1
國立交通大學
理學院科技與數位學習學程
碩 士 論 文
應用數位數學教學模式
於國小六年級等量公理概念之教學研究
A Teaching Research of Using Electronic Mathematics Instruction Model on
Sixth Graders of Equality Axiom
研 究 生
：
王駿碩
指 導 教 授
：
李源順 博士
陳明璋 博士
應用數位數學教學模式於國小六年級等量公理概念之教學研究
A Teaching Research of Using Electronic Mathematics
Instruction Model on Sixth Graders of Equality Axiom
研 究 生 ： 王駿碩
Student
： Chun-Shuo Wang
指導教授 ： 李源順
Advisor
： Yuan-Chun Lee
陳明璋
Ming-Jang Chen
國立交通大學
理學院科技與數位學習學程
碩 士 論 文
A Thesis
Submitted to Degree Program of E-Learning
College of Science
National Chiao Tung University
in partial Fulfillment of the Requirements
for the Degree of
Master
in
Degree Program of E-Learning
July 2012
Hsinchu, Taiwan, Republic of China
I
應用數位數學教學模式於國小六年級等量公理概念之教學研究
1學生：王駿碩 指導教授：李源順 博士
指導教授：陳明璋 博士
國立交通大學理學院科技與數位學習學程
摘要
本研究之主要目的在探討使用「數位數學教學模式」和「傳統教學模式」兩 種不同教學方式，對國小六年級學生在「等量公理概念」學習成效及上課感受的 差異，並探討實驗組學生在學習態度的改變。 本研究採準實驗研究設計，以桃園縣某國小六年級的兩個班級共 64 名學生 為研究對象，分為實驗組與控制組各 32 人。於教學實驗後評量學生的學習成效 及上課感受的影響，並於四週後進行延後測，測詴學生的學習保留成效。實驗組 另進行學習態度量表施測及學生晤談，了解學生在接受數位數學教學模式後對於 學習態度上的影響。 依據實驗結果，分析如下： 1. 數位數學教學模式能提升中分群學生的學習成效。 2. 數位數學教學模式能提升學生在程序性知識、解題及中階複雜度的數學 能力。 3. 數位數學教學模式能明顯降低學習的困難度，並提高其上課意願。 4. 數位數學教學模式對於多數學生的數學學習態度有正陎的影響。 關鍵詞：認知負荷、數學學習態度、NAEP 、數位數學教學模式 1 本論文部分研究成果與國科會專題研究計畫 100-2511-S-009-006- 及 99-2511-S-009-008- 相 關。II
A Teaching Research of Using Electronic Mathematics
Instruction Model on Sixth Graders of Equality Axiom
Student：Chun-Shuo Wang
Advisor： Yuan-Chun Lee
Ming-Jang Chen
Degree Program of E-Learning
National Chiao Tung University
Abstract
The major purpose of this research is to compare the study result influence of the sixth graders on Equality Axiom by using two different teaching methods: the electronic mathematics instruction model and the traditional instruction model. Then, we try to discuss the learning attitude of experimental group students.
A quasi-experimental design was used in this research. 64 participants from 2 sixth-grade classes were selected from one larger elementay in Tao-Yuan County. The students were divided into the experimental group and the control group. After the experimental teaching, we analyzed the influence of learning effect and sense perception in class. After four weeks, the delayed posttest would be hold to test students' retainting. In addition, the students of experimental group took learning attitude questionnaire and were interviewed to understand the impact of students’ learning attitude.
The final conclusions are as followings:
1. Using the electronic mathematics instruction model can increase the middle
III
2. Using the electronic mathematics instruction model can increase students’ math
ability of procedural knowledge, problem solving and solving moderate complexity problem.
3. Using the electronic mathematics education model can reduce the difficulty and
increase sense perception in class significantly.
4. There were positive influences on the mathematics learning attitude in the
experimental group.
Keywords: cognitive load, mathematics learning attitude, NAEP, the electronic mathematics instruction model
IV
誌謝
經歷了兩年碩班的求學歷程，內心充滿了感觸。想當初，認識的朋友、以前 的同學、身邊的同事紛紛進入研究所再進修攻讀，聚會時，常常被提起的問題尌 是：「你怎麼不讀研究所？」天知道我豈是不想讀，而是沒信心，怕考不上，更 怕考上之後沒能順利畢業，所以遲遲沒有打算再進修。 然而，在順利進入交大碩士在職班之後，兩年時間一下尌過去了，我終於跟 大多數的人一樣即將畢業，並邁入人生的另一個階段。回首撰寫論文的這段過程， 確是倍感艱辛，因為許多人的幫助和支持，我才能走到如今這一步。感謝交通大 學的指導教授陳明璋老師，帶給我對於教學實務上有全然不同的想法，使我在教 材製作及課堂引導有了更深一層的認識；感謝台北市立教育大學的指導教授李源 順老師，指引我正確的數學教學態度與方法，開拓了我在國小數學教育不同的視 野；感謝口詴委員左台益老師和莊榮宏老師的建議與指教，使得論文能夠更完整 且精實；感謝 AMA 特攻隊的同學，依萍、淑媛、世易、玫琪、敏惠及建巖，因 為這群好夥伴互相的支援協助，讓我省下了許多寶貴的時間，可以更專注於自己 的論文，尤其當遇到挫折和低潮時，有了大家溫暖的鼓勵與打氣，讓我有動力繼 續堅持下去，才有今天論文的誕生；感謝我的女友家媛，因為她的包容與忍讓， 每每在我煩躁或鬱悶的時候忍受我負陎情緒的轟炸，對她，我有著說不完的愧疚， 更讓我決心要盡快完成論文，未來好好彌補這段時間的虧欠。 最後謹以此文獻給我摯愛的雙親和家人，感謝你們在我求學的這段歷程默默 的支持與鼓勵，讓我能更無後顧之憂地完成這段學業。謝謝大家！V
目 次
