理論基礎

第二章 文獻探討

本研究旨在探討運用互動式電子白板於國小二年級兩步驟問題的教學 成效。本章針對研究的相關理論進行分析探討，共分為四節，第一節為數學 解題歷程的理論基礎；第二節為兩步驟文字題之教材分析；第三節為兩步驟 文字題的相關研究；第四節為互動式電子白板與教學之相關研究。

第一節 理論基礎

本研究探討主題為國小二年級學童在兩步驟文字題之解題表現，內容涉 及文字題的解題能力，故本節將探討數學的解題歷程、解題策略以及兩步驟 問題的相關理論。

壹、數學解題歷程與解題策略

文字題的解題常常需要結合計算與理解這兩種能力，才能順利完成解題 的步驟（古明峰，1998），且文字題的解題並不單純只是符號的運算，雖然 它扮演著數學與文字之間的橋樑，卻也凸顯了整合兩種能力的困難（陳立倫，

1999），而國外學者Fuson(1982)曾指出計算能力可分成全部計數(counting all)、

相接計數(counting on)、事實衍生(derived facts)、事實已知(known facts)等四 個不同的層次，Silver(1981)也提到大部分程度比較好的解題者，通常都比程 度較差的解題者具備更多有用的問題基模。

數學課程的重要目標之一就是解決問題，從認知心理學角度看，想要解 決數學的應用問題，除了熟悉基本運算規則外，也要能將文字脈絡或問題脈 絡透過自然語言轉換成算術語言，形成運算並正確執行，才可以達到順利解 題（秦麗花，1995）。劉兆文（1995）也建議有系統的教導學生有關於轉譯、

有意義的表徵問題，以及想出解題的計劃，才是正確的數學科領域教學。

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教學上除了要增進學生閱讀和運算的能力之外，也要提升學生的解題策 略，而教導學生如何應用解題的策略，就好像教導學生要怎麼捕魚的技巧，

學生學會了就能在社會上悠游的生存（陳麗玲，1993）。以下將針對 Polya 與Mayer 的解題歷程，以及 Nesher、Greeno 與 Riley 的解題策略來加以說明：

一、Polya 的解題歷程

Polya(2004)在「怎樣解題」（How to solve it:a new aspect of mathematical method）這一本書當中，把解題的工作分為以下四個步驟：

（一）瞭解問題：問題當中的未知數是什麼？有什麼是已知的資料？條件是 什麼？它能充分決定未知數嗎？或者只是多餘、矛盾的呢？

（二）擬定計畫：找出已知的資料與未知數之間的關聯，如果問題沒有辦法 解決，那就嘗試從某個小一點的相關問題來思考。

（三）實施計畫：實行解答的計畫，並檢查每一個步驟是否有缺漏之處。能 否證明自己的每個步驟都是正確的？

（四）驗算解答：確定答案是否正確。

二、Mayer 的解題歷程

Mayer(1992)在「Thinking, problem solving, cognition」一書中提到了關 於數學應用問題的解題歷程，可以分成以下四個步驟：

（一）問題轉譯(problem translation)：解題者必須先把題目當中的每一句敘 述轉換成內在表徵，為了順利達成這個目的，因此解題者需要具備一些 語言知識(linguistic knowledge)及語意知識(semantic knowledge)。

（二）問題整合(problem integration)：解題者接著要將題目中全部的訊息放 在一起，因此具備認識此問題的基模知識(schema knowledge)便成為達 成該步驟的重要條件。

（三）解題計畫與監控(solution planning and monitoring)：對於了解問題而言，

前兩個步驟中所提到的語言知識、語意知識和基模知識都是很有用的。

到了此步驟，為了解決已經了解的問題，解題者必須擁有一些額外評估

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解題的策略與知識，因此在這個步驟要具備的是策略知識(strategic knowledge)。

（四）解題執行(solution execution)：最後一個步驟就是執行解題，這個步驟 主要是使用數學符號來解決問題，就好比如何估算一樣，解題者需要的 是程序性的知識(procedural knowledge)。

三、Nesher、Greeno 及 Riley 的解題策略

兒童概念發展的成熟度與解題策略的使用有所相關，解題表現也可分成 幾個不同的層次，其中Nesher、Greeno、Riley(1982)將兒童解決文字題的表 現分為四種層次：

（一）層次一為具體物策略：在這個層次的兒童只會使用具體物策略來解題，

比較沒有辦法解決無法具體化的問題。

（二）層次二為具體物策略和數數策略：在這個層次的兒童可以同時採用具 體物策略和數數策略，以釐清事物間的因果關係，但是兒童只會進行單 向思考，而無法對擁有對稱關係的問題結構進行逆向思考。

（三）層次三為具「部分-部分-整體」基模：在這個層次的兒童主要採用數 數策略，且已經會運用「部分-部分-整體」基模，可以理解題目間數字 的部分與整體關係，對具有對稱關係的結構能進行逆向思考，但是因為 缺乏「可逆轉性比較基模」，所以只能進行單向而無法進行反向表徵「不 對稱關係結構」的問題。

（四）層次四為可逆轉性比較基模：在這個層次的兒童已有「可逆轉性比較 基模」，而且能進行反向表徵「不對稱關係結構」的問題，因此能把問 題中數量的不等關係轉換成相等關係。

貳、兩步驟問題

所謂的兩步驟問題，是指要使用兩次運算才能解決的問題，且被使用的 運算並不限於加法或減法。兩步驟的解題記錄是否合乎數學活動常規，在於 對等號「=」意義的解讀，如果無法把等號看成等價關係來記錄，則由「算

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式終結於操作結果量的數值化」之共識，來解決兩步驟問題解題活動記錄的 問題（甯自強，1993）。Marshall、Pribe and Smith(1987)用運算的步驟來區分 文字題的類型，如果需經由一個運算步驟完成解題的就是單步驟文字題，如 果要經由二個運算步驟完成解題的則為兩步驟文字題。

Kintsch(1986)則認為文字題的類型在學生解題方面扮演著一個重要的 因素。甯自強也提到兩步驟問題的題意和解題所包含的差異在「子目標」的 建立，也就是說，對於解決兩步驟問題，所涉及到的是解決第一步驟問題的

「子」目標之建立活動，其內容如下表2-1-1 所示。

表2-1-1

題意與解題蘊涵活動的比較

資料來源：引自甯自強（1993）。兩步驟的問題。教師之友，34(2)。

綜合上述學者所提出的解題歷程、解題策略以及兩步驟問題的相關理論 內容可知，文字題的解題除了需要具備計算能力之外，還要看其解題記錄是 否合乎數學活動常規，且兩步驟文字題的解題歷程大多有一定的軌跡可循。

問題：車上原有10 人，下去 5 人，再上來 4 人，現在有多少人？

題意所蘊涵的活動 解題所蘊涵的活動

(1)合成一量，並確定其數值為 10 (1)合成一量，並確定其數值為 10 (2)自數值為 10 的量中移去一數值為

5 的量，

(2)自數值為 10 的量中移去一數值為 5 的量，

(3)將剩餘的量確定其數為 5，

(3)將剩餘的量與一數值為 4 的量加 以合成，

(4)將數值為的 5 剩餘量與一數值為 4 的量加以合成，

(4)確定被合成新的量的數值為 9。 (5)確定被合成新的量的數值為 9。

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因此，當所有的條件都符合後，學習者便能很容易完成文字題解題的步驟。