計算流暢性

本節主要討論計算流暢性在數學學習的重要性及數學態度對學習計算流暢 性的益處，共分為三個部份。第一部份了解計算流暢性的重要性；第二部份呈 現九年一貫數學領域乘除計算相關的能力指標；第三部份整理國小四年級學童 乘法及除法計算流暢性的內容、教學及容易出現的計算錯誤問題。

壹、 計算流暢性在數學學習的地位

本部份主要探討計算流暢性在數學學習的重要性以及計算流暢性對數學態 度的影響。數學精熟涵蓋數概念、運算及解題，計算流暢性屬於數學概念中的 程序性知識，為「運算」類別，是數學精熟的其中一個因素。計算流暢性是連 結數學概念及解題速度的一種能力，學生在時間內能快速且正確的計算出結 果，影響解題的速度。學童在學習數學觀念時，應先理解數概念，再將概念內 化成程序性的知識，計算流暢使解題的速度變快。關於數學能力，李源順

（2015）提到

學生要能展現他的數學能力需先了解數學內容的概念（觀念），然後將這些概念內 化為程序性知識（能順利運算的過程），之後才能解決一些學童平常沒有看到的問 題（也就是解題能力）（p.20）。程序性知識是指學童利用他所熟悉的數或者符號 等運算來解答問題(as cited in NAGB, 2002)。（p.22）

學童對數學的觀念分成數概念、運算及性質。國小數學的數概念有全數、

分數及小數，運算是上述類別的加減乘除四則運算，而性質包括數學中的交換 律、結合律及分配律等（李源順，2015）。學童面對問題要能進行表徵、推理及 反思，最重要的是，對數學持有正向的態度並肯定自己有能力能解決數學問題

（游自達，2016)。學童對數學的精熟程度是基於理解數學概念及關係並有效的 運作計算過程。計算流暢性是數學精熟的其中一個因素。計算流暢是數學精熟 的重要因素，計算流暢性包括三個概念：有效執行計算過程、彈性地運用算 則、準確地運作算則（Boerst, & Schielack,2003 ; Russell, 2000）。

計算流暢性是一種能迅速且正確的計算出結果的能力。計算流暢的學童因 為已經熟悉數學概念，他們能在限時內正確且快速地執行運算過程，數概念及 計算能力是扮演相輔相成的角色，必須一起學習並不能獨立分開（Bobis, 2007 ; Griffin, 2003）。算則是發展計算流暢性的重要關鍵（Boerst & Schielack, 2003），

學童要能快速且有效的運作算則。算則是一個多重步驟產生答案的過程，計算 過程中會使用不同的算則來解決不同的問題（Fuson, 2003）。年紀小的學童發展 數字表徵及運算的能力可以提升計算流暢性（Locuniak, 2010）。解題的計算過 程中尚須考慮思考的能力，才有辦法流暢的進行運算，若只將計算的算則背下 來，則無法快速且正確的算出答案（Brendefur, Strother, Thiede, & Appleton, 2015）。另外，計算概念的理解和數字意義的表徵可以預測學生數學成就

（Wong, 2017）。可以藉由培養學生的心算能力和數感（Bobis, 2007）。算則有 繁瑣、多個步驟的特性，為了提升學生的計算流暢性，應注重學生對於數學概

念的理解並鷹架學生做充分的計算程序練習，以達到有效、彈性且準確的計算 流暢能力。

由上可知，計算流暢性是數學學習中的重要的能力，不但是連結數概念及 程序性知識的橋梁，更會影響學生解題的速度。能在限時的時間內正確且有效 的計算出題目，對於學童的數學學習是非常重要的。

貳、 九年一貫數學領域乘除計算之能力指標

國小四年級學童應具備流暢的運算及數字感的能力，乘除計算方面，應熟 悉乘法及除法的意義及數字關係，計算範圍從九九乘法至較大位數的直式乘除 計算。計算能力屬於九年一貫數學領域能力指標中「數與量」中數的部份，乘 法的基礎概念由加法而來，而除法則是深化減法的概念，若要使國小四年級學 童的乘除計算流暢，則對於運算加減法便不可忽視。九年一貫數學學習領域的 教學目標提到國小低年級學生要能初步掌握數、量、形的概念，其重點在自然 數及其運算；而中年級的學生在數方面要能熟練自然數的四則與混合計算，培 養流暢的數字感（教育部，2012：4）。由上可知，國小四年級學童應具備流暢 的數字感及運算的能力。研究者挑出符合乘除計算能力及加減法運算之能力指 標如表2-1-1、分年細目如表 2-1-2：

表 2-1-1

九年一貫數學領域關於小四學童應具備乘除計算之能力指標 N-1-02 能理解加法、減法的意義，解決生活中的問題。

N-1-03 能理解加、減直式計算。

N-1-04 能理解乘法的意義，解決生活中簡單整數倍的問題。

N-1-06 能理解九九乘法。

N-2-03 能熟練整數加、減的直式計算。

N-2-04 能理解除法的意義，解決生活中的問題，並理解整除、商與餘 數的概念。

N-2-05 能理解乘、除直式計算。

市：教育部。台國字第1010074428C 號。

註：第一碼表示主題，分別以字母N、S、A、D 表示「數與量」、「幾何」、「代 數」和「統計與機率」四個主題；第二碼2 表示第二階段；第三碼則是能力指 標的流水號，表示該細項下指標的序號。