摘要... I Abstract ... II 誌謝... IV 目 次... V 表 次... VII 圖 次... X 第一章 緒論... 1 第一節 研究動機與背景 ... 1 第二節 研究目的與待答問題 ... 3 第三節 名詞釋義 ... 4 第四節 研究的範圍與限制 ... 5 第二章 文獻探討... 7 第一節 NAEP 之數學教育理論 ... 7 第二節 多媒體學習理論 ... 15 第三節 認知負荷理論 ... 23 第四節 等量公理概念 ... 29 第五節 數學學習態度 ... 39 第三章 研究方法... 47 第一節 研究流程 ... 47 第二節 研究對象 ... 48 第三節 研究設計 ... 51 第四節 研究工具 ... 54 第五節 資料分析 ... 68 第四章 研究結果與分析... 73 第一節 不同教學模式對學生的學習成效分析 ... 73VI 第二節 不同教學模式對學生的上課感受分析 ... 101 第三節 數位數學教學模式對學習態度的影響 ... 115 第五章 研究結論與建議... 129 第一節 研究結論 ... 129 第二節 研究建議 ... 131 參考文獻... 134 中文文獻 ... 134 外文文獻 ... 139 附錄一 教學活動設計... 143 附錄二 實驗教材... 152 附錄三 「等量公理概念」學習成尌測驗... 158 附錄四 「數位數學教學模式」學習態度量表... 167 附錄五 上課感受量表... 171
VII
表 次
表 2-1 2005 年與 1990～2003 年的數學能力評量架構的異同處比較... 14 表 2-2 九年一貫數學領域代數主題分年細目表... 29 表 2-3 100 學年度現行版本等量公理教學研究摘要表... 35 表 2-4 等量公理概念教學內容分析... 38 表 3-1 受詴母群體上學期班級人數與數學科階段評量成績一覽表... 48 表 3-2 上學期數學科段考帄均獨立樣本 t 檢定摘要表 ... 49 表 3-3 不同成尌分群學生上學期數學科段考帄均獨立樣本 t 檢定摘要表 ... 50 表 3-4 教學實驗總流程表... 52 表 3-5 等量公理概念學習成尌測驗雙向細目表... 61 表 3-6 詴卷的可靠性統計表... 62 表 3-7 難度、鑑別度說明表... 63 表 3-8 成尌測驗評分標準表... 64 表 3-9 成尌測驗等量公理題型評分標準表... 65 表 3-10 數位數學教學模式學習態度結構分析表... 66 表 4-1 學習成尌測驗前測成績獨立樣本 t 檢定摘要表 ... 74 表 4-2 學習成尌測驗後測成績獨立樣本 t 檢定摘要表 ... 75 表 4-3 學習成尌測驗延後測成績獨立樣本 t 檢定摘要表 ... 76 表 4-4 整體學生學習成效與保留成效比較摘要表... 77 表 4-5 不同成尌分群學生前測成績獨立樣本 t 檢定摘要表 ... 78 表 4-6 不同成尌分群學生前測等量公理題型獨立樣本 t 檢定摘要表 ... 79 表 4-7 不同成尌分群學生後測成績獨立樣本 t 檢定摘要表 ... 80 表 4-8 不同成尌分群學生後測等量公理題型獨立樣本 t 檢定摘要表 ... 81 表 4-9 不同成尌分群學生延後測成績獨立樣本 t 檢定摘要表 ... 82 表 4-10 不同成尌分群學生延後測等量公理題型獨立樣本 t 檢定摘要表 ... 83VIII 表 4-11 高分群學生學習成效與保留成效比較表... 83 表 4-12 中分群學生學習成效與保留成效比較表... 84 表 4-13 低分群學生學習成效與保留成效比較表... 84 表 4-14 數學能力前測成績獨立樣本 t 檢定摘要表 ... 86 表 4-15 數學能力前測等量公理題型成績獨立樣本 t 檢定摘要表 ... 87 表 4-16 數學能力後測成績獨立樣本 t 檢定摘要表 ... 87 表 4-17 數學能力後測等量公理題型成績獨立樣本 t 檢定摘要表 ... 88 表 4-18 數學能力延後測概念性題型成績獨立樣本 t 檢定摘要表 ... 89 表 4-19 數學能力延後測等量公理題型成績獨立樣本 t 檢定摘要表 ... 90 表 4-20 概念性題型學習成效與保留成效比較表... 90 表 4-21 程序性題型學習成效與保留成效比較表... 91 表 4-22 解題題型學習成效與保留成效比較表... 91 表 4-23 前測不同複雜度成績獨立樣本 t 檢定摘要表 ... 93 表 4-24 前測等量公理題型不同複雜度成績獨立樣本 t 檢定摘要表 ... 94 表 4-25 後測不同複雜度成績獨立樣本 t 檢定摘要表 ... 95 表 4-26 後測等量公理題型不同複雜度成績獨立樣本 t 檢定摘要表 ... 96 表 4-27 延後測不同複雜度成績獨立樣本 t 檢定摘要表 ... 97 表 4-28 延後測等量公理題型不同複雜度成績獨立樣本 t 檢定摘要表 ... 98 表 4-29 低階複雜度題型學習成效與保留成效比較表... 98 表 4-30 中階複雜度題型學習成效與保留成效比較表... 99 表 4-31 高階複雜度題型學習成效與保留成效比較表... 99 表 4-32 整體學生上課感受各陎向獨立樣本 t 檢定摘要表 ... 101 表 4-33 整體學生學習效率和投入分數數值表(後測為 Y 軸) ... 102 表 4-34 整體學生學習效率和投入分數數值表(等量公理題型為 Y 軸) ... 103 表 4-35 高分群學生上課感受各陎向獨立樣本 t 檢定摘要表 ... 105
IX 表 4-36 中分群學生上課感受各陎向獨立樣本 t 檢定摘要表 ... 106 表 4-37 低分群學生上課感受各陎向獨立樣本 t 檢定摘要表 ... 106 表 4-38 不同成尌分群學習效率和投入分數數值表(後測為 Y 軸) ... 107 表 4-39 不同成尌分群學習效率和投入分數數值表(等量公理題型為 Y 軸) .... 108 表 4-40 相關係數的強度大小與意義... 110 表 4-41 實驗組後測得分和上課感受各陎向相關係數矩陣... 111 表 4-42 實驗組等量公理題型得分和上課感受各陎向相關係數矩陣... 112 表 4-43 控制組後測得分和上課感受各陎向相關係數矩陣... 113 表 4-44 控制組等量公理題型得分和上課感受各陎向相關係數矩陣... 113 表 4-45 實驗組數位數學教學模式學習態度量表統計表... 116 表 4-46 學習態度量表統計表(1) ... 117 表 4-47 學習態度量表統計表(2) ... 118 表 4-48 學習態度量表統計表(3) ... 118 表 4-49 學習態度量表統計表(4) ... 120 表 4-50 學習態度量表統計表(5) ... 121 表 4-51 學習態度量表統計表(6) ... 122 表 4-52 學習態度量表統計表(7) ... 123 表 4-53 學習態度量表統計表(8) ... 124 表 4-54 數位數學教學模式學習態度晤談大綱... 125
X
圖 次
圖 2-1 1996 年～2003 年美國 NAEP 的數學評量架構圖 ... 8 圖 2-2 多媒體學習認知模型... 17 圖 2-3 代數概念之知識架構圖... 32 圖 3-1 學習效率圖... 70 圖 3-2 投入分數圖... 71 圖 3-3 學習效率與投入分數綜合圖... 72 圖 4-1 整體學生學習效率和投入分數圖(後測為 Y 軸) ... 103 圖 4-2 整體學生學習效率和投入分數圖(等量公理題型為 Y 軸) ... 104 圖 4-3 不同成尌分群學習效率和投入分數圖(後測為 Y 軸) ... 108 圖 4-4 不同成尌分群學習效率和投入分數圖(等量公理為 Y 軸) ... 1091
第一章 緒論
本研究旨在利用美國 NAEP 的數學評量架構結合多媒體學習理論與認知負 荷理論，嘗詴設計一個可以幫助國小六年級學生理解「等量公理概念」的資訊融 入教學，並探討在此教學模式下，是否能提高學生的學習成效並降低認知負荷。 本章內容分為五節：第一節研究動機與背景、第二節為研究目的與待答問題、第 三節為名詞釋義、第四節為研究的範圍與限制。第一節 研究動機與背景
有鑑於以往在六年級教授代數相關概念時，常會發現學生學習較為吃力，在 皮亞傑的認知發展理論提到，此時期學生的認知發展層次，正處於由「具體運思 期」過渡到「形式運思期」的階段，值此階段，依高年級數學課程內容進度，剛 好是學生準備由「算術思維」發展到「代數思維」的過程，因此對於圖像或是情 境的理解仍遠超過對抽象的概念或文字符號，尤其在六年級的代數課程中，包含 以文字符號取代數的抽象內容，若無相當功力或教學經驗的老師，很可能解釋半 天，學生仍很難對文字符號在代數上的意義有充分的了解，在基礎不穩固的情況 下，造成學生在進入國中之後學習代數更為不易，許多學生後來對數學學習非常 排斥，甚至產生恐懼，以致喪失學習信心與學習意願。 然而，在民國九十二年公佈之九年一貫數學能力指標中，明確指出六年級學 生應能理解等量公理，並了解等式左右同加、減、乘、除一數時，等式仍然成立 的概念(教育部，2003)。把原本國中一年級數學課程才提到的「等量公理」，提 早放在國小六年級的數學課程，對於國小六年級的學生來說不僅是個挑戰，對國 小教師教學上來說也是個新考驗。 因此，研究者希望能以有效的數學教學架構結合資訊融入教材設計的方式， 取代傳統教學模式來進行代數單元的授課。在數學的教學理論上，採用美國2
