculator、problem-solving IV.

(7) 目. 錄. ……………………………………………………………………………………………………………. I. Summary ……………………………………………………………………………………………………... III. …………………………………………………………………………………………………………….. V. 摘要. 目錄. 圖目錄. ………………………………………………………………………………………………………. VIII. 表目錄. ………………………………………………………………………………………………………. IX. 第一章緒論 …………………………………………………………………………………………….. 1. …………………………………………………………………. 1. 第二節研究目的. ……………………………………………………………………….……. 5. 第三節名詞解釋. …………………………………………………………………….………. 6. 第四節研究限制. ……………………………………………………………….……………. 8. ……………………………………………………………………..………………. 9. ………………….……………………. 9. ………………………….…………………. 16. ………………………………. 25. ……………………………..……………………………..………….……………. 31. ………..……………………………..……….………………. 31. 第二節研究假設. ………..……………………………..……………………..……………. 35. 第三節研究對象. ………..……………………………..……………………..……………. 35. 第四節研究工具. ………..……………………………..……………………..……………. 36. 第五節實施程序. ………..……………………………..……………………..……………. 44. 第六節資料處理. ………..……………………………..…………………………………... 48. 第一節研究背景與動機. 第二章文獻探討. 第一節電算器與數學教育之相關研究第二節解題能力之內涵與相關研究. 第三節電算器融入教學課程之實徵研究第三章研究方法. 第一節研究架構與方法. V.

(8) ………..……………………………..………………………………. 51. 第一節電算器融入數學課程學習前、後，學生計算能力之分析. …. 51. 第二節電算器融入數學課程學習前、後，學生計算能力之分析. …. 60. 第三節不同背景變項之實驗組學生計算能力差異分析. ………….. 77. 第四節不同背景變項之實驗組學生解題能力差異分析. ………….. 84. ………..……………………………..…………………………………………….. 91. ………..……………………………..………………………. 91. ………..……………………………..…………………………………………….. 97. ………..……………………………..………………………………………………………….. 99. 中文部分. ………..……………………………..……………………………………………………. 99. 英文部分. ………..……………………………..…………………………………………………… 104. 第四章研究結果與討論. 第五章結論與建. 第一節研究發現與結論第二節建議參考文獻. ………..……………………………..………………………………………………………….. 113. 附錄一：自編「國小高年級學生計算能力測驗」預試試題. …….. 113. 附錄二：自編「國小高年級學生計算能力測驗」前測試題. …….. 116. 附錄三：自編「國小高年級學生計算能力測驗」後測試. …….. 119. 附錄. 附錄四：「生活情境的數學解題能力測驗」評量工具前測試題. ……... 122. 附錄五：「生活情境的數學解題能力測驗」評量工具後測試題. ……... 133. ………………………………………………………. 144. 附錄六：【專家效度檢核表】. 附錄七：教案資料(一) ………………………………………………………………………. 145. 附錄八：教案資料(二) ………………………………………………………………………. 149. 附錄九：教案資料(三) ………………………………………………………………………. 153. 附錄十：教案資料(四) ………………………………………………………………………. 157. 附錄十一：教案資料(五) …………………………………………………………………. 161. VI.

(9) 附錄十二：學習單(一) ………………………………………………………………………. 163. 附錄十三：學習單(二) ………………………………………………………………………. 164. 附錄十四：學習單(三) ………………………………………………………………………. 165. 附錄十五：研究生學位論文所蒐集資料授權確認書 …………………… 167 指導教授簡歷作者簡歷. ………………………………………………………………………………………….. 168. …………………………………………………………………………………………………… 169. VII.

(10) 圖目錄圖 1-3. TI-15 型電算器 ……………………………………………………………………………… 6. 圖 3-1-1. 研究架構圖. ………………………………………………………………………………. 33. 圖 3-5-1. 研究流程. ………………………………………………………………………………. 45. 圖 3-5-2. 實驗教學現場照片 1 ………………………………………………………………… 48. 圖 3-5-3. 實驗教學現場照片 2 ………………………………………………………………… 48. 圖 4-2-1. 6 甲試題特徵曲線圖 ………………………………………………………………… 70. 圖 4-2-2. 4 丙試題特徵曲線圖 ………………………………………………………………… 71. 圖 4-2-3. 2 甲試題特徵曲線圖 ………………………………………………………………… 72. 圖 4-2-4. 10 丙試題特徵曲線圖 ……………………………………………………………… 74. 圖 4-2-5. 10 丁試題特徵曲線圖 ……………………………………………………………… 75. 圖 4-2-6. 8 丙試題特徵曲線圖. ………………………………………………………………. VIII. 76.

(11) 表目錄 …………………………………………………… 20. 表 2-2-1 Mayer 的數學解題成分說明. 表 3-1-1 不等組前後測實驗設計 …………………………………………………………… 34 表 3-3-1 研究對象之人數統計表 …………………………………………………………….. 36 表 3-4-1「國小高年級學生計算能力測驗」分年細目對照表 …………….. 38 表 3-4-2「生活情境的數學解題能力測驗卷」分年細目對照表 ……………….. 41 表 4-1-1 實驗組和對照組整體在計算能力前測、後測之平均得分. ……….. 52. 表 4-1-2 實驗組和對照組計算能力前測成績的獨立樣本 t 檢定 ………………. 53 表 4-1-3 實驗組和對照組在計算能力後測之敘述統計 ………………………. 53 表 4-1-4 實驗組和對照組計算能力後測誤差變異量之檢定摘要 …………….. 53 表 4-1-5 實驗組和對照組調整後之後測計算能力估計值 ………………………… 54 表 4-1-6 實驗組和對照組之計算能力效應項的分析檢定摘要 ………………….. 54. 表 4-1-7 實驗組和對照組在計算能力後測成對比較 …………………………… 55 表 4-1-8 實驗組和對照組在計算能力後測單變量檢定 ………………………. 55 表 4-1-9 「國小高年級學生計算能力測驗」整體答對率彙整表 …………….. 56 表 4-2-1 實驗組和對照組數學解題能力前測、後測的平均得分 …………….. 61 表 4-2-2「生活情境的數學解題能力測驗」前測獨立樣本 t 檢定 …………….. 61 表 4-2-3 實驗組和對照組在解題能力後測之敘述統計 ………………………. 62 表 4-2-4 實驗組和對照組解題能力後測誤差變異量之檢定摘要 …………….. 62 ………………….. 62. 表 4-2-6 實驗組和對照組之解題能力效應項的分析檢定摘要 ………………….. 63. 表 4-2-5 實驗組和對照組調整後之後測解題能力估計值. 表 4-2-7「生活情境的數學解題能力測驗」全部答對率彙整表 ……………….. 64 IX.

