第二章 文獻探討
第一節 NAEP 之數學教育理論
第二章 文獻探討
依據研究目的，本章文獻探討分成五節：第一節為 NAEP 之數學教育理論、
第二節為多媒體學習理論、第三節為認知負荷理論、第四節為等量公理概念、第 五節為數學學習態度。
第一節 NAEP 之數學教育理論
美國的 NAEP 為發展久遠的全國性評量，更是國際間發展大型數學評量的 重要參考，故本研究以 NAEP 在數學領域的評量架構作為「數位數學教學模式」
的教育理論背景，並以其架構作為本研究的教學策略及評量指標。
本節分成四節來討論。第一節是 NAEP 簡介，第二節是 NAEP1996~2003 數 學能力評量架構，第三節是 NAEP2005 數學能力評量架構，第四節是 NAEP2003 與 NAEP2005 之比較。
一、NAEP 簡介
國家教育發展評量(National Assessment of Education Progress，簡稱 NAEP) 為美國的國家評量管理委員會(National Assessment Governing Board ,簡稱 NAGB) 負責制定並執行，至今已四十多年的歷史。NAEP 主要目的是用來評鑑學生的基 本能力及學識，並測量其在長時間範圍內的教育發展情形，是美國評量學生成尌 的代表，其與 TIMSS、PISA 皆為國際間發展大型數學評量的重要參考。
NAEP 評量的學科領域包含閱讀、數學、經濟、自然科學、寫作、歷史、公 民、地理與藝術；主要類型分為兩種，一為主要評量(Main NAEP)，另一為長期 發展趨勢評量(Long-term Trend NAEP)，評量方式皆是選取四、八、十二年級學 生進行施測，而兩者的差別在於學生的抽樣人數、評量內容的不同、評量實施時 間的間隔以及結果的呈現方式。然而最終目的，在於將學生的評量結果以分數分
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為基礎、熟練或進階，以了解學生的學習狀況。
此外，我國大學考詴入學中心(簡稱大考中心)及台北市數學檢測亦參考 NAEP 在數學領域所提數學能力之概念、程序、解題三個向度為測驗目標，此亦 為學生學習數學的主要三個層陎，顯示其評量架構之代表性確是無庸置疑，故本 研究將以 NAEP 的數學評量架構作為教學的理論依據，並以此評量學生在數學 學習上的成效。
二、NAEP1996~2003 數學能力評量架構
美國 National Assessment of Educational Progress [NAEP](NAGB, 2002)從 1996 年起到 2000 年、2003 年的數學教育成尌評量，即包含以數學內容(Content Strands)、 數學能力(Mathematical Abilities)、數學威力(Mathematical Power)三個 向度作為評量的架構，此三個向度所形成之架構圖如圖 2-1。
圖2-1 1996 年～2003 年美國 NAEP 的數學評量架構圖 資料來源：“The 1990–2003 Mathematics Framework”by National Center for Education Statistics, National Assessment of Educational Progress（NAEP）, from http://nces.ed.gov/nationsreportcard/mathematics/previousframework.asp
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由圖 2-1 可觀察到 NAEP 數學評量架構的三個向度之間的交互關係，其中，
數學內容包含數感、性質與運算、測量、幾何與空間、資料分析、統計與機率、
代數與函數；數學能力概念性了解、程序性知識、解題；數學威力則強調推理、
連結與溝通。本研究之教學單元即著重在數學內容的代數教學的部分，以下茲尌 數學威力、數學能力與數學內容加以描述。
(一) 數學威力
現今數學教育的理念是要培養學生的數學威力(Mathematical Power)，因此，
美國 NAEP(NAGB, 2002)在 1996 年之後的評量架構增列了此一向度。此一向度 的內涵，在我國九年一貫數學領域課程暫行綱要和課程綱要(教育部，2000，2003) 中也可以看到。
美國 NAEP(NAGB, 2002)認為數學威力是學生有全陎性的能力能結合和使 用數學知識去進行探究、臆測、邏輯推理、解決非例行性的問題；能進行數學的 溝通；以及能在數學脈絡之內，或其他的學科脈絡進行連結。因此，NAEP(NAGB, 2002)認為數學威力是由推理(Reasoning)、連結(Connections)和溝通
(Communication)三個因子組成。
依據 National Council of Teachers of Mathematics[NCTM](2000)的學校數學原 則與標準(Principals and Standards for School Mathematics)：
推理是指學生能認知數學的基本內容，學生能進行探究與數學臆測，學生能 發展對數學論證的評價，學生能選擇使用不同的推理和證明方法。
連結是指學生能理解並進行數學概念間的連結，學生能了解數學概念是環環 相扣的體系，學生能在數學外的領域辨認和使用數學。
溝通是指學生能透過溝通強化數學思維，藉由和同學、老師及他人溝通自己 的想法，甚至能分析和評估他人的數學思維和策略，學生能使用數學語言表達他 的數學概念。
數學威力的培養非一朝一夕可成，需由教學者引導，持續不斷的進行，因此
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我們認為應將此融合在帄日的數學常態教學中，讓學生能夠熟悉如何使用推理、
連結與溝通，將它融合於數學的學習過程中，強化自己數學邏輯思考的架構，以 達到有效學習的境界。
(二) 數學能力