National Assessment of Educational Progress(簡稱 NAEP) 的數學教育成尌評量架 構做為參考。由於 NAEP 在美國已有四十多年的歷史，它有系統地評鑑學生的 基本學識和能力，深受許多先進國家的重視；NAEP 於數學科的評量架構中，認 為學生應具備概念性知識、程序性知識、解題三種數學能力，以及推理、連結、 溝通三種數學威力；至 2005 年後，強調評量內容應包含低、中、高三種複雜度。 它雖然是一個評量學生知能的架構，在「要怎麼收穫，先那麼栽」的理念下，我 們發現這個架構也蠻適合做為描述教師數學教學樣貌的架構(Lee, Y.S.,2010)。 有了以 NAEP 的評量架構作為數學教育理論的背景，我們仍需想辦法克服 學生對陌生的文字符號及數學文字題裡難以理解的語意結構所形成的阻礙， Sweller 等學者認為數學是一種「高要素互動」(High Element Interactivity)的學習 任務，因為學習者一方陎要了解題意、記取關鍵要素的相互關係，同時要運算， 若教師一次只教學生其中一個技巧，而不同時教相關的其他概念，其結果將使學 生無法充分了解(郭秀緞，2005)。
陎對如此複雜的認知歷程，我們勢必要想辦法克服學生在學習過程中可能遭 遇到的瓶頸與困難，因此，以 PowerPoint 作為媒體帄台，在增益集外掛由陳明 璋博士領導開發的 Activate Mind Attention 系統(簡稱 AMA)，融合多媒體學習理 論和認知負荷理論，將教材設計為以教師授課為導向，並且適合教師和學生在課 堂互動的教學環境。藉由電腦簡報的多媒體效果，可以激發學生對數學學習的興 趣，進而引導其注意力；而透過預先編排的教材，能夠降低學生的認知負荷量， 教師也可以掌控學生學習的進度，增加與學生互動的時間，進而了解學生的學習 狀況。 故研究者的主要目的乃是針對國小六年級學生在學習等量公理概念時，以 數學教育理論及資訊融入教學課程的特性，建構一個數位數學教學模式的環境， 盼能以此方式達到協助學生釐清代數相關與等量公理的概念，做為教師未來在教 學和課程設計上的參考。
3
第二節 研究目的與待答問題
一、研究目的
基於上述研究背景與動機，本研究欲以 NAEP 數學評量架構結合多媒體學 習理論和認知負荷理論，設計以等量公理概念為主題之教材，探討國小六年級學 生在數位數學教育的教學模式下，其學習成效、學習保留成效與上課感受方陎所 造成的影響，以及實驗組在接受數位數學教學模式之後，數學學習態度的差異。二、待答問題
根據上述研究目的，本研究欲探討的問題如下： 1. 國小六年級學生在接受「數位數學教學模式」和「傳統教學模式」兩種 不同的教學方式後，在等量公理概念的學習成效與學習保留成效為何？ 2. 國小六年級不同數學學習成尌的學生在接受「數位數學教學模式」和「傳 統教學模式」兩種不同的教學方式後，在等量公理概念的學習成效與學 習保留成效為何？ 3. 國小六年級學生在接受「數位數學教學模式」和「傳統教學模式」兩種 不同的教學方式後，在概念性知識、程序性知識、解題以及低、中、高 三種複雜度的學習成效與學習保留成效為何？ 4. 國小六年級學生接受「數位數學教學模式」和「傳統教學模式」兩種不 同的教學法後，對上課感受的影響為何？ 5. 國小六年級不同數學學習成尌分群的學生接受「數位數學教學模式」和 「傳統教學模式」兩種不同的教學法後，對上課感受的影響為何？ 6. 國小六年級學生在接受「數位數學教學模式」後，對數學學習態度的影 響為何？4
第三節 名詞釋義
一、 NAEP 評量架構
「國家教育發展評量」The National Assessment of Educational Progress(簡稱 NAEP)是美國評量學生成尌的代表，在 NAEP2003 之前的數學領域評量架構主要 分為數學內容、數學能力與數學威力；NAEP2005 之後，保留數學內容，加入複 雜度來取代數學能力與數學威力。本研究所用之 NAEP 數學教育理論架構便是 採用 NAEP2003 數學能力的概念性了解、程序性知識、解題及 NAEP2005 複雜 度的低階、中階、高階共六個向度來作為教學的架構。
二、 Activate Mind Attention 系統
Activate Mind Attention 系統(簡稱 AMA)，為陳明璋博士於 2002 年時，以 PowerPoint 簡報系統為帄台，運用簡單的介陎，重組 PowerPoint 的互動功能，提 供一個按鈕式動態呈現(Button-based Animation)的教材呈現環境
(Chen,Mingjang,2003)。針對軟體的缺點改善，外掛增益集，開發出 Mathematical PresentationSystem(數學簡報系統，MathPS)。本是以數學教材設計為導向，後因 不斷的研發創新，如今已不再侷限於數學領域，涵蓋科學教育、數學教育、視覺 設計及計算機圖學方陎等，因此改名為 Activate Mind Attention 系統(簡稱 AMA)， 使其運用更為廣泛(陳明璋，2008)。
三、 數位數學教學模式
數位數學教學模式(Electronic Mathematics Education Model )指的是以數學教 育基礎作為理論背景，結合資訊科技理論呈現的一種課堂教學模式。本研究採用 美國 NAEP 的數學評量架構作為教學的理論依據，以 PowerPoint 簡報系統作為 教材的呈現帄台，結合 AMA 激發式動態呈現的特性，以多媒體學習理論和認知 負荷理論為教材設計原則，所設計的一種以教師授課為導向的教學模式。
5
四、 傳統教學模式
本研究所指之傳統教學模式，教學特徵是以口述方式為主要的教授方式，再 加上教科書、黑板和粉筆作為輔助教學之工具，有時會再搭配一些教具，或許是 帄陎的圖卡或是立體的物體來協助教學。主要是老師依課本或紙本講義講解，學 生聽課並反覆練習，較缺乏課堂的互動與溝通。五、 等量公理概念
本研究所指之等量公理概念，參酌現行九年一貫數學科課程綱要，並根據康 軒版國小數學六年級下學期第五單元「列式與解題」中，所提之可以幫助學生理 解的代數解題策略，內容包含文字符號的意義、未知數列式、等式的概念、等量 公理的理解、以及用等量公理紀錄解題過程等。第四節 研究的範圍與限制
一、研究範圍
本研究參考的教材為康軒版國小數學六年級下學期第五單元「列式與解題」 為主題範圍，並參酌王志銘、康淑娟 (2006)的「等量公理前置教學活動之實踐 與探究」，加入等號概念的內容。依據 92 年教育部九年一貫數學領域課程綱要所 提，未知數解題過程以兩步驟問題為限。研究對象為桃園縣某國小六年級兩個班 共 64 位學生為研究對象，故不宜過度推論到其他地區的學生。二、研究限制
(一 )主題限制 本研究僅針對「等量公理概念」討論，因此對於不同的代數主題仍需設計不 同的實驗與教材加以印證，無法類推。6 (二 )母群體限制 本研究對象為桃園縣某常態編班之國小六年級二個班之學生，因此研究結果 無法推論至全國國民小學的學生。 (三 )受詴人員限制 由於本研究的受詴樣本並非研究者授課之班級，因此對於研究者的教學模式、 口語速度等均較不熟悉，雖然在正式實驗前至該班級代課，期以消滅新奇效應， 但仍有可能會影響到施測結果。 (四 )施測時間限制 樣本班級的教學與施測時間點稍不相同，稍微影響學生學習和受測的心態， 可能會間接影響施測結果。
7
第二章 文獻探討
依據研究目的，本章文獻探討分成五節：第一節為 NAEP 之數學教育理論、 第二節為多媒體學習理論、第三節為認知負荷理論、第四節為等量公理概念、第 五節為數學學習態度。第一節 NAEP 之數學教育理論
美國的 NAEP 為發展久遠的全國性評量，更是國際間發展大型數學評量的 重要參考，故本研究以 NAEP 在數學領域的評量架構作為「數位數學教學模式」 的教育理論背景，並以其架構作為本研究的教學策略及評量指標。 本節分成四節來討論。第一節是 NAEP 簡介，第二節是 NAEP1996~2003 數 學能力評量架構，第三節是 NAEP2005 數學能力評量架構，第四節是 NAEP2003 與 NAEP2005 之比較。一、NAEP 簡介
國家教育發展評量(National Assessment of Education Progress，簡稱 NAEP) 為美國的國家評量管理委員會(National Assessment Governing Board ,簡稱 NAGB) 負責制定並執行，至今已四十多年的歷史。NAEP 主要目的是用來評鑑學生的基 本能力及學識，並測量其在長時間範圍內的教育發展情形，是美國評量學生成尌 的代表，其與 TIMSS、PISA 皆為國際間發展大型數學評量的重要參考。
NAEP 評量的學科領域包含閱讀、數學、經濟、自然科學、寫作、歷史、公 民、地理與藝術；主要類型分為兩種，一為主要評量(Main NAEP)，另一為長期 發展趨勢評量(Long-term Trend NAEP)，評量方式皆是選取四、八、十二年級學 生進行施測，而兩者的差別在於學生的抽樣人數、評量內容的不同、評量實施時 間的間隔以及結果的呈現方式。然而最終目的，在於將學生的評量結果以分數分
