迴歸模型與檢定

對不同 22 個地方政府在 8 個不同年度時間上的財政資料研究，採用各固定樣本 單位在某一時點上多項特性，以及在每隔一段時間的連續觀察，結合橫斷面與時間 序列的資料型態，瞭解這些資料在不同時間點上呈現的個體差異與整體差異變化 (張紹勳，2016a)。若只採用時間序列分析，可能發生序列相關；僅以橫斷面資料分 析，又容易產生異質變異(張紹勳，2016b)；綜合以上的這種追蹤資料(Panel Data ) 在財務與計量經濟學上的估計應用，對於財務與經濟變數間關係可以同時分析時間 序列上財政數據動態的規律性，又能保有各個地方政府個體資料的差異性，訊息較 完整，並以檢定方式選定最適的追蹤資料分析迴歸模型。透過迴歸模型分析找出對 被解釋變數真正相關及重要的解釋變數，建立二者間的因果關係，希望能對未來反 應結果提供預測。

為了對追蹤資料做迴歸模型實證分析，一般而言，流程可分三個步驟：首先，

以單根檢定來檢視追蹤資料是否屬於定態；再對解釋變數及被解釋變數做相關檢定 判別採用何種較適合的迴歸模型；最後，以適當的迴歸模型對變數推估進行統計實 證(張紹勳，2016a)。本節探討追蹤資料 3 種不同迴歸模型及將採用變數檢定的 3 種 不同單根檢定、3 種模型檢定方法。

一、追蹤資料迴歸模型

變數指標值屬追蹤資料，其迴歸模型的關係式表示為：

GAP = ( ) 即 = + ∑ +

其中 k = 不同的財政努力變數指標或財政能力變數指標。

i = 22 個不同地方政府，即個體構面。

t = 2011 年至 2018 年不同年度，即時間構面。

代表截距項。

代表第 i 個地方政府第 t 年的第 k 個指標的迴歸係數。

代表第 i 個地方政府第 t 年的第 k 個指標的解釋變數。

代表第 i 個地方政府第 t 年的隨機殘差項。

傳統迴歸模型中的一般最小平方法(Ordinary Least Squares Method, 簡稱 OLS ) 只考慮了單獨橫斷面或縱斷面的資料，而產生可能忽略不同個體間時序上資料 的差異性；在追蹤資料迴歸模型主要分為混合 OLS 迴歸模型、固定效果模型、

隨機效果模型等三種方式探討(Wooldridge, 2002)。其中混合 OLS 模型是最簡單 的線性迴歸，可以有效忽略異質性；固定效果或隨機效果的模型則是用於估計 均值偏差的迴歸模型，藉由變數檢測結果來擇定一個合適的迴歸模型。以下對 三種迴歸模型探討：

(一)混合 OLS 迴歸模型：

= α + ∑ +

混合線性迴歸模型是採用考量不同時間下的最小平方法估計參數 ，估計 值會使各個不同觀察值的殘差 值的總合最小，假設為殘差項包含時間上 及個體間差異、殘差變異數具同質性，所有模型參數被視為非隨機變數，

適用所有係數是固定值，所有樣本截距項都相同 = 。 (二)固定效果模型：

= + ∑ +

固定效應模型(又稱個體虛擬變數模型)著重個體間差異性，其參數為固定 值或非隨機量，它是一種分層線性模型，不同分層的組均值是固定非隨機 的，適用於斜率係數是固定值，個體特性不隨時間不同而改變，但截距項 和殘差項是個體所獨有的，會因個體不同而不同。假設母體內相似性低，

故不採抽樣方式而是直接以母體全部觀察所有個體間差異；且假設殘差為 特定個體效果與解釋變數相關，每一個個體截距項為特定常數 = 。

(三)隨機效果模型：

= + ∑ + +

隨機效果模型(又稱誤差成分模型)強調母體整體性，所有或部分模型參數 是隨機變量，其不同分層的組均值是來自總體的隨機樣本，適用於斜率係 數是固定值，截距項為隨機變數，會隨時間和個體變動而有所不同。隨機 效果是固定效果的特例，它分析個體是從不同總體的層次中抽取，這些總 體的差異與該層次結構有關，有助於控制未觀察到的變異性。假設迴歸誤 差與解釋變數不相關，截距項為隨機變數，包含個體間誤差及個體內誤差

= ＋ ＋ 。

二、變數檢定

檢定資料在時間序列上是否恆定，先進行單根檢定；再對解釋變數及被解釋變 數做相關檢定，包含 F 檢定、拉氏乘數檢定、Ｈausman 檢定，判別採用何種追蹤資 料迴歸模型最為合適。