表 2-1-2

九年一貫數學領域關於小四學童應具備乘除計算之分年細目

分年細目 對照指標

1-n-05 能熟練基本加減法。 N-1-02

1-n-06 能做一位數之連加、連減與加減混合計算。 N-1-02 2-n-04 能熟練二位數加減直式計算。 N-1-02 N-1-03 2-n-05 能理解三位數加減直式計算(不含兩次退位)。 N-1-02 N-1-03 2-n-06 能理解乘法的意義，使用×、＝做橫式紀錄與直式紀

錄，並解決生活中的問題。

N-1-04 A-1-01

2-n-08 能理解九九乘法。 N-1-06

A-1-02 2-n-11 能做簡單的二位數加減估算。 N-1-02 3-n-02 能熟練加減直式計算(四位數以內，和＜10000，含多重

退位)。 N-2-03

3-n-03 能用併式記錄加減兩步驟的問題。 N-2-06 N-2-07 3-n-04 能熟練三位數乘以一位數的直式計算。 N-2-05 3-n-05 能理解除法的意義，運用÷、＝做橫式紀錄(包括有餘數

的情況)，並解決生活中的問題。 N-2-04 3-n-06 能熟練三位數除以一位數的直式計算。 N-2-05 4-n-02 能熟練整數加、減的直式計算。 N-2-03 4-n-03 能熟練較大位數的乘除直式計算。 N-2-05 資料來源：教育部（2012）。國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域。臺北

市：教育部。台國字第1010074428C 號。

註：第一碼3 表示三年級；第二碼表示主題，分別以小寫字母 n、s、a、d 表示

「數與量」、「幾何」、「代數」和「統計與機率」四個主題；第三碼則是分年細 目的流水號，表示該細項下分年細目的序號。

由上可知，國小四年級學童應熟悉並理解一位數至四位數的直式加減計 算，並了解多重退位的概念；在乘除計算方面，應熟悉乘法及除法的意義及數 字關係，從九九乘法至較大位數的直式乘除計算。本研究以九年一貫指標中學 童應在除法及乘法單元中學會的計算技能與內容，作為增進學童計算流暢性的 準則。

參、 國小四年級乘除計算學習

國小數學許多單元的觀念來自於日常生活中所碰到的問題，例如加減乘除 的運算與生活中買賣物品計算金額有關。因此，教師引導學生數學學習應從生 活情境舉例，讓學生了解數學的學習能夠解決生活的問題。學童的年級越高，

落後的單元越多，年級較低時應補強其落後的概念。國小階段的數學課程為螺 旋式課程，提升一個年級後會碰到相同概念的單元，若能把學童先前落後的概 念補強，對其未來的學習會有很大的幫助。要讓學童對數學有興趣、覺得自己 比以前更進步（李源順，2015）。

本部份共分為三個部份，第一部份了解國小四年級乘法及除法的單元內 容；第二部份探討乘除的程序性知識教學；第三部份了解學童在乘法及除法單 元的計算錯誤類型。

一、 國小四年級乘除計算內容

本研究彙整國小常用之教科書版本中關於國小中年級乘法及除法單元的計算學 習範圍，包括康軒、南一及翰林。國小中年級乘法計算學習內容之範圍，如表 2-2-1，國小中年級除法計算學習內容之範圍如表 2-2-2。

(一)乘法

九九乘法、二位數乘一位數、三位數乘一位數及整十倍和整百倍的內容；四年

比例。實驗設計應鷹架學生足夠的計算程序練習，增強的計算流暢性分為兩個

二、 乘法及除法的程序性知識教學

依據李源順（2015）對於乘法及除法的程序性知識的建議，學童要能察覺 計算的規律，老師要能協助學生將數字類化到更大位數的學習。學童在運算過 程中，容易出現迷思概念，教師需掌握不同類別運算的關鍵問題。加法方面為 二次進位的問題；減法方面為二次退位的問題；乘法方面，學童須熟練九九乘 法規律，被乘數、乘數或和積當中有零的部份較容易出現計算的錯誤，關鍵的 問題為中間有零的問題、兩次進位的問題；除法方面，學童若能使用估商的技 巧，在計算過程中會變得容易一些，每個除法的步驟皆以九九乘法來估商，其 中，商數中有零的數容易出現迷思，關鍵的問題為中間有零的問題、兩次退 位。直式算則有輔助計算的功能，協助學童快速、正確的計算，剛開始學習數 概念且還不太熟悉該單元或是加減法容易出現計算錯誤時，建議學童使用直式 算則運算。當學童無法了解較大位數的概念及運算時，應降低數字的難度，讓 學童真正理解概念性知識後，內化為程序性知識，計算才會較快速且有意義。

除法是由乘法逆向思考，學童學習除法時不一定已經熟悉乘法概念及計算，因 此，加減法的語意轉換及訓練也十分重要。計算流暢性除了須注重計算概念的 理解之外，也須注意學童在算則的運作程序上出現的計算錯誤並培養其驗算的

除法是由乘法逆向思考，學童學習除法時不一定已經熟悉乘法概念及計算，因 此，加減法的語意轉換及訓練也十分重要。計算流暢性除了須注重計算概念的 理解之外，也須注意學童在算則的運作程序上出現的計算錯誤並培養其驗算的