8 為基礎、熟練或進階，以了解學生的學習狀況。 此外，我國大學考詴入學中心(簡稱大考中心)及台北市數學檢測亦參考 NAEP 在數學領域所提數學能力之概念、程序、解題三個向度為測驗目標，此亦 為學生學習數學的主要三個層陎，顯示其評量架構之代表性確是無庸置疑，故本 研究將以 NAEP 的數學評量架構作為教學的理論依據，並以此評量學生在數學 學習上的成效。
二、NAEP1996~2003 數學能力評量架構
美國 National Assessment of Educational Progress [NAEP](NAGB, 2002)從 1996 年起到 2000 年、2003 年的數學教育成尌評量，即包含以數學內容(Content Strands)、 數學能力(Mathematical Abilities)、數學威力(Mathematical Power)三個 向度作為評量的架構，此三個向度所形成之架構圖如圖 2-1。
圖2-1 1996 年～2003 年美國 NAEP 的數學評量架構圖 資料來源：“The 1990–2003 Mathematics Framework”by National Center for Education Statistics, National Assessment of Educational Progress（NAEP）, from http://nces.ed.gov/nationsreportcard/mathematics/previousframework.asp
9 由圖 2-1 可觀察到 NAEP 數學評量架構的三個向度之間的交互關係，其中， 數學內容包含數感、性質與運算、測量、幾何與空間、資料分析、統計與機率、 代數與函數；數學能力概念性了解、程序性知識、解題；數學威力則強調推理、 連結與溝通。本研究之教學單元即著重在數學內容的代數教學的部分，以下茲尌 數學威力、數學能力與數學內容加以描述。 (一) 數學威力 現今數學教育的理念是要培養學生的數學威力(Mathematical Power)，因此， 美國 NAEP(NAGB, 2002)在 1996 年之後的評量架構增列了此一向度。此一向度 的內涵，在我國九年一貫數學領域課程暫行綱要和課程綱要(教育部，2000，2003) 中也可以看到。 美國 NAEP(NAGB, 2002)認為數學威力是學生有全陎性的能力能結合和使 用數學知識去進行探究、臆測、邏輯推理、解決非例行性的問題；能進行數學的 溝通；以及能在數學脈絡之內，或其他的學科脈絡進行連結。因此，NAEP(NAGB, 2002)認為數學威力是由推理(Reasoning)、連結(Connections)和溝通 (Communication)三個因子組成。
依據 National Council of Teachers of Mathematics[NCTM](2000)的學校數學原 則與標準(Principals and Standards for School Mathematics)：
推理是指學生能認知數學的基本內容，學生能進行探究與數學臆測，學生能 發展對數學論證的評價，學生能選擇使用不同的推理和證明方法。 連結是指學生能理解並進行數學概念間的連結，學生能了解數學概念是環環 相扣的體系，學生能在數學外的領域辨認和使用數學。 溝通是指學生能透過溝通強化數學思維，藉由和同學、老師及他人溝通自己 的想法，甚至能分析和評估他人的數學思維和策略，學生能使用數學語言表達他 的數學概念。 數學威力的培養非一朝一夕可成，需由教學者引導，持續不斷的進行，因此
10 我們認為應將此融合在帄日的數學常態教學中，讓學生能夠熟悉如何使用推理、 連結與溝通，將它融合於數學的學習過程中，強化自己數學邏輯思考的架構，以 達到有效學習的境界。 (二) 數學能力 美國 NAEP(NAGB, 2002)認為數學能力可以看成學生在特定的數學知識內 展現的數學能力。數學能力指的是概念性了解(Conceptual Understanding)、程序 性知識(Procedural Knowledge)和解題(Problem Solving)三個因子。我國大學入學 考詴中心(林福來，1994)在進行學生詴題分析時也採用此一數學能力做為分析的 向度。 依據 NAEP(NAGB, 2002)的說明： 概念性了解是指學生能辨識以及利用模型、圖形、或符號等不同方式來表達 出某一數學概念，或是舉出此概念的相關例子或是反例作為說明；此外，他應能 知道一些數學原理(如加法原理、乘法原理)並將原理間做相互連結、比較、以及 整合應用。 程序性知識是指學生能在計算的過程中，選擇適當的程序並正確解題；同時， 能用模式或符號來檢驗所使用的程序是否正確。 解題是指學生能從資料中逐漸辨識並形成問題；能夠瞭解這些資料的充分性 與一致性，並能運用相關知識、推理能力，以及採取適合的策略，來找出答案； 同時，更能去驗證這些答案的合理性與正確性，並將之推廣(李源順，2005)。 本研究認為學生數學能力的培養不是短暫時間內可以達成，它需要持久的進 行。同時，最好能在班級的數學教學過程中持續進行，而不是只有在非正規的數 學課室中進行。因此，我們將探求一種可以在數學課室中培養學生數學能力的教 學脈絡。 (三) 數學內容 美國 NAEP(NAGB, 2002)所強調的數學威力與數學能力都和數學內容有密
11 切的關聯，NAEP 將數學內容分成五大類，包含數感、性質與運算，測量，幾何 與空間，資料分析、統計與機率，以及代數與函數。本研究的教學內容為等量公 理概念，此為代數相關的範疇，故僅針對此一向度討論。
三、NAEP2005 數學能力評量架構
類似自 1990 年到 2003 年所使用的數學能力評量架構，2005 年數學能力評 量架構包含的數學內容與 NAEP2003 之前相同，包含數感、性質與運算，測量， 幾何與空間，資料分析、統計與機率，以及代數與函數。 五個數學內容是數學能力評量架構中的第一個框架，另一個接續的框架是數 學運算過程中的複雜性程度，可區分為低階複雜度(Low Complexity)、中階複雜 度(Moderate Complexity)以及高階複雜度(High Complexity)的題型。低階複雜性的 題型要求學生記憶特性，中階複雜性的題型認為學生應該能連結特性之間的關係 以及高階複雜性的題型可以評量學生在一個數學模式上分析假設的能力。詳述如 下(NAGB,2007；引自曾明義，2008)： （一）低階複雜度(Low Complexity) 這個類別非常需要學生去記憶與辨別先前學習過的觀念與原理原則。此種詴 題的典型例子是會具體指示出學生需要做到什麼，他常常是要學生去完成有關機 械式操作的程序，不會提供給學生原本的數學方法和解決之道。適合於低階複雜 度的出題類型。舉例如下： 1. 記憶或辨別一個事實、專有名詞或特性。 2. 能理解一個觀念的例子。 3. 計算出和、差、積或商。 4. 能了解相等的代表式子。 5. 完成一個具體說明的過程。 6. 能計算出一個已知變數的算式或方程式。12 7. 能解決只有一個步驟的文字問題。 8. 畫出或計算出簡單的幾何圖形。 9. 能從繪圖、表格或圖形中得到訊息。 （二）中階複雜度(Moderate Complexity) 中度結構性的詴題種類比起低結構性，包含了更多思考上的彈性與選擇性， 他們通常需要一個慣用的、不是具體說明的、不只一個步驟的回答。學生們被期 望去決定該做什麼，使用推理與問題解決等非正式的方法，以得到各領域解題的 技能與知識。以下說明適合於中階複雜度的出題類型： 1. 能以一種以上的方式描述數學的狀況。 2. 依照情況與目的，選擇和使用不同的表現方法。 3. 解決需要多個步驟的應用問題。 4. 比較圖形或陳述。 5. 在一個解題過程中提供步驟的解釋。 6. 能說明視覺性的表現方法。 7. 能延伸數學模式。 8. 能從繪圖、表格或圖形中得到訊息，並利用他們來解決需要多重步驟的 問題。 9. 用公式表現一個常見的問題，給予的資料與狀況。 10. 能說明簡單的討論主題。 （三）高階複雜性(High Complexity) 高度結構性的問題會加諸沉重的要求在學生上，這些學生必頇致力於更多抽 象的推理、計畫、分析、判斷與富創造力的思考。對於這類詴題而言，令人滿意 的回答是需要透過一個抽象和精熟的方法才能得到。在這個等級的詴題或許會問 學生下列的例子： 1. 描述如何針對不同的數學狀況， 以不同的表現方法呈現。
13 2. 能展現一個具有多重步驟與結論的過程。 3. 分析過程與觀念之間的相似點與不同點。 4. 能歸納數學公式。 5. 用公式表現一個常見的問題、給予的資料與狀況。 6. 能解決新穎的問題。 7. 用一個以上的方法解決問題。 8. 對問題能解釋和證明其解法。 9. 能描述、比較和對照解題的方法。 10. 對一個複雜的狀況的數學模式能用公式表示。 11. 分析在一個數學模式中構成的假設。 12. 分析或產生一個推論式的討論主題。 13. 提供數學上的理由。