(12) 表 4-2-8「生活情境的數學解題能力測驗」前測答對率彙整表 ……………….. 65 表 4-2-9「生活情境的數學解題能力測驗」後測答對率彙整表 ……………….. 66 表 4-2-10 試題反應理論「生活情境數學解題能力測驗」結果彙整表 …….. 68 表 4-3-1 實驗組高中低分群在計算能力前測、後測之平均得分 ………. 77. ………………….. 78. 表 4-3-2 實驗組高中低分群在計算能力後測之敘述統計. 表 4-3-3 實驗組高中低分群在計算能力後測之估計值 ………………………. 78 表 4-3-4 實驗組高中低分群計算能力後測誤差變異量檢定摘要 …………….. 79 表 4-3-5 實驗組高中低分群在計算能力後測受試者間效應項檢定 …. 79 …………… 79. 表 4-3-6 實驗組高中低分群在計算能力後測之單變量檢定表 4-3-7 實驗組高中低分群在計算能力後測之成對比較. ……………….. 80 …………….. 81. 表 4-3-9 實驗組男女生群在計算能力前測、後測之平均得分 ……………. 81. 表 4-3-10 實驗組男女生群在計算能力後測之單因子異數分析 ………. 81. 表 4-3-8 全體男女生群在計算能力前測、後測之平均得分. 表 4-3-11 實驗組男女生群在計算能力後測之敘述統計 …………………….. 82 表 4-3-12 男女生群在計算能力後測之估計值 ……………………….……………… 82 表 4-3-13 男女生群在計算能力後測成對比較 ………………………………..…….. 82. 表 4-3-14 男女生群在計算能力後測受試者間效應項檢定 …………………. 83. 表 4-3-15 男女生群在計算能力後測單變量檢定 ………………..………………. 83 表 4-4-1 實驗組高中低分群在解題能力前測、後測之平均得分. ……... 84. 表 4-4-2 實驗組高中低分群在解題能力測驗後測之敘述統計. ……….. 85. 表 4-4-3 實驗組高中低分群解題能力測驗後測誤差變異量檢定摘. …………. 85. 表 4-4-4 實驗組高中低分群在解題能力測驗後測之估計值. …………. 85. 表 4-4-5 實驗組高中低分群解題能力測驗後測受試者間效應項檢定 …….. 86 X.

(13) …………. 86. 表 4-4-7 實驗組高中低分群在解題能力測驗後測之單變量檢定 ………. 87. 表 4-4-6 實驗組高中低分群在解題能力測驗後測之成對比較. 表 4-4-8 全體男女生群在解題能力前測、後測之平均得分 ………………. 88 表 4-4-9 實驗組男女生群在解題能力測驗後測之平均得分 ……………….. 88 表 4-4-10 實驗組男女生群在解題能力測驗後測之敘述統計 …………….. 88 表 4-4-11 男女生群解題能力測驗後測誤差變異量檢定摘要 …………….. 89 表 4-4-12 男女生群在解題能力測驗後測之估計值 …………………………….. 89 表 4-4-13 男女生群解題能力測驗後測受試者間效應項檢定 …………….. 89 表 4-4-14 男女生群在解題能力測驗後測之成對比較 ………………………… 90 表 4-4-15 男女生群在解題能力測驗後測之單變量檢定 ……………………. 90. XI.

(14) XII.

(15) 第一章緒論本章共分三節：第一節為研究背景與動機，說明為何和如何進行本研究；第二節為研究目的與待答問題，說明本研究所欲探究的問題；第三節為本研究之限制；第四節為名詞釋義，針對本研究之相關名詞加以界定。. 第一節研究背景與動機 1998 年聯合國教科文組織在國際教育會議中宣佈「學習的四個支柱」，作為各國政府努力的教育目標，以面對未來學習的改變（許芳菊，2006）。歐盟會議也於 2001 年提出學習的八大「關鍵能力」相互呼應，其中包含「運用數學與科學的基本能力」以及「數位學習的能力」這兩項能力。澳洲政府也提出七項更具體的「關鍵能力」作為回應，其中包括「應用數學概念與技巧的能力」、「解決問題的能力」以及「應用科技的能力」。從各國宣布教育的新主軸中，可以看見新世代中數學學習的觀點。因此，除了傳統上學習數學知識與概念外，這些「關鍵能力」也啟示了數學教育應該更重視運用數學的概念與能力，並且以解決問題作為學習的主要任務。所以應用科技於數學學習與評量測驗中，以提升學生數學與科學的基本能力，甚至是在課程中加諸電算器的使用，一直是許多數學學術專業組織努力推行的工作（任慶儀，2013）。美國國家數學教師協會（ The National Council of Teachers of Mathematics, NCTM）長期關注在數學教育中融入科技的發展，包括未來數學測驗的電腦化以及在數學學習中使用電算器。此種觀點與上述「關鍵能力」的呼籲不謀而合。NCTM 的科技諮詢委員會（the Technology Advisory Committee）在探討州政府層級的政策現況對電算器與電腦對數學教學的影響與困難時，發現只有 40%的州政府鼓勵教師在數學教學以及測驗中使用 1.

(16) 電算器（Kansky, 1987）。在 NCTM 的主張中，它希望透過立法，讓學生在州立的測驗中使用電算器，不僅如此，它還鼓勵在數學的教學與測驗中使用電算器。由於電算器的取得非常便利，NCTM 認為它將會影響 K-12 的數學評量。另外，NCTM 更進一步建議應修改數學教師的檢核標準，以保證教師能具備使用電腦與電算器的教學能力。美國國家教育進步評量（National Assessment of Educational Progress, NAEP, 1992）也在 1990 所舉辦的數學測驗中，讓公私立學校中的四、八、十二年級的學生使用電算器，以及在八年級公立學校的學生進行州立評量測驗中使用電算器。美國國家科學基金會（the National Science Foundation, NSF, 1991）甚至特別資助對電算器發展的課程計劃（Calculators and Mathematics Project），甚至出版 CAMP-LA, Book1-3 作為推行電算器於課程中的教材書籍。而 Ruthren 與 Chaplin (1997)直指電算器在數學的使用上不僅是驗算的工具，更是一種認知的工具（cognitive tool），因其可以擴大、重組思考的系統，特別有利於問題表徵以及解決策略，可見，電算器與解決問題的關係密切。Lochhead (1988)認為，數學課程與教學的發展需要更科學化、結構化的方式，其中也包含使用電算器。所以電算器在國外數學教育中所扮演的角色，不僅是學習的工具，也是學生在數學評量與測驗中所使用的工具，更已深入到課程的層次（任慶儀，2013）。而反觀我國 2007 年的新課程中，雖然於課程(總)目標中直指「8.運用科技與資訊的能力」為其重要十項能力之一。但是，在數學領域中，不論是能力指標亦或是分年細目均缺乏對於科技(不論是電腦或電算器)的融入提出建議或是說明。僅在「實施要點」中，提及「在學生學會基本四則運算與估算後，學生面對問題時，應逐漸養成從問題研判適當計算精確度的能力。當此能力成熟，就可慢慢引入計算的輔助工具，以協助解題。」，同時也提出警語：「(2)學生應明白，電算器或電腦固然可以用來減低計算上的負擔，但是仍然有各種錯誤的可能，因此仍然要有好的計算、估算甚 2.