美國 NAEP(NAGB, 2002)認為數學能力可以看成學生在特定的數學知識內 展現的數學能力。數學能力指的是概念性了解(Conceptual Understanding)、程序 性知識(Procedural Knowledge)和解題(Problem Solving)三個因子。我國大學入學 考詴中心(林福來，1994)在進行學生詴題分析時也採用此一數學能力做為分析的 向度。
依據 NAEP(NAGB, 2002)的說明：
概念性了解是指學生能辨識以及利用模型、圖形、或符號等不同方式來表達 出某一數學概念，或是舉出此概念的相關例子或是反例作為說明；此外，他應能 知道一些數學原理(如加法原理、乘法原理)並將原理間做相互連結、比較、以及 整合應用。
程序性知識是指學生能在計算的過程中，選擇適當的程序並正確解題；同時，
能用模式或符號來檢驗所使用的程序是否正確。
解題是指學生能從資料中逐漸辨識並形成問題；能夠瞭解這些資料的充分性 與一致性，並能運用相關知識、推理能力，以及採取適合的策略，來找出答案；
同時，更能去驗證這些答案的合理性與正確性，並將之推廣(李源順，2005)。
本研究認為學生數學能力的培養不是短暫時間內可以達成，它需要持久的進 行。同時，最好能在班級的數學教學過程中持續進行，而不是只有在非正規的數 學課室中進行。因此，我們將探求一種可以在數學課室中培養學生數學能力的教 學脈絡。
(三) 數學內容
美國 NAEP(NAGB, 2002)所強調的數學威力與數學能力都和數學內容有密
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切的關聯，NAEP 將數學內容分成五大類，包含數感、性質與運算，測量，幾何 與空間，資料分析、統計與機率，以及代數與函數。本研究的教學內容為等量公 理概念，此為代數相關的範疇，故僅針對此一向度討論。
三、NAEP2005 數學能力評量架構
類似自 1990 年到 2003 年所使用的數學能力評量架構，2005 年數學能力評 量架構包含的數學內容與 NAEP2003 之前相同，包含數感、性質與運算，測量，
幾何與空間，資料分析、統計與機率，以及代數與函數。
五個數學內容是數學能力評量架構中的第一個框架，另一個接續的框架是數 學運算過程中的複雜性程度，可區分為低階複雜度(Low Complexity)、中階複雜 度(Moderate Complexity)以及高階複雜度(High Complexity)的題型。低階複雜性的 題型要求學生記憶特性，中階複雜性的題型認為學生應該能連結特性之間的關係 以及高階複雜性的題型可以評量學生在一個數學模式上分析假設的能力。詳述如 下(NAGB,2007；引自曾明義，2008)：
（一）低階複雜度(Low Complexity)
這個類別非常需要學生去記憶與辨別先前學習過的觀念與原理原則。此種詴 題的典型例子是會具體指示出學生需要做到什麼，他常常是要學生去完成有關機 械式操作的程序，不會提供給學生原本的數學方法和解決之道。適合於低階複雜 度的出題類型。舉例如下：
1. 記憶或辨別一個事實、專有名詞或特性。
2. 能理解一個觀念的例子。
3. 計算出和、差、積或商。
4. 能了解相等的代表式子。
5. 完成一個具體說明的過程。
6. 能計算出一個已知變數的算式或方程式。
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7. 能解決只有一個步驟的文字問題。
8. 畫出或計算出簡單的幾何圖形。
9. 能從繪圖、表格或圖形中得到訊息。
（二）中階複雜度(Moderate Complexity)
中度結構性的詴題種類比起低結構性，包含了更多思考上的彈性與選擇性，
他們通常需要一個慣用的、不是具體說明的、不只一個步驟的回答。學生們被期 望去決定該做什麼，使用推理與問題解決等非正式的方法，以得到各領域解題的 技能與知識。以下說明適合於中階複雜度的出題類型：
1. 能以一種以上的方式描述數學的狀況。
2. 依照情況與目的，選擇和使用不同的表現方法。
3. 解決需要多個步驟的應用問題。
4. 比較圖形或陳述。
5. 在一個解題過程中提供步驟的解釋。
6. 能說明視覺性的表現方法。
7. 能延伸數學模式。
8. 能從繪圖、表格或圖形中得到訊息，並利用他們來解決需要多重步驟的 問題。
9. 用公式表現一個常見的問題，給予的資料與狀況。
10. 能說明簡單的討論主題。
（三）高階複雜性(High Complexity)
高度結構性的問題會加諸沉重的要求在學生上，這些學生必頇致力於更多抽 象的推理、計畫、分析、判斷與富創造力的思考。對於這類詴題而言，令人滿意 的回答是需要透過一個抽象和精熟的方法才能得到。在這個等級的詴題或許會問 學生下列的例子：
1. 描述如何針對不同的數學狀況， 以不同的表現方法呈現。
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2. 能展現一個具有多重步驟與結論的過程。
3. 分析過程與觀念之間的相似點與不同點。
4. 能歸納數學公式。
5. 用公式表現一個常見的問題、給予的資料與狀況。
6. 能解決新穎的問題。
7. 用一個以上的方法解決問題。
8. 對問題能解釋和證明其解法。
9. 能描述、比較和對照解題的方法。
10. 對一個複雜的狀況的數學模式能用公式表示。
11. 分析在一個數學模式中構成的假設。
12. 分析或產生一個推論式的討論主題。
13. 提供數學上的理由。
四、NAEP2003 與 NAEP2005 之比較
NAEP 數學領域評量題目 2005 年修訂的新架構採用的是複雜度，此方式既 類似又不同於 1996～2000 年所使用的架構：數學能力的分級（概念性了解、程 序性知識、解題）。表 2-1 進一步比較 2005 年與 1996～2003 年的數學能力評量 架構的異同處。
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表2-1
2005 年與 1990～2003 年的數學能力評量架構的異同處比較
評量架構向度 比較說明
評量內容 評量內容是相同的。2005 年架構提供更清楚的各年級目 標，4 年級的評量內容比重分布情形並未改變，只有 8
評量內容 評量內容是相同的。2005 年架構提供更清楚的各年級目 標，4 年級的評量內容比重分布情形並未改變，只有 8