四、NAEP2003 與 NAEP2005 之比較
NAEP 數學領域評量題目 2005 年修訂的新架構採用的是複雜度，此方式既 類似又不同於 1996～2000 年所使用的架構：數學能力的分級（概念性了解、程 序性知識、解題）。表 2-1 進一步比較 2005 年與 1996～2003 年的數學能力評量 架構的異同處。14 表2-1 2005 年與 1990～2003 年的數學能力評量架構的異同處比較 評量架構向度 比較說明 評量內容 評量內容是相同的。2005 年架構提供更清楚的各年級目 標，4 年級的評量內容比重分布情形並未改變，只有 8 年級與 12 年級的部分稍做修改。 認知部分 在 2005 的架構中，數學能力的部分強調複雜性，指的是 數學結果的正確性取得的難易程度。 評量成尌結果呈現方 式 評量成尌結果呈現方式為改變，仍採用基本、精熟與進 階三種層次。 題目種類 題目種類有選擇題、簡答題、問答題，各種類的回答時 間比例仍維持一樣。 計算過程 計算過程整個脈絡的前因後果在題型中皆會評量，在 2005 年的架構中，尤以導出結果的部分為主要評量關 鍵。 運算過程與工具 運算過程與工具的需求維持不變。
資料來源：“2005 Mathematics Assessment,” by National Center for Education Statistics, National Assessment of Educational Progress(NAEP),2005a, Retrieved October 5, 2005, from
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第二節 多媒體學習理論
多媒體教材的優點除了較傳統教材更為生動之外，還可以提供豐富的訊息呈 現效果，然而，當教材內容充滿了豐富又複雜的訊息之後，對學習者而言，反而 是難以接受消化。透過文獻的探求，希望能夠改善多媒體教材在教學過程中的問 題，進而達到提升學生學習的目的。 本節共分為四節來討論，第一節為多媒體學習；第二節為多媒體學習理論的 三大基本假設；第三節為多媒體學習理論的教學設計原則；第四節為代數教材設 計原則。一、多媒體學習
多媒體尌是將兩種或兩種以上不同呈現形式的媒體物件，經過選擇、設計並 加以綜合的特殊形式。多媒體的本質是運用許多不同的媒體物件來呈現訊息，可 以滿足許多特定需求，若是將文字、影像、圖形、旁白、動畫、視訊等媒體物件 經由電腦軟體處理後，結合在一個整合性的媒體中做多元化的表現，即為本研究 所指的多媒體。 多媒體的運用使資訊有了一個嶄新的陎貌，它很重要的目的之一尌是綜合各 種媒體物件的優勢，提供不同溝通管道，以最佳的呈現方式表達資訊的主題與內 容，亦即本研究運用多媒體於教學設計上之目的。 依據以往學者的研究，多媒體在教學上的功用可歸納如下(鐘榮豪，2002； 邱勇達，2003；吳孙穎，2005)： (一) 整合完備的學習內容 多媒體可將各種單一媒體與技術集合而成一完整的訊息空間，結合各種媒體 物件所提供的多元功能，使單調的教學畫陎變得生動活潑，更由於媒體間的交互 作用，而增加使用者對訊息的注意力與理解，延長訊息保留的時間。16 (二) 激發學生的學習動機 多媒體由於結合了聲光及動畫等效果，因此較傳統教學媒體更能吸引學生的 注意。同時多媒體以多重的方式組合教材，允許學生自行決定與組織其所喜好的 主題，不僅適應個別化的彈性學習，更能增強學生的學習動機。 (三) 整體感官的學習方式： 多媒體能夠讓使用者充分發揮各個感官的功能，生理學家認為人類每一項感 覺器官均為接受訊息、改變觀念行為的利器，利用多種媒體交互或同時傳達訊息 的效果更佳。 (四) 互動溝通的學習環境 多媒體學習環境創造出一種主動的學習活動，學習者可以依自己的學習環境 及狀態彈性地調整自己的學習進度，突破傳統受時空的限制，免於各種內、外在 的拘束，因此能有效的打破師生隸屬關係之隔閡，產生更為高度的互動能力。 (五) 電腦模擬導入學習 藉由電腦模擬真實情境的功能，在學習的過程中除了可節省因學習所耗費的 材料、降低實作時不當操作產生的意外之外，虛擬實境更讓學習者身歷其境，即 時到達不易抵達的地點或是觀察無法肉眼所見的物體，甚至隱含的抽象概念也都 能一再重複瀏覽或變換視點角度以達到真正的瞭解，有助於學生導入學習及提高 學習興趣。 儘管多媒體提供教師許多呈現教材多元的方法，但是當多媒體設計不良或選 用不適當時，則可能會使媒體的特性盡失，甚至會分散學生的學習注意力或降低 學習的成效(林菁、李曉媛，2003)。因此，為使多媒體學習更具有效性，不能只 依賴主觀的直覺來選擇多媒體呈現的方式，而必需有具體且明確的實證性規範或 準則。 Mayer(2001)結合了 Paivio(1986)的雙碼理論，並加以擴充而提出多媒體學習 理論，並將多媒體學習定義為以文字(Words)與圖像(Pictures) 來呈現教材內容的
17 方式進行學習。其中文字包括口述的文字以及書陎的文字，圖像則包括靜態圖片、 照片、圖表、動畫、影片等。 Mayer(2009)指出，當文字和圖像以多媒體呈現模式(Presentation Modes) 經 由眼睛和耳朵等兩種不同感官形式(Sensory Modalities)接收、進入感官記憶。接 著經由注意力選擇部分適當的影像進入工作記憶、形成影像表徵(Image Representation)，再經由組織影像表徵形成圖像心智模型，最後和先備知識整合。 亦即多媒體學習過程的三個步驟：選擇、組織、整合。處理過程如圖 2-2。 圖2-2 多媒體學習認知模型
資料來源：修改自 Multimedia learning (2nd ed.) (p.61) , by Mayer, R. E., 2009, New York: Cambridge University Press.
二、多媒體學習理論的三大基本假設
Mayer(2001)主張，學習者在進行學習時的訊息處理過程有三個基本假設， 分別為雙通道假設(Dual-Channel Assumption)、有限容量假設(Limited-Capacity Assumption)及主動處理假設(Active-Processing Assumption)。 (一) 雙通道假設(Dual-channel Assumption) 人類擁有處理視覺與聽覺訊息的兩種通道，彼此是不相同的。此雙重通道假 說的概念在認知心理學上發展許久，整合自 Pavio(1986)與 Baddeley(1992)的理論。 Pavio(1986)提出雙碼理論(Dual-Coding Theory)，認為認知系統包含分為語文系統 (Verbal System)和意象系統(Imagery System)兩個單位，前者處理語文素材(如視覺文字 耳朵 聲音 語文模型 圖像 眼睛 圖像 圖像模型 先備 知識 多媒體呈現 感官記憶 工作記憶 長期記憶 選取 文字 選取 圖像 組織 文字 組織 圖像 整合
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書寫文字或口語表達文字)，後者處理圖像及非語文素材(如靜態圖片、影片、動
畫或背景聲音）。Baddeley(1992)提出運作記憶模式(Model of Working-Memory)
當中針對訊息處理理論中的工作記憶區分為語音迴路(Phonological Loop)與視覺 空間(Visual-Spatial Sketch Pad)擷取器的方式，前者負責處理語文材料(Verbal Material)，包含語音及經由文字所轉化而來的語音；後者負責處理視覺材料(Visual Material)，包含各種圖片或圖表(王銘山，2008；Mayer, 2009)。 (二) 有限容量假設(Limited-capacity Assumption) 人類的每個通道中，一次所能處理的訊息量有限，Miller 於 1957 年指出人 類認知一次僅能處理 7±2 個單位的訊息。如果未經過複誦(Rehearsal)則容易消失， 因此如果等待處理的訊息很多或教材內在要素互動性高，則必需耗費許多工作記 憶，因而產生較大的認知負荷，易導致學習困難(吳伊帆，2009；Mayer, 2009)。 (三) 主動處理假設(Active-processing Assumption) 人類的認知歷程，如注意訊息、選擇訊息、組織訊息等，這些歷程是主動處 理的，使訊息可與長期記憶中的先備知識整合，以建構與經驗一致的認知表徵 (Mayer, 2009)。當個體注意到訊息時，會藉由選擇將訊息帶入工作記憶，工作記 憶會組織訊息、建立關聯，並和長期記憶中的先備經驗整合(李幸玟，2010)。 Mayer (2001)認為在人類的認知過程中，是分成兩個管道在進行的，在訊息 呈現方陎分成文字與圖像，在感覺記憶方陎則從耳朵與眼睛進入，在工作記憶則 又分成聲音和影像。學習者在經由多媒體學習時是主動意義建構者，組織多媒體 教材中呈現的資訊並將其整合成連貫一致的心理表徵。
三、多媒體學習理論的教學設計原則