(17) 至檢查策略，來驗證計算結果的合理性。」（教育部，2007）。可見在九年一貫 97 課綱中仍然對電算器或是其他科技的使用還是存有相當的疑慮。此種疑慮也直接或間接導致教師與家長對學生使用電算器產生反對的態度，對於推動數學學習科技化產生莫大的阻礙。然而，國內許多學者研究指出，利用電算器進行數學輔助教學或是補救教學，均得到正向的結果（楊德清，2000；劉祥通、吳美蓉、翁宜青， 2002；林勇吉、楊德清，2003；楊德清、陳育聖，2004；姜淑珍、蔡鳳秋、楊德清，2005）。可見，使用電算器對於數學概念的建立與轉化，或是對學習數學有困難的學生進行補救教學，均有其正面的效果。而從以上的研究結果發現，這些接受使用電算器學習數學的學生並沒有因此而弱化其計算能力，反而改變其學習態度。並且，對許多數學學習感到困難的學生而言，使用電算器進行數學學習，不僅可以提升其學習數學的樂趣，同時對問題解決及觀念理解均有正面的幫助。雖然使用電算器於數學學習中，多數研究（De Mestre, 2012; Fabiola & Ruiz, 2011; Capraro, Ozel & Yetkiner, 2010）均具有正向的結果，但綜觀國內相關之研究，則大都集中於對數字常識的認知（吳昇軒、陳宗韋、曾千芬，2007；林勇吉、楊德清，2003；蘇惠貞，2005），並未針對高層次的數學思考能力---解決問題進行探討。換句話說，電算器運用於高層次思考解題部份的研究，是本國關於此議題之相關研究中比較缺乏的面向，或僅少數研究有探討（劉祥通、吳美蓉、翁宜青，2002；楊德清、陳育聖，2004）。但因其多屬個案研究，無法了解電算器使用於班級之數學學習中，是否影響其高層次之思考？此與國外研究之範圍或層次有別。美國數學教師協會（National Coucil of Teachers of Mathematics, NCTM），於 1980 年在其《Agenda for Action》中直指「解決問題必須是數學課程的焦點」（NCTM, 1980 ），緊接著 NCTM 又於其《 Professional Standards for Teachng Mathematics》中指出「解決問題、推論、以及溝通必須是遍佈在所有數學 3.

(18) 教學裡的過程」（NCTM, 1991）。所以，問題解決目前多能被大多數的教師所接受，並且成為數學課程中必須強調的一部份。提昇解決問題的能力是許多數學研究中重要的議題。除了學者專家對學生不同的解題策略或是教師的教學策略進行研究外，值得注意的是，其中有許多關於提昇學生解題能力的報告中，均指出應用電算器（calculator）於解決問題中，可以提昇學生的成就與能力（Dunham, 2000; Campben & Stewart, 1993）。Ozel、Yetkiner 與 Capraro (2010)指出，使用電算器可以省略煩瑣的計算，讓學生更能探究問題並發現數學概念。Fischer (2001)指出，小學數學課程固然以培養計算能力為目標，但是這種紙筆計算的能力已經逐漸被其他更實用的能力所取代，如心算（mental arithmetic），估算以及其應用等。因此，只專注在發展紙筆計算能力，似乎是沒有必要。如果，考慮電算器取得的便利性，計算能力的發展應該可以晉升到使用電算器，以獲得更佳的速度與正確性，以及解決多位數的問題（Fischer, 2001）。可見，在應用數學概念來解決問題時，使用電算器更可以讓學生專注於數學概念的應用（任慶儀，2014）。根據 Reys 和 Yang(1998)的研究顯示，學生具有良好的計算能力，不代表學生亦能發展良好的數字常識（number snese）。有鑑於此，基於研究證明電算器輔助教學可以幫助學生建立數學概念與解題能力。因此，本研究擬將電算器融入國小數學教學活動之設計，並將此活動予以實踐，利用此科技產品提昇學生問題解決之能力，此項作法不但呼應前述「關鍵能力」以及 NCTM、PCTM、NAEP 所指稱的數學教育新趨勢，也呼應國科會科教處在 101 年度數學教育學門的(四)數學課程、教學與學習相關議題的研究（重點代號：104）中所敘述，應該對國際間所提出的數學課程教學發展的新觀念必須加以重視與參考（任慶儀，2014）。. 4.

(19) 第二節研究目的與研究問題一、研究目的基於上述研究動機，本研究之目的旨在探討電算器對國小六年級學生計算能力與解題能力的影響。據此，提列研究目的如下：（一）探討國小六年級學生在使用電算器融入數學課程學習前、後，學生計算能力表現之差異。（二）探討國小六年級學生在使用電算器融入數學課程學習前、後，學生解題能力表現之差異。（三）探討實驗組學生在使用電算器融入數學課程學習前、後，高中低分群學生及男女生群學生其計算能力表現之差異。（四）探討實驗組學生在使用電算器融入數學課程學習前、後，高中低分群學生及男女生群學生其解題能力表現之差異。. 二、待答問題根據上述研究目的，本研究探討的問題如下：（一）將電算器融入數學課程學習前、後，學生計算能力有無顯著差異？（二）將電算器融入數學課程學習前、後，學生解題能力有無顯著差異？（三）將電算器融入數學課程學習前、後，實驗組高中低分群學生及男女生群學生其計算能力有無顯著差異？（四）將電算器融入數學課程學習前、後，實驗組高中低分群學生及男女生群學生其解題能力有無顯著差異？ 5.