(一)單根檢定：對於有個體性及時間序列性之追蹤資料，需先檢視各變數的相 關數值等是否與時間序列相互獨立而為定態，這對於具時間序列性質資料 而言是很重要的檢定。即是指當受單一事件衝擊時資料僅有短期波動，隨 著時間增加而逐漸回復收斂至長期均衡，資料的統計特性不會跟隨時間而 改變，長期趨勢為一個線性函數。根據以往文獻研究，一般與財政、金融 相關追蹤資料多屬於非定態，易出現殘差項自我相關的虛假迴歸現象，而 產生因果關係實證結果虛假，導致推論錯誤。因為傳統最小平方法之迴歸 模型在估計變數與變數間的相關性時，是以定態為假設前提，然而，追蹤 資料是否定態，需先進行單根檢定，檢視模型是否平穩；如果檢定結果為 非定態，需先將資料差分後，再做迴歸。

即檢定時間序列： =

其中 ：當期變數， ：前期變數， ：截距項， ：時間趨勢項，

：自我迴歸係數， ：殘差項。

虛無假設 ：當 = 1 時，有單根存在，時間序列非定態。

對立假設 ：當 1 時，單根不存在，時間序列為定態。

對追蹤資料採單根檢定方式以消除殘差自我相關及異質變異的問題。為提 高檢定力並使結果較為精確，採以下三種檢定方式：

1、ADF 檢定(Augmentde Dickey-Fuller Test, 1984) 優點為解決殘差序列自我相關的限制。

2、PP 檢定(Phillips-Perron Test, 1988)

優點為解決殘差自我相關及異質性的限制。

3、IPS 檢定(Im-Pesaran-Shin Test, 2003)

優點為適合追蹤資料並解決各組自我迴歸係數相同的限制。

(二)F 檢定：為檢定不同個體間所有未可觀測之解釋變數效果是否相同，即檢視 每個觀察個體的截距項是否相同，以判別觀察個體是否具追蹤資料的特性。

其假設為：

： = = … = ，個體效果相同。

：所有的 不完全相等，個體效果存在異質性。

檢定結果若無法拒絕 ，表示個體效果相同，採用混合 OLS 迴歸模型；

若拒絕 ，表示個體效果存在異質性，則採固定效果模型。一般而言，較 小的橫斷面與長的時間序列資料，適合混合 OLS 模型；大的橫斷面與短的 時間序列資料，較適用於追蹤資料模型。

(三)拉式乘數檢定：為檢定自我相關條件異質變異性，由 Breusch and Pagan(1980) 提出，之後經由 Baltagi and Li (1990)修正成為適用於追蹤資料模型的拉式 乘數 (lagrange multiplier)檢定來檢測個體間的殘差項是否符合穩定性，即截 距項是否有差異，以判別模型設定的適應性(即無 panel effect)。其假設為：

： = = … = ，個體不具異質性。

：所有的 不完全相等，個體效果存在異質性。

拉式乘數檢定結果若無法拒絕 ，表示橫斷面資料不具異質性，殘差項符 合穩定性，採用混合 OLS 迴歸模型；若拒絕 ，表示個體間存在異質性，

則採隨機效果模型。

(三)Hausman 檢定：為檢定模型變數為隨機或固定，由 Hausman(1978)提出的檢 測是否個別效果顯著不同，基於截距項 與解釋變數 X 間可能產生相關性，

造成迴歸模型存在內生性問題，以判斷是採用隨機效果模型或固定效果模 型。其假設為：

：E（ , ） = 0，個體效果與解釋變數不具相關性。

：E（ , ） 0，個體效果與解釋變數具相關性。

Hausman 檢定結果若無法拒絕 ，表示截距項與釋解變數不具相關性，採 隨機效果模型；若拒絕 ，表截距項與釋解變數具相關性，個體效果與模 型內其他變數有相關性而違反隨機效果模型假設，則採用固定效果模型。

研究探討之研究檢定及相關模型關係之流程圖如下：

圖 3－2 追蹤資料研究檢定流程圖 追蹤資料

非定態 定態

拉式乘數 檢定

個體不具 異質性 個體具

異質性

混合 OLS 迴歸模型

Hausman 檢定

截距項與釋解變數 不具相關性

截距項與釋解變數 具相關性

隨機效果模型 固定效果模型

F 檢定

截距項 不全相同 截距項

相同

單根檢定

混合 OLS 迴歸模型 差分