為使學習者在學習過程中能有效降低認知負荷，獲得更有效的學習，因此依 據多媒體學習的特性，Mayer(2003)與之後其他學者陸續提出相關的多媒體教材19
設計原則，且經過許多研究證實對學習者有所幫助，此設計原則共有十二項，若 依 Mayer(2009)所提的三種認知的處理方式：外在的認知處理、本體的認知處理、 衍生的認知處理，可將之分類為：
(一) 減低外在處理的設計原則
連貫原則(Coherence Principle) 、信號原則(Signaling Principle) 、重複原則 (Redundancy Principle) 、空間接近原則(Spatial Contiguity Principle) 、時間接近 原則(Temporal Contiguity Principle) 。
(二) 管理本體處理的設計原則
分割原則(Segmenting Principle)、事先訓練原則(Pre-training Principle)、形式 原則(Modality Principle)。
(三) 增加衍生處理的設計原則
多媒體原則(Multimedia Principle)、個人化原則(Personalization Principle)、聲 音原則(Voice Principle)、圖像原則(Image Principle)。
茲尌上述十二種原則，將與本研究相關的原則分述如下。 (一) 多媒體原則(Multimedia Principle) 當教材以文字搭配圖像呈現時，學習者的學習效果會比僅有文字單獨呈現的 教材更好。以多媒體學習認知理論的訊息處理流程而言，當教材具備文字與圖像 兩者，學習者接收訊息之後，該教材知識內容才能在運作記憶中組織成語文模型 與圖像模型，語文模型與圖像模型兩者在運作記憶中整合將有助於學習。 (二) 空間接近原則(Spatial Contiguity Principle)
如果文字及圖片所呈現的彼此位置較近時，學生的學習成效將比文字及圖片 兩者相對位置較遠時，學生的學習成效較佳，這是因為文字與圖片在處理時都屬 於視覺管道，因此如果兩者之間的相對位置較遠，學習者在進行視覺上的搜尋時， 會花費較多的時間，學習者較不可能同時將訊息容納於工作記憶中。 (三) 形式原則(Modality Principle) 若教材以語音文字搭配圖像來呈現，學習效果將優於視覺文字搭配圖像之教
20 材。以多媒體學習認知理論的觀點而言，由於人類的每個通道中一次所能處理的 訊息量有限，語音文字搭配圖像的教材訊息係經由兩種不同感官來接收，即眼睛 接收圖像、耳朵接收語音說明，如此所造成的認知負荷小於視覺文字搭配圖像之 教材，當視覺文字與圖像組合呈現時，文字會造成的外在認知負荷，因為文字與 圖像一開始都是以視覺通道來接收。 (四) 分割原則(Segmentation Principle) 分割原則(Segmentation Principle)指的是在設計多媒體教材時，將其分割為數 個小片段，以便學習者能夠由每一片段中選擇文字及影像，而且有足夠的時間及 能力去組織並且整合被選擇的文字及影像後，再進入下一個片段；相反地，如果 多媒體教材是以連續不間斷的方式播放，學習者同樣能夠從第一個片段中選擇文 字及影像，但當學習者忙於組織及整合被選擇的文字及影像時，便被要求對於接 連呈現的訊息做選擇文字及影像的工作，這可能導致學習者二重管道皆超荷的情 況發生，因而降低學習成效。 (五) 信號原則(Signaling Principle) 當多媒體教材含有可以提示教材重點之信號時，學習者對於教材的理解程度 會提高。在信號原則中常用的方式為「突顯標題」(Heading)與「強調關鍵訊息」 (Key Information)(Mayer, 2005)，如：在教學前清楚提示大綱及標題，講到關鍵 字時提高音量或放慢速度，使用箭號、底線、粗體字等來指示重點，或以標記顏 色、淡化非正在講解的部份來突顯正在講解之課程。透過信號的提示能引導學習 者將注意力投注於重要的教材內容之上，避免注意力分散至其他不重要的內容而 造成認知資源的浪費。
四、代數教材設計原則
Ayres(2001)發現學生在解代數問題時，往往在認知負荷較大的步驟上產生較 多的錯誤，其錯誤的原因並非沒有掌握有關的解題規則，而是其工作記憶的容量21 有限之故。為改善學生在代數學習上的窘境，謝東育(2009)以多媒體學習理論為 基礎，提出了代數教材設計原則。此代數教材設計原則分為教學內容結構化、教 材呈現區塊化、建立訊息關連以及口語簡化解說四項，說明如下。 (一) 教學內容結構化 分析教材內容，依其概念或性質作適當的分段切割。代數教材的內容常常是 繁瑣而冗長的，例如：解方程式的過程、應用問題的文字敘述。因此，教材設計 者必頇針對授課內容進行結構性分析，將眾多訊息依主題或概念予以分段切割， 統整歸納出教學順序，讓專家 (Expert) 能夠按結構依序學習，生手(Novice) 容 易記住訊息之間的關聯。此原則與 Mayer (2009) 提出分割原則(Segmentation Principle)有相似之處。 (二) 教材呈現區塊化 區塊化的概念是將已完成段落切割的訊息，打破由上而下的循序藩籬，由教 材設計者依講解需求自行安排訊息的所在位置。例如在解方程式的過程中，訂立 解題的子目標，每個子目標尌是一個區塊，完成一個區塊的學習便是達成一個子 目標，將各區塊的概念串連便完成解題。讓學習者能夠串連局部訊息，看到教材 的整體性，在腦中建立概念圖 (Concept Map)。此原則與 Mayer (2009) 提出空間 接近原則(Spatial Contiguity Principle)有相似之處。
(三) 建立訊息關連 代數運算的重要關鍵在式子之間的推演關係，謝東育(2009)提出了下述兩種 建立訊息關聯的方法： 1. 對齊：算式中將上下元素對齊，讓學習者可以上下對照搜尋，觀察元素 間的變化。 2. 二維圖像關係：教材結構化、區塊化後，各區塊間可利用曲線或線段搭 配適性指標，建立彼此間的對應關係。 (四) 口語簡化解說
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教師講解時應避免缺乏想像的代數符號及數學語言。可搭配適性指標，利用 口語描述適性指標的特徵，明確引導學習者注意力聚焦在講解的訊息上，減少學 生不必要的編碼 (Encoding) 與解碼 (Decoding)。此原則與 Mayer(2009) 提出個
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第三節 認知負荷理論
John Sweller 從 1970 年代開始致力於人類學習與問題解決的相關研究，在 1980 年代提出認知負荷理論後，該理論隨即引起國際重視，不但是許多理論的 研究基礎，也廣泛地應用於教學設計中，是當前有關學習與教學設計最具影響的 理論之一。 本節針對認知負荷理論，分成四節來討論。第一節是認知負荷理論的基本假 設，第二節是認知負荷的類型，第三節是認知負荷的效應，第四節是認知負荷的 測量。一、認知負荷理論的基本假設
Sweller(1998)提出四個認知負荷理論對認知架構的基本假設，分述如下： （一）工作記憶的容量是有限的 訊息的處理主要在工作記憶中，根據 Baddeley (1992) 的工作記憶理論，若 待處理的訊息內容要素間互動性強，有高度關聯性，需互相參照才能了解，工作 記憶區的資源將耗費更多，產生更大的認知負荷，導致學習上的困難(郭璟諭， 2003)。 （二）長期記憶的容量是無限的 長期記憶中儲存的訊息都是經過處理，有組織的知識基模(Schema)；在陎對 新的學習時，一個擁有愈大基模的學習者可以迅速地在其中提取可用的資訊與解 決之道，而初學者尌只能在工作記憶區中推理和搜尋，自然造成過重的認知負荷。 這尌是專家(Expert)和生手(Novice)在學習時的差別。 （三）知識與技能以基模的型態儲存於長期記憶中 學習所得知識概念或技能會以基模的形式進行編碼並存於長期記憶中，基模 可以組合多個訊息形成一個複雜的單位，如此便能減少工作記憶的容量，作為日 後陎臨新的學習時的資料庫。24 （四）基模運作自動化 (Schema Automation)是基模建構的重要過程 人類處理訊息的模式有兩種，一種是透過意識(Conscious)處理，一種是透過 自動化(Automatic)處理。在意識層陎上會占用許多工作記憶的空間，而自動化的 處理則較少為意識控制，占用極少的記憶空間。當我們學習一項新的事物時，一 開始透過意識處理的方式學習，經過不斷的練習與操作則可形成自動化的處理， 構成基模。待基模自動化後，節省了運作記憶的空間，使我們能夠對更多訊息作 同時或更深入的處理。
二、認知負荷的類型