(20) 第三節名詞釋義以下，茲針對本研究所涉及之相關名詞，加以界定說明：. 一、電算器本研究中所指之電算器（calculator）為美國國小數學教育計算機-TI-15 型電算器（如圖 1-3 所示）。此電算器為美國 XX 儀器公司（XX Instruments）授權成為其教育事業群在台灣地區的獨家代理商-XX 國際有限公司代理之計算機，TI-15 型電算器使用方程式運算系統（EOS TM ）計算表達式。在運算功能上，該款電算器為二行顯示的科學計算機。提供含括號的整數、分數、小數四則運算功能的運算鍵，及具備三種特性的解題功能鍵，可以讓學生選擇適合自己難度、運算模式及運算類型的題目來加以練習。. 圖 1-3-1. TI-15 型電算器 6.

(21) 二、國民小學六年級學生本研究所只的國小六年級學生係指 2013 年上學期在學（即 2008 年入學），鄰近台中市市區之某國民小學六年級學童，其一至六年級接受 2003 年頒布之九年一貫正式綱要的數學領域課程，而本研究是在 2013 年十一月中下旬至十二月下旬間進行。. 三、計算能力計算能力在高年級數學課程設計上是重點教學之一，也是學習數學必須具備的基本能力，不論是應用題解題、圖形類型題目，皆須回歸到計算層面（呂玉琴，1996）。因此，在本研究中所指的計算能力為「高年級學生對算式計算之能力，包含對整數、分數、小數等四則運算的熟練度」，而本研究採用的計算能力評量工具-「國小高年級計算能力測驗卷」，其內容包含小數乘除、四則運算、加法與乘法交換律、分數加減乘除、大數多重進退位加減、小數分數混合加減乘除等計算類型之題目。. 四、解題能力數學解題能力就是指受試者在解決數學非例行性題目時，過程中必須要運用的到一些數學概念、原理或方法。並依此運用的概念、原理、方法，以達到解決問題所顯現的能力（鍾文淵，2005）。 Kulm (1979）依數學解題的成分，描述數學解題為一個解題者在一組條件（情境）下，解一個問題（工作）; Suydam (1980）將數學解題描述為一個錯綜複雜的網狀圖，以及它們之間的相互關係（譚寧君，1992）。而 Lester (1980）則認為「數學解題」是指個人面臨一種沒有算式可以保證獲得解答的情境，而個人必須利用所擁有的相關訊息，去獲得問題的解答（徐 7.

(22) 金堂，1993）。本研究所指的解題能力是指當某人在解一道問題時，此人為獲得問題答案所從事的一系列活動。. 第四節研究限制由於本研究採「準實驗研究設計」，實驗處理是以研究者自行設計的課程從事教學活動。在實驗過程中，主要限制如下：一、由於參與本研究之學生無法長時間操作電算器，有別於國外學生對電算器使用的頻率與次數。因此，可能造成部分學生連對電算器的操作都會產生困難，反而干擾其數學學習。此外，由於課本中的計算大多可用紙筆輕易的算出答案。所以，學生可能因為不習慣使用電算器，而未必將電算器視為解題之必要工具，導致可能影響其評量結果。二、本研究因經費、人力和校務行政的限制，且研究對象僅限於中部的一所國小，樣本數較少，並且研究設計僅限於兩個單元的教學活動，其研究結果不宜作為普遍之推論，無法擴及全國國小六年級的學生。. 8.

(23) 第二章文獻探討本章共分六節：第一節為電算器與數學教育之相關研究，說明國內外學者對電算器應用在數學教育上之研究發現；第二節為解題能力之內涵與相關之研究，探討國外有關數學解題歷程相關研究，並著重 Mayer (1992) 的數學解題成分之說明；第三節為電算器融入教學課程之實徵研究並說明實施電算器活動融入教學活動需掌握的原則。. 第一節電算器與數學教育之相關研究不論時代如何變遷，由於數學與日常生活的關係極為密切，其重要性從未被取代過。是故，數學的知識、概念與應用一直是各國國民教育的重點，從工業社會到資訊社會，皆是如此。但是，不可否認，其學習的重點和方式隨著資訊社會的科技發展與需求會有一些改變。在近代研究未來學（futurism）的學者皆指出，資訊與科技的發展是造成目前資訊社會與過去之工業社會最大的分野（Aburdene & Naisbitt, 1990）。. 一、國外學者的研究使用科技於數學的學習，一直是國外數學教育中重要的焦點之一。其中，電算器（calculators）由於取得容易，方便又便宜，長久以來，是小學的數學學習中常用的科技代表。然而，紙筆的計算能力一向是小學數學學習的重點，因此，電算器的使用普遍被普羅大眾認為會干擾數計算的基本能力（任慶儀、吳德邦、馬秀蘭，2013）。然而，是否應該將電算器納入小學數學的學習? NCTM 與 NSF 在其數學標準（standards）的比較中，成為兩者最重要而且是最明顯的區隔（Hoff, 2003）。NCTM 建議年幼的兒童，利用電算器幫助他們學習數學的概念，讓他們專注在數學的推理思考 9.

(24) 上。但是 NCTM 也同樣認為電算器的使用不能妨礙數學基本能力的教學。然而，傳統主義者（traditioalists）卻堅持，使用電算器會讓學生分心，讓他們無法精熟基本的運算，甚至影響日後學生對高層次數學的學習（Schmid, 2000）。甚至有些反對者所持的理由是，當電算器的電池沒有電的時候，學生就不知如何進行計算。不過，支持使用電算器者卻認為，對於生活化的數學問題以及大數的計算，電算器則能提昇學生學習數學的興趣，並且讓學生適應科技化的世界（Pendleton, 1975）。這種「適應未來生活」的基調受到許多主張進步主義人士的歡迎。進步主義一向主張「教育的目的是預備未來的生活」（許佳琪，2011）。那麼，對於今天還在學校學習數學的學生們，我們的教育是否已經預備他們未來在科技的世界中使用數學概念與科技解決生活中數學問題的能力？電算器的發展隨著科技的進步，已經從手持的獨立電算器轉變成為手機的功能之一。換句話說，亦即人人手上均有一台電算器。日常生活中的數學，已不再是用算盤、紙筆計算來解決。如何快速而正確的解決問題，是依賴對數學的概念與應用而已，因為計算的功能已經由機器所取代。可見未來的數學能力的表現將會更強調學生在數學的解決問題的思考層次，而非僅僅是紙筆的計算能力（吳美蓉、劉祥通，2000）。因此，在數學學習中，電算器的使用不僅是科技的影響，更是符合教育的思潮與哲學的論點。許多研究（De Mestre, 2012; Fabiola & Ruiz, 2011; Capraro, Ozel & Yetkiner, 2010）顯示使用電算器對學習數學的態度具有正面的影響。美國早於 70 年代即開始使用所謂的「手持式電算器」，相關研究顯示，學生使用電算器可以提高學生學習數學的興趣（Aloff, 1999; Barrett & Keefe, 1974; Lochhead, 1988; Shield, 2008; Shumway & Wheatley, 1979）。Haury 於 2001 進行一項改進學生數學成就的研究中，他以內容分析（content analysis）的方式，檢視許多數學研究報告後，總結其研究結果發現，使用電算器確實有助於提高學生的數學成就與態度。Jaji (1986)進行一項包含二 10.