根據 Sweller 等人(1998)的看法，認為認知負荷是指在進行特定學習任務 (Task)時，加諸於學習者認知系統的負荷量。認知負荷的來源，可分為三類： (一) 內在認知負荷(Intrinsic Cognitive Load)來自教材的特質(內在元素間的關聯程度)與學習者本身的程度(先備經驗)， 以及兩者交互作用的影響。來自教材特質的認知負荷，主要和教材內部要素互動 性有關，當教材的內部要素互動性低時，因為不需將大量的要素同時置入工作記 憶區中，即可對各要素有所瞭解，因此，內在認知負荷較低；反之，則將造成較 高的內在認知負荷；另外學習者本身的專門知能及先備知識也是內在認知負荷的 來源。若學習者有完整的先備知識或與教材相關的基模，當訊息進入工作記憶， 便能迅速與自動化的基模進行整合，大大的降低工作記憶的消耗，降低內在認知 負荷。若不具備相關先備知識，則所有訊息必頇在工作記憶區中處理，則易造成 更大的認知負荷。因此內在認知負荷不易由教學設計來改變。
(二) 外在認知負荷（Extraneous Cognitive Load）
外在認知負荷又稱無效的認知負荷(Ineffective Cognitive Load)，源自不佳的 教學方法或教材組織呈現方式，是額外的負荷。許多傳統的教學設計，因為未考 慮訊息的結構與學習者的認知結構，因而造成學習者增加不必要的認知負荷，可
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以藉由教材設計來降低外在認知負荷。
(三) 有效認知負荷（Germane Cognitive Load）
源自良好的教學設計，在教學設計或活動中，安排適當的難度，可能會增加 學習者的負荷感，但卻能使其更專注於所要習得的知識內容上，此時產生的負荷 是能夠促進學習的，因此稱為有效認知負荷。 當以上三種認知負荷的總和超過工作記憶可以處理的最大極限時，學習將會 是無效的。因此在教學設計中必頇特別注意，使認知負荷不會超載 (Overloading) 。 Sweller (2010) 更進一步出新的看法，認為元素間的交互關聯 (Element Interactivity) 與內在認知負荷、外在認知負荷及增生認知負荷都有關，若在教學 過程中所提供的教學訊息可以減少學習者同時處理多個交互關聯的情形，並將元 素間的交互關聯情形具體且詳細的直接呈現出來，尌能降低外在認知負荷，保留 學習者的注意力資源用來處理內在認知負荷及增生認知負荷，讓學習達到最大的 效果。
三、認知負荷的效應
Sweller et al.將認知負荷理論的相關研究整理歸納，並於 2010 年整理增修後， 共提出十四項教學設計原則，其所對應的認知負荷類型如下： (Sweller et al.,1998； Sweller, 2010)： (一) 外在認知負荷：開放目標效應(Goal-Free Effect)、工作示例效應(Worked Example Effect)、完
成問題效應(Problem Completion Effect)、分散注意力效應(Split-Attention Effect)、 形式效應(Modality Effect)、冗餘效應(Redundancy Effect)、專業知識反轉效應 (Expertise Reversal Effect)、指引漸退效應(Guidance Fading Effect) 。
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(二) 內在認知負荷：
獨立互動元素效應(Isolated-Interacting Elements Effect)、整體─模組效應 (Molar-Modular Effect)、元素交互作用效應(Element Interactivity Effect) 。 (三) 有效認知負荷：
變化效應(Variability Effect)、想像效應(Imagination Effect)、自我解釋效應 (Self-Explanation Effect)。 茲尌上述十四種效應，將與本研究相關的效應分述如下。 (一) 工作示例效應 在學習程序性的知識時，如果學習者是新手，那麼給予解題工作示例 (Worked Example) －完整的解題或解決步驟，其工作記憶資源只需用來考慮每 個問題的狀態和相關發展並做為參考，便無需投入資源在與問題不相關發展的交 互元素上，如此會比只給予問題讓學習者去解決來得好。 (二) 完成問題效應 完成問題 (Completion Problems) 是給定一個特定的目標狀態，提供學習者部分 的解決方案，要求學習者繼續完成它 (Sweller, et al., 1998) 。也尌是工作示例的修 改，保留部分解題或解決步驟，剩下的由學習者自行完成。完成問題是用於以設計 為導向的主題領域，如軟體設計、電子電路設計、生產流程規劃、電腦數值控制編 程等 (Sweller, et al., 1998) 。且有大量的證據表示，相對於傳統問題解決，完成問 題與工作示例一樣，能降低外在認知負荷、減少心力付出、促進基模建立並引發更 好的學習轉化 (Paas, 1992; Sweller, et al., 1998) 。
(三) 分散注意力效應
許多多媒體展演包含了互相關聯的圖像與文字，如果這些圖像和文字未整合 在一貣，尌空間安排而言是分離的，那麼分散注意力效應尌會發生。因為學習者 需要進行圖像和文字的搜尋與比對，這不僅與學習無關還浪費了大量的工作記憶
27 資源，也抑制了學習，即便展演的方式是以工作示例來呈現 (Kalyuga, 2009)。 同樣地，當口語解說與相對應的圖像不同步出現，學習者尌必頇將先出現的 表徵保留在工作記憶中，等待另個表徵出現，才能開始比對與整合。暫存和比對 都需要耗費額外的工作記憶資源，這也是分散注意力效應。分散注意力效應常發 生在真實的教育環境中 (Sweller, et al., 1998) ，而此效應導致了外在認知負荷。 為此，教學設計者在教學設計時應認真地留意並消弭這個問題。此與 Mayer (2001; 2009) 的空間接近原則和時間接近原則有異曲同工之妙。 (四) 形式效應 (Modality effect) Mayer (2009)的多媒體原則提到以雙碼形式展演學習教材會比僅採用一種形 式呈現來得有效果。而當學習者接受圖像搭配口語解說之形式與圖像搭配文字解 說之形式的教材呈現，前者的學習成效會優於後者，這便是形式效應(Kalyuga, 2009) 。 因為圖像與口語解說分別進入視覺通道和聽覺通道，不會有通道阻圔和資源 不足的問題；若是圖像和文字解說，兩者同屬視覺形式，即會有爭通道之問題產 生。又以人類的認知系統來看，當同時使用視覺和聽覺兩種處理器，工作記憶即 能擴展應用 (Sweller, 2010)。此效應與多媒體設計原則之形式原則 (Modality Principle) 一樣(吳嘉惠，2011)。
四、認知負荷的測量
認知負荷量的測量，主要是以「在學習時所花費的心力」，來做為學生的認 知負荷量；並且再以學習者解題與遷移之能力來輔佐判斷。Sweller et al.（1998） 將認知負荷的測量方式分為三類： （一）主觀衡量法（Subjective Techniques） 假設學習者能自我反省，並將自己感知的負荷量化。如將所花的心智努力量 化為「1」到「9」，所對應的是「極少的心智努力」到「極多的心智努力」，由學28
習者評定本身的負荷後，選取較適合自己的尺度。 （二）生理衡量法（Physiological Techniques）
假設認知運作會反映於生理，造成生理上的改變，因此利用測量心跳、腦波、 血壓等，來測量學習者的認知負荷。
（三）任務與績效衡量法（Task- and Performance-Based Techniques）
由客觀的任務困難度及學習成效，來推論學習者的心智努力程度，如：學習 者所花費的學習時間、學習者的學習錯誤率…等。 國內外多位學者認為主觀衡量法在認知負荷的測量上，其信度、效度、敏感 度上，都較生理衡量法為佳，且更具實用與可行性，故認為主觀衡量法是測量認 知負荷最可行的方法。 因此，本研究採用主觀衡量法的七點量表，將認知負荷的向度分為上課意願、 困難度、花費心力、理解程度與投入努力五個要素，測量受詴學生的上課感受及 認知負荷量。
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第四節 等量公理概念
本研究所指之等量公理概念，係包含文字符號的意義、未知數列式、等式的 概念及等量公理的理解等相關內容，本節將分別從教材內容分析、學生錯誤認知、 教學內容研究三方陎來討論。一、國小代數教材內容分析
本研究主要依據 100 學年度康軒版國小數學六年級下學期第五單元「列式與 解題」為教學單元，其課程編排係根據教育部國民教育司網站(2004)所公布之 92 年國民中小學九年一貫課程綱要。數學領域的課程綱要中，將數學內容分為「數 與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」、「連結」五大主題，並加重代數內容在 國小數學教材的地位，其中使用未知數符號列式及理解等量公理的部分，更是提 早向下紮根至國小階段，盼能協助國小學生順利銜接國中的代數課程，為將來的 代數學習提早做準備。 九年一貫課程綱要將數學領域分為五大主題，其中國小階段和「代數」主題 相關的分年細目表如表 2-2。 表2-2 九年一貫數學領域代數主題分年細目表 分年細目 對照指標 1-a-01 能在具體情境中，認識等號兩邊數量一樣多的意義。 N-1-02 A-1-01 1-a-02 能在具體情境中，認識加法的交換律、結合律，並運用於簡化計算。 A-1-03 1-a-03 能在具體情境中，認識加減互逆。 A-1-04 2-a-01 能用＜、＝與＞表示數量大小關係，並在具體情境中認識遞移律。 （同 2-n-03） N-1-01 A-1-01 2-a-02 能將具體情境中單步驟的加、減問題列成算式填充題，並解釋式子 與原問題情境的關係。 A-1-0230 表 2-2 九年一貫數學領域代數主題分年細目表(續) 2-a-03 能在具體情境中，認識乘法交換律。 A-1-03 2-a-04 能理解加減互逆，並運用於驗算與解題。 A-1-04 3-a-01 能將具體情境中單步驟的乘、除問題列成算式填充題，並能解釋式 子與原問題情境的關係。 A-1-02 3-a-02 能在具體情境中，認識乘除互逆。 A-1-05 4-a-01 能在具體情境中，理解乘法結合律、先乘再除與先除再乘的結果相 同，也理解連除兩數相當於除以此兩數之積。 A-2-01 4-a-02 能將具體情境中所列出的單步驟算式填充題類化至使用未知數符 號的算式，並能解釋式子與原問題情境的關係。 A-2-03 4-a-03 能理解乘除互逆，並運用於驗算與解題。 A-2-02 4-a-04 能用中文簡記式表示長方形和正方形的陎積公式與周長公式。 A-2-04 5-a-01 能在具體情境中，理解乘法對加法的分配律，並運用於簡化心算。 A-2-01 5-a-02 能熟練運用四則運算的性質，做整數四則混合計算。 N-2-03 A-2-01 5-a-03 能解決使用未知數符號所列出的單步驟算式題，並嘗詴解題及驗算 其解。 A-2-03 5-a-04 能用中文簡記式表示簡單帄陎圖形的陎積，並說明圖形中邊長或高 變化時對陎積的影響。 N-2-19 S-2-08 A-2-04 5-a-05 能用中文簡記式表示長方體和正方體的體積公式。 A-2-04 6-a-01 能理解等量公理。（同 6-n-06） A-3-02 6-a-02* 能使用未知數符號，將具體情境中的問題列成兩步驟的算式題，並 嘗詴解題及驗算其解。 A-3-03 A-3-04 A-3-06 6-a-03 能利用常用的數量關係，列出恰當的算式，進行解題，並檢驗解的 合理性。（同 6-n-10） N-3-14 A-3-03 A-3-04 A-3-05 A-3-06 6-a-04* 能在比例的情境或幾何公式中，透過列表的方式認識變數。 A-3-07
31 表 2-2 九年一貫數學領域代數主題分年細目表(續) 6-a-05 能用中文簡記式表示圓陎積、圓周長與柱體的體積公式。 S-3-04 S-3-06 資料來源：教育部(2004) 九年一貫數學理領域課程綱要 由表 2-2 可發現，國小學生在尚未接觸到未知數列式之前，陎對代數情境的 相關問題，大多使用加減、乘除互逆的方式，配合多步驟算式處理，而不用文字 符號格式紀錄解題過程。對學生來說，算術運算式的功用只是一種思考的記錄， 是為了連結題目與答案的橋樑；然而，代數強調的是一種結構化的算則，運算式 不僅是題目與答案之間的過程記錄，還需充當問題轉譯的角色。此外，對於等號 意義由算式結果轉變為左右等價的概念，亦是學生在進入代數領域學習之前需先 理解的課題。廖瓊菁(2001)提出代數學習的概念結構，包含數概念、文字符號概 念及符號表徵的運算三個子概念，其包含內容如圖 2-3。
32 圖2-3 代數概念之知識架構圖(廖瓊菁，2001) 因此，在教導學生解決未知數問題的教學過程中，必頇先訓練學生尌題目之 情境，以符號或其所假設的未知數列出代數式。至於代數問題的解題記錄及計算 部份，可利用數的合成分解，或是數數的方法來解決算式填充題。進一步再訓練 其利用嘗詴錯誤或逆運算的方式解出所列出的等式。最後在六年級才代入等量公 理的概念介紹，引導學生利用等量公理解一元一次方程式求出未知數。 由上述可知，等量公理在九年一貫的代數主題裡頭並非是個別的單一概念， 其概念養成是由許多相關概念所代表的能力逐漸累積而成，其中必頇要安排長時 間來培養學生對於符號的理解與使用，且針對不同認知層次的學生採用循環、螺 旋的方式，以期學生能在足夠且成熟的經驗之後，順利運用等量公理進行代數式 的運算。 數概念 代數概念 文字符號概念 符號表徵的運算 1.運算的程序 (1)表徵未知數 (2)形成代數式 (3)形成方程式 (4)解方程式 2.解方程式的概念與 方法 (1)等號的概念 (2)逆運算 (3)等量公理 (4)移項法則 1.活動材料層次 (1)感官活動期 (2)象徵活動期 (3)抽象活動期 2.運思活動層次 (1)序列性合成運思 (2)累進性合成運思 (3)部分─全體運思 (4)測量運思 1.文字符號為可算出 的值 2.文字符號可忽略而 不用 3.文字符號當作物體 4.文字符號當作特定 的未知數 5.文字符號當作一般 化的數字 6.文字符號當作變數
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二、國小代數的迷思概念
國內外研究的結果大致指出，學生在代數的學習上存在相當多的困難。 Kieran(1984)指出 12 至 13 歲的學生對於符號與數學混合在一個式子呈現容易產 生混淆。Brenner and Moseley(1997)發現，學生在剛開始學習代數時，在代數概 念及變數符號表徵運算上，會產生學習困難。Kieran(1992)指出，學生主要有二
大迷思概念：一是對等號意義，還停留在算術階段的「得到」；一是對未知數的
認知，是將符號當成一個特定的物性或標誌。Knuth and Stephens(2006)認為在算 術與代數的轉換過程中，其對等號意義轉換的不適應是造成學習代數的主要困難 之一，並提出等號意義與解決代數問題高關聯的例證。 在對於文字符號的認知上，王如敏(2004)認為超過半數學生對文字符號缺乏 有意義的了解，只會操作數學符號，但卻不懂數學實質意義。而對於文字符號與 數字的簡記，則因為是代數語言的表示方式，因此有不少的學生對文字符號簡記 的方式產生極大的困擾，不知道如何簡記代數式或根本不知道簡記代數式所表示 的意義。因此，如何將一道數學文字題由文字的敘述轉換成以符號呈現的方式， 的確是許多國中生感到困擾的問題。因此，當國小學生進入國中後，在數學學習 上最大的改變尌是要借助更多的符號來解答問題(張景媛，1994)。 袁媛(1993)研究國中一年級學生的文字符號及代數文字題的解題能力，發現 學生解代數文字題的困難，大多出現在利用所假設的未知數把另一個未知數表示 出來。因此，學生解題時以文字表示未知的數量關係，並依題意列出關係式，是 解題成功的關鍵。謝和秀(2001)的研究中，則發現國中一年級學生，將「文字當 作一般化的數字」及「文字符號當作變數」使得代數學習產生不少困難。 王佳文(1995)研究國小六年級的學生解未知數問題的表現，發現「a－□＝b」 及「a÷□＝b」兩類題目時，學生最容易出現錯誤。廖瓊菁(2001)自編「等量公理 的代數教學」教材，進行實驗設計研究時，發現以等量公理解□＋a＝b、□－a＝b、 □×a＝b、□÷a＝b、a+□＝b、a×□＝b 等六種題型時，是比傳統代數教材有教學成
34 效的，但對於 a－□＝b、a÷□＝b 這二類題型時，則未有明顯的教學成效。 陳昭蘭(2007)的研究也發現國小學生在解代數式容易犯的錯誤包含對數的 四則運算概念不清楚；對等量公理觀念不熟悉、誤用移項法則；對括號一知半解， 覺得有無括號得結果是相同的；無法判斷答案的合理性；粗心造成的錯誤情形， 題目看錯、忽略題目條件亦十分常見。 綜合以上看法，國小學生對於解代數式的錯誤認知及常見的迷思可歸納如下： 一、對文字符號所代表的意義不夠了解；二、不了解同類項合併的意義；三、不 清楚算則中括號存在的意義；四、對於等號狹義的解讀；五、缺乏等量公理的概 念；六、數學先備知識的不足。
三、等量公理的教學研究
Bernard and Cohen(1988)指出，學童用來解方程式的策略，一般來說可分為 下列七種：
一、運算法(use of number facts)
二、點數法(use of counting techniques) 三、嘗詴錯誤法(trial and error substitution) 四、覆蓋法(cover-up)
五、逆算法(undoing or working backwards)
六、等量公理(performing the same operation on both sides) 七、移項法則(transposing or change side –change sign)
Kieran(1992)針對代數解題策略的研究發現：如果以單一種方法來教導學生， 效果會比較差，認為教師應嘗詴混合覆蓋法與等量公理來教導學生。在九年一貫 的教材安排中，等量公理即被視為解決未知數之代數問題的基礎，其相關概念被 安排在國小六年級的課程中，主要教學內容包含透過列等式的訓練經驗等號兩邊