(25) 十多個國家有關電算器與電腦的國際性研究中指出，美國、瑞典、紐西蘭與加拿大學生在問題解決與功課中使用電算器比不用電算器，或是僅作驗算工具的學生來說，其對數學持有更正面的態度。Ozel、Yetkiner 與 Capraro (2010)指出 NCTM 與 ISTE 在《the National Educational Technology Standards, International Society of Technology in Education》都強調將科技融入數學的教學與學習是很重要的，其中包括電算器（任慶儀，2014）。除了提高學習數學興趣的功能外，相關研究（Capraro、Ozel & Yetkiner, 2010; Fischer, 2001）顯示，使用電算器對提高數學學習成就也具有其效果。 Campbell 與 Virgin (1976b)針對 150 位五、六年級學生進行調查，發現使用與不使用電算器的學生在計算測驗的分數上並無顯著差異，但是五年級實驗組的學生在「數學概念」與「問題解決」兩項測驗中顯著高於控制組的學生。Hembree 與 Dessart (1986)針對過去 15 年間的 79 篇電算器活動相關研究進行後設分析發現，電算器活動能提升所有年級或不同能力學生的測驗成就。Dunham (2000）也認為，電算器活動對於概念理解表現、解題表現與態度提昇都有顯著的效果，因為電算器活動具有培養學生的數字感、發展概念、視覺化技巧、發展多元化解題活動等優勢。相同的結果也在 Nelson (1976)的研究中發現，他發現四至七年級學生在電算器使用後，計算技巧和態度上明顯提昇（周筱亭，1990）。 Weibe (1981）的研究指出，電算器活動對於數概念理解和運算技巧上能明顯的提昇。另外，在數學學習成就表現的影響上，Campben 與 Stewart (1993）則宣稱電算器活動能增進學生數概念、瞭解運算過程以及發展解題能力。然而，如果僅讓學生一昧僵化使用電算器，而未能鼓勵學生從活動中瞭解概念或解題，這樣的結果並不會比強調算則運算練習、概念記憶的教學效果來的好（Dunham, 2000）。. 11.

(26) Wheatley 與 Shumway (1979)調查五個州，每州兩位教師，二到六年級的學生使用電算器的研究中發現，實驗組學生對於數學有較正面的態度，而其計算能力更好。Wheatley (1982)將 330 位六年級學生隨機抽樣分成兩組，探討使用電算器的影響。其研究發現實驗組在解決問題的成功率顯著高於控制組，解題所使用的時間較短，解題策略更多樣化，然而，計算的錯誤卻比較少。Phillips-Bey (2004)指出，使用電算器對學生在高層次的思考能力具有正面的影響，同時，也具有提高學習數學動機的功能。因此，使用電算器並不會降低學生計算的能力，反而有助於提昇解決問題能力。其主要的原因，還是在於它可以幫助學生專注於解決問題的策略，不必因為冗長的計算而分散了對解題的注意力（任慶儀，2014）。雖然使用電算器對學生在學習數學的興趣與成就上具有正面的影響，但是教師對其使用仍然抱有相當的疑慮與擔心，進而影響使用電算器於數學教學上的意願。Russek 與 Weinberg (1991)指出影響電算器使用的原因之一為教師的特質。Quinn (1998)指出，由於許多職前教師在學習數學時缺乏使用電算器的經驗，他們會以自己當初學習數學的方式去教數學，所以新進教師很少會使用這類的科技去教數學。在此研究中發現，3/4 的受訪教師表示在數學教學中並不使用科技。究其原因，教師並未具備使用科技的訓練，以及學校的行政人員不贊成使用電算器。 Campbell 與 Albert (1976a)調查 183 位教師與 64 位校長對使用電算器的態度時發現，一半以上的教師不認為使用它會有助於教學目標的達成，半數的校長認為學生應當在表現平均程度以上的能力之後才介紹電算器。在此項研究中也指出半數教師認為四至六年級較適合使用電算器，有 44% 的教師認為六年級才適合將電算器納入數學的學習（任慶儀，2014）。電算器在數學教學中，除了驗算的功能外，其實也扮演著其他更深層的認知技能。Morrow (1990)在一項調查在職的數學教師的需求研究中指出， 12.

(27) 教師最常使用電算器的時候是進行驗算的部份。除了在正常的課堂上使用外，研究指出它也可以幫助許多中度失能（mild disability）的學生學習數學。由於 IDEA 法條（the Individuals with Disabilities Education Act, 2004）以及 NCLB 法條（the No Child Left Behind Act, 2002）的通過，要求學校與教師必須盡可能的授予中度失能學生一般的課程。因此，面對這些中度失能的學生，在其學習數學時，電算器不但是最常被使用的工具，而且具有正向的學習結果（Steel, 2007）。在 Texas 的 Ei Paso 獨立學區使用電算器幫助暑期補救數學的學生，讓他們專注於主要的數學學習，如解決問題、找出數量規則、其他的數學概念等。使用電算器甚至是被拿來作為提昇六年級學生學習數學的動機、投入與信心的工具（Convington Clarkson, 2007）。可見電算器的使用對於學習數學或數學學習弱勢的學生而言是一項有利的工具。. 二、國內學者的研究國內的學者亦對電算器應用在數學教育上進行研究，其結果顯示與國外之研究有相似的正面成效和影響。其中，周筱亭（1990）的研究證實，電算器活動對於小數概念的學習有正面的助益。例如，以電算器活動來觀察 12×3、12×0.3、12×0.03 等算式間小數點的不同位置，以瞭解一位小數、二位小數間的差異。劉祥通、吳美蓉與翁宜青（2002）以個案的方法研究電算器教學活動對小數學習的影響時，指出電算器教學活動確實對學生在進行小數之比較時，其對整數規則之迷失概念提供助益，但未提及其應用於高層次的數學思考時，是否也有相同之效益。蘇惠貞（2005）針對幼兒之數字能力發展進行研究，其結果發現，使用電算器對其數字能力發展具有顯著性效果。吳昇軒（2007）以小數除法為例，對電算器融入補救教學影響算則理解進行個案研究，結果發現學生 13.

(28) 使用電算器有利於改變其對小數除法的概念，但是並未討論對數學解題能力是否也有相同之助益。另外，林勇吉與楊德清（2003）也以個案的方式了解電算器之教學活動對學生學習數字常識能力發展的影響，其研究發現，藉由電算器的使用，可以讓學生將焦點放置在數字常識能力的學習上，進而檢視與驗證自己的想法。然而使用電算器於是否也能讓學生聚焦於解決問題上並未探討，值得未來的研究作進一步的發現。吳昇軒、陳宗韋與曾千芬（2007）以「壞掉的計算器」作為發展三年級學生對數常識的研究主題，發現此一活動不僅可以增進學生對數常識的了解，也刺激學生對數常識的發展。該研究對於使用計算器是否也能刺激其對數學之解題能力也未進行探討。姜淑珍、蔡鳳秋與楊德清（2005）也探討電算器的使用對國一學生之學習數學之影響，其研究指出，電算器的使用不僅能提昇學生學習之動機與興趣，也能促進其對數學的探究精神。他們的研究發現，使用電算器可以加深學生在除法算則中的概念以及分數與小數之間的轉換。對於解題能力是否也能引發其探究精神，值得進一步研究。楊德清與陳育聖（2004）以立意抽樣的方式，選取一位六年級學生進行電算器輔助教學，其結果指出，電算器對解題能力具有一定的輔助效果。其研究發現提出三點結論：（一）電算器活動融入教學中對學生解題能力之發展具有正向幫助，（二）電算器教學能讓學生有更多時間作數學思考，以及（三）教師適當介入引導並善用電算器輔助教學，是促進學生學習成功的關鍵。該研究採取個案方式進行了解，無法得知當電算器運用於一個班級或更大的樣本時，是否也具有相同之效能。. 14.

(29) 雖然國內研究均顯示使用電算器對學生學習數學均有正面的影響，此部份的結果與國外研究大致上相同。但上述之國內研究大都集中對數常識的研究，並未針對高層次的數學思考能力--- 解決問題進行研究。再者，這些研究大都以個案方式進行，並未以較大之樣本作為研究對象，此與國外研究之範圍或層次有別。因此本研究擬以使用電算器，對數學高層次解題思考之影響進行探討，對象方面亦以較大之樣本進行，以擴大國內對電算器之應用相關研究的範圍，了解使用電算器對我國的學生，除了數常識以外，是否在其他數學高層次的解題思考上也具有正面之效果。總結來說，電算器的使用一方面合乎國際數學評比中融入科技的趨勢與變革，另一方面顯示其與數學之概念以及解決問題的關係密切，是學習數學的重要工具，同時也是增進學習數學的興趣與成就的手段。 Southwell(1988)認為使用電算器會減輕學生例行性的計算工作，可以讓學生將焦點關注於解釋、分析及做決定等重要的解題技巧。國外對使用電算器的研究均顯示其對數學的應用有積極的成效，也指出其可應用的數學主題。如分數與小數之間轉換的概念是其中最被教師推薦使用電算器（De Mestre, 2012; Sparrow & Swan, 2005）。還有除法的應用，特別是有餘數的除法，則是另一項最常使用電算器的主題（Beaudrie & Boschmans, 2004; Fabiola & Ruiz, 2011）。計算平均數、中數、機率等，也經常利用電算器來解決問題（Barrett & Keefe, 1974; Covinton- Clarkson, 2007; Shield, 2008）。因此，將電算器融入於數學的學習活動中有其必要。國外進行電算器的研究其範圍較廣，包括數學概念和解決問題或高層次思考，而本國的相關研究大都集中於對數常識的影響。換句話說，電算器運用於高層次思考的解題部份的研究，是本國對其相關研究中比較缺乏的面向，僅少數研究有探討，但因其多屬個案研究，無法了解電算器使用於班級之數學學習中，是否影響其高層次之思考。因此，本研究擬將依據數學能力指標（分年細目），設計並開發電算器融入教學活動，並將進行 15.

(30) 準實驗教學研究，以探討學生在計算能力與高層次思考的解題能力是否有其成效與影響。. 第二節解題能力之內涵與相關研究一、國外有關數學解題歷程之相關研究一九八○年美國數學教師協會（NCTM）出版《行動綱領》（Agenda for Action），指出解題必須是學校數學教育的重心。一九八九年 NCTM 的學校數學科課程與評鑑標準（curriculum and Evaluation standardrs for school Mathematics）(NCTM, 1989)再次強調數學即是解題、溝通和推理。NCTM 於 2000 年出版的《學校數學的原則和標準》(NCTM, 2000)說明數學教學除了數學的知識的標準外，也包含解題、推理證明、溝通、連結、表徵等數學能力的標準。同時也提出了解性教學和學習原則，強調了解性的學習是必要的，可以使學生能夠解決將來必然會遇到的新問題。楊德清（2002）認為數字常識是一種概念，亦是多種能力的組合；當學習者能夠將新訊息與先前所獲得的經驗做邏輯性的連結，進而驅使學習者有形成這種連結的能力（McIntosh, Reys, & Reys, 1992; Reys, 1994），這種可以將數學知識的理解轉化與應用於解決問題中，此即為解題能力。Kilpatrick (1967）更以下列三個不同觀點來敘述數學解題的意義（引自涂金堂，1995）﹕ 1.從心理學層面而言，數學解題為「人為達成某種目的（情境）而做的一些活動。 2.從社會-人類學的層面而言，數學問題是老師給學生的一項任務，在此任務中，師生雙方根據自己所關注的焦點，而相互解釋對方的行動和意圖，即是從自我觀點出發來解釋對方的行為。 16.

(31) 3.從數學的及數學教學的層面言之，數學問題是數學建構的泉源及數學教學的工具，亦即透過數學解題的教學，學生便可從中建構自己的數學知識。所以，數學解題也可說是讓學生搭起數學鷹架的重要工具。. 因此，數學解題的意義即為：在解題者面對問題時，因無法立即由記憶中檢索出解答，而必須統合運用以往的數學先備知識、原理、原則或方法，來產生策略與獲得解答的心理歷程。有關國外數學解題歷程相關之研究，分述如下:. (一) Dewey (1910)談到「問題解決」的五個步驟為： 1. 暸解一個問題的存在─一種困難、挫折、興奮和懷疑的感覺。 2.. 辨別問題─澄清問題、定義問題，包括指定目標、辨認被問題難住之情境。. 3.. 使用先前的經驗，如相關資料，原先的解答，公式假設的概念以及問題解決計畫的觀念。. 4.. 先試看看，再持續的思考，進而提出假設或可能的解答，甚至將問題改變成其它型式。. 5. 評估、解答，並在解題過程中定出結論。 (二) Polya (1957)強調解題的重要性，將解題過程歸納為四個階段： 1.. 了解問題－必須清楚知道要尋找的解答是什麼，了解問題裡存在的各個關係。. 2. 擬定計畫－依據第一階段，構思或擬定出求得解答的計畫。 3.. 執行計畫－確實檢查每一個步驟，動手來執行計畫，例如數學計 17.

(32) 算。 4.. 驗算與回顧－最後回顧整個解答過程，驗算答案、探索問題或事物之間關聯。. (三) Krulik 和 Rudnick (1984，1987)指示解題是一個過程，就是個體利用先前所獲得的知識、技能及所理解的事物去滿足對於一個未知情境的要求，其流程為： 1.. 閱讀與思考－問題被轉化成讀者瞭解的語言，各部門搭起連結的橋樑，思考後開始分析問題，檢視與評估事實真相。. 2.. 探索與計畫－問題解決者分析資料並判斷是否有足夠的資訊，發展找出答案的計畫。. 3.. 選擇策略－依據前兩階段而選定，廣泛使用的策略可歸類區分為八種：認識樣式、逆推法、推測與驗證、試驗與模擬、簡化╱變形、有組織的列表╱詳盡的列表、邏輯演繹、分割與克服。. 4. 找出答案－應用合適的數學技巧找出答案。 5.. 反省與擴展－檢查答案的正確性，找尋和討論替代的解法，將過程擴展到能發現問題中所歸納出的數學概念。. (四) Schonfeld (1985)相信解題過程就像故事情節一樣，按照閱讀階段（reading）、分析歷程（analysis）、探究過程（exploration）、計劃階段（planning）、施行階段（implementation）、驗證階段（verification）. (五) Garofalo和Lester (1985)解題體制包括四個範疇： 1. 定向（orientation）：解題者需評估並了解問題。 2. 組織（organization）：解題者需擬定解題計畫並選擇解題策略。 18.

(33) 3. 執行（execution）：解題者必須監控自己的解題行為並配合計畫。 4. 驗証（verification）：解題者必須評鑑前三項歷程是否正確。 (六) Mayer (1992)從認知取向的觀點，將解數學問題分為「問題表徵」（problem representation）和「問題解決」（problem solving）兩個階段，需要「問題轉譯」、「問題整合」、「解題計畫及監控」和「解題執行」等四個成分，以下將各階段、解題成分加以說明： 1.. 問題轉譯－問題轉譯是指將每一個陳述句轉譯為內在表徵（internal representation）之處理階段。在轉譯的過程中，必須了解句子的意義（也就是「語文知識」），也需要知道某些事實，也就是需要「語意知識」之輔助。. 2.. 問題整合－問題整合是指將問題的每個陳述句整合成連貫一致的問題表徵之處理過程，以決定解答問題所需的資料。為了要瞭解及整合問題，必須能有某些相關問題類型的知識背景（也就是「基模知識」）。以便在問題整合同時，能夠區分哪些資料是與解答有關，哪些資料是與解答無關。. 3. 解題計畫及監控－解題計畫及監控是指能夠以「數字語句」或「方程式」或「必須的運算列式」來表示問題，是數學解題上頗具決定性的因素。解題計畫歷程是屬於「問題解決」階段之「解題計畫及監控」步驟，需要用到「策略性知識」，包括以「數字語句」或「方程式」或「必須的運算列式」來表示問題、建立次目標、下結論等。 4.. 解題執行－解題執行是指已了解問題本質，而且也擬出解題計畫及監控細節，準備以正確和有效方式去執行計畫。解題執行要能夠應用算術法則及代數程序，以「程序性知識」和「策略性知識」為背景，執行加減乘除運算或解代數式的過程。 19.

(34) 綜合來說，數學解題需要四個解題成分:能夠將問題的每一個陳述句加以轉譯、能夠將資料整合而成連貫一致的問題表徵、能夠想出及監控解題計畫、能夠準確的和有效的執行解題計畫，可以發現所需知識各有不同的作用。語言及語意知識：用來幫助學生把問題的每一個句子轉譯成內在表徵；基模知識：用來幫助學生把資料加以整合使成為連貫一致的表徵；策略知識：用來幫助學生想出和監控解題計畫。程序性知識：用來幫助學生執行解題計畫中所需的演算。以下，研究者以林清山譯（2004），簡單整理說明 Mayer (1992)的數學解題階段、成分、知識類型，說明如表 2-2-1 所示。表 2-2-1 Mayer 的數學解題成分說明階段解題成分知識類型第一階段- 問題轉譯語文、語意問題表徵知識問題整合基模知識. 說明重述問題的已知條件、重述問題的解題目標。認識問題的類型、認識有關及無關的資料、決定解答問題所需要的資料、用圖示或圖畫來表示問題。第二階段- 解題計畫策略知識以「數字語句」或「方程式」或「必問題解決及監控須的運算列單」來表示問題、建立次目標、下結論。解題執行程序性知進行單純的計算、進行連續的計算。識資料來源：林清山譯（2004）。教育心理學：認知取向（頁 390-418）。. 二、國內有關 Mayer 數學解題之研究以下，茲陳述國內有關數學解題的相關研究： (一) 林珮如（2002）「國小學童因數解題與迷思概念之研究」：以質的研究為主，依據Mayer (1992)及Brainbridge (1981)解題理論和直觀法則理 20.

(35) 論基礎，依自編的因數迷思概念診斷工具分析歸納學童在因數方面的解題策略，探討學童的因數迷思概念和成因。 (二) 吳雅琪（2004）「電腦融入解題策略教學對國小數學學習困難學生解題成效之研究」：參考Mayer (1992)的解題歷程提出解題策略包括六步驟：唸題目、理解題意、畫圖表示、列出算式、計算和檢查，探討電腦融入解題策略教學，對於增進國小數學學習困難學生一步驟基本加減乘除法文字題的解題成效，以及對解題歷程錯誤與解題態度的影響。 (三) 陳桂英（2005）「數學乘法應用問題類型解題歷程之研究~以國小二年級學童為例~」：探討數學乘法應用問題類型解題歷程。並依據Mayer (1992)的解題理論為基礎：問題轉譯、問題整合、解題計畫與監控、解題執行四個歷程。 (四) 黃于真（2005）「國小四年級數學低成就學生除法解題歷程與補教教學之研究」：研究者參考Mayer (1992)之解題理論，探討數學低成就學生除法解題歷程中錯誤概念，做為補救教學之參考，並探討補救教學成效。 (五) 陳國雄（2006）「國小四年級學童整數四則運算問題的解題策略與錯誤類型之研究」：以Mayer (1992)的解題理論為基礎，探討國小四年級學童整數四則運算問題的解題表現、策略及錯誤類型與原因。 (六) 鄭惠萍（2007）「國小三年級學童在比較型加減文字題的解題表現及錯誤類型之研究~以屏東地區為例」：將比較型加減文字題分成六種題型，並以Mayer (1992)的理論為基礎，分析三年級學童在比較型加減文字題的解題表現和錯誤類型，並探討母親國籍和題型兩個因素對解題表現的 21.

(36) 影響。 (七) 莊其臻（2008）「電腦圖示表徵教學對國中學習障礙學生數學文字題解題學習成效之研究」：研究參考Mayer (1992)的文字解題歷程的解題策略，包括五步驟：唸題目、理解題意、畫圖表示、列出算式、計算，並探討電腦圖示表徵教學對國中學習障礙學生的乘除法文字題解題（等組題型與矩形題型）的學習成效，和其解題歷程錯誤分析與學習態度的評估。 (八) 楊招謨（2008）「數學低成就學生除法解題錯誤類型分析及補救教學效果之研究」：以Mayer (1992)之解題理論，探討數學低成就學生除法文字題之解題歷程，分析其解題錯誤類型，並依據錯誤類型設計與進行結合模式補救教學，探討結合模式補救教學對除法能力之影響。 (九) 謝旻虔（2009）「國小四年級學童解乘除文字題表現之研究」：以Mayer (1992)的解題理論及Greer (1992)的乘除情境分類來探討學童解9 種單步驟乘、除文字題時的正確率，及產生的錯誤類型，並以試題關聯結構分析法（IRS）進行分析，以瞭解學童解題的知識結構。 (十) 楊玉如（2010）「電腦輔助教學對國小數學低成就學生加減法文字題解題成效之研究」：參考Mayer (1992)的解題歷程提出解題策略，以自編電腦輔助教學軟體進行解題教學，並透過視覺分析、C統計、評分者信度等方式進行資料分析，探討電腦輔助教學對國小數學低成就學生加減法文字題解題能力的成效。. (十一) Wu和Ma (2010, 2010a, 2010b, 2011)使用Grey Model (GM)分析問題解決能力測驗工具，A、B測驗工具題目各有10題，其工具的編製是依據Mayer (1992)解題步驟（二階段、四成分）所設計。研究結果顯示使 22.

(37) 用GM確實可以分析解題能力測驗工具的難易。. (十二) Ma和Wu (2012)利用Grey Relational Analysis (GRA)分析多元表徵圖形樣式的代數推理測驗，其測驗題目依據Mayer (1992)解題步驟設計，結果發現題目為5n形式最簡單。Ma和Wu也推測非線性圖形樣式較困難的原因之一可能是：非線性圖形樣式較少出現在教科書或日常生活中。從學生發展的問題中也可反應學生的認知結構，馬秀蘭（2007）修改 Mayer(1992)的解題知識成「發展乘除問題知識」，她指出針對乘除法算式，學生必須具有以下四種知識才能成功的發展問題：（一）策略性知識：檢視列式一些程序的知識，如直接檢視列式、或改變運算列式、或制定子目標。（二）基模知識：考量到以哪一種情境物件或結構類型去發展問題的知識，或已知數與未知數之間的關係。（三）語意知識：了解列式的意義及現實世界事物的知識，包括以離散量事或連續量事物表示問題，以及認識此事物相關的資料知識。（四）語文知識：能用正確的中文表示問題的知識。對於問題發展之研究方式與研究對象雖然各有不同，但皆為對問題發展在數學教育上之運用價值的肯定（馬秀蘭，2008； Ma, Wu, & Jen, 2013）。從以上各個研究者的研究方法可發現，Mayer 數學解題成分（或稱理論、歷程）確實有其重要性、地位性。因此，本研究所使用之「生活情境 23.

(38) 的數學解題能力測驗」評量工具中的各小題即是依據 Mayer (1992)數學解題的兩階段、四個成分所設計，其施測之效度亦有其可靠性。綜合來說，提昇解決問題的能力是許多數學研究中重要的議題。除了學者專家對學生不同的解題策略或是教學策略進行研究外，值得注意的是，其中有許多關於提昇學生解題能力的報告中，均指出應用電算器（calculator）於解決問題中，可以提昇其成就與能力（任慶儀、吳德邦、馬秀蘭，2013）。從本章第一節許多的實證研究均強烈的支持 NCTM(1989, 2000)課程標準的主張：電算器必須被融入中小學數學課程與教學中，而且它在數學教育中應扮演重要之角色（Dunham & Dick, 1994; Heid, 1997; Hembree & Dessart, 1986, 1992; Smith, 1997; Waits & Demana, 2000）。這些研究提供了廣泛而正向的支持使用電算器輔助數學教學不但可以提升學習數學的興趣；同時對問題解決以及觀念性的理解均有正面的幫助。因此，將電算器融入數學教學是值得思考的。我國的數學教育不能停留在過去只追求學生計算能力及解題技巧之層次，而忽略了概念理解與邏輯思考能力的培養。對於結合電算器活動來提昇學生數學學習成就，如：運用數學原則與解題等成就表現的指標上則較少著墨。可見，我國現行課程對於電算器活動融入整班教學的相關實證研究仍有所欠缺。因此，本研究擬以電算器作為學生在解決問題時的學習輔助，開發電算器活動普遍的融入數學教學與活動之中，以探討其對學生在解決問題之高層次思考的成效與影響。. 24.